第3章-31-32離散傅里葉變換(DFT)概要課件

3.1引言3.2周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)3.3離散傅里葉變換的定義3.4離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.5DFT、ZT、DTFT之間的關(guān)系3.6頻率域采樣3.7DFT的應(yīng)用舉例第3章離散傅里葉變換(DFT)3.1引言第3章離散傅里葉變換(DFT)2023/1/923.1引言1.FT：非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換

2.

FS:周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換3.DTFT：非周期序列的傅立葉變換4.DFS：周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)5.ZT：非周期序列的Z變換2023/1/923.1引言1.FT：非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)3.2周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(

DiscreteFourierSeries,DFS)1.定義設(shè)是以N為周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里葉級(jí)數(shù)(2-1-43)

式中ak是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。3.2周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DiscreteF

經(jīng)證明：上式中，k和n均取整數(shù)，令：-∞<k<∞(2-1-47)

也是一個(gè)以N為周期的周期序列，稱為的離散傅里葉級(jí)數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。經(jīng)證明：-∞<k<∞(2

(2-1-51)式和(2-1-52)式稱為一對(duì)DFS(DiscreteFourierSeries:離散傅立葉級(jí)數(shù))。

周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。(2-1-51)(2-1-52)(2-1-51)式和(2-1-52)式稱為一對(duì)DF例2.3.1設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期，進(jìn)行周期延拓，得到周期序列，周期為8，求的DFS。解：按照定義式例2.3.1設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為

其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。

例2.3.1圖其幅度特性如圖2.3.3.3離散傅里葉變換（DFT）的定義3.3.1周期延拓與取主值運(yùn)算任何周期為N的周期序列可以看作長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)則是的一個(gè)周期，即：2023/1/983.3離散傅里葉變換（DFT）的定義3.3.1周期延2023/1/99

式中x((n))N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列，((n))N表示n對(duì)N求余，即如果：

n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M為整數(shù)，則：((n))N=n1例如：x((10))8=x(1*8+2)

=x(2)x((-3))8=x((-1)*8+5)=x(5)2023/1/99式中x((n))N表示x(n)以N2023/1/910圖3.1.2有限長(zhǎng)序列及其周期延拓2023/1/910圖3.1.2有限長(zhǎng)序列及其周期3.3.2DFT的定義由于無限長(zhǎng)周期序列只需要用主值序列

即可確定，并能夠完全地表達(dá)出來，于是，只需要將DFS中的周期序列換成其對(duì)應(yīng)的主值序列，表達(dá)式仍然成立2023/1/9113.3.2DFT的定義2023/1/9112023/1/912設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，則定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為X(k)的離散傅里葉逆變換為離散傅里葉變換對(duì)

式中，N稱為DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度N≥M。2023/1/912設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，說明：1）DFT真正做到了計(jì)算機(jī)可以處理，即時(shí)域x(n)離散、有限長(zhǎng)，頻域X(k)離散、有限長(zhǎng);2）旋轉(zhuǎn)因子的作用3）有限長(zhǎng)序列的DFT與DFS的關(guān)系圖示：2023/1/913DFT主值區(qū)域周期沿拓周期沿拓主值區(qū)域IDFTIDFSDFS說明：1）DFT真正做到了計(jì)算機(jī)可以處理，即時(shí)域x(n)離散4）x(n)和X(k)的隱含周期性DFT變換對(duì)公式中，由于WNkn的周期性，使X(k)隱含周期性，且周期均為N。對(duì)任意整數(shù)m，總有：2023/1/914所以(3.3.6)式中，X(k)滿足：同理可證明(3.3.7)式中：

