六年級奧數(shù)題及答案解析

濟南小學(xué)六年級奧數(shù)題和答案解析：濃度問題1.濃度問題

2.濃度應(yīng)用題

乙兩只裝滿硫酸溶液的容器，甲容器中裝有濃度為8％的硫酸溶液600千克，乙容器中裝有濃度為40％的硫酸溶液400千克.各取多少千克分別放入對方容器中，才能使這兩個容器中的硫酸溶液的濃度一樣？

由題意知，從甲、乙兩容器中各取出一定量的溶液放入對方容器中，最終要達到兩容器中溶液的濃度相等，在這個變化過程中，兩容器中溶液的重量并沒有改變。

不妨設(shè)從甲、乙兩容器中各取出硫酸溶液x千克放入對方容器中，可使甲、乙兩容器中硫酸溶液的濃度相等.這時甲容器中硫酸的重量可表示為（600-x）×8％＋x·40％=48＋32％·x.甲容器中溶液的濃

答：應(yīng)從兩容器中各取出240千克溶液放入對方容器中，才能使兩容器中硫酸溶液的濃度相同。

上述問題還可以這樣考慮：

由于交換前后兩容器中溶液的重量均沒有改變，而交換一定量的硫酸溶液其目的是將原來兩容器中溶液的濃度由不同變?yōu)橄嗤?，而且交換前后兩容器內(nèi)溶液的重量之和也沒有改變，根據(jù)這個條件我們可以先計算出兩容器中的溶液濃度達到相等時的數(shù)值，從而再計算出應(yīng)交換的溶液的量：

甲容器中純硫酸的重量為600×8％=48（千克）；

乙容器中純硫酸的重量為400×40％=160（千克）；

兩容器中純硫酸的重量和為48＋160=208千克，硫酸溶液的重量和為600＋400=1000千克。

兩容器中溶液混合后濃度為208÷1000=20.8％。

所以應(yīng)交換的硫酸溶液的量為：

（600×20.8％-600×8％）÷（40％-8％）=240（千克）

答：應(yīng)從兩容器中各取出240千克放入對方容器中，才能使兩容器中硫酸溶液的濃度一樣。

3.應(yīng)用題

育紅小學(xué)四年級學(xué)生比三年級學(xué)生多25％，五年級學(xué)生比四年級學(xué)生少10％，六年級學(xué)生比五年級學(xué)生多10％。如果六年級學(xué)生比三年級學(xué)生多38人，則三至六年級共有多少名學(xué)生？

分析：以三年級學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，則四年級是三年級的125％，五年級是三年級的125％×（1-10％），六年級是三年級的125％×（1-10％）×（1+10％）。因為已知六年級比三年級多38人，所以可根據(jù)六年級的人數(shù)列方程。

