概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)和應(yīng)用第二版課后答案浙江大學(xué)2

.PAGE.第1章隨機(jī)變量及其概率1,寫出下列試驗(yàn)的樣本空間：連續(xù)投擲一顆骰子直至6個(gè)結(jié)果中有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)兩次,記錄投擲的次數(shù)。連續(xù)投擲一顆骰子直至6個(gè)結(jié)果中有一個(gè)結(jié)果接連出現(xiàn)兩次,記錄投擲的次數(shù)。連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn),觀察正反面出現(xiàn)的情況。拋一枚硬幣,若出現(xiàn)H則再拋一次；若出現(xiàn)T,則再拋一顆骰子,觀察出現(xiàn)的各種結(jié)果。解：〔1；〔2；〔3；〔4。2,設(shè)是兩個(gè)事件,已知,求。解：,,,3,在100,101,…,999這900個(gè)3位數(shù)中,任取一個(gè)3位數(shù),求不包含數(shù)字1個(gè)概率。解：在100,101,…,999這900個(gè)3位數(shù)中不包含數(shù)字1的3位數(shù)的個(gè)數(shù)為,所以所求得概率為4,在僅由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成且每個(gè)數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)中,任取一個(gè)三位數(shù)?！?求該數(shù)是奇數(shù)的概率；〔2求該數(shù)大于330的概率。解：僅由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成且每個(gè)數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)?！?該數(shù)是奇數(shù)的可能個(gè)數(shù)為個(gè),所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為〔2該數(shù)大于330的可能個(gè)數(shù)為,所以該數(shù)大于330的概率為5,袋中有5只白球,4只紅球,3只黑球,在其中任取4只,求下列事件的概率?！?4只中恰有2只白球,1只紅球,1只黑球。〔24只中至少有2只紅球?！?4只中沒有白球。解:〔1所求概率為；〔2所求概率為；〔3所求概率為。6,一公司向個(gè)銷售點(diǎn)分發(fā)張?zhí)嶝泦?設(shè)每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給每一銷售點(diǎn)是等可能的,每一銷售點(diǎn)得到的提貨單不限,求其中某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚母怕?。解：根?jù)題意,張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給個(gè)銷售點(diǎn)的總的可能分法有種,某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚目赡芊址ㄓ蟹N,所以某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚母怕蕿椤?,將3只球〔1~3號(hào)隨機(jī)地放入3只盒子〔1~3號(hào)中,一只盒子裝一只球。若一只球裝入與球同號(hào)的盒子,稱為一個(gè)配對(duì)。〔1求3只球至少有1只配對(duì)的概率?！?求沒有配對(duì)的概率。解：根據(jù)題意,將3只球隨機(jī)地放入3只盒子的總的放法有3！=6種：123,132,213,231,312,321；沒有1只配對(duì)的放法有2種：312,231。至少有1只配對(duì)的放法當(dāng)然就有6-2=4種。所以〔2沒有配對(duì)的概率為；〔1至少有1只配對(duì)的概率為。8,〔1設(shè),求,.〔2袋中有6只白球,5只紅球,每次在袋中任取1只球,若取到白球,放回,并放入1只白球；若取到紅球不放回也不放入另外的球。連續(xù)取球4次,求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解：〔1由題意可得,所以,,,,?！?設(shè)表示"第次取到白球"這一事件,而取到紅球可以用它的補(bǔ)來表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球可以表示為,它的概率為〔根據(jù)乘法公式。9,一只盒子裝有2只白球,2只紅球,在盒中取球兩次,每次任取一只,做不放回抽樣,已知得到的兩只球中至少有一只是紅球,求另一只也是紅球的概率。解：設(shè)"得到的兩只球中至少有一只是紅球"記為事件,"另一只也是紅球"記為事件。則事件的概率為〔先紅后白,先白后紅,先紅后紅所求概率為10,一醫(yī)生根據(jù)以往的資料得到下面的訊息,他的病人中有5%的人以為自己患癌癥,且確實(shí)患癌癥；有45%的人以為自己患癌癥,但實(shí)際上未患癌癥；有10%的人以為自己未患癌癥,但確實(shí)患了癌癥；最后40%的人以為自己未患癌癥,且確實(shí)未患癌癥。以表示事件"一病人以為自己患癌癥",以表示事件"病人確實(shí)患了癌癥",求下列概率。〔1；〔2；〔3；〔4；〔5。解：〔1根據(jù)題意可得；；〔2根據(jù)條件概率公式：；〔3；〔4；〔5。11,在11張卡片上分別寫上engineering這11個(gè)字母,從中任意連抽6張,求依次排列結(jié)果為ginger的概率。解：根據(jù)題意,這11個(gè)字母中共有2個(gè)g,2個(gè)i,3個(gè)n,3個(gè)e,1個(gè)r。從中任意連抽6張,由獨(dú)立性,第一次必須從這11張中抽出2個(gè)g中的任意一張來,概率為2/11；第二次必須從剩余的10張中抽出2個(gè)i中的任意一張來,概率為2/10；類似地,可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率為；或者。