2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步蘇教版必修二講義：第一章 立體幾何初步章末復(fù)習(xí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合知識結(jié)構(gòu)，梳理知識網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識.2.能熟練畫出幾何體的直觀圖，能熟練地計算空間幾何體的表面積和體積，體會通過展開圖、截面化空間為平面的方法．1．四個公理公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線．公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．2．直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(平行,,相交，)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.）)3．平行的判定與性質(zhì)(1)線面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?α,a∥ba∥αa∥α,a?β，α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b(2）面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β,a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α（3)空間中的平行關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系4．垂直的判定與性質(zhì)(1)線面垂直的判定與性質(zhì)圖形條件結(jié)論判定a⊥b,b?α（b為α內(nèi)的任意直線）a⊥αa⊥m，a⊥n,m，n?α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性質(zhì)a⊥α，b?αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b(2)面面垂直的判定與性質(zhì)文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(l?β，l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(α⊥β，α∩β＝a，l?β，l⊥a）)?l⊥α(3)空間中的垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系5．空間角(1)異面直線所成的角①定義:設(shè)a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a，b所成的角．②范圍：設(shè)兩異面直線所成的角為θ，則0°<θ≤90°。(2)直線和平面所成的角①平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角．②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角．（3）二面角的有關(guān)概念①二面角：一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角:一般地,以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．6．幾何體的側(cè)面積和體積的有關(guān)計算柱體、錐體、臺體和球體的側(cè)面積和體積公式面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f（1，3）Sh＝eq\f（1，3)πr2h＝eq\f（1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側(cè)＝π(r1＋r2）lV＝eq\f(1,3）（S上＋S下＋eq\r（S上S下））h＝eq\f（1，3）π（req\o\al（2,1）＋req\o\al（2,2)＋r1r2）h直棱柱S側(cè)＝chV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1，2)ch′V＝eq\f(1,3）Sh正棱臺S側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′）h′V＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3）πR31．簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差．(√）2．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線,則α⊥β.（×）3．若α⊥β，a⊥β，則a∥α.（×）類型一空間中的平行關(guān)系例1如圖,E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點，求證：(1)GE∥平面BB1D1D；（2)平面BDF∥平面B1D1H.證明（1）如圖，取B1D1的中點O，連結(jié)GO，OB,易證OG綊eq\f(1，2）B1C1,BE綊eq\f（1，2）B1C1，∴OG綊BE,∴四邊形BEGO為平行四邊形，∴OB∥GE。又∵OB?平面BDD1B1,GE?平面BDD1B1,∴GE∥平面BDD1B1.（2）由正方體性質(zhì)得B1D1∥BD，∵B1D1?平面BDF,BD?平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.連結(jié)HB，D1F，易證HBFD1是平行四邊形,∴HD1∥BF.又∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.反思與感悟（1)判斷線面平行的兩種常用方法①利用線面平行的判定定理．②利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時,其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面．（2)判斷面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②面面平行的傳遞性(α∥β，β∥γ?