解：設(shè)三年級有x名學(xué)生，根據(jù)六年級的人數(shù)可列方程：

x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38，

x×125％×90％×110％=x+38，

1.2375x=x+38，

0.2375x=38，

x=160。

三年級有160名學(xué)生。

四年級有學(xué)生160×125％=200（名）。

五年級有學(xué)生200×（1-10％）＝180（名）。

六年級有學(xué)生160+38=198（名）。

160+200+180+198=738（名）。

答：三至六年級共有學(xué)生738名。工程問題1．甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？解：1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率9/80×5＝45/80表示5小時后進水量1-45/80＝35/80表示還要的進水量35/80÷（9/80-1/10）＝35表示還要35小時注滿答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。2．修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九?，F(xiàn)在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能少，則兩隊要合作幾天？解：由題意得，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。又因為，要求“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實在來不和的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”。設(shè)合作時間為x天，則甲獨做時間為（16-x）天1/20*（16-x）+7/100*x＝1x＝10答：甲乙最短合作10天3．一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成?，F(xiàn)在先請甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？解：由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量（1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。根據(jù)“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小時的工作量。1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。1÷1/20＝20小時表示乙單獨完成需要20小時。答：乙單獨完成需要20小時。4．一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，則恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，則完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？解：由題意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天）1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因為前面的工作量都相等）得到1/甲＝1/乙×2又因為1/乙＝1/17所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天5．師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當(dāng)師傅完成了任務(wù)時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？答案為300個120÷（4/5÷2）＝300個可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，則徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個。6．一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？答案是15棵算式：1÷（1/6-1/10）＝15棵7．一個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完。現(xiàn)在先打開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時，打開乙,丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？答案45分鐘。1÷（1/20+1/30）＝12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進的水。1/2÷18＝1/36表示甲每分鐘進水最后就是1÷（1/20-1/36）＝45分鐘。8．某工程隊需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾天？答案為6天解：由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量＝甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3時間比的差是1份實際時間的差是3天所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期方程方法：[1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1解得x＝69．兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？答案為40分鐘。解：設(shè)停電了x分鐘根據(jù)題意列方程1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2解得x＝40二．雞兔同籠問題1．雞與兔共100只,雞的腿數(shù)比兔的腿數(shù)少28條,問雞與兔各有幾只解：4*100＝400，400-0＝400假設(shè)都是兔子，一共有400只兔子的腳，則雞的腳為0只，雞的腳比兔子的腳少400只。400-28＝372實際雞的腳數(shù)比兔子的腳數(shù)只少28只，相差372只，這是為什么？4+2＝6這是因為只要將一只兔子換成一只雞，兔子的總腳數(shù)就會減少4只（從400只變?yōu)?96只），雞的總腳數(shù)就會增加2只（從0只到2只），它們的相差數(shù)就會少4+2＝6只（也就是原來的相差數(shù)是400-0＝400，現(xiàn)在的相差數(shù)為396-2＝394，相差數(shù)少了400-394＝6）372÷6＝62表示雞的只數(shù)，也就是說因為假設(shè)中的100只兔子中有62只改為了雞，所以腳的相差數(shù)從400改為28，一共改了372只100-62＝38表示兔的只數(shù)三．?dāng)?shù)字數(shù)位問題1．把1至2005這2005個自然數(shù)依次寫下來得到一個多位數(shù)123456789.....2005,這個多位數(shù)除以9余數(shù)是多少解：首先研究能被9整除的數(shù)的特點：如果各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，則這個數(shù)也能被9整除；如果各個位數(shù)字之和不能被9整除，則得的余數(shù)就是這個數(shù)除以9得的余數(shù)。解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除依次類推：1~1999這些數(shù)的個位上的數(shù)字之和可以被9整除10~19，20~29……90~99這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，則十位上的數(shù)字之和就是10+20+30+……+90=450它有能被9整除同樣的道理，100~900百位上的數(shù)字之和為4500同樣被9整除也就是說1~999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個位上的數(shù)字之和可以被9整除；同樣的道理：1000~1999這些連續(xù)的自然數(shù)中百位、十位、個位上的數(shù)字之和可以被9整除（這里千位上的“1”還沒考慮，同時這里我們少22從1000~1999千位上一共999個“1”的和是999，也能整除；22的各位數(shù)字之和是27，也剛好整除。最后答案為余數(shù)為0。2．A和B是小于100的兩個非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值...解：(A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=1-2*B/(A+B)前面的1不會變了，只需求后面的最小值，此時(A-B)/(A+B)最大。對于B/(A+B)取最小時，(A+B)/B取最大，問題轉(zhuǎn)化為求(A+B)/B的最大值。(A+B)/B=1+A/B，最大的可能性是A/B=99/1(A+B)/B=100(A-B)/(A+B)的最大值是：98/1003．已知A.B.C都是非0自然數(shù),A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,則它的準(zhǔn)確值是多少答案為6.375或6.4375因為A/2+B/4+C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個整數(shù)，可能是102，也有可能是103。當(dāng)是102時，102/16＝6.375當(dāng)是103時，103/16＝6.43754．一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個位數(shù)字大1.