2018-2019學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)選修1-2同步學(xué)案：第三章 1.2 類比推理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2類比推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解類比推理的含義，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的類比推理。2.正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用．知識(shí)點(diǎn)一類比推理思考科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)更替；(3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存等．由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在．他們使用了什么樣的推理？答案類比推理．梳理類比推理的定義及特征定義由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征,在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過(guò)程稱為類比推理特征①類比推理是兩類事物特征之間的推理;②利用類比推理得出的結(jié)論不一定是正確的知識(shí)點(diǎn)二合情推理思考?xì)w納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系?答案區(qū)別:歸納推理是由特殊到一般的推理；而類比推理是由個(gè)別到個(gè)別的推理或是由特殊到特殊的推理．聯(lián)系：在前提為真時(shí),歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假．梳理合情推理的定義及分類定義：根據(jù)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（定義、公理、定理等)，推測(cè)出某些結(jié)果的推理方式．分類：常見(jiàn)的合情推理有歸納推理與類比推理．1．由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)四面體的性質(zhì)是類比推理．（√)2．類比推理是從特殊到特殊的推理．(√）3．合乎情理的推理一定是正確的．（×)類型一平面圖形與立體圖形間的類比例1如圖所示,面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為ai(i＝1,2，3,4),此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離記為hi（i＝1,2,3，4）,若eq\f（a1,1)＝eq\f（a2，2)＝eq\f(a3,3）＝eq\f(a4，4）＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f（2S，k）,類比以上性質(zhì),體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si（i＝1，2，3，4)，若eq\f(S1，1)＝eq\f(S2，2）＝eq\f(S3，3)＝eq\f(S4，4)＝K，則H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)類比推理的方法、形式和結(jié)論解對(duì)平面凸四邊形：S＝eq\f（1，2)a1h1＋eq\f（1，2）a2h2＋eq\f(1,2）a3h3＋eq\f(1,2）a4h4＝eq\f(1,2）(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)＝eq\f(k,2)(h1＋2h2＋3h3＋4h4），所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝eq\f（2S,k)；類比在三棱錐中，V＝eq\f(1，3）S1H1＋eq\f（1，3）S2H2＋eq\f（1,3)S3H3＋eq\f（1，3)S4H4＝eq\f(1,3)（KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4）＝eq\f（K，3)（H1＋2H2＋3H3＋4H4），故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝eq\f（3V，K)。反思與感悟（1）類比推理的一般步驟（2)中學(xué)階段常見(jiàn)的類比知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列，空間與平面,圓與球等等，比如平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何的相關(guān)類比點(diǎn)如下:平面圖形空間圖形點(diǎn)直線直線平面邊長(zhǎng)面積面積體積三角形四面體線線角面面角跟蹤訓(xùn)練1在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB,AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空間(如圖），類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的結(jié)論是_____________________________________________．考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案設(shè)三棱錐A—BCD的三個(gè)側(cè)面ABC，ACD，ADB兩兩互相垂直,則Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al（2,△ACD)＋Seq\o\al（2，△ADB)＝Seq\o\al(2,△BCD)解析類比條件:兩邊AB，AC互相垂直eq\o(→,\s\up7（平面→空間、邊垂直→面垂直））側(cè)面ABC,ACD，ADB互相垂直．結(jié)論：AB2＋AC2＝BC2eq\o(→,\s\up7（邊長(zhǎng)→面積)）Seq\o\al（2，△ABC)＋Seq\o\al（2,△ACD）＋Seq\o\al（2，△ADB）＝Seq\o\al（2,△BCD）。