12,據(jù)統(tǒng)計(jì),對(duì)于某一種疾病的兩種癥狀：癥狀A(yù)、癥狀B,有20%的人只有癥狀A(yù),有30%的人只有癥狀B,有10%的人兩種癥狀都有,其他的人兩種癥狀都沒有。在患這種病的人群中隨機(jī)地選一人,求〔1該人兩種癥狀都沒有的概率；〔2該人至少有一種癥狀的概率；〔3已知該人有癥狀B,求該人有兩種癥狀的概率。解：〔1根據(jù)題意,有40%的人兩種癥狀都沒有,所以該人兩種癥狀都沒有的概率為；〔2至少有一種癥狀的概率為；〔3已知該人有癥狀B,表明該人屬于由只有癥狀B的30%人群或者兩種癥狀都有的10%的人群,總的概率為30%+10%=40%,所以在已知該人有癥狀B的條件下該人有兩種癥狀的概率為。13,一在線計(jì)算機(jī)系統(tǒng),有4條輸入通訊線,其性質(zhì)如下表,求一隨機(jī)選擇的進(jìn)入訊號(hào)無誤差地被接受的概率。通訊線通訊量的份額無誤差的訊息的份額10.40.999820.30.999930.10.999740.20.9996解：設(shè)"訊號(hào)通過通訊線進(jìn)入計(jì)算機(jī)系統(tǒng)"記為事件,"進(jìn)入訊號(hào)被無誤差地接受"記為事件。則根據(jù)全概率公式有=0.9997814,一種用來檢驗(yàn)50歲以上的人是否患有關(guān)節(jié)炎的檢驗(yàn)法,對(duì)于確實(shí)患關(guān)節(jié)炎的病人有85%的給出了正確的結(jié)果；而對(duì)于已知未患關(guān)節(jié)炎的人有4%會(huì)認(rèn)為他患關(guān)節(jié)炎。已知人群中有10%的人患有關(guān)節(jié)炎,問一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn),認(rèn)為他沒有關(guān)節(jié)炎,而他卻有關(guān)節(jié)炎的概率。解：設(shè)"一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為患有關(guān)節(jié)炎"記為事件,"一名被檢驗(yàn)者確實(shí)患有關(guān)節(jié)炎"記為事件。根據(jù)全概率公式有,所以,根據(jù)條件概率得到所要求的概率為即一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為沒有關(guān)節(jié)炎而實(shí)際卻有關(guān)節(jié)炎的概率為17.06%.15,計(jì)算機(jī)中心有三臺(tái)打字機(jī)A,B,C,程序交與各打字機(jī)打字的概率依次為0.6,0.3,0.1,打字機(jī)發(fā)生故障的概率依次為0.01,0.05,0.04。已知一程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞了,求該程序是在A,B,C上打字的概率分別為多少？解：設(shè)"程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞"記為事件,"程序在A,B,C三臺(tái)打字機(jī)上打字"分別記為事件。則根據(jù)全概率公式有,根據(jù)Bayes公式,該程序是在A,B,C上打字的概率分別為,,。16,在通訊網(wǎng)絡(luò)中裝有密碼鑰匙,設(shè)全部收到的訊息中有95%是可信的。又設(shè)全部不可信的訊息中只有0.1%是使用密碼鑰匙傳送的,而全部可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。求由密碼鑰匙傳送的一訊息是可信訊息的概率。解：設(shè)"一訊息是由密碼鑰匙傳送的"記為事件,"一訊息是可信的"記為事件。根據(jù)Bayes公式,所要求的概率為17,將一枚硬幣拋兩次,以A,B,C分別記事件"第一次得H","第二次得H","兩次得同一面"。試驗(yàn)證A和B,B和C,C和A分別相互獨(dú)立〔兩兩獨(dú)立,但A,B,C不是相互獨(dú)立。解：根據(jù)題意,求出以下概率為,；,,。所以有,,。即表明A和B,B和C,C和A兩兩獨(dú)立。但是所以A,B,C不是相互獨(dú)立。18,設(shè)A,B,C三個(gè)運(yùn)動(dòng)員自離球門25碼處踢進(jìn)球的概率依次為0.5,0.7,0.6,設(shè)A,B,C各在離球門25碼處踢一球,設(shè)各人進(jìn)球與否相互獨(dú)立,求〔1恰有一人進(jìn)球的概率；〔2恰有二人進(jìn)球的概率；〔3至少有一人進(jìn)球的概率。解：設(shè)"A,B,C進(jìn)球"分別記為事件?！?設(shè)恰有一人進(jìn)球的概率為,則〔由獨(dú)立性〔2設(shè)恰有二人進(jìn)球的概率為,則〔由獨(dú)立性〔3設(shè)至少有一人進(jìn)球的概率為,則。19,有一危重病人,僅當(dāng)在10分鐘之內(nèi)能有一供血者供給足量的A-RH+血才能得救。設(shè)化驗(yàn)一位供血者的血型需要2分鐘,將所需的血全部輸入病人體內(nèi)需要2分鐘,醫(yī)院只有一套驗(yàn)血型的設(shè)備,且供血者僅有40%的人具有該型血,各人具有什么血型相互獨(dú)立。求病人能得救的概率。解：根據(jù)題意,醫(yī)院最多可以驗(yàn)血型4次,也就是說最遲可以第4個(gè)人才驗(yàn)出是A-RH+型血。問題轉(zhuǎn)化為最遲第4個(gè)人才驗(yàn)出是A-RH+型血的概率是多少？因?yàn)榈谝淮尉蜋z驗(yàn)出該型血的概率為0.4；第二次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.60.4=0.24；第三次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.620.4=0.144；第四次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0.630.4=0.0864；所以病人得救的概率為0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704220,一元件〔或系統(tǒng)能正常工作的概率稱為元件〔或系統(tǒng)的可靠性。