如果把這個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào),得到一個新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).答案為476解：設(shè)原數(shù)個位為a，則十位為a+1，百位為16-2a根據(jù)題意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198解得a＝6，則a+1＝716-2a＝4答：原數(shù)為476。5．一個兩位數(shù),在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來的兩位數(shù).答案為24解：設(shè)該兩位數(shù)為a，則該三位數(shù)為300+a7a+24＝300+aa＝24答：該兩位數(shù)為24。6．把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰好是某自然數(shù)的平方,這個和是多少答案為121解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b，則新兩位數(shù)為10b+a它們的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）因為這個和是一個平方數(shù)，可以確定a+b＝11因此這個和就是11×11＝121答：它們的和為121。7．一個六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的3倍,求原數(shù).答案為85714解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2，則新六位數(shù)為2abcde（字母上無法加橫線，請將整個看成一個六位數(shù)）再設(shè)abcde（五位數(shù)）為x，則原六位數(shù)就是10x+2，新六位數(shù)就是200000+x根據(jù)題意得，（200000+x）×3＝10x+2解得x＝85714所以原數(shù)就是857142答：原數(shù)為8571428．有一個四位數(shù),個位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個位數(shù)字與百位數(shù)字互換,千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù).答案為3963解：設(shè)原四位數(shù)為abcd，則新數(shù)為cdab，且d+b＝12，a+c＝9根據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376”可知abcd+2376=cdab,列豎式便于觀察abcd2376cdab根據(jù)d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。再觀察豎式中的個位，便可以知道只有當(dāng)d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4時成立。先取d＝3，b＝9代入豎式的百位，可以確定十位上有進位。根據(jù)a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。再觀察豎式中的十位，便可知只有當(dāng)c＝6，a＝3時成立。再代入豎式的千位，成立。得到：abcd＝3963再取d＝8，b＝4代入豎式的十位，無法找到豎式的十位合適的數(shù)，所以不成立。9．有一個兩位數(shù),如果用它去除以個位數(shù)字,商為9余數(shù)為6,如果用這個兩位數(shù)除以個位數(shù)字與十位數(shù)字之和,則商為5余數(shù)為3,求這個兩位數(shù).解：設(shè)這個兩位數(shù)為ab10a+b＝9b+610a+b＝5（a+b）+3化簡得到一樣：5a+4b＝3由于a、b均為一位整數(shù)得到a＝3或7，b＝3或8原數(shù)為33或78均可以10．如果現(xiàn)在是上午的10點21分,則在經(jīng)過28799...99(一共有20個9)分鐘之后的時間將是幾點幾分答案是10：20解：（28799……9（20個9）+1）/60/24整除，表示正好過了整數(shù)天，時間仍然還是10：21，因為事先計算時加了1分鐘，所以現(xiàn)在時間是10：20四．排列組合問題1．有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有（）A768種B32種C24種D2的10次方中解：根據(jù)乘法原理，分兩步：第一步是把5對夫妻看作5個整體，進行排列有5×4×3×2×1＝120種不同的排法，但是因為是圍成一個首尾相接的圈，就會產(chǎn)生5個5個重復(fù)，因此實際排法只有120÷5＝24種。第二步每一對夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對夫妻均有2種排法，總共又2×2×2×2×2＝32種綜合兩步，就有24×32＝768種。2若把英語單詞hello的字母寫錯了,則可能出現(xiàn)的錯誤共有()A119種B36種C59種D48種解：5全排列5*4*3*2*1=120有兩個l所以120/2=60原來有一種正確的所以60-1=59五．容斥原理問題1．有100種赤貧.其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,則,同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是()A43,25B32,25C32,15D43,11解：根據(jù)容斥原理最小值68+43-100＝11最大值就是含鐵的有43種2．在多元智能大賽的決賽中只有三道題.已知:(1)某校25名學(xué)生參加競賽,每個學(xué)生至少解出一道題;(2)在所有沒有解出第一題的學(xué)生中,解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍:(3)只解出第一題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出第一題的人數(shù)多1人;(4)只解出一道題的學(xué)生中,有一半沒有解出第一題,則只解出第二題的學(xué)生人數(shù)是()A，5B，6C，7D，8解：根據(jù)“每個人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。分別設(shè)各類的人數(shù)為a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①由（2）知：a2+a23＝（a3+a23）×2……②由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③由（4）知：a1＝a2+a3……④再由②得a23＝a2－a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥然后將④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3＝26由于a2、a3均表示人數(shù)，可以求出它們的整數(shù)解：當(dāng)a2＝6、5、4、3、2、1時，a3＝2、6、10、14、18、22又根據(jù)a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合條件的只有a2＝6，a3＝2。然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，總?cè)藬?shù)＝8+6+2+7+2＝25，檢驗所有條件均符。故只解出第二題的學(xué)生人數(shù)a2＝6人。3．一次考試共有5道試題。做對第1、2、3、、4、5題的分別占參加考試人數(shù)的95%、80%、79%、74%、85%。如果做對三道或三道以上為合格，則這次考試的合格率至少是多少？答案：和格率至少為71％。假設(shè)一共有100人考試100-95＝5100-80＝20100-79＝21100-74＝26100-85＝155+20+21+26+15＝87（表示5題中有1題做錯的最多人數(shù)）87÷3＝29（表示5題中有3題做錯的最多人數(shù)，即不和格的人數(shù)最多為29人）100-29＝71（和格的最少人數(shù)，其實都是全對的）和格率至少為71％六．抽屜原理、奇偶性問題1．一只布袋中裝有大小相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種，問最少要摸出幾只手套才能保證有3副同色的？解：可以把四種不同的顏色看成是4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有一副同色的，就是1個抽屜里至少有2只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后4個抽屜中還剩3只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有一副手套是同色的，以此類推。把四種顏色看做4個抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有1副就要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后，4個抽屜中還剩下3只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有1副是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）答：最少要摸出9只手套，才能保證有3副同色的。2．有四種顏色的積木若干，每人可任取1-2件，至少有幾個人去取，才能保證有3人能取得完全一樣？答案為21解：每人取1件時有4種不同的取法,每人取2件時,有6種不同的取法.當(dāng)有11人時,能保證至少有2人取得完全一樣:當(dāng)有21人時,才能保證到少有3人取得完全一樣.3．某盒子內(nèi)裝50只球，其中10只是紅色，10只是綠色，10只是黃色，10只是藍色，其余是白球和黑球，為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球，問：最少必須從袋中取出多少只球？