類型二數(shù)列中的類比推理例2在等差數(shù)列｛an｝中，若a10＝0,證明：等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n〈19，n∈N＋）成立，并類比上述性質(zhì)相應(yīng)的在等比數(shù)列{bn｝中,若b9＝1，則有等式_____成立．考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n〈17，n∈N＋)解析在等差數(shù)列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18,…，a19－n＝－an＋1,∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n。相應(yīng)地,類比此性質(zhì)在等比數(shù)列｛bn｝中，可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．反思與感悟(1)運(yùn)用類比思想找出項(xiàng)與項(xiàng)的聯(lián)系，應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解題是解決該題的關(guān)鍵．（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列有非常類似的運(yùn)算和性質(zhì)，一般情況下等差數(shù)列中的和（或差）對(duì)應(yīng)著等比數(shù)列中的積(或商)．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列｛bn}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則T4，________，________，eq\f（T16，T12）成等比數(shù)列．考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案eq\f(T8,T4）eq\f（T12，T8）解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列時(shí)，類比等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積成等比數(shù)列．下面證明該結(jié)論的正確性：設(shè)等比數(shù)列｛bn｝的公比為q,首項(xiàng)為b1，則T4＝beq\o\al(4，1）q6，T8＝beq\o\al（8,1)q1＋2＋…＋7＝beq\o\al(8,1）q28，T12＝beq\o\al（12，1）q1＋2＋…＋11＝beq\o\al（12,1）q66，T16＝beq\o\al（16，1)q1＋2＋…＋15＝beq\o\al(16，1)q120，∴eq\f(T8，T4）＝beq\o\al（4，1）q22，eq\f（T12,T8)＝beq\o\al(4,1)q38，eq\f(T16,T12）＝beq\o\al（4，1）q54，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（T8,T4)）)2＝eq\f(T12,T8）·T4，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（T12，T8）)）2＝eq\f(T8,T4）·eq\f（T16,T12)，故T4,eq\f(T8，T4)，eq\f(T12,T8），eq\f（T16,T12）成等比數(shù)列．類型三定義、定理或性質(zhì)中的類比例3下列是用類比推理得出的結(jié)論：①由“a＝b?ac＝bc"類比得到“a>b?ac〉bc”；②由“a（b＋c）＝ab＋ac”類比得到“sin(A＋B）＝sinA＋sinB"；③由“平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線相互平行”，類比得到“空間中，垂直于同一直線的兩直線相互平行”；④由“分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘一個(gè)非零的數(shù)，分?jǐn)?shù)值不變”類比得到“分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘一個(gè)非零的式子，分?jǐn)?shù)值不變”．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(）A．0B．1C．2D．3考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)類比推理的方法、形式和結(jié)論答案B解析當(dāng)c≤0時(shí)，①中類比的結(jié)論不正確；顯然②中類比的結(jié)論不正確;空間中，垂直于同一直線的兩直線可能平行，可能相交，也可能異面，故③中類比的結(jié)論不一定成立；④中類比的結(jié)論是正確的．反思與感悟運(yùn)用類比推理常常先要尋找合適的類比對(duì)象，例如實(shí)數(shù)加法的對(duì)象為實(shí)數(shù)，向量加法的對(duì)象為向量，且都滿足交換律與結(jié)合律，都存在逆運(yùn)算,而且實(shí)數(shù)0與零向量分別在實(shí)數(shù)加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我們可以從這四個(gè)方面進(jìn)行類比．跟蹤訓(xùn)練3若橢圓的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B，右頂點(diǎn)為A，當(dāng)FB⊥AB時(shí),其離心率為eq\f（\r（5)－1,2）,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓"，可推算出“黃金雙曲線”的離心率為(）A。eq\f（\r(5）＋1,2) B。eq\f（\r(5)－1,2）C.eq\r（5）－1 D。eq\r(5)＋1考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)類比推理的方法、形式和結(jié)論答案A解析在Rt△ABF中，由AB⊥BF可得eq\f（AO，OB）＝eq\f（OB,OF)，則b2＝ac,即c2－a2＝ac,可得e2－e＝1,又由e>1，則e＝eq\f（\r（5）＋1，2)。1．下列平面圖形中，與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較合適的是()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析因?yàn)槠叫辛骟w相對(duì)的兩個(gè)面互相平行，類比平面圖形，則相對(duì)的兩條邊互相平行，故選C.2．