高考試題分類匯編數(shù)學(xué)必修2部分試題

..必修二第一章立體幾何一、選擇題2．〔2011全國課標(biāo)I理6在一個幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為[答案]D[解析]本題考查三視圖．由三視圖可知,此幾何體是由一個圓錐沿四條平分圓錐側(cè)面的母線中的3條切割圓錐后剩下的部分,所以A、B均錯,C顯然是錯的．3．〔2011XX理11下圖是長和寬分別相等的兩個矩形．給定下列三個命題：①存在三棱柱,其正〔主視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱柱,其正〔主視圖、俯視圖如下圖；③存在圓柱,其正〔主視圖、俯視圖如下圖．其中真命題的個數(shù)是A．3B．2C．1D．0[答案]A[解析]如果把直三棱柱和圓柱放倒,則可得到如圖的正視圖和俯視圖,①③正確；容易判斷②正確所以3個命題都正確,選A．4．〔2011XX理7如圖1－3,某幾何體的正視圖〔主視圖是平行四邊形,側(cè)視圖〔左視圖和俯視圖都是矩形,則該幾何體的體積為A．B．C．D．[答案]B[解析]由該幾何體的三視圖可各該幾何體是一個平行六面體,底面是以3為邊長的正方形,該六面體的高,所以該幾何體的體積為．5．〔2011XX理6一個空間幾何體得三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為A．48B．32+8C．48+8D．80[答案]C[解析]6．〔2011XX理3若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的直觀圖可以是[答案]D[解析]7．〔2011北京理7某四面體的三視圖如圖所示,該四面體四個面的面積中最大的是A．8B．C．10D．[答案]C[解析]本題考查了三視圖的相關(guān)知識．由三視圖可知,該四面體可以描述為：面,,且,從而可以計算并比較得面的面積最大,為10,故應(yīng)選C．[技巧點撥]根據(jù)所給的三視圖,將其"還原"是解題的關(guān)鍵,當(dāng)然,同時也要注意所給的數(shù)據(jù),為了保證解題的正確性,可以將"體"再還原成三視圖,這樣做一個檢驗,可以提高解題的正確率．8．〔2011XX理3某幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為A．B．C．D．[答案]B[解析]有三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構(gòu)成的組合體,其體積．9．〔2011XX理8如圖,四棱錐的底面為正方形,底面,則下列結(jié)論中不正確的是A．B．平面C．與平面所成的角等于與平面所成的角D．與所成的角等于與所成的角[答案]D[解析]本小題以四棱錐為載體,考查空間中點、線、面的位置關(guān)系．選項A正確因為垂直于平面,而在平面中,所以垂直于；再由為正方形,所以垂直于；而與又是兩條相交直線,所以,垂直于平面,進而垂直于；選項B正確因為平行于,而在平面內(nèi),不在平面內(nèi),所以平行于平面．選項C正確,與平面所成的角就是角,與平面所成的角就是角,而三角形又是等腰三角形,所以這兩個角相等．選項D錯誤與所成的角等于角,而與所成的角是角,這兩個角是互補的．[技巧點撥]解決此類問題首先要從理論上熟練的掌握相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理,其次是準(zhǔn)確的應(yīng)用圖象,使之問題具體化,另外,必要時也可以應(yīng)用空間向量的知識來求解相關(guān)的角、線面關(guān)系問題．10．〔2011XX理12已知球的直徑,、是該球球面上的兩點,,,則棱錐的體積為A．B．C．D．1[答案]C[解析]本題主要考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和體積公式、球的結(jié)構(gòu)特征,考查學(xué)生的空間想象能力和把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的能力．由題可知一定在與直徑垂直的小圓面上,做過交直徑于,如圖所示,設(shè),則,此時所求棱錐即分割成兩個棱錐和,在和中,因為為直徑,所以所以,在中,,在中,,所以=,得,所以為正三角形,體積．[技巧點撥]球的作用只限于載體,利用球研究有關(guān)幾何體的體積或其它的問題,在應(yīng)用中關(guān)于球可用的就是他的半徑、大圓性質(zhì)和其它線面關(guān)系問題．一些問題中要能夠透過球的表面體,看到研究問題的實質(zhì)．11．〔2011XX理4下列命題中錯誤的是A．如果平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B．如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C．如果平面,平面,,那么D．如果平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面[答案]D[解析]12．