α∥γ）．③利用線面垂直的性質(zhì)（l⊥α，l⊥β?α∥β)．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在,請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．解當(dāng)點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD.證明如下:如圖，連結(jié)BD,和AC交于點O，連結(jié)FO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點．∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD,∴OF∥平面PMD.又MA綊eq\f（1，2）PB,∴PF綊MA?！嗨倪呅蜛FPM是平行四邊形，∴AF∥PM。又AF?平面PMD，PM?平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD。類型二空間中的垂直關(guān)系例2如圖，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB＝90°，點B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中點，且BC＝AA1.求證：（1）平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2)BC1⊥AB1。證明（1）設(shè)BC的中點為M，連結(jié)B1M.∵點B1在底面ABC上的射影恰好是點M，∴B1M⊥平面ABC.∵AC?平面ABC,∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，∴AC⊥平面B1C1CB。又∵AC?平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB。（2）連結(jié)B1C?！逜C⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中,∵BC＝AA1＝CC1?！嗨倪呅蜝1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1。又∵B1C∩AC＝C,∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.反思與感悟空間垂直關(guān)系的判定方法（1)判定線線垂直的方法①計算所成的角為90°（包括平面角和異面直線所成的角）．②線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b）．（2)判定線面垂直的方法①線面垂直定義（一般不易驗證任意性）．②線面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c,b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)．③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)（a∥b，b⊥α?a⊥α）．④面面垂直的性質(zhì)（α⊥β，α∩β＝l，a?β,a⊥l?a⊥α）．⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β）．⑥面面垂直的性質(zhì)（α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ）．(3)面面垂直的判定方法①根據(jù)定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計算其為90°）．②面面垂直的判定定理（a⊥β，a?α?α⊥β）．跟蹤訓(xùn)練2如圖，A,B，C，D為空間四點．在△ABC中，AB＝2,AC＝BC＝eq\r（2),等邊△ADB以AB為軸運動．(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，求CD；(2）當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動時,是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論．解（1）如圖,取AB的中點E,連結(jié)DE，CE，因為△ADB是等邊三角形,所以DE⊥AB。當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，因為平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE。由已知可得DE＝eq\r（3），EC＝1，在Rt△DEC中,CD＝eq\r（DE2＋EC2)＝2。(2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB⊥CD.證明如下:①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時，因為AC＝BC，AD＝BD,所以C,D都在線段AB的垂直平分線上,即AB⊥CD.②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時，由（1)知AB⊥DE。又因為AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD。綜上所述，總有AB⊥CD。類型三平行與垂直的綜合應(yīng)用例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.（1)求證:DC⊥平面PAC；（2）求證：平面PAB⊥平面PAC；（3）設(shè)點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF?說明理由．(1）證明∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC?平面PAC，AC?平面PAC，∴DC⊥平面PAC.(2）證明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC,∴AB⊥平面PAC,AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.（3)解棱PB上存在點F，使得PA∥平面CEF。