解：需要分情況討論，因為無法確定其中黑球與白球的個數(shù)。當(dāng)黑球或白球其中沒有大于或等于7個的，則就是：6*4+10+1=35(個)如果黑球或白球其中有等于7個的，則就是：6*5+3+1＝34（個）如果黑球或白球其中有等于8個的，則就是：6*5+2+1＝33如果黑球或白球其中有等于9個的，則就是：6*5+1+1＝324．地上有四堆石子，石子數(shù)分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時各取出1個，然后都放入第四堆中，則，能否經(jīng)過若干次操作，使得這四堆石子的個數(shù)都相同（如果能請說明具體操作，不能則要說明理由）不可能。因為總數(shù)為1+9+15+31＝5656/4＝1414是一個偶數(shù)而原來1、9、15、31都是奇數(shù)，取出1個和放入3個也都是奇數(shù)，奇數(shù)加減若干次奇數(shù)后，結(jié)果一定還是奇數(shù)，不可能得到偶數(shù)（14個）。七．路程問題1．狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠，馬可以追上它？解：根據(jù)“馬跑4步的距離狗跑7步”，可以設(shè)馬每步長為7x米，則狗每步長為4x米。根據(jù)“狗跑5步的時間馬跑3步”，可知同一時間馬跑3*7x米＝21x米，則狗跑5*4x＝20米?？梢缘贸鲴R與狗的速度比是21x：20x＝21：20根據(jù)“現(xiàn)在狗已跑出30米”，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數(shù)是21-20＝1，現(xiàn)在求馬的21份是多少路程，就是30÷（21-20）×21＝630米2．甲乙輛車同時從ab兩地相對開出，幾小時后再距中點40千米處相遇？已知，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，求ab兩地相距多少千米？答案720千米。由“甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時”可知，相遇時甲行了10份，乙行了8份（總路程為18份），兩車相差2份。又因為兩車在中點40千米處相遇，說明兩車的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。3．在一個600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，若兩個人速度不變，還是在原來出發(fā)點同時出發(fā)，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和（50+150）÷2=100，表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數(shù)（150-50）/2=50，表示較慢的速度，方法是求和差問題中的較小數(shù)600÷100=6分鐘，表示跑的快者用的時間600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間4．慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來，則，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間？答案為53秒算式是（140+125)÷(22-17)=53秒可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車”就是快車車尾上的點追和慢車車頭的點，因此追和的路程應(yīng)該為兩個車長的和。5．在300米長的環(huán)形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？答案為100米300÷（5-4.4）＝500秒，表示追和時間5×500＝2500米，表示甲追到乙時所行的路程2500÷300＝8圈……100米，表示甲追和總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。6．一個人在鐵道邊，聽見遠處傳來的火車汽笛聲后，在經(jīng)過57秒火車經(jīng)過她前面，已知火車鳴笛時離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度（得出保留整數(shù)）答案為22米/秒算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米/秒關(guān)鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時車已經(jīng)從發(fā)聲音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。7．獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。正確的答案是獵犬至少跑60米才能追上。解：由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知當(dāng)獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步”可知同一時間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是說當(dāng)獵犬跑60米時候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完8．AB兩地,甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時從AB兩地相對行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達A地比甲到達B地要晚多少分鐘答案：18分鐘解：設(shè)全程為1,甲的速度為x乙的速度為y列式40x+40y=1x:y=5:4得x=1/72y=1/90走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘故得解9．甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。第一次相遇后兩車繼續(xù)行駛，各自到達對方出發(fā)點后立即返回。第二次相遇時離B地的距離是AB全程的1/5。已知甲車在第一次相遇時行了120千米。AB兩地相距多少千米？答案是300千米。解：通過畫線段圖可知，兩個人第一次相遇時一共行了1個AB的路程，從開始到第二次相遇，一共又行了3個AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分別是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。因此360÷（1+1/5）＝300千米從A地到B地，甲、乙兩人騎自行車分別需要4小時、6小時，現(xiàn)在甲乙分別AB兩地同時出發(fā)相向而行，相遇時距AB兩地中點2千米。如果二人分別至B地，A地后都立即折回。第二次相遇點第一次相遇點之間有（）千米10．一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時;逆流8小時。如果水流速度是每小時2千米，求兩地間的距離？解：（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率2÷1/48＝96千米表示總路程11．快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時，求甲乙兩地的路程。解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3時間比為3：4所以快車行全程的時間為8/4*3＝6小時6*33＝198千米12．小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車,結(jié)果慢了半小時.已知,騎車每小時12千米,乘車每小時30千米,問:甲乙兩地相距多少千米解：把路程看成1，得到時間系數(shù)去時時間系數(shù)：1/3÷12+2/3÷30返回時間系數(shù)：3/5÷12+2/5÷30兩者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相當(dāng)于1/2小時去時時間：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米）八．比例問題1．甲乙兩人在河邊釣魚,甲釣了三條,乙釣了兩條,正準(zhǔn)備吃,有一個人請求跟他們一起吃,于是三人將五條魚平分了,為了表示感謝,過路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快答案：甲收8元，乙收2元。解：“三人將五條魚平分，客人拿出10元”，可以理解為五條魚總價值為30元，則每條魚價值6元。又因為“甲釣了三條”，相當(dāng)于甲吃之前已經(jīng)出資3*6＝18元，“乙釣了兩條”，相當(dāng)于乙吃之前已經(jīng)出資2*6＝12元。而甲乙兩人吃了的價值都是10元，所以甲還可以收回18-10＝8元乙還可以收回12-10＝2元剛好就是客人出的錢。2．一種商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售價，因此，每份利潤下降了5分之2，則，今年這種商品的成本占售價的幾分之幾？答案22/25最好畫線段圖思考：把去年原來成本看成20份，利潤看成5份，則今年的成本提高1/10，就是22份，利潤下降了2/5，今年的利潤只有3份。增加的成本2份剛好是下降利潤的2份。售價都是25份。所以，今年的成本占售價的22/25。3．甲乙兩車分別從A.B兩地出發(fā),相向而行,出發(fā)時,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度減少20%,乙的速度增加20%,這樣,當(dāng)甲到達B地時,乙離A地還有10千米,則A.B兩地相距多少千米解：原來甲.乙的速度比是5:4現(xiàn)在的甲：5×（1-20％）＝4現(xiàn)在的乙：4×（1+20％）4.8甲到B后，乙離A還有：5-4.8＝0.2總路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米4．