如圖設(shè)有5個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4,5按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接,設(shè)元件的可靠性均為,試求系統(tǒng)的可靠性。21第20題543解：設(shè)"元件1第20題543那么系統(tǒng)的可靠性為21,用一種檢驗(yàn)法檢測(cè)產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。若真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為含有的概率為0.8；若真不含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為0.9,據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4,0.6。今獨(dú)立地對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)行了3次檢驗(yàn),結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì),而一次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì),求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。〔注：本題較難,靈活應(yīng)用全概率公式和Bayes公式解：設(shè)"一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)"記為事件,"對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)行3次檢驗(yàn),結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì),而1次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)"記為事件。則要求的概率為,根據(jù)Bayes公式可得又設(shè)"產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)"記為事件,根據(jù)題意有,而且,,所以；故,〔第1章習(xí)題解答完畢隨機(jī)變量及其分布1,設(shè)在某一人群中有40%的人血型是A型,現(xiàn)在在人群中隨機(jī)地選人來驗(yàn)血,直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止,以Y記進(jìn)行驗(yàn)血的次數(shù),求Y的分布律。解：顯然,Y是一個(gè)離散型的隨機(jī)變量,Y取表明第個(gè)人是A型血而前個(gè)人都不是A型血,因此有,〔上式就是隨機(jī)變量Y的分布律〔這是一個(gè)幾何分布。2,水自A處流至B處有3個(gè)閥門1,2,3,閥門聯(lián)接方式如圖所示。當(dāng)信號(hào)發(fā)出時(shí)各閥門以0.8的概率打開,以X表示當(dāng)信號(hào)發(fā)出時(shí)水自A流至B的通路條數(shù),求X的分布律。設(shè)各閥門的工作相互獨(dú)立。解：X只能取值0,1,2。設(shè)以記第個(gè)閥門沒有打開這一事件。則,類似有,AB2AB213X0120.0720.5120.4163,據(jù)信有20%的美國(guó)人沒有任何健康保險(xiǎn),現(xiàn)任意抽查15個(gè)美國(guó)人,以X表示15個(gè)人中無任何健康保險(xiǎn)的人數(shù)〔設(shè)各人是否有健康保險(xiǎn)相互獨(dú)立。問X服從什么分布？寫出分布律。并求下列情況下無任何健康保險(xiǎn)的概率：〔1恰有3人；〔2至少有2人；〔3不少于1人且不多于3人；〔4多于5人。解：根據(jù)題意,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B<15,0.2>,分布律為。〔1〔2；〔3；〔44,設(shè)有一由個(gè)元件組成的系統(tǒng),記為,這一系統(tǒng)的運(yùn)行方式是當(dāng)且僅當(dāng)個(gè)元件中至少有個(gè)元件正常工作時(shí),系統(tǒng)正常工作。現(xiàn)有一系統(tǒng),它由相互獨(dú)立的元件組成,設(shè)每個(gè)元件的可靠性均為0.9,求這一系統(tǒng)的可靠性。解：對(duì)于系統(tǒng),當(dāng)至少有3個(gè)元件正常工作時(shí),系統(tǒng)正常工作。而系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布B<5,0.9>,所以系統(tǒng)正常工作的概率為5,某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品,生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡,以至產(chǎn)品成為次品,設(shè)次品率為0.001,現(xiàn)取8000件產(chǎn)品,用泊松近似,求其中次品數(shù)小于7的概率?！苍O(shè)各產(chǎn)品是否為次品相互獨(dú)立解：根據(jù)題意,次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布B<8000,0.001>,所以〔查表得。6,〔1設(shè)一天內(nèi)到達(dá)某港口城市的油船的只數(shù)X~,求〔2已知隨機(jī)變量X~,且有,求。