高中數學高考16第一部分 板塊二 專題五 解析幾何 第2講　圓錐曲線的方程與性質(小題)

第2講圓錐曲線的方程與性質(小題)熱點一圓錐曲線的定義與標準方程1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在定直線l上，PM⊥l于點M.2．求圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”所謂“定型”，就是確定曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數法求出方程中的a2，b2，p的值．例1(1)(2019·梅州質檢)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)一個焦點為F(2,0)，且F到雙曲線C的漸近線的距離為1，則雙曲線C的方程為________．(2)(2019·南充模擬)P是雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1的右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則△PF1F2的內切圓的圓心橫坐標為()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(7)D．3跟蹤演練1(1)(2019·銀川質檢)已知P是拋物線y2＝4x上一動點，定點A(0,2eq\r(2))，過點P作PQ⊥y軸于點Q，則|PA|＋|PQ|的最小值是________．(2)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線方程為()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝eq\r(3)x熱點二圓錐曲線的幾何性質1．橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關系(1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2).(2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2).2．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.注意離心率e與漸近線的斜率的關系．例2(1)設F1，F2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，若△AF1F2的面積是△BF1F2面積的三倍，cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，則橢圓E的離心率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(2),2)(2)已知雙曲線M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c.若雙曲線M的右支上存在點P，使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(3c,sin∠PF2F1)，則雙曲線M的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2＋\r(7),3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(2＋\r(7),3)))C．(1,2) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2))跟蹤演練2(1)(2019·北京市海淀區(qū)模擬)橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率之積為1，則雙曲線C2的兩條漸近線的傾斜角分別為()A.eq\f(π,6)，－eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)，－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)D.eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)(2)(2019·六安模擬)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為e，過點F且斜率為1的直線交雙曲線的漸近線于A，B兩點，AB中點為M，若|FM|等于半焦距，則e2等于()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\r(3)或eq\r(2)D．3－eq\r(3)熱點三圓錐曲線與圓、直線的綜合問題圓錐曲線與圓、直線的綜合問題的注意點：(1)注意使用圓錐曲線的定義；(2)引入參數，注意構建直線與圓錐曲線的方程組；(3)注意用好平面幾何性質；(4)涉及中點弦問題時，也可用“點差法”求解．例3(1)(2019·六安聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，右頂點為A，以A為圓心，OA(O為坐標原點)為半徑的圓與雙曲線C在第一象限的交點為P，若PF2⊥PA，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線C的離心率為()A．1＋eq\r(5)B．1＋eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(3)(2)(2019·南充模擬)已知直線x＋y＝1與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(其中O為坐標原點)，若橢圓的離心率e滿足eq\f(\r(3),3)≤e≤eq\f(\r(2),2)，則橢圓長軸的取值范圍是()A．[eq\r(5)，eq\r(6)]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\f(\r(6),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))跟蹤演練3(1)(2019·合肥質檢)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，右頂點為A，上頂點為B，以線段F1A為直徑的圓交線段F1B的延長線于點P，若F2B∥AP，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(2),2)(2)(2019·內江、眉山等六市模擬)設點P是拋物線C：y2＝4x上的動點，Q是C的準線上的動點，直線l過Q且與OQ(O為坐標原點)垂直，則點P到l的距離的最小值的取值范圍是()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1]D．(0,2]真題體驗1．(2018·全國Ⅱ，文，6)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)x2．(2018·全國Ⅱ，文，11)已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為()A．1－eq\f(\r(3),2)B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2)D.eq\r(3)－13．(2019·全國Ⅱ，文，12)設F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)押題預測1．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線x－2y＋1＝0平行，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(5)B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)2．已知拋物線C：y2＝2x，過原點作兩條互相垂直的直線分別交C于A，B兩點(A，B均不與坐標原點重合)，則拋物線的焦點F到直線AB距離的最大值為()A．2B．3C.eq\f(3,2)D．43．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過原點的直線與雙曲線交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點C，若△ABC的面積為2a2，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(\r(2),2)x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(\r(3),3)x D．y＝±eq\r(3)xA組專題通關1．(2019·岳陽模擬)已知拋物線y2＝－4eq\r(5)x的準線l經過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點F，且該雙曲線的一條漸近線經過點P(1，－2)，則該雙曲線的標準方程為()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝12．(2019·北京市海淀區(qū)模擬)拋物線W：y2＝4x的焦點為F，點A在拋物線上，且點A到直線x＝－3的距離是線段AF長度的2倍，則線段AF的長度為()A．1B．2C．3D．43．(2019·江西九校聯(lián)考)兩個正數a，b的等差中項是5，等比中項是2eq\r(6)，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)的離心率等于()A.eq\f(\r(13),3)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\f(3,2)D．24．(2019·邯鄲模擬)位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱，它的橋形可以近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為()A.eq\f(25,12)mB.eq\f(25,6)mC.eq\f(9,5)mD.eq\f(18,5)m5．(2019·天津市和平區(qū)質檢)設雙曲線mx2＋ny2＝1的一個焦點與拋物線y＝eq\f(1,8)x2的焦點相同，離心率為2，則拋物線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為()A．2B.eq\r(3)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)6．設橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦點為F1，F2，P是橢圓上一點，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，若△F1PF2的外接圓和內切圓的半徑分別為R，r，當R＝4r時，橢圓的離心率為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,5)7．(2019·六安聯(lián)考)已知直線l：x＋y＝3與x軸，y軸分別交于點A，B，點P在橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1上運動，則△PAB面積的最大值為()A．6 B.eq\f(33＋\r(2),2)C.eq\f(33－\r(3),2) D.eq\f(33＋\r(3),2)8．(2019·瀘州模擬)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與圓x2＋y2＝a2相切，與C的左、右兩支分別交于點A，B，若|AB|＝|BF2|，則C的離心率為()A.eq\r(5＋2\r(3)) B．5＋2eq\r(3)C.eq\r(3) D.eq\r(5)9．(2019·廣東省六校聯(lián)考)設F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為k(k>0)的直線過F交拋物線于A，B兩點，若|FA|＝3|FB|，則直線AB的斜率為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\r(2)D.eq\r(3)10．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點M(4,0)的直線與拋物線C交于A，B兩點，則△ABF的面積的最小值為()A．8B．12C．16D．2411．已知F1，F2分別是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F2的直線交雙曲線C的右支于P，Q兩點，且(eq\o(F1P,\s\up6(→))＋eq\o(F1Q,\s\up6(→)))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0.過雙曲線C的右頂點作平行于雙曲線C的一條漸近線的直線l，若直線l交線段PQ于點M，且|QM|＝3|PM|，則雙曲線C的離心率e等于()A．2B.eq\r(3)C.eq\f(5,3)D.eq\f(3,2)12．已知A(3,0)，若點P是拋物線y2＝8x上任意一點，點Q是圓(x－2)2＋y2＝1上任意一點，則eq\f(|PA|2,|PQ|)的最小值為()A．3B．4eq\r(3)－4C．2eq\r(2)D．413．(2019·全國Ⅲ)設F1，F2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為________．14．(2019·北京市海淀區(qū)模擬)已知橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1和雙曲線C2：eq\f(x2,m2)－y2＝1(m>0)．經過C1的左頂點A和上頂點B的直線與C2的漸近線在第一象