一個圓柱的底面周長減少25%，要使體積增加1/3，現(xiàn)在的高和原來的高度比是多少？答案為64：27解：根據(jù)“周長減少25％”，可知周長是原來的3/4，則半徑也是原來的3/4，則面積是原來的9/16。根據(jù)“體積增加1/3”，可知體積是原來的4/3。體積÷底面積＝高現(xiàn)在的高是4/3÷9/16＝64/27，也就是說現(xiàn)在的高是原來的高的64/27或者現(xiàn)在的高：原來的高＝64/27：1＝64：275．某市場運來香蕉、蘋果、橘子和梨四種水果其中橘子、蘋果共30噸香蕉、橘子和梨共45噸。橘子正好占總數(shù)的13分之2。一共運來水果多少噸？第二題：答案為65噸橘子+蘋果＝30噸香蕉+橘子+梨＝45噸所以橘子+蘋果+香蕉+橘子+梨＝75噸橘子÷（香蕉+蘋果+橘子+梨）＝2/13說明：橘子是2份，香蕉+蘋果+橘子+梨是13份橘子+香蕉+蘋果+橘子+梨一共是2+13＝15份工程問題1．甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？解：1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率9/80×5＝45/80表示5小時后進水量1-45/80＝35/80表示還要的進水量35/80÷（9/80-1/10）＝35表示還要35小時注滿答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。2．修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九。現(xiàn)在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能少，則兩隊要合作幾天？解：由題意得，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。又因為，要求“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實在來不和的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”。設(shè)合作時間為x天，則甲獨做時間為（16-x）天1/20*（16-x）+7/100*x＝1x＝10答：甲乙最短合作10天3．一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成?，F(xiàn)在先請甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？解：由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量（1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。根據(jù)“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小時的工作量。1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。1÷1/20＝20小時表示乙單獨完成需要20小時。答：乙單獨完成需要20小時。4．一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，則恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，則完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？解：由題意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天）1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因為前面的工作量都相等）得到1/甲＝1/乙×2又因為1/乙＝1/17所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天5．師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當(dāng)師傅完成了任務(wù)時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？答案為300個120÷（4/5÷2）＝300個可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，則徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個。6．一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？答案是15棵算式：1÷（1/6-1/10）＝15棵7．一個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完。現(xiàn)在先打開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時，打開乙,丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？答案45分鐘。1÷（1/20+1/30）＝12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進的水。1/2÷18＝1/36表示甲每分鐘進水最后就是1÷（1/20-1/36）＝45分鐘。8．某工程隊需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾天？答案為6天解：由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量＝甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3時間比的差是1份實際時間的差是3天所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期方程方法：[1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1解得x＝69．兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？答案為40分鐘。解：設(shè)停電了x分鐘根據(jù)題意列方程1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2解得x＝40二．雞兔同籠問題1．雞與兔共100只,雞的腿數(shù)比兔的腿數(shù)少28條,問雞與兔各有幾只解：4*100＝400，400-0＝400假設(shè)都是兔子，一共有400只兔子的腳，則雞的腳為0只，雞的腳比兔子的腳少400只。400-28＝372實際雞的腳數(shù)比兔子的腳數(shù)只少28只，相差372只，這是為什么？4+2＝6這是因為只要將一只兔子換成一只雞，兔子的總腳數(shù)就會減少4只（從400只變?yōu)?96只），雞的總腳數(shù)就會增加2只（從0只到2只），它們的相差數(shù)就會少4+2＝6只（也就是原來的相差數(shù)是400-0＝400，現(xiàn)在的相差數(shù)為396-2＝394，相差數(shù)少了400-394＝6）372÷6＝62表示雞的只數(shù)，也就是說因為假設(shè)中的100只兔子中有62只改為了雞，所以腳的相差數(shù)從400改為28，一共改了372只100-62＝38表示兔的只數(shù)三．?dāng)?shù)字數(shù)位問題1．把1至2005這2005個自然數(shù)依次寫下來得到一個多位數(shù)123456789.....2005,這個多位數(shù)除以9余數(shù)是多少解：首先研究能被9整除的數(shù)的特點：如果各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，則這個數(shù)也能被9整除；如果各個位數(shù)字之和不能被9整除，則得的余數(shù)就是這個數(shù)除以9得的余數(shù)。解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除依次類推：1~1999這些數(shù)的個位上的數(shù)字之和可以被9整除10~19，20~29……90~99這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，則十位上的數(shù)字之和就是10+20+30+……+90=450它有能被9整除同樣的道理，100~900百位上的數(shù)字之和為4500同樣被9整除也就是說1~999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個位上的數(shù)字之和可以被9整除；同樣的道理：1000~1999這些連續(xù)的自然數(shù)中百位、十位、個位上的數(shù)字之和可以被9整除（這里千位上的“1”還沒考慮，同時這里我們少22從1000~1999千位上一共999個“1”的和是999，也能整除；22的各位數(shù)字之和是27，也剛好整除。最后答案為余數(shù)為0。2．A和B是小于100的兩個非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值...解：(A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=1-2*B/(A+B)前面的1不會變了，只需求后面的最小值，此時(A-B)/(A+B)最大。對于B/(A+B)取最小時，(A+B)/B取最大，問題轉(zhuǎn)化為求(A+B)/B的最大值。(A+B)/B=1+A/B，最大的可能性是A/B=99/1(A+B)/B=100(A-B)/(A+B)的最大值是：98/1003．已知A.B.C都是非0自然數(shù),A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,則它的準(zhǔn)確值是多少答案為6.375或6.4375因為A/2+B/4+C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個整數(shù)，可能是102，也有可能是103。