〔2011全國11已知平面截一球面得圓,過圓心且與成二面角的平面截該球面得圓．若該球面的半徑為4,圓的面積為,則圓的面積為A．B．C．D．[答案]D[解析]本小題主要考查了球及球的截面的相關(guān)知識．如圖：因為,由的面積為,故．在中,,,,．又因為,在中,,,,所以的面積為．13．〔2011XX3,,是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是A．,B．,C．,,共面D．,,共點,,共面[答案]B[解析]若,則,有三種位置關(guān)系,可能平行、相交或異面,故A不對．雖然∥∥,或,,共點,但是,,可能共面,也可能不共面,故C、D也不正確．14．〔2011XX9高為的四棱錐的底面是邊長為的正方形,點、、、、均在半徑為1的同一球面上,則底面的中心與頂點之間的距離為A．B．C．1D．[答案]C[解析]設(shè)底面中心為,球心為,則易得,于是,用一個與所在平面距離等于的平面去截球,便為其中一個交點,此平面的中心設(shè)為,則,故,故．二、填空題15．〔2011全國課標(biāo)I理15已知矩形的頂點都在半徑為4的球的球面上,且,則棱錐的體積為______________．[答案][解析]本題考查球的截面、四棱錐的體積計算．涉及空間想象能力、邏輯思維能力和簡單計算．∵,∴,其為球的截面圓的直徑,設(shè)棱錐的高為h,則,∴棱錐的體積為．[技巧點撥]球的所有截面都是圓,而矩形的對角線恰好是其外接圓的直徑．16．〔2011XX理12三棱錐中,底面,,底面是邊長為2的正三角形,則三棱錐的體積等于___________．[答案][解析]考查椎體的體積公式,屬于簡單題．[技巧點撥]求幾何體體積的關(guān)鍵是找好底和高．17．〔2011高考天津理10一個幾何體的三視圖如圖所示〔單位：,則這個幾何體的體積為__________[答案][解析]18．〔2011XX理15一個正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等,體積為,它的三視圖中的俯視圖如圖所示,左視圖是一個矩形,則這個矩形的面積是____________．[答案][解析]本小題主要考查了正三棱柱的三視圖有關(guān)知識,考查空間想象能力．設(shè)正三棱柱底面邊長為,利用體積為,很容易求出這個正三棱柱的底面邊長和側(cè)棱長都是2,所以底面正三角形的高為√3,故所求矩形的面積為．[技巧點撥]求解三視圖問題要注意滿足三個視圖在長、寬、高之間的關(guān)系．利用這種關(guān)系往往可以更簡捷求解有關(guān)問題．19．〔2011全國16已知、分別在正方體棱、上,且,,則面與面所成的二面角的正切值等于_____________．[答案][解析]本小題主要考查了無棱二面角的作法及求法．如圖：連并延長交的延長線于,連,過作,連,則由三垂線定理知為面與面ABC所成的二面角的平面角．易求得．20．〔2011XX15如圖,半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時,球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是．[答案][解析]時,取最大值時,,則．21．〔2011上海春季13有一種多面體的飾品,其表面由個正方形和個正三角形組成〔如圖,與所成角的大小是______________．[答案][解析]與是正方形的邊,則,,因為和是正三角形的兩邊,則與所成的角為．22．〔2011上海7若圓錐的側(cè)面積為,底面積為,則該圓錐的體積為__________．[答案][解析]本題考查〔立體幾何中圓錐的相關(guān)量〔側(cè)面積、體積的計算公式,考查計算能力．依題意,底面半徑為,側(cè)面積,故圓錐的體積為：．三、解答題23．〔2011XX理19在如圖所示的幾何體中,四邊形為平行四邊形,,平面,,,,．〔Ⅰ若是線段上的中點,求證：平面；〔Ⅱ若,求平面角的大小．[解析]〔Ⅰ連結(jié),因為,,,所以平面平面,又易證,所以,即,即,又為的中點,所以,又因為,所以,所以四邊形是平行四邊形,故,又因為平面,平面,所以平面．〔Ⅱ取的中點,連結(jié),因為,所以,又因為平面,平面,所以,又,所以平面,在平面內(nèi),過點作于,連結(jié),由三垂線定理知：,所以為二面角的平面角．設(shè),因為,,,,連結(jié),容易證得且,所以,所以,所以在中,,故,所以二面角的大小為．24．〔2011XX理18如圖,在椎體中,是邊長為1的棱形,且,,,,分別是,的中點．〔1證明：平面；〔2求二面角的余弦值．[解析]〔1取的中點,又,所以,由題意知ΔABC是等邊三角形,所以,又PG,BG是平面PGB的兩條相交直線,∴平面,∵,∴平面平面,∴平面〔2由〔1知為二面角的平面角,由已知可得,由平面,,可知,所以,又,所以是直角三角形,由是的中點得,又,所以．由知,所以在面上的射影在上,由知,所以在面上的射影在上,從而在面上的射影就是點,所以面．延長、交于一點,連接,則,所以面,從而．中,,,所以,．注：如果學(xué)習(xí)了余弦定理,以下解法更為簡便：在中,；在中,；在中,．25．〔2011XX16如圖,在四棱錐中,平面平面,,,、分別是、的中點．