解：〔1；〔2根據(jù),得到。所以。7,一公司有5名訊息員,各人在t分鐘內(nèi)收到訊息的次數(shù)〔設(shè)各人收到訊息與否相互獨(dú)立?！?求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個(gè)訊息員未收到訊息的概率?！?求在給定的一分鐘內(nèi)5個(gè)訊息員恰有4人未收到訊息的概率。〔3寫出在一給定的一分鐘內(nèi),所有5個(gè)訊息員收到相同次數(shù)的訊息的概率。解：在給定的一分鐘內(nèi),任意一個(gè)訊息員收到訊息的次數(shù)。〔1；〔2設(shè)在給定的一分鐘內(nèi)5個(gè)訊息員中沒有收到訊息的訊息員人數(shù)用Y表示,則Y~B<5,0.1353>,所以?！?每個(gè)人收到的訊息次數(shù)相同的概率為8,一教授當(dāng)下課鈴打響時(shí),他還不結(jié)束講解。他常結(jié)束他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi),以X表示鈴響至結(jié)束講解的時(shí)間。設(shè)X的概率密度為,〔1確定；〔2求；〔3求；〔4求。解：〔1根據(jù),得到；〔2；〔3；〔4。9,設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求t的方程有實(shí)根的概率。解：方程有實(shí)根表明,即,從而要求或者。因?yàn)?所以方程有實(shí)根的概率為0.001+0.936=0.937.10,設(shè)產(chǎn)品的壽命X〔以周計(jì)服從瑞利分布,其概率密度為求壽命不到一周的概率；求壽命超過一年的概率；已知它的壽命超過20周,求壽命超過26周的條件概率。解：〔1；〔2；〔3。11,設(shè)實(shí)驗(yàn)室的溫度X〔以計(jì)為隨機(jī)變量,其概率密度為某種化學(xué)反應(yīng)在溫度X>1時(shí)才能發(fā)生,求在實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)發(fā)生的概率。在10個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)室中,各實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)是否會(huì)發(fā)生時(shí)相互獨(dú)立的,以Y表示10個(gè)實(shí)驗(yàn)室中有這種化學(xué)反應(yīng)的實(shí)驗(yàn)室的個(gè)數(shù),求Y的分布律。求,。解：〔1；〔2根據(jù)題意,所以其分布律為〔3,。12,〔1設(shè)隨機(jī)變量Y的概率密度為試確定常數(shù)C,求分布函數(shù),并求,。〔2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求分布函數(shù),并求,。解：〔1根據(jù),得到。；〔2；。13,在集合A={1,2,3,….,n}中取數(shù)兩次,每次任取一數(shù),作不放回抽樣,以X表示第一次取到的數(shù),以Y表示第二次取到的數(shù),求X和Y的聯(lián)合分布律。并用表格形式寫出當(dāng)n=3時(shí)X和Y的聯(lián)合分布律。解：根據(jù)題意,取兩次且不放回抽樣的總可能數(shù)為n<n-1>,因此,〔,且當(dāng)n取3時(shí),,〔,且,表格形式為YXY123101/61/621/601/631/61/6014,設(shè)一加油站有兩套用來加油的設(shè)備,設(shè)備A是加油站的工作人員操作的,設(shè)備B是有顧客自己操作的。A,B均有兩個(gè)加油管。隨機(jī)取一時(shí)刻,A,B正在使用的軟管根數(shù)分別記為X,Y,它們的聯(lián)合分布律為YXY01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30求,；求至少有一根軟管在使用的概率；求,。解：〔1由表直接可得=0.2,=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42〔2至少有一根軟管在使用的概率為〔3=0.1+0.2+0.3=0.615,設(shè)隨機(jī)變量〔X,Y的聯(lián)合概率密度為試確定常數(shù),并求,,。解：根據(jù),可得,所以。；。16,設(shè)隨機(jī)變量〔X,Y在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。求〔X,Y的概率密度；求邊緣概率密度。解：〔1根據(jù)題意,〔X,Y的概率密度必定是一常數(shù),故由,得到?！?；18,設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量,它們的聯(lián)合概率密度為,求關(guān)于的邊緣概率密度；求條件概率密度,寫出當(dāng)時(shí)的條件概率密度；求條件概率。解：〔1?！?當(dāng)時(shí),。特別地,當(dāng)時(shí)?！?。19,〔1在第14題中求在的條件下的條件分布律；在的條件下的條件分布律?！?在16題中求條件概率密度,,。解：〔1根據(jù)公式,得到在的條件下的條件分布律為0125/121/31/4類似地,在的條件下的條件分布律為0124/1710/173/17〔2因?yàn)?。；。所?當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),。20,設(shè)隨機(jī)變量〔X,Y在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。寫出〔X,Y的概率密度；求邊緣概率密度；求條件概率密度,并寫出當(dāng)時(shí)的條件概率密度。解：〔1根據(jù)題意,〔X,Y的概率密度必定是一常數(shù),故由,得到?！?；?！?當(dāng)時(shí),。特別地,當(dāng)時(shí)的條件概率密度為。