平面向量的概念

第六章第六章平面向量及其應(yīng)用第一節(jié)平面向量的概念知識點(diǎn)1數(shù)量與向量定義：在數(shù)學(xué)中,把既有大又有方向的量叫做向量，而把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.如年齡、身高、長度面積、體積、質(zhì)量等都是數(shù)量知識點(diǎn)2向量的兩個要素向量由大小與方向兩個要素組成，向量的大小是代數(shù)特冊征，方向是幾何特征，因?yàn)榉较驔]有大小之分，所以向量不能第像實(shí)數(shù)那樣比較大小注意事項(xiàng)：向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示，但不能說有向線段就是向量知識點(diǎn)3向量的幾何表示方法有向線段：(1)概念:具有方向的線段叫做有向線段.通常在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作,線段AB的長度叫做有向線段的長度，記作注意事項(xiàng)：有向線段包含三個要素:起點(diǎn)、方向、長度知道了有向線段的起點(diǎn)方向和長度,它的終點(diǎn)就唯一確定了2.向量的表示(1)幾何表示:用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如向量（2）.字母表示：向量可以用字母a,b,c…表示.3.向量的長度的表示：向量的長度稱為向量的大小，（或稱模），記作，向量的長度在數(shù)值上等于線段AB的長度，因此向量的長度是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小向量相關(guān)概念既念的注意點(diǎn):(1)表示有有向線段時，起點(diǎn)一定要要寫在終點(diǎn)的前面.(2)要注意0與0的區(qū)別)及聯(lián)系,0是一個實(shí)數(shù),0是一個向量,且有[0|=0.知識點(diǎn)4特殊向量歸納1.零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，規(guī)定：零向量的方向是任意的；2.單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）；3.相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；4.平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,例如：a與b平行，記作a線向量：任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量也叫做共線向量.例題探究例題探究例題1.如圖所示，在中，，，BQ與CR相交于點(diǎn)I，AI的延長線與邊BC交于點(diǎn)P．（1）用和分別表示和；（2）如果，求實(shí)數(shù)和的值；（3）確定點(diǎn)P在邊BC上的位置．【答案】（1）；；（2）；（3）點(diǎn)為靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)【詳解】（1），（2）由（1）知：，解得：（3）設(shè)，由（2）知：又，解得：，即點(diǎn)為靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)例題2．已知平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)、、，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求與同向的單位向量的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)是線段（包括端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【詳解】（1）（2）平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)、線段的方程為，即設(shè)，.則，則上式為關(guān)于的開口向上，對稱軸為的二次函數(shù).當(dāng)時取得最小值當(dāng)時取得最小值所以例題3．如圖所示，平行四邊形中，是兩對角線，的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集，向量集合，試求集合中元素的個數(shù).【答案】12【詳解】由題可知，集合中的元素實(shí)質(zhì)上是中任意兩點(diǎn)連成的有向線段，共有20個，即，，。由平行四邊形的性質(zhì)可知，共有對向量相等：即，，，，，，，，因?yàn)榧显鼐哂谢ギ愋?，所以集合中的元素共?2個。例題4．已知(1)求的單位向量(2)若與的夾角為銳角,求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)且【詳解】(1)，則，的單位向量(2)，，夾角為銳角則，解得：且與不同向，即，解得：綜上所述：且例題5．如圖，矩形ACDF中，AC＝2CD，B，E分別為AC，DF的中點(diǎn)，寫出：（1）與相等的向量；（2）與的負(fù)向量相等的向量；（3）與共線的向量．【答案】（1），；（2），，；（3），，，，【詳解】在矩形ACDF中，且AC＝2CD，B，E分別為AC，DF的中點(diǎn)，得（1）與相等的向量為：，；（2）與的負(fù)向量相等的向量為：，，；（3）與共線的向量為：，，，，．隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1．在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1），使||＝4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；（2），使＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；（3），使＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.2．在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1.（1）試以B為起點(diǎn)畫一個向量，使；（2）在圖中畫一個以A為起點(diǎn)的向量，使，并說出向量的終點(diǎn)的軌跡是什么？3．已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，，求的值．4．設(shè)兩個向量滿足，（1）求的單位向量；（2）若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中所示向量與、、相等的向量．參考答案1．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【詳解】（1）由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝，小方格邊長為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量如下圖所示．（2）由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量如下圖所示．（3）由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量如下圖所示．2．（1）作圖見解析；（2）向量的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，作圖見解析.【詳解】（1）由題意，B為起點(diǎn)畫一個向量，使，如圖所示.（2）因?yàn)?，則向量的終點(diǎn)表示以為圓心，半徑為的圓，如圖所示：3．（1）；（2）或【詳解】解：（1），，，，，（2），，