下面使用類比推理，得出的結(jié)論正確的是（)A．若“a·3＝b·3，則a＝b"類比出“若a·0＝b·0，則a＝b"B．“若(a＋b）c＝ac＋bc"類比出“（a·b)c＝ac·bc”C．“若（a＋b)c＝ac＋bc"類比出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a，c）＋eq\f（b，c)（c≠0)”D．“(ab)n＝anbn"類比出“（a＋b)n＝an＋bn”考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)類比推理的方法、形式和結(jié)論答案C解析顯然A，B，D不正確，只有C正確．3．根據(jù)“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)"，可類比猜想出正四面體的內(nèi)切球切于四面體()A．各正三角形內(nèi)一點(diǎn)B．各正三角形的某高線上的點(diǎn)C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某點(diǎn)考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析正四面體的四個(gè)面都是正三角形，其內(nèi)切球與正四面體的四個(gè)面相切于各正三角形的中心．4．若等差數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn＝eq\f(n，2)（a1＋an），類似地正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積Tn等于() C.eq\f(n，2)（b1＋bn) D.eq\f（n，2）（b1bn）考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案B解析等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f（n，2)(a1＋an),因?yàn)榈炔顢?shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積，所以各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積Tn＝，故選B。5．已知圓：x2＋y2＝r2上任意一點(diǎn)（x0，y0)處的切線方程為x0x＋y0y＝r2，類比以上結(jié)論有：雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2）＝1上任意一點(diǎn)(x0，y0）處的切線方程為_(kāi)_______．考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面曲線之間的類比答案eq\f（x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1解析圓x2＋y2＝r2上任意一點(diǎn)（x0，y0)處的切線方程為x0x＋y0y＝r2,可以看作是由x0x代替圓的方程中的x2,由y0y代替y2而得,故類比過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程，可類比推理得出過(guò)雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f（y2,b2）＝1上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y，b2)＝1。1．進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上思考，不要被表面現(xiàn)象所迷惑,否則，只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤．2．多用下列技巧會(huì)提高所得結(jié)論的準(zhǔn)確性（1）類比對(duì)象的共同屬性或相似屬性盡可能的多些．（2)這些共同屬性或相似屬性應(yīng)是類比對(duì)象的主要屬性．（3）這些共同（相似）屬性應(yīng)包括類比對(duì)象的各個(gè)方面，并盡可能是多方面．一、選擇題1．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)之比為1∶2，則它們的面積之比為1∶4，類似地，在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)之比為1∶2,則它們的體積之比為（）A．1∶4B．1∶6C．1∶8D．1∶9考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)之比為1∶2，則它們的面積之比為1∶4，類似地，由平面圖形面積類比立體圖形的體積,得出在空間內(nèi),若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)之比為1∶2，則它們的底面積之比為1∶4，對(duì)應(yīng)高之比為1∶2，所以體積之比為1∶8，故選C。2．已知｛bn｝為等比數(shù)列，b5＝2，則b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2,則｛an｝的類似結(jié)論為()A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29B．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1a2a3…a9＝2×9D．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案D3．我們知道：在平面內(nèi),點(diǎn)（x0，y0）到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式為d＝eq\f(｜Ax0＋By0＋C｜，\r（A2＋B2））,通過(guò)類比的方法可求得：在空間中，點(diǎn)（2,4,1）到直線x＋2y＋2z＋3＝0的距離為(）A．3B．5C.eq\f（5\r（21），7）D．3eq\r（5）考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面曲線之間的類比答案B解析類比點(diǎn)P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(｜Ax0＋By0＋C｜，\r（A2＋B2))，可知在空間中,點(diǎn)P(x0,y0，z0）到直線Ax＋By＋Cz＋D＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D｜,\r(A2＋B2＋C2）)，點(diǎn)(2,4,1）到直線x＋2y＋2z＋3＝0的距離d＝eq\f（|2＋8＋2＋3|，\r（1＋4＋4）)＝5,故選B.4．