21,設(shè)是二維隨機(jī)變量,的概率密度為且當(dāng)時(shí)的條件概率密度為,求聯(lián)合概率密度；求關(guān)于的邊緣概率密度；求在的條件下的條件概率密度。解：〔1；〔2；〔3當(dāng)時(shí),。22,〔1設(shè)一離散型隨機(jī)變量的分布律為-101又設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且都與有相同的分布律。求的聯(lián)合分布律。并求?！?問在14題中是否相互獨(dú)立？解：〔1由相互獨(dú)立性,可得的聯(lián)合分布律為,結(jié)果寫成表格為Y1Y2-101-101?！?14題中,求出邊緣分布律為YXY01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501很顯然,,所以不是相互獨(dú)立。23,設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,,的概率密度為試寫出的聯(lián)合概率密度,并求。解：根據(jù)題意,的概率密度為所以根據(jù)獨(dú)立定,的聯(lián)合概率密度為。24,設(shè)隨機(jī)變量具有分布律-2-10131/51/61/51/1511/30求的分布律。解：根據(jù)定義立刻得到分布律為125101/57/301/511/3025,設(shè)隨機(jī)變量,求的概率密度。解：設(shè)的概率密度分別為,的分布函數(shù)為。則當(dāng)時(shí),,；當(dāng)時(shí),,。所以,。26,〔1設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。〔2設(shè)隨機(jī)變量,求的概率密度?！?設(shè)隨機(jī)變量,求的概率密度。解：設(shè)的概率密度分別為,分布函數(shù)分別為。則〔1當(dāng)時(shí),,；當(dāng)時(shí),,。所以,?！?此時(shí)。因?yàn)?故,,所以,?！?當(dāng)時(shí),,故,。所以,。27,設(shè)一圓的半徑X是隨機(jī)變量,其概率密度為求圓面積A的概率密度。解：圓面積,設(shè)其概率密度和分布函數(shù)分別為。則,故所以,。28,設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布,驗(yàn)證的概率密度為。解：因?yàn)殡S機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,所以它們的聯(lián)合概率密度為。先求分布函數(shù),當(dāng)時(shí),,故,。29,設(shè)隨機(jī)變量,隨機(jī)變量Y具有概率密度,,設(shè)X,Y相互獨(dú)立,求的概率密度。解：因?yàn)?所以的概率密度為。30隨機(jī)變量X和Y的概率密度分別為,,X,Y相互獨(dú)立。求的概率密度。解：根據(jù)卷積公式,得,。所以的概率密度為。31,設(shè)隨機(jī)變量X,Y都在<0,1>上服從均勻分布,且X,Y相互獨(dú)立,求的概率密度。解：因?yàn)閄,Y都在<0,1>上服從均勻分布,所以,根據(jù)卷積公式,得。32,設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,它們的聯(lián)合概率密度為求邊緣概率密度。求的分布函數(shù)。求概率。解：〔1；?！?的分布函數(shù)為因?yàn)椋?所以,?！?。33,〔1一條繩子長(zhǎng)為,將它隨機(jī)地分為兩段,以表示短的一段的長(zhǎng)度,寫出的概率密度。〔2兩條繩子長(zhǎng)度均為,將它們獨(dú)立地各自分成兩段,以表示四段繩子中最短的一段的長(zhǎng)度,驗(yàn)證的概率密度為。解：〔1根據(jù)題意,隨機(jī)變量,所以概率密度為。〔2設(shè)這兩條繩子被分成兩段以后較短的那一段分別記為,則它們都在上服從均勻分布。,其分布函數(shù)為,所以密度函數(shù)為。34,設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律為求的分布律。求的分布律。求的分布律。YXY01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20031/12000解：〔1的分布律為如,,其余類似。結(jié)果寫成表格形式為01231/122/329/1201/120〔2的分布律為如,,其余類似。結(jié)果寫成表格形式為0127/4013/40〔3的分布律為如,,其余類似。結(jié)果寫成表格形式為01231/125/125/121/12〔第2章習(xí)題解答完畢隨機(jī)變量的數(shù)字特征1,解：根據(jù)題意,有1/5的可能性取到5個(gè)單詞中的任意一個(gè)。它們的字母數(shù)分別為4,5,6,7,7。所以分布律為45671/51/51/52/5.2,解：５個(gè)單詞字母數(shù)還是４,５,６,７,７。這時(shí),字母數(shù)更多的單詞更有可能被取到。分布律為45674/295/296/2914/29.3,解：根據(jù)古典概率公式,取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)分別為0,1,2臺(tái)的概率分別為,,。所以取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。4,解：根據(jù)題意,有1/6的概率得分超過6,而且得分為7的概率為兩個(gè)1/6的乘積〔第一次6點(diǎn),第2次1點(diǎn),其余類似；有5/6的概率得分小于6。分布律為12345789101112得分的數(shù)學(xué)期望為。5,解：〔1根據(jù),可得,因此計(jì)算得到,即。所以=6?！?根據(jù)題意,按照數(shù)學(xué)期望的公式可得,因此期望存在?！怖昧恕膊环麜洗鸢?,解：〔1一天的平均耗水量為〔百萬升?！?這種動(dòng)物的平均壽命為〔年。7,解：=1/4。8,解：。9,解：?！