幼兒怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

兒童是怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的？這個問題既簡單又復(fù)雜。簡單的理由是，他們幾乎在不經(jīng)意間就學(xué)會了數(shù)數(shù)。盡管開始時是胡亂地數(shù)，但逐漸地，他們就記住了正確的順序，并且還能理解數(shù)的實(shí)際意義、做簡單的加減運(yùn)算……這一切似乎都順理成章。然而，這對幼兒來說是一項了不起的成就。事實(shí)上，幼兒的數(shù)學(xué)概念從萌發(fā)到初步形成，經(jīng)歷了一個復(fù)雜而漫長的過程。而這一切都緣于數(shù)學(xué)知識本身的特點(diǎn)。

一、數(shù)學(xué)知識的特點(diǎn)

前面已經(jīng)闡明，數(shù)學(xué)是對現(xiàn)實(shí)的一種抽象。1，2，3，4……等等數(shù)字，絕不是一些具體事物的名稱，而是人類所創(chuàng)造的一個獨(dú)特的符號系統(tǒng)。正如卡西爾（E.Cassirer）所言，“數(shù)學(xué)是一種普遍的符號語言--它與對事物的描述無關(guān)而只涉及對關(guān)系的一般表達(dá)”。也就是說，數(shù)是對事物之間關(guān)系的一種抽象。

數(shù)學(xué)知識究其實(shí)質(zhì)，是一種高度抽象化的邏輯知識。

1、數(shù)學(xué)知識是一種邏輯知識。

數(shù)學(xué)知識所反映的不是客觀事物本身所具有的特征或?qū)傩?，而是事物之間的關(guān)系。當(dāng)我們說一堆橘子的數(shù)量是“5個”時，并不能從其中任何一個橘子中看到“5”這一屬性，因為“5”這一數(shù)量屬性并不存在于任何一個橘子中，而是存在于它們的相互關(guān)系中--所有的橘子構(gòu)成了一個數(shù)量為“5”的整體。我們要通過點(diǎn)數(shù)得出橘子的總數(shù)來，就需要協(xié)調(diào)各種關(guān)系?？梢哉f數(shù)目概念的獲得是對各種關(guān)系加以協(xié)調(diào)的結(jié)果。

因此，幼兒對數(shù)學(xué)知識的掌握，并不像記住一個人的名字那樣簡單，實(shí)際上是一種邏輯知識的獲得。按照皮亞杰的區(qū)分，有三種不同類型的知識：物理知識，邏輯數(shù)理知識和社會知識。所謂社會知識，就是依靠社會傳遞而獲得的知識。在數(shù)學(xué)中，數(shù)字的名稱、讀法和寫法等都屬于社會知識，它們都有賴于教師的傳授。如果沒有教師的傳授，兒童自己是無法發(fā)現(xiàn)這些知識的。物理知識和邏輯數(shù)理知識都要通過兒童自己和物體的相互作用來獲得，而這兩類知識之間又有不同。物理知識是有關(guān)事物本身的性質(zhì)的知識，如橘子的大小、顏色、酸甜。兒童要獲得這些知識，只需通過直接作用于物體的動作（看一看、嘗一嘗）就可以發(fā)現(xiàn)了。因此，物理知識來源于對事物本身的直接的抽象，皮亞杰稱之為“簡單抽象”。邏輯數(shù)理知識則不同，它不是有關(guān)事物本身的性質(zhì)的知識，因而也不能通過個別的動作直接獲得。它所依賴的是作用于物體的一系列動作之間的協(xié)調(diào)，以及對這種動作協(xié)調(diào)的抽象，皮亞杰稱之為“反省抽象”。反省抽象所反映的不是事物本身的性質(zhì)，而是事物之間的關(guān)系。如幼兒掌握了橘子的數(shù)量“5”，就是抽象出了這堆橘子的數(shù)量關(guān)系特征，它和這些橘子的大小、顏色、酸甜無關(guān)，也和它們的排列方式無關(guān)：無論是橫著排、豎著排，或是排成圈，它們都是5個。兒童對于這一知識的獲得，也不是通過直接的感知，而是通過一系列動作的協(xié)調(diào)，具體說就是“點(diǎn)”的動作和“數(shù)”的動作之間的協(xié)調(diào)。首先，他必須使手點(diǎn)的動作和口數(shù)的動作相對應(yīng)。其次是序的協(xié)調(diào)，他口中數(shù)的數(shù)應(yīng)該是有序的，而點(diǎn)物的動作也應(yīng)該是連續(xù)而有序的，既不能遺漏，也不能重復(fù)。最后，他還要將所有的動作合在一起，才能得到物體的總數(shù)。