4）x(n)和X(k)的隱含周期性2023/1/914所以(2023/1/915

如果x(n)的長(zhǎng)度為N，且，則可寫出的離散傅里葉級(jí)數(shù)為：(3.1.8)(3.1.9)式中

(3.1.10)X(k)反映了x((n))N的頻譜特性2023/1/915如果x(n)的長(zhǎng)度為N，且2023/1/916

例3.3.2x(n)=R4(n)，求x(n)的4點(diǎn)、8點(diǎn)DFT、16點(diǎn)DFT

。

解：（1）設(shè)變換區(qū)間N=4，則2023/1/916例3.3.2x(n)=R4(2023/1/917設(shè)變換區(qū)間N=8，則：2023/1/917設(shè)變換區(qū)間N=8，則：2023/1/918圖3.1.1R4(n)的FT和DFT的幅度特性關(guān)系提高譜密度2023/1/918圖3.1.1R4(n)的FT和DFT2023/1/9193.3.2DFT和DTFT、ZT的關(guān)系設(shè)序列x(n)的長(zhǎng)度為N，其ZT、DTFT和DFT分別為：三式有什么關(guān)系？2023/1/9193.3.2DFT和DTFT、ZT的關(guān)2023/1/920比較上面三式可得ZT和DFT的關(guān)系：圖3.1.1(a)X(k)與X(z)的關(guān)系2023/1/920比較上面三式可得ZT和DFT的關(guān)系：圖2023/1/921圖3.1.1(b)X(k)與X(ejω)的關(guān)系2023/1/921圖3.1.1(b)X(k)與X2023/1/9223.3.4用MATLAB計(jì)算序列的DFT

MATLAB提供了用快速傅里葉變換算法FFT(算法見第4章介紹)計(jì)算DFT的函數(shù)fft，其調(diào)用格式如下:Xk=fft(xn,N)；xn為被變換的時(shí)域序列向量，N是DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度，一般地，N大于xn的長(zhǎng)度。函數(shù)返回xn的N點(diǎn)DFT變換結(jié)果向量Xk。

Ifft函數(shù)計(jì)算IDFT，其調(diào)用格式與fft函數(shù)相同，可參考help文件。2023/1/9223.3.4用MATLAB計(jì)算序列的D2023/1/923

3.4離散傅里葉變換的基本性質(zhì)

3.4.1線性性質(zhì)如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度分別為N1和N2,且y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b為常數(shù)，即N=max［N1,N2］，則y(n)的N點(diǎn)DFT為：Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2(k),0≤k≤N-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。2023/1/923

3.4離散傅里葉變換的基本性質(zhì)

2023/1/924

3.4.2序列循環(huán)移位性質(zhì)1.序列的循環(huán)移位設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，則x(n)的循環(huán)移位定義為：

y(n)=x((n+m))NRN(n)(3.2.2)周期沿拓左移m點(diǎn)取主值循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)是將x(n)左移m位，而移出主值區(qū)的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。2023/1/9243.4.2序列循環(huán)移位性質(zhì)周期沿拓2023/1/925圖3.2.1循環(huán)移位過程示意圖2023/1/925圖3.2.1循環(huán)移位過程示2023/1/926

2.時(shí)域循環(huán)移位定理設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位，即

y(n)=x((n+m))NRN(n)則

(3.2.3)其中X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1。2023/1/9262.時(shí)域循環(huán)移位定理2023/1/927證明：

令n+m=n′，則有在一個(gè)周期內(nèi)求和2023/1/927證明：令n+m=n′，則有在一個(gè)周期2023/1/928

由于上式中求和項(xiàng)以N為周期，所以對(duì)其在任一周期上的求和結(jié)果相同。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)間，則得：

2023/1/928由于上式中求和項(xiàng)對(duì)比記憶：循環(huán)時(shí)移：線性時(shí)移：2023/1/929時(shí)域移位，頻域相移對(duì)比記憶：2023/1/929時(shí)域移位，頻域相移2023/1/9303.頻域循環(huán)移位定理如果：

則：頻域循環(huán)移位：頻域線性移位：頻域移位，時(shí)域調(diào)制2023/1/9303.頻域循環(huán)移位定理頻域移位，時(shí)域調(diào)2023/1/9313.2.3循環(huán)卷積定理