矊?duì)第一個(gè)積分進(jìn)行變量代換10,解：。〔不符書上答案11,解：R的概率密度函數(shù)為,所以。12,解：〔不符書上答案13,解：因?yàn)榈姆植己瘮?shù)為,所以可以求出的分布函數(shù)為,。的密度函數(shù)為,。所以的數(shù)學(xué)期望為,。14,解：求出邊緣分布律如下YXY01203/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/2810/2815/283/281,,,,。15,解：,。16,解：,,。17,解：根據(jù)題意,可得利潤(rùn)的分布律為200010000-1000-20000.20.30.30.10.1因此,〔元。18解,,,?！脖绢}積分利用了,這個(gè)結(jié)果可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)中得到19,解：,,所以,。本題利用了冪級(jí)數(shù)求和中先積分再求導(dǎo)的方法。設(shè),則,所以。類似的,設(shè),則經(jīng)過兩次積分以后可得到,在經(jīng)過兩次求導(dǎo)得到。20,解：〔1當(dāng)時(shí),?！?當(dāng)時(shí),,即不存在?！?,當(dāng)時(shí),,所以,?！?當(dāng)時(shí),,所以不存在。21,解：〔1根據(jù)14題中結(jié)果,得到；因?yàn)?,所以,,?！?根據(jù)16題結(jié)果可得：；因?yàn)?,所以,,,?！?在第2章14題中,由以下結(jié)果YXY01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501得到,,,,,,所以,；,,.22,解：根據(jù)題意有。。23,解：〔1因?yàn)橄嗷オ?dú)立,所以。〔2根據(jù)題意,可得,。。24,解：因?yàn)?,,所以,,即,驗(yàn)證了X,Y不相關(guān)。又因?yàn)?；,顯然,,所以驗(yàn)證了X,Y不是相互獨(dú)立的。25,解：引入隨機(jī)變量定義如下則總的配對(duì)數(shù),而且因?yàn)?所以,。故所以,。正態(tài)分布1,〔1設(shè),求,,；〔2設(shè),且,,求。解：〔1,〔2,所以；,所以,即。2,設(shè),求,。解：因?yàn)?所以。。3,〔1設(shè),試確定,使得?！?設(shè),試確定,使得。解：〔1因?yàn)樗缘玫?即,?！?因?yàn)?所以,即,從而,。4,已知美國(guó)新生兒的體重〔以g計(jì)。求；在新生兒中獨(dú)立地選25個(gè),以Y表示25個(gè)新生兒的體重小于2719的個(gè)數(shù),求。解：根據(jù)題意可得。〔1〔或0.8673〔2,根據(jù)題意,所以。5,設(shè)洗衣機(jī)的壽命〔以年計(jì),一洗衣機(jī)已使用了5年,求其壽命至少為8年的條件概率。解：所要求的概率為6,一電路要求裝兩只設(shè)計(jì)值為12歐的電阻器,而實(shí)際上裝的電阻器的電阻值〔以歐計(jì)服從均值為11.9歐,標(biāo)準(zhǔn)差為0.2歐的正態(tài)分布。求〔1兩只電阻器的電阻值都在11.7歐和12.3歐之間的概率；〔2至少有一只電阻器大于12.4歐的概率〔設(shè)兩電阻器的電阻值相互獨(dú)立解：設(shè)兩個(gè)電阻器的電阻值分別記為隨機(jī)變量則,〔1；〔2至少有一只電阻器大于12.4歐的概率為。7,一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命〔以小時(shí)計(jì)服從均值,均方差為的正態(tài)分布,若要求,允許最大為多少？解：根據(jù)題意,。所以有,即,,從而。故允許最大不超過31.25。8,將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲(chǔ)存著某種液體的容器內(nèi),調(diào)節(jié)器整定在,液體的溫度〔以計(jì)是一個(gè)隨機(jī)變量,且,若,求小于89的概率；若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99,問至少為多少？解：因?yàn)?所以?！?；〔2若要求,那么就有,即或者,從而,最后得到,即至少應(yīng)為81.163。9,設(shè)相互獨(dú)立,且服從數(shù)學(xué)期望為150,方差為9的正態(tài)分布,服從數(shù)學(xué)期望為100,方差為16的正態(tài)分布。求,,的分布；求,。解：根據(jù)題意。根據(jù)正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布〔本書101頁定理2的性質(zhì),立刻得到,,因?yàn)?,所以,。因此,10,〔1某工廠生產(chǎn)螺栓和墊圈。螺栓直徑〔以mm計(jì),墊圈直徑〔以mm計(jì),相互獨(dú)立。隨機(jī)地取一只螺栓,一只墊圈,求螺栓能裝入墊圈的概率?！?在〔1中若,,問控制至多為多少才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90。解：〔1根據(jù)題意可得。螺栓能裝入墊圈的概率為?！?,所以若要控制,即要求,計(jì)算可得。表明至多為0.3348才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90。11,設(shè)某地區(qū)女子的身高〔以m計(jì),男子身高〔以m計(jì)。設(shè)各人身高相互獨(dú)立。〔1在這一地區(qū)隨機(jī)選一名女子,一名男子,求女子比男子高的概率；〔2在這一地區(qū)隨機(jī)選5名女子,求至少有4名的身高大于1.60的概率；〔3在這一地區(qū)隨機(jī)選50名女子,求這50名女子的平均身高達(dá)于1.60的概率。解：〔1因?yàn)?所以；〔2隨機(jī)選擇的女子身高達(dá)于1.60的概率為,隨機(jī)選擇的5名女子,身高大于1.60的人數(shù)服從二項(xiàng)分布,所以至少有4名的身高大于1.60的概率為〔3設(shè)這50名女子的身高分別記為隨機(jī)變量,。