總之，數(shù)學(xué)知識的邏輯性，決定了幼兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識不是一個簡單的記憶的過程，而是一個邏輯的思考的過程。它必須依賴于對各種邏輯關(guān)系的協(xié)調(diào)，這是一種反省的抽象。

2、數(shù)學(xué)知識是一種抽象的邏輯知識。

數(shù)學(xué)知識所反映的還不僅僅是具體事物之間的關(guān)系，而是從中抽象出來的、普遍存在的數(shù)學(xué)關(guān)系。即使是幼兒階段所學(xué)習(xí)的10以內(nèi)的自然數(shù)，也具有抽象的意義。比如“5”，它可以表示5個人、5只狗、5輛汽車、5個小圓片……任何數(shù)量是“5”的物體。只有當(dāng)幼兒懂得了數(shù)字所表示的各種含義時，才能說他真正理解了數(shù)字的意義。這不僅需要他能從一堆具體的事物中抽取出5這一數(shù)量屬性，還要能把這一抽象的計數(shù)原則運(yùn)用于各種具體的事物身上，知道“5”不僅屬于5只橘子，它是一種抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系。

幼兒要能理解數(shù)學(xué)知識的抽象性，必須具備一種抽象的邏輯思考能力，即要能擺脫具體事物的干擾，對其中的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行思考。如在進(jìn)行“5的分合”時，具備抽象思考能力的幼兒就能理解，他分的不僅是5個橘子，而且是一個抽象的數(shù)量“5”。他分的結(jié)果也不僅對當(dāng)前的事情有意義，而且能夠推廣到其它任何數(shù)量為“5”的事物上面--它們都可以根據(jù)這個原則進(jìn)行分合，因為它們具有相同的數(shù)量。反過來，如果幼兒不能進(jìn)行抽象的思考，即使他能夠分5只橘子，也不一定會分5個蘋果，因為對他來說這又是另一件事情了。

由此可見，幼兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識是一個從具體的事物中抽象出普遍的數(shù)學(xué)關(guān)系的過程。幼兒要能理解數(shù)這種抽象的邏輯知識，不僅要具備一定的邏輯觀念，還要具備一定的抽象思考能力。那么，幼兒是否具有了這些心理準(zhǔn)備呢？二、幼兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理準(zhǔn)備

幼兒有沒有邏輯呢？皮亞杰認(rèn)為是有的。兒童通過反省的抽象所獲得的邏輯數(shù)理知識，正是其邏輯的來源。這里要解釋的是，皮亞杰所說的邏輯，不同于我們平時所說的思維的“邏輯”，而是包含兩個層面，即動作的層面和抽象的層面。兒童邏輯的發(fā)展遵循著從動作的層面向抽象的層面轉(zhuǎn)化的規(guī)律。他對兒童邏輯的心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，對應(yīng)結(jié)構(gòu)、序列結(jié)構(gòu)和類包含結(jié)構(gòu)不僅是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，也是兒童的基本的邏輯結(jié)構(gòu)。也就是說，數(shù)學(xué)知識的邏輯和幼兒的心理邏輯是相對應(yīng)的。幼兒思維的發(fā)展，特別是幼兒邏輯觀念的發(fā)展，為他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了重要的心理準(zhǔn)備。那么，幼兒的思維發(fā)展為他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識提供了什么樣的邏輯準(zhǔn)備呢？