設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓的半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體A－BCD的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4,內(nèi)切球的半徑為R,四面體A－BCD的體積為V，則R等于(）A。eq\f（V,S1＋S2＋S3＋S4） B。eq\f（2V,S1＋S2＋S3＋S4）C。eq\f（3V，S1＋S2＋S3＋S4) D.eq\f（4V,S1＋S2＋S3＋S4）考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn),分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐的體積的和．則四面體的體積為V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4）R，∴R＝eq\f(3V，S1＋S2＋S3＋S4）。5．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB＝a，CD＝b（a>b)．若EF∥AB,EF到CD與AB的距離之比為m∶n，則可推算出：EF＝eq\f（ma＋nb,m＋n），用類比的方法，推想出下列問(wèn)題的結(jié)果，在上面的梯形ABCD中，延長(zhǎng)梯形的兩腰AD和BC交于O點(diǎn),設(shè)△OAB，△OCD的面積分別為S1，S2,EF∥AB，且EF到CD與AB的距離之比為m∶n，則△OEF的面積S0與S1,S2的關(guān)系是（）A．S0＝eq\f（mS1＋nS2,m＋n) B．S0＝eq\f（nS1＋mS2,m＋n)C.eq\r（S0）＝eq\f(m\r(S1)＋n\r(S2）,m＋n) D。eq\r（S0）＝eq\f(n\r(S1)＋m\r(S2)，m＋n）考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析在平面幾何中類比幾何性質(zhì)時(shí),一般為：由平面幾何中點(diǎn)的性質(zhì)，類比推理空間幾何中線的性質(zhì)；由平面幾何中線段的性質(zhì)，類比推理空間幾何中面積的性質(zhì)，故由“EF＝eq\f(ma＋nb，m＋n）”，類比到關(guān)于△OEF的面積S0與S1，S2的結(jié)論是eq\r(S0）＝eq\f(m\r（S1)＋n\r（S2），m＋n）。故選C。6．已知雙曲線正弦函數(shù)shx＝eq\f(ex－e－x，2）和雙曲線余弦函數(shù)chx＝eq\f(ex＋e－x,2)與我們學(xué)過(guò)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)，則下列類比結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．shx為奇函數(shù)，chx為偶函數(shù)B．sh2x＝2shxchxC．sh(x－y)＝shxchy－chxshyD．ch（x－y）＝chxchy＋shxshy考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)類比推理的方法、形式和結(jié)論答案D解析容易驗(yàn)證A，B，C正確,∵eq\f（ex＋e－x，2）×eq\f(ey＋e－y,2）＋eq\f（ex－e－x,2）×eq\f（ey－e－y,2)＝eq\f（1，4）（ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y＋ex＋y－ex－y－e－x＋y＋e－x－y)＝eq\f(1,4）（2ex＋y＋2e－x－y）＝eq\f(1,2）(ex＋y＋e－x－y）＝ch(x＋y)，∴ch（x－y)＝chx·chy－shx·shy，故選D.二、填空題7．等差數(shù)列有如下性質(zhì)：若數(shù)列{an｝為等差數(shù)列，則當(dāng)bn＝eq\f（a1＋a2＋…＋an,n）時(shí),數(shù)列｛bn}也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì),相應(yīng)地，若數(shù)列{cn}是正項(xiàng)等比數(shù)列,當(dāng)dn＝________時(shí)，數(shù)列{dn｝也是等比數(shù)列．考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案eq\r（n，c1·c2·c3·…·cn)解析在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，我們一般的思路有：由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法,由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等,故我們可以由數(shù)列{an｝是等差數(shù)列，則當(dāng)bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an，n)時(shí)，數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，類比推斷：若數(shù)列{cn｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)dn＝eq\r(n，c1·c2·c3·…·cn)時(shí)，數(shù)列{bn｝也是等比數(shù)列．8．已知taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，4））)＝eq\f（1＋tanx,1－tanx)且tanx是以π為周期的周期函數(shù)．若a≠0，且f(x＋a)＝eq\f（1＋fx，1－fx）,通過(guò)類比，f（x）是以T＝________為周期的周期函數(shù)．考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)性質(zhì)之間的類比答案4a(答案不唯一）解析類比taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，4））)＝eq\f（1＋tanx,1－tanx）與f(x＋a）＝eq\f(1＋fx，1－fx）可知，eq\f（π，4)與a對(duì)應(yīng)．