時(shí)域循環(huán)卷積定理是DFT中最重要的定理，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。已知系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，計(jì)算系統(tǒng)的輸出，以及FIR濾波器用FFT實(shí)現(xiàn)等，都是基于該定理的。

1．兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積設(shè)序列h(n)和x(n)的長(zhǎng)度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為： 2023/1/9313.2.3循環(huán)卷積定理2023/1/932式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度，L≥max［N，M］。上式顯然與第1章介紹的線性卷積不同，為了區(qū)別線性卷積，用*表示線性卷積，用表示L點(diǎn)循環(huán)卷積，即yc(n)=h(n)

x(n)。觀察（3.2.5）式，x((n－m))L是以L為周期的周期信號(hào)，n和m的變化區(qū)間均是［0,L－1］，因此直接計(jì)算該式比較麻煩。計(jì)算機(jī)中采用矩陣相乘或快速傅里葉變換（FFT）的方法計(jì)算循環(huán)卷積。不進(jìn)位乘法2023/1/932式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度，L≥max2023/1/933

定義中，x(n)、h(n)、yc(n)長(zhǎng)度均認(rèn)為是L，不夠長(zhǎng)的補(bǔ)零。1o

n=0,m=0,1,…,L－1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成x(n)的循環(huán)倒相序列為序列x(n)進(jìn)行對(duì)比，相當(dāng)于將第一個(gè)序列值x(0)不動(dòng)，將后面的序列反轉(zhuǎn)180°再放在x(0)的后面。循環(huán)卷積的矩陣實(shí)現(xiàn)：2023/1/933定義中，x(n)、h(n)、yc(n2023/1/9342o令n=1,m=0,1,…,L-1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成的序列為3o再令n=2,m=0,1,…,L－1，此時(shí)得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移1位。。。。依次類推，當(dāng)n和m均從0變化到L-1時(shí)，得到一個(gè)關(guān)于x((n－m)L的矩陣如下：2023/1/9342o令n=1,m=0,2023/1/935上面矩陣稱為x(n)的L點(diǎn)“循環(huán)卷積矩陣”，其特點(diǎn)是:（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循環(huán)倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。（3）矩陣的各主對(duì)角線上的序列值均相等。則：2023/1/935上面矩陣稱為x(n)的L點(diǎn)“循環(huán)卷積矩陣2023/1/936（3.2.7）按照上式，可以在計(jì)算機(jī)上用矩陣相乘的方法計(jì)算兩個(gè)序列的循環(huán)卷積，這里關(guān)鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。上式中如果h(n)的長(zhǎng)度N<L，則需要在h(n)末尾補(bǔ)L－N個(gè)零。2023/1/936（3.2.7）按照上式，可以在計(jì)算機(jī)上2023/1/937

【例3.2.1】計(jì)算下面給出的兩個(gè)長(zhǎng)度為4的序列h(n)與x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積。

解按照式（3.2.21）寫出h(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為2023/1/937【例3.2.1】計(jì)算下面給出的兩2023/1/938h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為2023/1/938h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式2023/1/939h(n)和x(n)及其4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果分別如圖3.2.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。經(jīng)驗(yàn)證本例的8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果等于h(n)與x(n)的線性卷積結(jié)果。后面將證明，當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的長(zhǎng)度時(shí)，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。2023/1/939h(n)和x(n)及其4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積2023/1/940

圖3.2.2序列及其循環(huán)卷積波形2023/1/940圖3.2.2序列及其循環(huán)卷積波形2023/1/941

2.循環(huán)卷積定理

有限長(zhǎng)序列x1(n)和x2(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2，N=max［N1,N2］，x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)循環(huán)卷積為:

則x(n)的N點(diǎn)DFT為

其中（3.2.5）N

時(shí)域卷積，頻域相乘時(shí)域循環(huán)卷積定理2023/1/9412.循環(huán)卷積定理（3.2.5）N2023/1/942

證明：

直接對(duì)(3.2.5)式兩邊進(jìn)行DFT，則有2023/1/942證明：直接對(duì)(3.2.5)式兩邊2023/1/943令n－m=n′，則有因?yàn)樯鲜街?/p>