1、幼兒邏輯觀念的發(fā)展

我們以數(shù)學(xué)知識中普遍存在的邏輯觀念--一一對應(yīng)觀念、序列觀念和類包含觀念為例，考察幼兒邏輯觀念的發(fā)展。

（1）一一對應(yīng)觀念

幼兒的一一對應(yīng)觀念形成于小班中期（3歲半以后）。起初，他們可能只是在對應(yīng)的操作中感受到一種秩序，并沒有將其作為比較兩組物體數(shù)目多少的辦法。逐漸地，他們發(fā)現(xiàn)過去僅靠直覺判斷多少是不可靠的：有的時候，占的地方大，數(shù)目卻不一定多。而通過一一對應(yīng)來比較多少更加可靠一些。在小班末期，有的兒童已建立了牢固的一一對應(yīng)觀念。比如在“交替排序”活動中，存在四種物體，其中既有交替排序，又有對應(yīng)排序。教師問一個兒童小雞有多少，他通過點(diǎn)數(shù)說出有4只，再問小蟲（和小雞對應(yīng)）有多少，他一口報出有4條。又問小貓有多少，他又通過點(diǎn)數(shù)得出有4只，再問魚（和貓對應(yīng)）有多少，他又一口報出有4條。說明幼兒此時已非常相信通過對應(yīng)的方法確定等量的可靠性。

但是能不能說，幼兒此時已在頭腦中建立了一一對應(yīng)的邏輯觀念呢？皮亞杰用一個有趣的“放珠子”實(shí)驗作出了相反的回答。實(shí)驗者向幼兒呈現(xiàn)兩只盒子，一只盛有許多珠子，讓幼兒往另一只空盒子里放珠子，問幼兒如果一直放下去，兩只盒子里的珠子會不會一樣多，幼兒不能確認(rèn)。他先回答不會，因為它里面的珠子很少。當(dāng)主試問如果一直放下去呢，他說就會比前面的盒子多了，而不知道肯定會有一個相等的時候?？梢娪變涸跊]有具體的形象作支持時，是不可能在頭腦中將兩個盒子里的珠子作一一對應(yīng)的。

（2）序列觀念

序列觀念是幼兒理解數(shù)序所必需的邏輯觀念。幼兒對數(shù)序的真正認(rèn)識，不是靠記憶，而是靠他對數(shù)列中數(shù)與數(shù)之間的相對關(guān)系（數(shù)差關(guān)系和順序關(guān)系）的協(xié)調(diào)：每一個數(shù)都比前一個數(shù)多一，比后一個數(shù)少一。這種序列不能通過簡單的比較得到，而有賴于在無數(shù)次的比較之間建立一種傳遞性的關(guān)系。因此，這是一種邏輯觀念而不僅僅是直覺或感知。那么，幼兒的序列觀念是怎樣建立起來的呢？

我們可以觀察到，小班幼兒在完成長短排序的任務(wù)時，如果棒棒的數(shù)量多于5個，他們還是有困難的。說明幼兒這時的幼兒盡管面對操作材料，也難以協(xié)調(diào)這么多的動作。中班以后，幼兒逐漸能夠完成這個任務(wù)，而且他們完成任務(wù)的策略也是逐漸進(jìn)步的。起先，他們是通過經(jīng)驗來解決問題，每一次成功背后都有無數(shù)次錯誤的嘗試。我就看到有一個幼兒在完成排序之前經(jīng)歷了12次失敗，而且每次只要有一點(diǎn)錯誤就全部推翻重來。到了后一階段，幼兒開始能夠運(yùn)用邏輯解決問題。他每次找一根最短（或最長）的，依次往下排。因為他知道，他每次拿的最短的棒棒必定比前面所有的長，同時必定比后面所有的短。這就說明幼兒此時已具備了序列的觀念。同樣，這種序列觀念只是在具體事物面前有效。如果脫離了具體形象，即使只有三個物體，幼兒也很難排出它們的序列。一個典型的例子就是：“小紅的歲數(shù)比小明大，小亮的歲數(shù)比小紅大。他們?nèi)齻€人，誰的歲數(shù)最大？”幼兒對這個問題是感到非常困難的。

