2017屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識手冊

第一編集合與常用邏輯用語集合1．集合的含義與表示(1)了解集合的含義，體會元素與集合的從屬關(guān)系．(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．2．集合間的基本關(guān)系(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義．3．集合的基本運(yùn)算(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集．(3)能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算．常用邏輯用語(1)理解命題的概念．(2)了解“若，則”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系．(3)理解必要條件、充分條件與充要條件的含義．(4)了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義．(5)理解全稱量詞與存在量詞的意義．(6)能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定．第一講集合知識能力解讀知能解讀(一)集合的基本概念及表示方法1．集合的概念一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱集．通常用大寫字母，，，…表示．集合中的每個對象叫做這個集合的元素．通常用小寫字母，，，…表示．2．集合中元素的三個特征(1)確定性設(shè)是一個給定的集合，是某一具體的對象，則是的元素，或者不是的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立．這個特性常用來判斷涉及的總體能否構(gòu)成集合．(2)互異性集合中的元素必須是互異的，也就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．即集合中的元素不重復(fù)，兩個或兩個以上的相同元素都認(rèn)為是一個元素，在用列舉法表示時也只能寫一個．例如方程的解組成的集合，必須寫成．這個特性常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．(3)無序性集合中的元素不考慮順序，對于元素相同而排列次序不同的集合認(rèn)為是相同的集合．例如集合與集合是相同的集合．這個特性常用來判斷兩個集合的關(guān)系．3．集合的分類(1)集合可以根據(jù)它含有的元素的個數(shù)分為兩類：含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，記作．注意：①空集中沒有任何元素．要區(qū)分和，集合中有1個元素0，而中沒有任何元素，兩者有著本質(zhì)的不同．②空集在實(shí)際問題中是實(shí)實(shí)在在存在的，如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程的解集和不等式的解集都是空集．4．集合的表示方法(1)列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用花括號括起來表示集合的方法．使用列舉法時，需注意以下幾點(diǎn)：①元素間用分隔號“，”；②元素不重復(fù)；③元素?zé)o順序；④對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后才能用省略號．如：從1到100的所有整數(shù)組成的集合可以表示為．(2)描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法，即．其中豎線“｜”左邊表示集合中的代表元素，右邊表示集合中元素滿足的條件．如：所有的直角三角形的集合可以表示為{是直角三角形}．(3)圖示法為了形象地表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個集合．如圖所示，表示集合．5．常用數(shù)集的符號為了書寫方便，我們規(guī)定常見的數(shù)集用特定的字母表示，下面是幾種常見的數(shù)集的表示方法，請牢記．?dāng)?shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集符號或知能解讀(二)集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都相同，子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素或真子集集合A中任意一個元素均為集合B中的元素，且集合B中至少有一個元素不是集合A中的元素或空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，提示：①“”是表示集合中的元素與集合關(guān)系的符號，而“”與“”是表示兩個集合間包含和真包含關(guān)系的符號，在書寫時應(yīng)注意區(qū)分．②有兩種情況：和．若，則中至少存在一個元素不屬于．知能解讀(三)集合與集合間的運(yùn)算集合運(yùn)算自然語言描述符號表示Venn圖表示并集一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為集合與的并集，記作，讀作“并”．{，或}交集一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，讀作“交”．{，且}全集與補(bǔ)集(1)一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，則就稱這個集合為全集，通常記作．(2)對于一個集合，由全集中不屬于的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補(bǔ)集，簡稱為集合的補(bǔ)集，記作．{，且}2．