是以N為周期的，所以對(duì)其在任一個(gè)周期上求和的結(jié)果不變。因此2023/1/943令n－m=n′，則有2023/1/944由于，因此即循環(huán)卷積亦滿足交換律。

N

N

2023/1/944由于2023/1/945

作為習(xí)題請(qǐng)證明以下頻域循環(huán)卷積定理:如果x(n)=x1(n)x2(n)，則(3.2.6)N

時(shí)域相乘，頻域卷積2023/1/945作為習(xí)題請(qǐng)證明以下頻域循環(huán)卷積定理:2023/1/946或

式中N

頻域循環(huán)卷積定理2023/1/946或N頻域循環(huán)卷積定理2023/1/9473.2.4復(fù)共軛序列的DFT

設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列，長(zhǎng)度為N，

X(k)=DFT［x(n)］則

DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7)

且

X(N)=X(0)2023/1/9473.2.4復(fù)共軛序列的DFT2023/1/948證明：根據(jù)DFT的唯一性，只要證明(3.2.7)式右邊等于左邊即可。

又由X(k)的隱含周期性有X(N)=X(0)

用同樣的方法可以證明

DFT［x*(N-n)］=X*(k)(3.2.8)2023/1/948證明：根據(jù)DFT的唯一性，只要證明(2023/1/949

3.2.5DFT的共軛對(duì)稱性

1.有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列用xep(n)和xop(n)分別表示有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列，則二者滿足如下定義式：

xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1(3.2.9)xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1(3.2.10)

當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，將上式中的n換成N/2-n可得到:2023/1/9493.2.5DFT的共軛對(duì)稱性2023/1/950圖3.2.3共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列示意圖（N為偶數(shù)）注意：DTFT的對(duì)稱性-----x(n)無限長(zhǎng)----關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱DFT的對(duì)稱性----x(n)有限長(zhǎng)----關(guān)于N/2點(diǎn)對(duì)稱2023/1/950圖3.2.3共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱2023/1/951(3.2.14)任何有限長(zhǎng)序列x(n)都可以表示成其共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和，即:其中，2023/1/951(3.2.14)任何有限長(zhǎng)序列x(n)2023/1/952

2．DFT的共軛對(duì)稱性

(1)如果將x(n)表示為x(n)=xr(n)+jxi(n)(3.2.17)其中那么，由(3.2.11)式和(3.2.16a)式可得2023/1/9522．DFT的共軛對(duì)稱性2023/1/9532023/1/9532023/1/954

(2)如果將x(n)表示為

綜上，可總結(jié)出DFT的共軛對(duì)稱性質(zhì)：如果序列x(n)的DFT為X(k)，則x(n)的實(shí)部和虛部（包括j）的DFT分別為X(k)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量；而x(n)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量的DFT分別為X(k)的實(shí)部和虛部乘以j。則：2023/1/954(2)如果將x(n)表示為綜上2023/1/955有限長(zhǎng)實(shí)序列的共軛對(duì)稱性：設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的實(shí)序列，且X(k)=DFT［x(n)］，則：

(1)X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.19)(2)如果x(n)=x(N-n)則X(k)實(shí)偶對(duì)稱，即：X(k)=X(N-k)(3.2.20)(3)如果x(n)=-x(N-n)，則X(k)純虛奇對(duì)稱，即：X(k)=-X(N-k)

(3.2.21)

復(fù)序列純虛序列？DFT［x*(n)］=X*(N-k),

DFT［x*(N-n)］=X*(k)

2023/1/955有限長(zhǎng)實(shí)序列的共軛對(duì)稱性：復(fù)序列？DFT2023/1/956

實(shí)際中經(jīng)常需要對(duì)實(shí)序列進(jìn)行DFT，利用上述對(duì)稱性質(zhì)，可減少DFT的運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。例如，計(jì)算實(shí)序列的N點(diǎn)DFT時(shí)，當(dāng)N=偶數(shù)時(shí)，只需計(jì)算X(k)的前面N/2+1點(diǎn)，而N=奇數(shù)時(shí)，只需計(jì)算X(k)的前面(N+1)/2點(diǎn)，其他點(diǎn)按照(3.2.19)式即可求得。例如，X(N－1)=X*(1),X(N－2)=X*(2),…這樣可以減少近一半運(yùn)算量。