當(dāng)是102時，102/16＝6.375當(dāng)是103時，103/16＝6.43754．一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個位數(shù)字大1.如果把這個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào),得到一個新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).答案為476解：設(shè)原數(shù)個位為a，則十位為a+1，百位為16-2a根據(jù)題意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198解得a＝6，則a+1＝716-2a＝4答：原數(shù)為476。5．一個兩位數(shù),在它的前面寫上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來的兩位數(shù).答案為24解：設(shè)該兩位數(shù)為a，則該三位數(shù)為300+a7a+24＝300+aa＝24答：該兩位數(shù)為24。6．把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰好是某自然數(shù)的平方,這個和是多少答案為121解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b，則新兩位數(shù)為10b+a它們的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）因為這個和是一個平方數(shù)，可以確定a+b＝11因此這個和就是11×11＝121答：它們的和為121。7．一個六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的3倍,求原數(shù).答案為85714解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2，則新六位數(shù)為2abcde（字母上無法加橫線，請將整個看成一個六位數(shù)）再設(shè)abcde（五位數(shù)）為x，則原六位數(shù)就是10x+2，新六位數(shù)就是200000+x根據(jù)題意得，（200000+x）×3＝10x+2解得x＝85714所以原數(shù)就是857142答：原數(shù)為8571428．有一個四位數(shù),個位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個位數(shù)字與百位數(shù)字互換,千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù).答案為3963解：設(shè)原四位數(shù)為abcd，則新數(shù)為cdab，且d+b＝12，a+c＝9根據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376”可知abcd+2376=cdab,列豎式便于觀察abcd2376cdab根據(jù)d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。再觀察豎式中的個位，便可以知道只有當(dāng)d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4時成立。先取d＝3，b＝9代入豎式的百位，可以確定十位上有進位。根據(jù)a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。再觀察豎式中的十位，便可知只有當(dāng)c＝6，a＝3時成立。再代入豎式的千位，成立。得到：abcd＝3963再取d＝8，b＝4代入豎式的十位，無法找到豎式的十位合適的數(shù)，所以不成立。9．有一個兩位數(shù),如果用它去除以個位數(shù)字,商為9余數(shù)為6,如果用這個兩位數(shù)除以個位數(shù)字與十位數(shù)字之和,則商為5余數(shù)為3,求這個兩位數(shù).解：設(shè)這個兩位數(shù)為ab10a+b＝9b+610a+b＝5（a+b）+3化簡得到一樣：5a+4b＝3由于a、b均為一位整數(shù)得到a＝3或7，b＝3或8原數(shù)為33或78均可以10．如果現(xiàn)在是上午的10點21分,則在經(jīng)過28799...99(一共有20個9)分鐘之后的時間將是幾點幾分答案是10：20解：（28799……9（20個9）+1）/60/24整除，表示正好過了整數(shù)天，時間仍然還是10：21，因為事先計算時加了1分鐘，所以現(xiàn)在時間是10：20四．排列組合問題1．有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有（）A768種B32種C24種D2的10次方中解：根據(jù)乘法原理，分兩步：第一步是把5對夫妻看作5個整體，進行排列有5×4×3×2×1＝120種不同的排法，但是因為是圍成一個首尾相接的圈，就會產(chǎn)生5個5個重復(fù)，因此實際排法只有120÷5＝24種。第二步每一對夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對夫妻均有2種排法，總共又2×2×2×2×2＝32種綜合兩步，就有24×32＝768種。2若把英語單詞hello的字母寫錯了,則可能出現(xiàn)的錯誤共有()A119種B36種C59種D48種解：5全排列5*4*3*2*1=120有兩個l所以120/2=60原來有一種正確的所以60-1=59五．容斥原理問題1．有100種赤貧.其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,則,同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是()A43,25B32,25C32,15D43,11解：根據(jù)容斥原理最小值68+43-100＝11最大值就是含鐵的有43種2．在多元智能大賽的決賽中只有三道題.已知:(1)某校25名學(xué)生參加競賽,每個學(xué)生至少解出一道題;(2)在所有沒有解出第一題的學(xué)生中,解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍:(3)只解出第一題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出第一題的人數(shù)多1人;(4)只解出一道題的學(xué)生中,有一半沒有解出第一題,則只解出第二題的學(xué)生人數(shù)是()A，5B，6C，7D，8解：根據(jù)“每個人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。分別設(shè)各類的人數(shù)為a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①由（2）知：a2+a23＝（a3+a23）×2……②由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③由（4）知：a1＝a2+a3……④再由②得a23＝a2－a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥然后將④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3＝26由于a2、a3均表示人數(shù)，可以求出它們的整數(shù)解：當(dāng)a2＝6、5、4、3、2、1時，a3＝2、6、10、14、18、22又根據(jù)a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合條件的只有a2＝6，a3＝2。然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，總?cè)藬?shù)＝8+6+2+7+2＝25，檢驗所有條件均符。故只解出第二題的學(xué)生人數(shù)a2＝6人。3．一次考試共有5道試題。做對第1、2、3、、4、5題的分別占參加考試人數(shù)的95%、80%、79%、74%、85%。如果做對三道或三道以上為合格，則這次考試的合格率至少是多少？答案：和格率至少為71％。假設(shè)一共有100人考試100-95＝5100-80＝20100-79＝21100-74＝26100-85＝155+20+21+26+15＝87（表示5題中有1題做錯的最多人數(shù)）87÷3＝29（表示5題中有3題做錯的最多人數(shù)，即不和格的人數(shù)最多為29人）100-29＝71（和格的最少人數(shù)，其實都是全對的）和格率至少為71％六．抽屜原理、奇偶性問題1．一只布袋中裝有大小相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種，問最少要摸出幾只手套才能保證有3副同色的？解：可以把四種不同的顏色看成是4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有一副同色的，就是1個抽屜里至少有2只手套，根據(jù)抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后4個抽屜中還剩3只手套。再根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有一副手套是同色的，以此類推。把四種顏色看做4個抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有1副就要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后，4個抽屜中還剩下3只手套。根據(jù)抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有1副是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）答：最少要摸出9只手套，才能保證有3副同色的。2．有四種顏色的積木若干，每人可任取1-2件，至少有幾個人去取，才能保證有3人能取得完全一樣？答案為21解：每人取1件時有4種不同的取法,每人取2件時,有6種不同的取法.當(dāng)有11人時,能保證至少有2人取得完全一樣:當(dāng)有21人時,才能保證到少有3人取得完全一樣.3．