集合中常用的運(yùn)算性質(zhì)(1)若，，則；若，，則．(2)；若，則．(3)，，．(4)，，．(5)，．(6)．(7)，．(8)若，則，，反之變成立．知能解讀(四)有限集的子集個數(shù)公式設(shè)有限集中有個元素，則的子集有個，其中真子集的個數(shù)為，非空子集的個數(shù)為，非空真子集的個數(shù)為．解題方法薈萃Ⅰ．?dāng)?shù)學(xué)思想方法思想方法(一)分類討論思想它是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)確定劃分標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類，然后對每一類分別求解，并綜合得出答案的一種數(shù)學(xué)思想．在劃分中要求始終使用同一標(biāo)準(zhǔn)，這個標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是科學(xué)的、合理的，要滿足無重復(fù)、無遺漏、最簡的原則．(二)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合的解題方法，就是把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形結(jié)合起來進(jìn)行探索分析的思維方法．其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，抽象思維和形象思維結(jié)合起來，使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，通過“數(shù)”和“形”的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，化難為易，增強(qiáng)直觀性，從而使問題得到解決．?dāng)?shù)形結(jié)合包含兩重意義：(1)以形助數(shù)；(2)以數(shù)解形．所謂“以形助數(shù)”就是將待研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對應(yīng)的幾何圖形，通過幾何圖形的直觀性尋找原問題的解題思路，從而獲解；所謂“以數(shù)解形”就是借助代數(shù)計(jì)算等確定幾何圖形的某些屬性．(三)補(bǔ)集思想(四)分析法(五)列舉法(六)Venn圖法Ⅱ．解題規(guī)律技巧(一)集合語言與集合思想在解題中的應(yīng)用(二)利用數(shù)軸解決集合間的關(guān)系問題(三)集合中元素的“三性”及應(yīng)用(四)點(diǎn)集運(yùn)算轉(zhuǎn)化處理Ⅲ．易混易錯辨析(一)因沒有弄清集合的代表元素而導(dǎo)致錯誤(二)勿忘空集防“陷阱”高考命題研究縱觀近幾年高考試題，集合部分以考查基礎(chǔ)知識為主，涉及集合的概念、集合間的基本關(guān)系、集合的基本運(yùn)算等．核心考點(diǎn)是集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算，既有列舉法表示的集合，又有描述法表示的集合，有時還會與不等式、函數(shù)、方程等知識結(jié)合，題型為選擇題或填空題，難度不大．高考熱點(diǎn)(一)集合的基本概念(二)集合間的基本關(guān)系的判定與應(yīng)用(三)集合的基本運(yùn)算(四)集合中的新定義題附錄常用公式定理1．常用符號——屬于 ——不屬于——包含于 ——真包含于——包含 ——真包含——不包含于 ——不包含——空集符號 ＝——集合相等符號——交集符號 ——并集符號——全集符號 ——補(bǔ)集符號——自然數(shù)集 ——整數(shù)集——正整數(shù)集 ——有理數(shù)集——實(shí)數(shù)集 ——無理數(shù)集——復(fù)數(shù)集 ——奇數(shù)集——偶數(shù)集2．常用公式3．常用定理傳遞性：若集合，，則；若集合，，則．第二講常用邏輯用語知識能力解讀知能解讀(一)四種命題及其關(guān)系1．命題的定義用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句稱為命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．例如：“3是12的約數(shù)”“是整數(shù)”都是命題．說明：(1)并不是任何語句都是命題．一般來說，疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命一題．(2)一個命題，一般可以用小寫英文子母表示，如，，，…．2．四種命題對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論，分別是另一個命題的結(jié)論和條件，則我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆命題．一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個命題叫做互否命題．把其中一個命題叫做原命題，另一個命題就叫做原命題的否命題．一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．把其中的一個命題叫做原命題，則另一個命題就叫做原命題的逆否命題．3．表示形式一般地，用和分別表示原命題的條件和結(jié)論，用和分別表示和的否定，于是四種命題的形式就是：原命題：若，則；逆命題：若，則；否命題：若，則；逆否命題：若，則．4．四種命題的關(guān)系四種命題的關(guān)系如圖所示：點(diǎn)撥：互為逆否的兩個命題的真假性相同，互逆或互否的兩個命題的真假性沒有關(guān)系．