證明如下:取PB的中點F，連結(jié)EF，CE，CF,∵E為AB的中點，∴EF為△PAB的中位線，∴EF∥PA.又PA?平面CEF,EF?平面CEF,∴PA∥平面CEF.反思與感悟平行、垂直也可以相互轉(zhuǎn)化，如圖．跟蹤訓(xùn)練3在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點,EF∥DB.(1)已知AB＝BC,AE＝EC。求證：AC⊥FB；（2)已知G，H分別是EC和FB的中點．求證：GH∥平面ABC.證明（1）因為EF∥DB，所以EF與DB確定平面BDEF,如圖,連結(jié)DE。因為AE＝EC,D為AC的中點，所以DE⊥AC。同理可得BD⊥AC。又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因為FB?平面BDEF,所以AC⊥FB。(2）設(shè)FC的中點為I,連結(jié)GI,HI.在△CEF中,因為G是CE的中點，所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB。在△CFB中，因為H是FB的中點，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I,所以平面GHI∥平面ABC,因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC。類型四空間幾何體的表面積與體積例4如圖，從底面半徑為2a,高為eq\r(3）a的圓柱中，挖去一個底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐，求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比．解由題意知，S1＝2π×2a×eq\r(3)a＋2π×(2a)2＝(4eq\r（3）＋8）πa2，S2＝S1＋πaeq\r(\r(3）a2＋a2)－πa2＝（4eq\r(3)＋9）πa2，∴S1∶S2＝（4eq\r(3)＋8)∶（4eq\r（3)＋9）．反思與感悟空間幾何體的體積與表面積的計算方法(1）等積變換法：三棱錐也稱為四面體,它的每一個面都可作底面來處理，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行換底等積變換便于問題的求解．（2)割補(bǔ)法：像求平面圖形的面積一樣，割補(bǔ)法是求幾何體體積的一個重要方法，“割”就是將幾何體分割成幾個熟悉的柱、錐、臺體或它們的組合體;“補(bǔ)”就是通過補(bǔ)形，使它轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體．總之，割補(bǔ)法的核心思想是將不熟悉的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體來解決．(3）展開法:把簡單幾何體沿一條側(cè)棱或母線展開成平面圖形，這樣便把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，可以有效地解決簡單空間幾何體的表面積問題或側(cè)面上(球除外）兩點間的距離問題．（4）構(gòu)造法:當(dāng)探究某些幾何體性質(zhì)較困難時，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對稱性比較好的幾何體,以此來研究所求幾何體的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練4如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，求三棱錐A1－AB1D1的高．解設(shè)三棱錐A1－AB1D1的高為h，則＝eq\f(1,3)h×eq\f（\r（3)，4)×(eq\r（2)a)2＝eq\f（\r(3)a2h,6)。又＝＝eq\f(1，3）a×eq\f（1,2）a2＝eq\f(a3,6)，所以eq\f（\r(3）a2h，6）＝eq\f（a3,6)，所以h＝eq\f（\r(3）,3）a.所以三棱錐A1－AB1D1的高為eq\f(\r（3)，3）a。1．如圖，AE⊥平面α，垂足為點E，BF⊥平面α，垂足為點F，l?α，C,D∈α，AC⊥l，則當(dāng)BD與l________時，平面ACE∥平面BFD。答案垂直解析當(dāng)BD⊥l時，由BF⊥l知，l⊥平面BDF.又同理可得l⊥平面ACE，所以平面ACE∥平面BFD.2．已知平面α∥β∥γ，兩條直線l，m分別與平面α,β，γ相交于點A,B，C和D，E,F，已知AB＝6,eq\f（DE,DF）＝eq\f（2，5），則AC＝________.答案15解析∵α∥β∥γ，∴eq\f（AB,BC)＝eq\f（DE,EF).由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE，EF）＝eq\f(2，3），∴eq\f（AB,BC）＝eq\f(2,3).而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.3．設(shè)m,n,l是三條不同的直線，α是一個平面，l⊥m，則下列說法正確的是________．(填序號）①若m?α，l⊥α，則m∥α；②若l⊥n，則m⊥n；③若l⊥n，則m∥n;④若m∥n，n?α，則l⊥α。答案①解析若l⊥m，l⊥n，則m與n可能平行，也可能相交或異面，即②③都不正確；由l⊥m,m∥n，可得l⊥n，不一定有l(wèi)⊥α，即④不正確;對①，可在l上取一點P，過P作m′∥m，則m′⊥l，m′與l確定一個平面β,β∩α＝a，由l⊥α,得l⊥a.又m′，a，l同在平面β內(nèi)，則由l⊥m′，l⊥a，得m′∥a,于是m∥a，又m?α,所以m∥α。故填①.4．已知圓錐的母線長為10cm，側(cè)面積為60πcm2,則此圓錐的體積為________cm3。答案96π解析圓錐的側(cè)面積為πrl＝10πr＝60π，得r＝6。則h＝eq\r(l2－r2）＝eq\r（102－62)＝8，所以圓錐的體積為eq\f（1，3)πr2h＝eq\f（1,3）π×62×8＝96π.5．如圖所示,PA⊥平面ABC,點C在以AB為直徑的圓O上，點E為線段PB的中點，點M在上，且OM∥AC。求證：(1)平面MOE∥平面PAC;（2)平面PAC⊥平面PCB。證明(1）因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，所以O(shè)E∥PA。因為PA?平面PAC，OE?