某盒子內(nèi)裝50只球，其中10只是紅色，10只是綠色，10只是黃色，10只是藍色，其余是白球和黑球，為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球，問：最少必須從袋中取出多少只球？解：需要分情況討論，因為無法確定其中黑球與白球的個數(shù)。當(dāng)黑球或白球其中沒有大于或等于7個的，則就是：6*4+10+1=35(個)如果黑球或白球其中有等于7個的，則就是：6*5+3+1＝34（個）如果黑球或白球其中有等于8個的，則就是：6*5+2+1＝33如果黑球或白球其中有等于9個的，則就是：6*5+1+1＝324．地上有四堆石子，石子數(shù)分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時各取出1個，然后都放入第四堆中，則，能否經(jīng)過若干次操作，使得這四堆石子的個數(shù)都相同（如果能請說明具體操作，不能則要說明理由）不可能。因為總數(shù)為1+9+15+31＝5656/4＝1414是一個偶數(shù)而原來1、9、15、31都是奇數(shù)，取出1個和放入3個也都是奇數(shù)，奇數(shù)加減若干次奇數(shù)后，結(jié)果一定還是奇數(shù)，不可能得到偶數(shù)（14個）。七．路程問題1．狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠，馬可以追上它？解：根據(jù)“馬跑4步的距離狗跑7步”，可以設(shè)馬每步長為7x米，則狗每步長為4x米。根據(jù)“狗跑5步的時間馬跑3步”，可知同一時間馬跑3*7x米＝21x米，則狗跑5*4x＝20米?？梢缘贸鲴R與狗的速度比是21x：20x＝21：20根據(jù)“現(xiàn)在狗已跑出30米”，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數(shù)是21-20＝1，現(xiàn)在求馬的21份是多少路程，就是30÷（21-20）×21＝630米2．甲乙輛車同時從ab兩地相對開出，幾小時后再距中點40千米處相遇？已知，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，求ab兩地相距多少千米？答案720千米。由“甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時”可知，相遇時甲行了10份，乙行了8份（總路程為18份），兩車相差2份。又因為兩車在中點40千米處相遇，說明兩車的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。3．在一個600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，若兩個人速度不變，還是在原來出發(fā)點同時出發(fā)，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和（50+150）÷2=100，表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數(shù)（150-50）/2=50，表示較慢的速度，方法是求和差問題中的較小數(shù)600÷100=6分鐘，表示跑的快者用的時間600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間4．慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來，則，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間？答案為53秒算式是（140+125)÷(22-17)=53秒可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車”就是快車車尾上的點追和慢車車頭的點，因此追和的路程應(yīng)該為兩個車長的和。5．在300米長的環(huán)形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？答案為100米300÷（5-4.4）＝500秒，表示追和時間5×500＝2500米，表示甲追到乙時所行的路程2500÷300＝8圈……100米，表示甲追和總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。6．一個人在鐵道邊，聽見遠處傳來的火車汽笛聲后，在經(jīng)過57秒火車經(jīng)過她前面，已知火車鳴笛時離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度（得出保留整數(shù)）答案為22米/秒算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米/秒關(guān)鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時車已經(jīng)從發(fā)聲音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。7．獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。正確的答案是獵犬至少跑60米才能追上。解：由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知當(dāng)獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步”可知同一時間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是說當(dāng)獵犬跑60米時候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完8．AB兩地,甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時從AB兩地相對行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達A地比甲到達B地要晚多少分鐘答案：18分鐘解：設(shè)全程為1,甲的速度為x乙的速度為y列式40x+40y=1x:y=5:4得x=1/72y=1/90走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘故得解9．甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。第一次相遇后兩車繼續(xù)行駛，各自到達對方出發(fā)點后立即返回。第二次相遇時離B地的距離是AB全程的1/5。已知甲車在第一次相遇時行了120千米。AB兩地相距多少千米？答案是300千米。解：通過畫線段圖可知，兩個人第一次相遇時一共行了1個AB的路程，從開始到第二次相遇，一共又行了3個AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分別是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。因此360÷（1+1/5）＝300千米從A地到B地，甲、乙兩人騎自行車分別需要4小時、6小時，現(xiàn)在甲乙分別AB兩地同時出發(fā)相向而行，相遇時距AB兩地中點2千米。如果二人分別至B地，A地后都立即折回。第二次相遇點第一次相遇點之間有（）千米10．一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時;逆流8小時。如果水流速度是每小時2千米，求兩地間的距離？解：（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率2÷1/48＝96千米表示總路程11．快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時，求甲乙兩地的路程。解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3時間比為3：4所以快車行全程的時間為8/4*3＝6小時6*33＝198千米12．小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車,結(jié)果慢了半小時.已知,騎車每小時12千米,乘車每小時30千米,問:甲乙兩地相距多少千米解：把路程看成1，得到時間系數(shù)去時時間系數(shù)：1/3÷12+2/3÷30返回時間系數(shù)：3/5÷12+2/5÷30兩者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相當(dāng)于1/2小時去時時間：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米）八．比例問題1．甲乙兩人在河邊釣魚,甲釣了三條,乙釣了兩條,正準(zhǔn)備吃,有一個人請求跟他們一起吃,于是三人將五條魚平分了,為了表示感謝,過路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快答案：甲收8元，乙收2元。解：“三人將五條魚平分，客人拿出10元”，可以理解為五條魚總價值為30元，則每條魚價值6元。又因為“甲釣了三條”，相當(dāng)于甲吃之前已經(jīng)出資3*6＝18元，“乙釣了兩條”，相當(dāng)于乙吃之前已經(jīng)出資2*6＝12元。而甲乙兩人吃了的價值都是10元，所以甲還可以收回18-10＝8元乙還可以收回12-10＝2元剛好就是客人出的錢。2．一種商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售價，因此，每份利潤下降了5分之2，則，今年這種商品的成本占售價的幾分之幾？答案22/25最好畫線段圖思考：把去年原來成本看成20份，利潤看成5份，則今年的成本提高1/10，就是22份，利潤下降了2/5，今年的利潤只有3份。增加的成本2份剛好是下降利潤的2份。售價都是25份。所以，今年的成本占售價的22/25。3．甲乙兩車分別從A.B兩地出發(fā),相向而行,出發(fā)時,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度減少20%,乙的速度增加20%,這樣,當(dāng)甲到達B地時,乙離A地還有10千米,則A.B兩地相距多少千米解：原來甲.