（3）類包含觀念

幼兒在數(shù)數(shù)時，都要經(jīng)歷這樣的階段：他能點(diǎn)數(shù)物體，卻報不出總數(shù)。即使有的幼兒知道最后一個數(shù)就是總數(shù)（比如數(shù)到8就是8個），也未必真正理解總數(shù)的實(shí)際意義。如果我們要求他“拿8個物體給我”，他很可能就把第8個拿過來。說明這時幼兒還處在羅列個體的階段，沒有形成整體和部分之間的包含關(guān)系。幼兒要真正理解數(shù)的實(shí)際意義，就應(yīng)該知道數(shù)表示的是一個總體，它包含了其中的所有個體。如5就包含了5個1，同時，每一個數(shù)，都被它后面的數(shù)所包含。只有理解了數(shù)的包含關(guān)系，幼兒才可能學(xué)習(xí)數(shù)的組成和加減運(yùn)算。

幼兒從小班開始就能在感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡單的分類活動。但是在他們的思維中，還沒有形成類和子類之間的層級關(guān)系，更不知道整體一定大于部分。作者曾經(jīng)問一個幼兒，是紅片片多還是片片多，他一直認(rèn)為是紅片片多。直到作者向他解釋，片片指的是所有的片片，而不是（剩下的）綠片片，他才作出了正確的回答。而他得到答案的方式也是耐人尋味的。他不是象我們所想象的那樣靠邏輯判斷，而是一一點(diǎn)數(shù)，得出紅片片是8個，片片是10個。片片比紅片片多。這里，我們可以清楚地看到，在幼兒頭腦中，整體與部分之間并沒有形成包含關(guān)系，而是并列的兩個部分的關(guān)系。他們至多只是借助于具體的形象來理解包含關(guān)系，而決沒有抽象的類包含的邏輯觀念。

通過以上的考察，我們可以看出，幼兒已經(jīng)具備了一定的邏輯觀念，這為他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了一定的心理準(zhǔn)備。但這些邏輯觀念又都具有很大的局限性，也就是說，它們非常依賴于具體的動作和形象。如果這些問題是和直接的、外化的動作和形象相聯(lián)系的，幼兒則有可能解決，如果是較為間接的、需要內(nèi)化于頭腦的問題，幼兒就無能為力了。這個現(xiàn)象，正是由幼兒思維的抽象程度所決定的。

2、幼兒思維的抽象性及其發(fā)展

皮亞杰認(rèn)為，抽象的思維起源于動作。抽象水平的邏輯來自于對動作水平的邏輯的概括和內(nèi)化。在一歲半左右，幼兒具備了表象性功能，這使得抽象的思考開始成為可能。幼兒能夠借助于頭腦中的表象，對已經(jīng)不在此時此地的事物進(jìn)行間接的思考。能夠擺脫時間和空間的限制而在頭腦中進(jìn)行思考，這是幼兒抽象思維發(fā)展的開始。然而，要在頭腦中完全達(dá)到一種邏輯的思考，則是在大約十年以后。之所以需要這么長的時間，是因為幼兒要在頭腦中重新建構(gòu)一個抽象的邏輯。這不僅需要將動作內(nèi)化于頭腦中，還要能將這些內(nèi)化了的動作在頭腦中自如地加以逆轉(zhuǎn)，即達(dá)到一種可逆性。這對幼兒來說，不是一件容易的事情。