【例3.2.2】

利用DFT的共軛對(duì)稱性，設(shè)計(jì)一種高效算法，通過計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)DFT，就可以計(jì)算出兩個(gè)實(shí)序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。解構(gòu)造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，對(duì)x(n)進(jìn)行DFT，得到：2023/1/956實(shí)際中經(jīng)常需要對(duì)實(shí)序列進(jìn)行DFT，利2023/1/957由(3.2.17)、(3.2.18)和(3.2.19)式得到：所以，由X(k)可以求得兩個(gè)實(shí)序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT：2023/1/957由(3.2.17)、(3.2.18)和(2023/1/9581.線性性？2.循環(huán)移位性？5.DFT的共軛對(duì)稱性？3.2回顧與總結(jié)：3.循環(huán)卷積定理？4.復(fù)共軛序列的DFT？2023/1/9581.線性性？2.循環(huán)移位性？5.DFT的3.1引言3.2周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)3.3離散傅里葉變換的定義3.4離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.5DFT、ZT、DTFT之間的關(guān)系3.6頻率域采樣3.7DFT的應(yīng)用舉例第3章離散傅里葉變換(DFT)3.1引言第3章離散傅里葉變換(DFT)2023/1/9603.1引言1.FT：非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換

2.

FS:周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換3.DTFT：非周期序列的傅立葉變換4.DFS：周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)5.ZT：非周期序列的Z變換2023/1/923.1引言1.FT：非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)3.2周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(

DiscreteFourierSeries,DFS)1.定義設(shè)是以N為周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里葉級(jí)數(shù)(2-1-43)

式中ak是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。3.2周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DiscreteF

經(jīng)證明：上式中，k和n均取整數(shù)，令：-∞<k<∞(2-1-47)

也是一個(gè)以N為周期的周期序列，稱為的離散傅里葉級(jí)數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。經(jīng)證明：-∞<k<∞(2

(2-1-51)式和(2-1-52)式稱為一對(duì)DFS(DiscreteFourierSeries:離散傅立葉級(jí)數(shù))。

周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。(2-1-51)(2-1-52)(2-1-51)式和(2-1-52)式稱為一對(duì)DF例2.3.1設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期，進(jìn)行周期延拓，得到周期序列，周期為8，求的DFS。解：按照定義式例2.3.1設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為

其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。

例2.3.1圖其幅度特性如圖2.3.3.3離散傅里葉變換（DFT）的定義3.3.1周期延拓與取主值運(yùn)算任何周期為N的周期序列可以看作長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)則是的一個(gè)周期，即：2023/1/9663.3離散傅里葉變換（DFT）的定義3.3.1周期延2023/1/967

式中x((n))N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列，((n))N表示n對(duì)N求余，即如果：

n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M為整數(shù)，則：((n))N=n1例如：x((10))8=x(1*8+2)

=x(2)x((-3))8=x((-1)*8+5)=x(5)2023/1/99式中x((n))N表示x(n)以N2023/1/968圖3.1.2有限長(zhǎng)序列及其周期延拓2023/1/910圖3.1.2有限長(zhǎng)序列及其周期3.3.2DFT的定義由于無限長(zhǎng)周期序列只需要用主值序列

即可確定，并能夠完全地表達(dá)出來，于是，只需要將DFS中的周期序列換成其對(duì)應(yīng)的主值序列，表達(dá)式仍然成立2023/1/9693.3.2DFT的定義2023/1/9112023/1/970設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，則定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為X(k)的離散傅里葉逆變換為離散傅里葉變換對(duì)