平面PAC,所以O(shè)E∥平面PAC。因為OM∥AC,又AC?平面PAC，OM?平面PAC，所以O(shè)M∥平面PAC。因為OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O，所以平面MOE∥平面PAC.(2)因為點C在以AB為直徑的圓O上，所以∠ACB＝90°,即BC⊥AC.因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.因為AC?平面PAC,PA?平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC。因為BC?平面PCB,所以平面PAC⊥平面PCB。1．空間中平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化2．空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化3．空間角的求法(1）找異面直線所成角的三種方法①利用圖中已有的平行線平移．②利用特殊點（線段的端點或中點)作平行線平移．③補(bǔ)形平移．（2)線面角:求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，通常是解由斜線段、垂線段、斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形．一、填空題1．湖面上浮著一個球,湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個冰面直徑為24cm，深為8cm的空穴,則這個球的半徑為________cm。答案13解析冰面空穴是球的一部分，截面圖如圖所示，設(shè)球心為O，冰面圓的圓心為O1，球半徑為R,由圖知OB＝R，O1B＝eq\f（1，2）AB＝12,OO1＝OC－O1C＝R－8，在Rt△OO1B中，由勾股定理R2＝（R－8）2＋122,解得R＝13（cm)．2．用長、寬分別是3π和π的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面,則圓柱的表面積是________．答案3π2＋eq\f（9,2）π或3π2＋eq\f(1，2)π解析以長為π的邊為高時,底面半徑為eq\f(3，2),S＝3π2＋2·π·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝3π2＋eq\f(9,2)π。以長為3π的邊為高時，底面半徑為eq\f（1,2)，S＝3π2＋2·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）2＝3π2＋eq\f(1，2）π.3．已知l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是________．(填序號）①l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3；②l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3；③l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面；④l1，l2，l3共點?l1,l2，l3共面．答案②解析當(dāng)l1⊥l2，l2⊥l3時,l1與l3平行或相交或異面，故①不正確；當(dāng)l1⊥l2，l2∥l3時,l1⊥l3，故②正確;當(dāng)l1∥l2∥l3，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱所在的直線，故③不正確；當(dāng)l1，l2，l3共點時，l1,l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱所在的直線，故④不正確．4.如圖所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，高為8,則一質(zhì)點從A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點的最短路徑的長為________．答案10解析如圖所示，將兩個三棱柱的側(cè)面沿側(cè)棱AA1展開并拼接，則最短路徑為l＝eq\r（62＋82)＝10.5.如圖，在四面體P-ABC中，PA＝PB＝eq\r(13）,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6,則PC＝________。答案7解析取AB的中點D，連結(jié)PD，∵PA＝PB，∴PD⊥AB.∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB,PD?平面PAB,∴PD⊥平面ABC.連結(jié)DC，則△PDC為直角三角形，在Rt△ABC中，AB＝eq\r（AC2－BC2）＝eq\r（82－62)＝2eq\r（7）,在Rt△DBC中,DC＝eq\r(BC2＋BD2)＝eq\r(62＋\r（7）2）＝eq\r(43)，∴PD＝eq\r(PA2－AD2）＝eq\r（13－7)＝eq\r（6)，∴PC＝eq\r(DC2＋PD2)＝eq\r（\r(43)2＋\r（6)2)＝7.6．一個正四面體木塊如圖所示,點P是棱VA的中點，過點P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC,若木塊的棱長為a，則截面面積為________．答案eq\f（a2,4）解析在平面VAC內(nèi)作直線PD∥AC，交VC于點D，在平面VBA內(nèi)作直線PF∥VB，交AB于點F,過點D作直線DE∥VB，交BC于點E，連結(jié)EF.∵PF∥DE，∴P，D,E，F(xiàn)四點共面，且平面PDEF與VB和AC都平行,則四邊形PDEF是邊長為eq\f（1，2）a的正方形，故其面積為eq\f（a2，4)。7．已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑,且SC＝2，則此棱錐的體積為________．答案eq\f（\r（2),6）解析由于三棱錐S－ABC與三棱錐O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S－ABC的高是三棱錐O－ABC高的2倍，所以三棱錐S－ABC的體積也是三棱錐O－ABC體積的2倍．