則,所以這50名女子的平均身高達(dá)于1.60的概率為12,〔1設(shè)隨機(jī)變量,已知,,求和；〔2相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求。解：〔1由,得到；,得到；聯(lián)立和,計(jì)算得到?！?由相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,得到。故所以13,一食品廠用紙質(zhì)容器灌裝飲料,容器的重量為30g,灌裝時(shí)將容器放在臺(tái)秤上,將飲料注入直到秤上刻度指到時(shí)結(jié)束。以記容器中飲料的重量。設(shè)臺(tái)秤的誤差為,以g計(jì)?！泊颂幖s定臺(tái)秤顯示值大于真值時(shí)誤差為正〔1寫出的關(guān)系式；〔2求的分布；〔3確定使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.95。解：〔1根據(jù)題意有關(guān)系式或者；〔2因?yàn)?所以；〔3要使得,即要,所以要求,即,。所以,要使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.95,至少為492.4g。14,在上題中若容器的重量也是一個(gè)隨機(jī)變量,,設(shè)相互獨(dú)立。〔1求的分布；〔2確定使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.90。解：〔1此時(shí),根據(jù),,可得?！?,可得,即。15,某種電子元件的壽命〔以年計(jì)服從數(shù)學(xué)期望為2的指數(shù)分布,各元件的壽命相互獨(dú)立。隨機(jī)取100只元件,求這100只元件的壽命之和大于180的概率。解：設(shè)這100只元件的壽命分別記為隨機(jī)變量,。則,。根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理可得16,以記100袋額定重量為25〔kg的袋裝肥料的真實(shí)的凈重,服從同一分布,且相互獨(dú)立。,求的近似值。解：根據(jù)題意可得。由獨(dú)立同分布的中心極限定理可得17,有400個(gè)數(shù)據(jù)相加,在相加之前,每個(gè)數(shù)據(jù)被舍入到最接近它的數(shù),其末位為10-7。設(shè)舍入誤差相互獨(dú)立,且在區(qū)間服從均勻分布。求誤差總和的絕對(duì)值小于的概率?！怖?5.345678419舍入到45.3456784解：以記這400個(gè)數(shù)據(jù)的舍入誤差,。則。利用獨(dú)立同分布的中心極限定理可得18,據(jù)調(diào)查某一地區(qū)的居民有20%喜歡白顏色的機(jī),〔1若在該地區(qū)安裝1000部機(jī),記需要安裝白色機(jī)的部數(shù)為,求,,；〔2問至少需要安裝多少部,才能使其中含有白色機(jī)的部數(shù)不少于50部的概率大于0.95。解：〔1根據(jù)題意,,且。由DeMoivre-Laplace定理,計(jì)算得；；。〔2設(shè)要安裝部。則要使得就要求,即,從而,解出或者〔舍去。所以最少要安裝305部。19,一射手射擊一次的得分是一個(gè)隨機(jī)變量,具有分布律89100.010.290.70求獨(dú)立射擊10次總得分小于等于96的概率。求在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)大于等于6的概率。解：根據(jù)題意,,。〔1以分別記10次射擊的得分,則〔2設(shè)在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)為隨機(jī)變量,則。由DeMoivre-Laplace定理,計(jì)算得?！驳?章習(xí)題解答完畢第六章參數(shù)估計(jì)1,設(shè)總體未知,是來自的樣本。求的矩估計(jì)量。今測(cè)得一個(gè)樣本值0.5,0.6,0.1,1.3,0.9,1.6,0.7,0.9,1.0,求的矩估計(jì)值。解：因?yàn)榭傮w,所以總體矩。根據(jù)容量為9的樣本得到的樣本矩。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：,得到的矩估計(jì)量為。把樣本值代入得到的矩估計(jì)值為。2,設(shè)總體具有概率密度,參數(shù)未知,是來自的樣本,求的矩估計(jì)量。解：總體的數(shù)學(xué)期望為,令可得的矩估計(jì)量為。3,設(shè)總體參數(shù)未知,是來自的樣本,求的矩估計(jì)量〔對(duì)于具體樣本值,若求得的不是整數(shù),則取與最接近的整數(shù)作為的估計(jì)值。解：總體的數(shù)學(xué)期望為,,二階原點(diǎn)矩為。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：,得到,。4,〔1設(shè)總體未知,是來自的樣本,是相應(yīng)的樣本值。求的矩估計(jì)量,求的最大似然估計(jì)值。〔2元素碳-14在半分鐘內(nèi)放射出到達(dá)計(jì)數(shù)器的粒子數(shù),下面是的一個(gè)樣本：6496101163710求的最大似然估計(jì)值。解：〔1因?yàn)榭傮w的數(shù)學(xué)期望為,所以矩估計(jì)量為。似然函數(shù)為,相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零,得到的最大似然估計(jì)值為?！?根據(jù)〔1中結(jié)論,的最大似然估計(jì)值為。5,〔1設(shè)服從參數(shù)為的幾何分布,其分布律為。參數(shù)未知。設(shè)是一個(gè)樣本值,求的最大似然估計(jì)值。〔2一個(gè)運(yùn)動(dòng)員,投籃的命中率為,以表示他投籃直至投中為止所需的次數(shù)。他共投籃5次得到的觀察值為51749求的最大似然估計(jì)值。