求證：〔1直線平面；〔2平面平面[解析]簡單本題考察空間想象能力和推理論證能力、線面平行和垂直的判定與性質(zhì),屬容易題．〔1因為、分別是、的中點,∴又∵面,面,∴直線平面〔2∵,,是的中點,∴又平面平面,面面∴面所以,平面平面．26．〔2011XX理17如圖,為多面體,平面與平面垂直,點在線段上,,,,,,△都是正三角形．〔1證明直線∥；〔2求棱錐的體積．27．〔2011XX理19如圖,在圓錐中,已知,的直徑,是弧的中點,為的中點．〔I證明：〔II求二面角的余弦值．[解析]〔I連接,因為,為的中點,所以．又因為內(nèi)的兩條相交直線,所以．而,所以．〔II在平面中,過作于,由〔I知,,所以又所以．在平面中,過作于連接,則有,從而,所以是二面角的平面角．在在在在,所以．故二面角的余弦值為．28．〔2011全國19如圖,棱錐中,∥,⊥,側(cè)面為等邊三角形,==2,==1．〔Ⅰ證明：⊥平面；〔Ⅱ求與平面所成的角的大?。甗解析]本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及線面角等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力．〔Ⅰ證明：連又取的中點,連,則又∥,⊥,,又故⊥平面．〔Ⅱ過作,過作,連,則∥,與平面所成的角為與平面所成的角．由〔Ⅰ有,又,所以∴．所以,故即為所求．在中,,所以所以,所以．29．〔2011XX19如圖,在四面體中,平面⊥,⊥,=,∠=．〔Ⅰ若=2,=2,求四邊形的體積．〔Ⅱ若二面角為,求異面直線與所成角的余弦值．[解析]〔Ⅰ如圖所示,設(shè)為的中點,由于,所以．故由平面⊥,知平面,即,．在中,因,,由勾股定理易得,．故四面體的體積．〔Ⅱ如圖所示設(shè)、分別為邊,的中點,則,,,從而是異面直線與所成角或其補角．設(shè)為邊的中點,則,由⊥,知⊥,又由〔Ⅰ有平面,故由三垂線定理知⊥,所以為二面角的平面角,由題設(shè)知,設(shè),則在中,,從而因,故．從而,在中,,又,從而在中,因,由余弦定理得,故異面直線與所成角的余弦值為．30．〔2011XX21〔1如圖,對于任一給定的四面體,找出依次排列的四個相互平行的平面,使得〔i=1,2,3,4,且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；〔2給定依次排列的四個相互平行的平面,其中每相鄰兩個平面間的距離為1,若一個正四面體的四個頂點滿足：〔i=1,2,3,4,求該正四面體的體積．[解析]〔1將直線三等分,其中另兩個分點依次為,連接,作平行于的平面,分別過,即為．同理,過點作平面即可的出結(jié)論．〔2現(xiàn)設(shè)正方體的棱長為,若,,,由于得,,那么,正四面體的棱長為,其體積為〔即一個棱長為的正方體割去四個直角三棱錐后的體積31．〔2011上海春季20某甜品店制作一種蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圓錐形〔如圖,現(xiàn)把半徑為10的圓形蛋皮等分成個扇形,用一個蛋皮圍成圓錐的側(cè)面〔蛋皮的厚度忽略不計,求該蛋筒冰激凌的表面積和體積〔精確到[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為,高為．由題意,圓錐的側(cè)面扇形的周長為,圓錐底面周長為,則,．圓錐的高為,圓錐的側(cè)面扇形的面積為,半球的面積為．所以該蛋筒冰激凌的表面積為；圓錐的體積為,半球的體積為,所以該蛋筒冰激凌的體積為．因此該蛋筒冰激凌的表面積約為,體積約為．第二章解析幾何初步一、選擇題1．〔2011XX理2已知集合,為實數(shù),且,,為實數(shù),且,則的元素個數(shù)為A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]集合由由圓上的所有點組成,集合由直線上的所有點組成,而直線經(jīng)過圓內(nèi)的點,故直線與圓有2個交點．2．〔2011XX8在圓內(nèi),過點的最長弦和最短弦分別為和,則四邊形的面積為A．B．C．D．[答案]B[解析]由題意,為直徑,設(shè)圓心為,則,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,故,由此,易得：,又,所以直線的方程為,到的距離為,由此得,所以四邊形的面積為．3．〔2011XX10如圖,一個直徑為的小圓沿著直徑為的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動,和是小圓的一條固定直徑的兩個端點．那么,當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周,點,在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是[答案]A[解析]根據(jù)小圓與大圓半徑的關(guān)系,找上下左右四個點,根據(jù)這四個點的位置,小圓轉(zhuǎn)半圈,剛好是大圓的四分之一,因此點的軌跡是個大圓,而點的軌跡是四條線,剛好是點產(chǎn)生的大圓的半徑．4．〔2011上海春季17直線與圓的位置關(guān)系為A