乙的速度比是5:4現(xiàn)在的甲：5×（1-20％）＝4現(xiàn)在的乙：4×（1+20％）4.8甲到B后，乙離A還有：5-4.8＝0.2總路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米4．一個圓柱的底面周長減少25%，要使體積增加1/3，現(xiàn)在的高和原來的高度比是多少？答案為64：27解：根據(jù)“周長減少25％”，可知周長是原來的3/4，則半徑也是原來的3/4，則面積是原來的9/16。根據(jù)“體積增加1/3”，可知體積是原來的4/3。體積÷底面積＝高現(xiàn)在的高是4/3÷9/16＝64/27，也就是說現(xiàn)在的高是原來的高的64/27或者現(xiàn)在的高：原來的高＝64/27：1＝64：275．某市場運來香蕉、蘋果、橘子和梨四種水果其中橘子、蘋果共30噸香蕉、橘子和梨共45噸。橘子正好占總數(shù)的13分之2。一共運來水果多少噸？第二題：答案為65噸橘子+蘋果＝30噸香蕉+橘子+梨＝45噸所以橘子+蘋果+香蕉+橘子+梨＝75噸橘子÷（香蕉+蘋果+橘子+梨）＝2/13說明：橘子是2份，香蕉+蘋果+橘子+梨是13份橘子+香蕉+蘋果+橘子+梨一共是2+13＝15份小明有個蘋果.小華有個蘋果,一共多少蘋果1+1=2個56道1、修一條長2400米的公路，第一天修了全長的1/4，第二天修了余下的1/3，問還剩多少米？解：2400×1/4=600，2400－600=1800，1800×1/3=600，1800－600=1200答：還剩余1200米。2、甲、乙、丙三人有人民幣若干元，丙的錢數(shù)比甲少1/10，丙的錢數(shù)又比乙多1/2，已知甲的錢數(shù)比乙的錢數(shù)多200元，求甲、乙、丙三人各有人民幣多少元？解：方法一：設(shè)甲的錢數(shù)為X元，乙為（X-200）元，丙為9/10元；9/10X=3/2（X-200），0.9X=3/2（X-200），0.9X=1.5X-300，300=0.6X，X=300÷0.6,X=500方法二：丙：甲=9/10:1=9:10，丙：乙=3/2：1=3：2=（3×3）：（2×3）=9：6，甲：乙：丙=10：6：9；200÷（10-6）=50（元）；50×10=500（元）…甲，50×6=300（元）…乙，50×9=450（元）…丙答：甲、乙、丙分別為500、300、450元。3、某班男生人數(shù)是女生人數(shù)的5/4，最近又轉(zhuǎn)來一名女生，結(jié)果女生人數(shù)成了男生人數(shù)的5/6，求現(xiàn)在全班有多少人？解：原來男：女=5：4=30：24；現(xiàn)在女：男=5：6=30：25；（25－24）÷1=1（人）；1×（30+25）=55（人）答：全班有55人。4、水果店運來一批水果，第一天賣出1200千克，第二天比第一天多賣出1/8，這時還余下總數(shù)的1/4，求這批水果共有多少千克？解：1200×（1+1/8）=1350（千克）；（1200＋1350）÷（1—1/4）=3400（千克）答：共有3400千克。5、學(xué)校買來一批圖書，放在兩個書柜中，其中第一個書柜中的圖書占這批圖書的58%，如果從第一個書柜中取出32本，放到第二個書柜中，這時兩個書柜的圖書占這批圖書的1/2，求這批圖書共有多少本？解：32÷（58%—1/2）=400（本）答：共有400本。6、五年級共有3個班，一班人數(shù)占全年級的10/33，三班人數(shù)比二班人數(shù)多1/11，如果從三班調(diào)走4人后，和二班人數(shù)同樣多，求五年級共有多少人？解：設(shè)二班有X人；12/11X—4=X，12/11X—X=4，1/11X=4，X=4÷1/11，X=44；44×（1+1/11）=48（人）；（44+48）÷（1—10/33）=132（人）答：共有132人。7、甲、乙兩人在銀行共存款若干元，已知甲的存款數(shù)1/4等于乙存款數(shù)的1/5，又知乙比甲多存了24元，求甲、乙兩人各存款多少元？解：設(shè)乙存了X元，甲（X—24）元；（X—24）×1/4=1/5X，1/4X—6=1/5X，1/4X—1/5X=6，1/20X=6，X=6÷1/20，X=120；120－24=96（元）答：甲、乙兩人各存款120、96元。8、乘汽車從甲城到乙城去，原計劃5又1/2小時，由于途中有36千米的道路不平坦，走這段道路不平的道路時，速度相當(dāng)于原來的3/4，因此晚到1/5小時，求甲、乙兩城之間的距離。解：1/5÷（4—3）=1/5（小時），1/5×3=3/5（小時），36÷3/5=60（千米/小時），60×5又1/2=330（千米）答：距離是330千米。9、甲、乙兩人從東、西兩城相向而行，甲行了全程的5/11正好與乙相遇，已知甲每小時行4.5千米，乙走完全程需要5又1/2小時，求東、西兩城相距多少千米？解：1÷5又1/2=2/11（千米/小時），1—2/11=9/11（千米/小時），6/11÷2/11=3（小時），3×4.5=13.5(千米)，13.5÷9/11=29.7(千米)答：東、西兩城相距29.7千米。10、某超市運來紅糖和白糖各一大袋，紅糖重量的1/5比白糖重量的1/4還多2千克，兩袋糖共重82千克，求紅糖和白糖各多少千克？解：設(shè)：紅糖為X千克；1/5X—1/4（82—X）=2，1/5X—82/4+1/4X=2，9/20X—82/4=2，9/20X=2+82/4，X=50；82—50=32（千克）答：紅糖、白糖分別為50、32千克。11、兩根電線共長52米，第一根的1/4和第二根的2/5的和是16米，求兩根電線各長多少米？解：設(shè)：第一根長X米；1/4X+（52—X）×2/5=16，1/4X+104/5—2/5X=16，-3/20X+104/5=3/20X，24/5=3/20X，X=24/5×20/3，X=32；52—32=20（米）答：第一根電線長32米，第二根電線長20米。12、兄弟4人合買一臺彩電，老大出的錢是其他三人出錢總數(shù)的1/2，老二出的錢是另外三人出錢總數(shù)的1/3，老三出的錢是另外三人出錢總數(shù)的1/4，老四比老三我出40元，問這臺彩電多少錢？解：1—1/3—1/4—1/5=13/60，13/60—1/5=1/60；40÷1/60=2400（元）答：這臺彩電2400元。13、甲、乙兩人星期天一起去買東西，兩人身上所帶的錢共計86元。在友誼商場，甲買一雙運動鞋花去了所帶錢的4/9，乙買一件襯衫花去了人民幣16元。這樣，兩人身上所剩的錢正好一樣多。甲、乙兩人原先各帶了多少錢？解：設(shè)甲帶了X元；X—4/9X=86—X—16，5/9X=70—X，X+5/9X=70，14/9X=70，X=45；86—45=41（元）答：甲、乙兩人原先各帶了45、41元。14、食堂運來一批大米，第一天吃了全部的2/5，第二天吃了余下的1/3，第三天吃了又余下的3/4，這時還剩下15千克，食堂共運來大米多少千克？解：15÷（1—3/4）÷（1—1/3）÷（1—2/5）=150（千克）答：食堂共運來大米150千克。15、有大、小兩種西紅柿罐頭，第一次買了2個小罐頭，3個大罐頭，共重5又9/10千克；第二次買了2個小罐頭，7個大罐頭，共重13又1/10千克，求大、小每個罐頭各重多少千克？解：13又1/10—5又9/10=7.2；7.2÷(7—3)=1.8；（5又9/10—1.8×3）÷2=0.25(千克)答：大、小每個罐頭各重1.8、0.25千克。16、有兩本書，第一本書頁數(shù)的1/2和第二本書頁數(shù)的1/3合在一起是130頁，第一本書頁數(shù)的1/3和第二本書頁數(shù)的1/2合在一起是120頁，求這兩本書各是多少頁？解：設(shè)：第一本有X頁；1/3X+（130—1/2X）×3×1/2=120，1/3X+（130—1/2X）×3/2=120，1/3X+195—3/4X=120，75=5/12X，X=180；（130—1/2×180）×3=120（頁）答：第一本有180頁，第二本有120頁。17、甲、乙、丙三人，甲、乙兩人的體重之和是98又1/2千克，乙、丙兩人的體重之和是112又1/2千克，甲、丙兩人的體重之和是111千克，求三人的體重各是多少千克？解：（98.5+112.5+111）÷2=161(千克)；161—98.5=62.5(千克)…甲；161—112.5=48.5(千克)…乙；161—111=50(千克)…丙。答：甲、乙、丙三人的體重各是62.5、48.5、50千克。18、有甲、乙兩種金屬，甲金屬的1/16和乙金屬的1/33重量相等，而乙金屬的1/55比甲金屬的1/40重7克，求兩種金屬各重多少克？解：設(shè)：甲金屬重量為X克；（1/40X+7）÷1/55=1/16X÷1/33，55/40X+385=33/16X，385=33/16X—55/40X，385=11/16X，X=385÷11/16X，X=385÷11/16，X=560；（560×1/4+7）÷1/55=1155（克）答：甲、乙兩種金屬各重560、1155克。19、一個書架分上下兩層，共放書360本，如果把上層的1/10放入下層，上、下層的本數(shù)相等，求上、下層原來各放書多少本？解：設(shè)上層放書X本；1/10X+（360—X）=9/10X，1/10X+360—X=9/10X，360=9/10X—1/10X+X，360=18/10X，X=200；360—200=160（本）答：上、下層原來各放書200、160本。20、一瓶酒精，當(dāng)用去了1/2，連瓶共重700克，當(dāng)用去酒精的1/3后，連瓶共重800克，求瓶子的重量是多少克？解：1/2—1/3=1/6；800—700=100；100÷1/6=600；600×1/2=300；700—300=400（克）答：瓶子的重量是400克。21、甲、乙、丙三人共植樹697棵，已知甲植樹棵數(shù)的1/2等于乙植樹棵數(shù)的2/5，甲植樹棵數(shù)的1/3等于丙植樹棵數(shù)的2/7，問甲、乙、丙分別種樹多少棵？解：設(shè)甲種了X棵樹；1/2X÷2/5+1/3X÷2/7+X=697，5/4X+7/6X+X=697，41/12=697，X=204；204×1/3÷2/7=238；697—204—238=255（棵）答：甲、乙、丙分別種樹204、238、255棵。22、某車間缺勤人數(shù)是出勤人數(shù)的1/10，后來又有兩人因事請假，這時缺勤人數(shù)是出勤人數(shù)的1/8，求全車間共有多少人？解：設(shè)：后來有X人缺勤；X+2=1/8（10X—2），X=9；10×9+9=99（人）答：全車間共有99人。23