在三棱錐O－ABC中，其棱長都是1，如圖所示，S△ABC＝eq\f(\r(3），4)×AB2＝eq\f(\r（3),4）,高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3），3）））2)＝eq\f（\r(6）,3），∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×eq\f(1，3）×eq\f(\r（3），4）×eq\f（\r（6),3）＝eq\f（\r(2),6）.8。如圖,已知點E,F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為________．考點二面角題點知題作角答案eq\f（\r（2），3)解析在平面BC1內(nèi)延長FE，CB，相交于點G，連結(jié)AG，過點B作BH垂直AG于點H，連結(jié)EH.∵BE⊥平面ABCD，AG?平面ABCD，∴BE⊥AG.∵BH⊥AG，BH∩EB＝B,∴AG⊥平面BEH，∴AG⊥EH。故∠BHE是平面AEF與平面ABC所成二面角的平面角．設(shè)正方體的棱長為a,則BE＝eq\f(a，3)，CF＝eq\f(2，3)a，∴GB∶GC＝BE∶CF＝1∶2,∴BG＝a，∴BH＝eq\f(\r（2),2)a，故tan∠BHE＝eq\f(BE,BH)＝eq\f（\f(a,3）,\f（\r（2），2)a)＝eq\f(\r（2）,3)。9．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,M是DD1的中點,則下列結(jié)論正確的是________．（填序號)①直線A1M與直線B1C為異面直線；②直線BD1⊥平面AB1C；③平面AMC⊥平面AB1C；④直線A1M∥平面AB1C.答案①②③解析由異面直線的定義，所以①正確；易證明BD1⊥AB1，BD1⊥AC，所以BD1⊥平面AB1C，所以②正確;連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)OM，可以證明OM∥BD1，所以O(shè)M⊥平面AB1C，可得平面AMC⊥平面AB1C，所以③正確;由題意，得直線A1M與平面AB1C相交,所以④不正確．10。一個水平放置的圓柱形儲油桶(如圖所示),桶內(nèi)有油部分所在圓弧占底面圓周長的eq\f（1,4)，則當(dāng)油桶直立時，油的高度與桶的高度的比值是________．答案eq\f（1,4）－eq\f（1，2π）解析設(shè)圓柱桶的底面半徑為R，高為h，油桶直立時油面的高度為x，由題意知，油部分所在圓弧對應(yīng)的扇形的圓心角為eq\f(π,2）,則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，4)πR2－\f（1，2)R2）)h＝πR2x，所以eq\f（x,h)＝eq\f(1，4)－eq\f（1，2π).二、解答題11．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上,A1E＝D1F＝4。過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．（1）在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由）；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示．(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4,EB1＝12，EM＝AA1＝8。因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10。于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6,AH＝10，HB＝6.故＝eq\f(1，2)×(4＋10）×8＝56,＝eq\f（1，2）×（12＋6）×8＝72.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq\f（9，7)（eq\f（7,9）也正確）．12．在三棱錐P－ABC中,PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2,BC＝2eq\r(3）,M，N分別為BC，AB的中點．(1）求證:MN∥平面PAC;（2）求證:平面PBC⊥平面PAM；(3)在AC上是否存在點E，使得ME⊥平面PAC,若存在,求出ME的長，若不存在，請說明理由．(1）證明因為M，N分別為BC，AB的中點，所以MN∥AC.又因為MN?平面PAC,AC?平面PAC,所以MN∥平面PAC.(2)證明因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC,所以PA⊥BC.因為AB＝AC＝2，M為BC的中點,所以AM⊥BC.因為AM∩PA＝A，所以BC⊥平面PAM.因為BC?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAM。(3）解存在．過點M作ME⊥AC交AC于點E，因為PA⊥平面ABC，ME?平面ABC，所以PA⊥ME.又因為ME⊥AC，AC∩PA＝A，所以ME⊥平面PAC.因為在△ABC中，AB＝AC＝2,BC＝2eq\r(3)，M為BC的中點,所以ME＝eq\f（\r（3）,2).13。如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥CD,AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝eq\f（1,2)AD.(1）在平面PAD內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PAB，并說明理由;(2）證明：平面PAB⊥平面PBD。(1）解取棱AD的中點M(M∈平面PAD），點M即為所求的一個點,理由如下：因為AD∥BC，BC＝eq\f（1,2)AD.所以BC∥AM,且BC＝AM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB.又AB?平面PAB，CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB。（2)證明連結(jié)BM。由已知，PA⊥AB，PA⊥CD。因為AD∥BC，BC＝eq\f(1,2）AD，所以直線AB與CD相交,所以PA⊥平面ABCD。從而PA⊥BD。因為AD∥BC,BC＝eq\f（1,2）AD，所以BC∥MD，且BC＝MD。所