(二)充分條件、必要條件、充要條件定義從集合觀點(diǎn)看若，則是的充分條件若集合，則是的充分條件若，則是的必要條件若集合，則是的必要條件若且，則是的充分不必要條件若集合，則是的充分不必要條件若且，則是的必要不充分條件若集合，則是的必要不充分條件若，則是的充分必要條件若集合，則是的充分必要條件若，，則是的既不充分也不必要條件若集合且，則是的既不充分也不必要條件說明：由上表可知，判斷充分條件、必要條件、充要條件時應(yīng)采用以下方法：(1)確定條件是什么，結(jié)論是什么；(2)嘗試從條件推結(jié)論，如果，則充分性成立，是的充分條件；(3)再考慮從結(jié)論推條件，如果，則是的必要條件，必要性成立；(4)證明命題的條件是充要的，則既要證明充分性又要證明必要性．(三)邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”(1)或：聯(lián)結(jié)兩個命題，，得到新命題或．記作．(2)且：聯(lián)結(jié)兩個命題，，得到新命題且．記作．(3)非：對一個命題全盤否定，得到新命題非p．記作．(四)真值表表示命題真假的表叫做真值表．利用真值表可判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假．且或非真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真提示：“”有假則假，全真才真；“”有真就真，全假才假，“”與“”真假相反．(五)命題的否定與否命題(1)命題的否定只否定命題的結(jié)論，它和原命題真假相反；而否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，它和原命題的真假性無關(guān)．(2)寫“非”或否命題時，必須使用否定詞語對正面敘述的詞語進(jìn)行否定．因此掌握常見的正面敘述詞語以及它們的否定同語卜分必要，具體列表如下：正面詞語等于(＝)大于(＞)小于(＜)能是都(全)是否定詞語不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不能不是不都(全)是正面詞語至多一個至少有一個至多個或且否定詞語至少兩個一個也沒有至少個非且非非或非(3)命題“”與“”的否定①；②．(六)量詞與命題1．全稱量詞短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示．2．全稱命題含有全稱量同的命題，叫做全稱命題．全稱命題就是形如“對中的所有，有成立”的命題，用符號簡記為．3．存在量詞短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示．4．特稱命題(存在性命題)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題(存在性命題)，用符號簡記為．5．全稱命題與特稱命題的否定命題命題的否定全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．解題方法薈萃Ⅰ．?dāng)?shù)學(xué)思想方法思想方法(一)轉(zhuǎn)化與化歸思想在處理問題時，把待解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題，最終解決問題，這就是轉(zhuǎn)化與化歸思想．轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實(shí)質(zhì)一樣時，這樣的轉(zhuǎn)化我們叫它等價轉(zhuǎn)化．(二)數(shù)形結(jié)合思想(三)分類討論思想(四)反證法(1)反證法是常用的間接證法之一．它的實(shí)質(zhì)是當(dāng)證明“若，則”感到困難時，改證命題“若，則”不成立．(2)反證法證題的步驟：第一步，假設(shè)結(jié)論的反面成立；第二步，從這個假設(shè)出發(fā)，推理論證，得出矛盾；第三步，由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確．由于反證法是很有用的方法，所以應(yīng)當(dāng)學(xué)會使用反證法來證明用直接法證明感到困難的問題，在立體兒何中經(jīng)常使用這種方法．證明否定形式的命題也經(jīng)常用反證法．Ⅱ．解題規(guī)律技巧規(guī)律技巧(一)應(yīng)用互為逆否命題的等價性解題由于原命題與它的逆否命題等價，即具有相同的真假性，在直接證明原命題有困難時，可以考慮證明與它等價的逆否命題，這種方法是間接證明命題的方法．(二)利用集合關(guān)系判斷充要條件設(shè)與相應(yīng)的集合為，與相應(yīng)的集合為，則有如下結(jié)論：(1)若，則是的充分條件，若，則是的充分不必要條件；(2)若，則是的必要條件，若，則是的必要不充分條件；(3)若，則與互為充要條件(也稱等價條件)；(4)若且，則既不是的充分條件，也不是的必要條件．(三)全稱命題與特稱命題的真假判定方法要判定全稱命題“”是真命題，必須對限定集合中的每一個元素驗(yàn)證成立；若要判定全稱命題“是假命題，只要能找出某一個，使得不成立即可(舉反例法)．要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合中，能找到一個，使得成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，則這個特稱命題是假命題．Ⅱ．易混易錯辨析易混易錯(一)分不清條件的充分性與必要性而致誤在利用充分條件、必要條件解題時，常因弄反條件的充分性與必要性致錯．(二)對命題的否定與否命題區(qū)別不清而致誤命題的否定只否定命題的結(jié)論，不否定命題的條件，而否命題既要否定命題的結(jié)論，又要否定命題的條件．高考命題研究命題、邏輯聯(lián)結(jié)詞與充要條件在高考中的考查，以命題的基本概念及充要條件為主，重點(diǎn)考查命題真假的判定、充要條件的判定，考題多為選擇題．另外，高考中這部分知識也可以和其他知識如函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等相結(jié)合在知識交匯點(diǎn)處命制綜合性大題，以考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力．全稱命題、特稱命題的否定及其真假判斷也是高考的熱點(diǎn)．高考熱點(diǎn)(一)命題的四種形式與關(guān)