而tanx是以π＝4×eq\f（π，4)為周期的周期函數(shù)，所以猜想f（x)應(yīng)是以T＝4a為周期的周期函數(shù)．事實(shí)上f（x＋2a）＝eq\f(1＋fx＋a,1－fx＋a）＝eq\f(1＋\f(1＋fx，1－fx)，1－\f(1＋fx,1－fx）)＝－eq\f(1,fx）。所以f（x＋4a）＝－eq\f（1，fx＋2a)＝f（x）．故此類比猜想正確．9．已知點(diǎn)A(x1,2),B（x2，2)是函數(shù)y＝2x的圖像上任意不同的兩點(diǎn)，依據(jù)圖像可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論成立．運(yùn)用類比思想方法可知,若點(diǎn)A(x1，sinx1），B（x2,sinx2）是函數(shù)y＝sinx（x∈(0,π)）的圖像上的不同兩點(diǎn),則有____________________成立．考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)類比推理的方法、形式和結(jié)論答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2)解析函數(shù)y＝sinx（x∈（0，π））的圖像是向上凸的，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的下方,故由類比推理可知，eq\f(sinx1＋sinx2,2）<sineq\f(x1＋x2,2)。10．我們知道：周長(zhǎng)一定的所有矩形中,正方形的面積最大;周長(zhǎng)一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是________．考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案表面積一定的所有長(zhǎng)方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長(zhǎng)方體和球中，球的體積最大解析平面圖形與立體圖形的類比：周長(zhǎng)→表面積,正方形→正方體，面積→體積，矩形→長(zhǎng)方體，圓→球．11．“若直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，將其補(bǔ)成一個(gè)矩形，則根據(jù)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)可求得該直角三角形外接圓的半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2)，2）”．對(duì)于“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,側(cè)棱長(zhǎng)分別為a，b,c”，類比上述處理方法，可得該三棱錐的外接球的半徑R＝_________。答案eq\f（\r(a2＋b2＋c2）,2）解析由求直角三角形外接圓的半徑的方法，通過(guò)類比得出求三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐外接球的半徑的方法為：首先將該三棱錐補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，而長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)就是三棱錐的外接球的直徑，從而得出該三棱錐的外接球的半徑R＝eq\f（\r（a2＋b2＋c2),2）.三、解答題12．在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，cos2α＋cos2β＝1，則在立體幾何中，給出類比猜想并證明．考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比解在長(zhǎng)方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a,c）））2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(b,c))）2＝eq\f（a2＋b2，c2）＝eq\f（c2，c2)＝1.于是類比到長(zhǎng)方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.證明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(m，l））)2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(n,l）)）2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（g，l））)2＝eq\f(m2＋n2＋g2，l2)＝eq\f(l2,l2）＝1。13．閱讀以下求1＋2＋3＋…＋n的值的過(guò)程．因?yàn)椋╪＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，…，22－12＝2×1＋1，以下各式相加得:（n＋1）2－1＝2×（1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n2＋2n－n，2)＝eq\f(nn＋1,2)，類比上述過(guò)程，求12＋22＋32＋…＋n2。（參考公式：n3－（n－1）3＝3n2－3n＋1)考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)類比推理的方法、形式和結(jié)論解∵23－13＝3·22－3·2＋1，33－23＝3·32－3·3＋1，…，n3－(n－1）3＝3n2－3n＋1，把這n－1個(gè)式子相加可得:n3－1＝3×(22＋32＋…＋n2)－3×(2＋3＋…＋n）＋(n－1），由此可得：n3－1＝3（12＋22＋32＋…＋n2)－3(1＋2＋3＋…＋n）＋(n－1)，即12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f（1,3）eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(n3－1＋\f(3,2）nn＋1－n－1）)，∴12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f（1，3)n3＋eq\f（1，2）n2＋eq\f(1,6)n.四、探究與拓展14．現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