§2-3 LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)

先看前例電路如下，當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)由1至2，系統(tǒng)輸出為電流，試確定電流i(t)及其導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻前后的值。即是要求t=0-與0+時(shí)刻電流及其導(dǎo)數(shù)的值。由觀察可知，t=0-時(shí)刻電路應(yīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，于是§2.3LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)由前所講已知，當(dāng)-∞＜t＜∞時(shí)系統(tǒng)方程為當(dāng)t=0+時(shí)刻，由于電感電流不會(huì)突變，于是可見，在當(dāng)t=0時(shí)刻的前后，電路中狀態(tài)發(fā)生了跳變。即系統(tǒng)方程的右邊出現(xiàn)沖激信號(hào)，t=0時(shí)刻的條件會(huì)發(fā)生跳變。一、單位沖激響應(yīng)零狀態(tài)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)時(shí)，由單位沖激作用之下產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。因此，它是一個(gè)零狀態(tài)響應(yīng)。但是，單位沖激信號(hào)δ(t)僅在t=0時(shí)刻不等于0，當(dāng)t>0時(shí)δ(t)=0，因此系統(tǒng)在t>0時(shí)的響應(yīng)是零輸入響應(yīng)的形式。因此，在時(shí)域求解的情況下，hp(t)與t=0+時(shí)條件的確定成了h(t)求解的關(guān)鍵。例如、設(shè)系統(tǒng)方程如下，試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。⑴⑵1/解：此時(shí)方程應(yīng)為⑴求特征根，確定齊次通解。⑵確定特解，并確定t=0+時(shí)刻的初始條件。比較以上方程兩邊可見，中應(yīng)有強(qiáng)度為1的沖激，而中沒有沖激存在，否則中將有沖激的導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)。因此，中沒有特解出現(xiàn)。因?yàn)樗寓怯蓆=0+時(shí)刻的初始條件，確定待定系數(shù)。所以對于低階方程的另一種解法是，將含待定系數(shù)的h(t)代入方程，然后使方程兩邊相等以確定待定系數(shù)。2/解：此時(shí)方程應(yīng)為⑴求特征根，確定齊次通解。⑵確定特解，并確定t=0+時(shí)刻的初始條件。比較以上方程兩邊可設(shè)：在t=0時(shí)刻于是在t=0時(shí)刻將這兩式代入以上方程即有于是在t=0時(shí)刻，系統(tǒng)的特解B0Δu=-Δu表示在t=0時(shí)刻系統(tǒng)由于沖激作用引起的跳變，跳變值B0=-1。它是在單位沖激信號(hào)的作用下，系統(tǒng)在t=0+時(shí)刻建立起來的狀態(tài)。利用此狀態(tài)可以確定齊次響應(yīng)中的待定系數(shù)。⑶確定齊次解中的待定系數(shù)，求出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。所以一般的，對于如下形式的微分方程當(dāng)N>M，單位沖激響應(yīng)中只有自由響應(yīng)；當(dāng)N≤M，則還有受迫響應(yīng)分量：沖激和沖激的各階導(dǎo)數(shù)。例如設(shè)系統(tǒng)方程如下，試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。

解：此時(shí)方程應(yīng)為⑴求特征根，確定齊次通解。所以t>0時(shí)或表示為：⑵確定特解，并確定t=0+時(shí)刻的初始條件。比較以上方程兩邊可設(shè)：在t=0時(shí)刻于是在t=0時(shí)刻由此得到，h(t)中特解等于0；將以上三式代入以下方程所以由此得到t=0+時(shí)刻的條件：⑶確定齊次解中的待定系數(shù)，求出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。所以二、離散時(shí)間系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)零狀態(tài)系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)h(n)是系統(tǒng)在零狀態(tài)時(shí)，由單位樣值信號(hào)作用之下產(chǎn)生的響應(yīng)。因此，它是一個(gè)零狀態(tài)響應(yīng)。同樣，單位樣值信號(hào)δ(n)僅在n=0時(shí)刻等于1，其它時(shí)刻δ(n)=0，因此系統(tǒng)在n>0時(shí)的響應(yīng)是零輸入響應(yīng)。因?yàn)槭遣罘址匠痰臅r(shí)域求解，除了有類似于以上單位沖激響應(yīng)求解的方法外，還可以用迭代法求解響應(yīng)。下面還是通過舉例，說明單位樣值相應(yīng)的求解。例如：已知系統(tǒng)差分方程，求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h(n)。解、此時(shí)以上方程可以寫成解法一（迭代法）：將方程寫成如下形式考慮到系統(tǒng)是因果的和零狀態(tài)的，當(dāng)n=0當(dāng)n=1當(dāng)n=2同樣，在大多數(shù)情況下不易得到封閉的解。解法二：由因果性與零狀態(tài)條件，通過迭代求得一組初始條件，進(jìn)而求n>0時(shí)的零輸入響應(yīng)。設(shè)在n>0以后由以上所以求得考慮到所以解法三：方法二中的初始條件是由h(-2)=h(-1)=0和δ(0)=1迭代得來的。二階系統(tǒng)，確定系數(shù)有兩個(gè)條件足夠，我們可以用n=-1和0時(shí)的條件，進(jìn)而求n≥0時(shí)的零輸入響應(yīng)。設(shè)在n≥0以后將作為條件所以例如：已知系統(tǒng)差分方程，求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h(n)。解、此時(shí)以上方程可以寫成解法一：先用迭代法，求得h(0)=1，h(1)=-1/6，再