解：〔1似然函數(shù)為,相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零,得到的最大似然估計(jì)值為。〔2根據(jù)〔1中結(jié)論,的最大似然估計(jì)值為。6,〔1設(shè)總體,參數(shù)已知,未知,是來自一個(gè)樣本值。求的最大似然估計(jì)值。〔2設(shè)總體,參數(shù)已知,〔>0未知,為一相應(yīng)的樣本值。求的最大似然估計(jì)值。解：〔1似然函數(shù)為,相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零,得到的最大似然估計(jì)值為?！?似然函數(shù)為,相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零,得到的最大似然估計(jì)值為。7,設(shè)是總體的一個(gè)樣本,為一相應(yīng)的樣本值。總體的概率密度函數(shù)為,,求參數(shù)的最大似然估計(jì)量和估計(jì)值?？傮w的概率密度函數(shù)為,,求參數(shù)的最大似然估計(jì)值。設(shè)已知,未知,求的最大似然估計(jì)值。解：〔1似然函數(shù)為,相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零,得到的最大似然估計(jì)值為。相應(yīng)的最大似然估計(jì)量為?！?似然函數(shù)為,相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零,得到的最大似然估計(jì)值為?！?因?yàn)槠浞植悸蔀樗?似然函數(shù)為,相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零,得到的最大似然估計(jì)值為。8,設(shè)總體具有分布律123其中參數(shù)未知。已知取得樣本值,試求的最大似然估計(jì)值。解：根據(jù)題意,可寫出似然函數(shù)為,相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零,得到的最大似然估計(jì)值為。9,設(shè)總體,,未知,已知,和分別是總體和的樣本,設(shè)兩樣本獨(dú)立。試求最大似然估計(jì)量。解：根據(jù)題意,寫出對(duì)應(yīng)于總體和的似然函數(shù)分別為,,相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為,,令對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別對(duì)和的一階導(dǎo)數(shù)為零,得到,算出最大似然估計(jì)量分別為,。10,〔1驗(yàn)證均勻分布中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量是無偏估計(jì)量。〔2設(shè)某種小型計(jì)算機(jī)一星期中的故障次數(shù),設(shè)是來自總體的樣本。①驗(yàn)證是的無偏估計(jì)量。②設(shè)一星期中故障維修費(fèi)用為,求?！?驗(yàn)證是的無偏估計(jì)量。解：〔1均勻分布中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量為。由于,所以是的無偏估計(jì)量?！?①因?yàn)?所以是的無偏估計(jì)量。②?！?因?yàn)?所以,是的無偏估計(jì)量。11,已知是來自均值為的指數(shù)分布總體的樣本,其中未知。設(shè)有估計(jì)量,,。指出中哪幾個(gè)是的無偏估計(jì)量。在上述的無偏估計(jì)量中哪一個(gè)較為有效？解：〔1因?yàn)?。所以,是的無偏估計(jì)量?！?根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的獨(dú)立同分布性質(zhì),可以計(jì)算出,所以,是比更有效的無偏估計(jì)量。12,以X表示某一工廠制造的某種器件的壽命〔以小時(shí)計(jì),設(shè),今取得一容量為的樣本,測(cè)得其樣本均值為,求〔1的置信水平為0.95的置信區(qū)間,〔2的置信水平為0.90的置信區(qū)間。解：這是一個(gè)方差已知的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問題。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)論,的置信水平為的置信區(qū)間為?！?的置信水平為0.95的置信區(qū)間為?！?的置信水平為0.90的置信區(qū)間為。13,以X表示某種小包裝糖果的重量〔以g計(jì),設(shè),今取得樣本〔容量為：55.95,56.54,57.58,55.13,57.48,56.06,59.93,58.30,52.57,58.46求的最大似然估計(jì)值。求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：〔1根據(jù)已知結(jié)論,正態(tài)分布均值的最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量相同：。所以的最大似然估計(jì)值為?！?的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。14,一農(nóng)場(chǎng)種植生產(chǎn)果凍的葡萄,以下數(shù)據(jù)是從30車葡萄中采樣測(cè)得的糖含量〔以某種單位計(jì)16.0,15.2,12.0,16.9,14.4,16.3,15.6,12.9,15.3,15.115.8,15.5,12.5,14.5,14.9,15.1,16.0,12.5,14.3,15.415.4,13.0,12.6,14.9,15.1,15.3,12.4,17.2,14.7,14.8設(shè)樣本來自正態(tài)總體,均未知。求的無偏估計(jì)值。求的置信水平為9