式中，N稱為DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度N≥M。2023/1/912設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，說明：1）DFT真正做到了計(jì)算機(jī)可以處理，即時(shí)域x(n)離散、有限長(zhǎng)，頻域X(k)離散、有限長(zhǎng);2）旋轉(zhuǎn)因子的作用3）有限長(zhǎng)序列的DFT與DFS的關(guān)系圖示：2023/1/971DFT主值區(qū)域周期沿拓周期沿拓主值區(qū)域IDFTIDFSDFS說明：1）DFT真正做到了計(jì)算機(jī)可以處理，即時(shí)域x(n)離散4）x(n)和X(k)的隱含周期性DFT變換對(duì)公式中，由于WNkn的周期性，使X(k)隱含周期性，且周期均為N。對(duì)任意整數(shù)m，總有：2023/1/972所以(3.3.6)式中，X(k)滿足：同理可證明(3.3.7)式中：

4）x(n)和X(k)的隱含周期性2023/1/914所以(2023/1/973

如果x(n)的長(zhǎng)度為N，且，則可寫出的離散傅里葉級(jí)數(shù)為：(3.1.8)(3.1.9)式中

(3.1.10)X(k)反映了x((n))N的頻譜特性2023/1/915如果x(n)的長(zhǎng)度為N，且2023/1/974

例3.3.2x(n)=R4(n)，求x(n)的4點(diǎn)、8點(diǎn)DFT、16點(diǎn)DFT

。

解：（1）設(shè)變換區(qū)間N=4，則2023/1/916例3.3.2x(n)=R4(2023/1/975設(shè)變換區(qū)間N=8，則：2023/1/917設(shè)變換區(qū)間N=8，則：2023/1/976圖3.1.1R4(n)的FT和DFT的幅度特性關(guān)系提高譜密度2023/1/918圖3.1.1R4(n)的FT和DFT2023/1/9773.3.2DFT和DTFT、ZT的關(guān)系設(shè)序列x(n)的長(zhǎng)度為N，其ZT、DTFT和DFT分別為：三式有什么關(guān)系？2023/1/9193.3.2DFT和DTFT、ZT的關(guān)2023/1/978比較上面三式可得ZT和DFT的關(guān)系：圖3.1.1(a)X(k)與X(z)的關(guān)系2023/1/920比較上面三式可得ZT和DFT的關(guān)系：圖2023/1/979圖3.1.1(b)X(k)與X(ejω)的關(guān)系2023/1/921圖3.1.1(b)X(k)與X2023/1/9803.3.4用MATLAB計(jì)算序列的DFT

MATLAB提供了用快速傅里葉變換算法FFT(算法見第4章介紹)計(jì)算DFT的函數(shù)fft，其調(diào)用格式如下:Xk=fft(xn,N)；xn為被變換的時(shí)域序列向量，N是DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度，一般地，N大于xn的長(zhǎng)度。函數(shù)返回xn的N點(diǎn)DFT變換結(jié)果向量Xk。

Ifft函數(shù)計(jì)算IDFT，其調(diào)用格式與fft函數(shù)相同，可參考help文件。2023/1/9223.3.4用MATLAB計(jì)算序列的D2023/1/981

3.4離散傅里葉變換的基本性質(zhì)

3.4.1線性性質(zhì)如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度分別為N1和N2,且y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b為常數(shù)，即N=max［N1,N2］，則y(n)的N點(diǎn)DFT為：Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2(k),0≤k≤N-1(3.2.1)其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。2023/1/923

3.4離散傅里葉變換的基本性質(zhì)

2023/1/982

3.4.2序列循環(huán)移位性質(zhì)1.序列的循環(huán)移位設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，則x(n)的循環(huán)移位定義為：

y(n)=x((n+m))NRN(n)(3.2.2)周期沿拓左移m點(diǎn)取主值循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)是將x(n)左移m位，而移出主值區(qū)的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。2023/1/9243.4.2序列循環(huán)移位性質(zhì)周期沿拓2023/1/983圖3.2.1循環(huán)移位過程示意圖2023/1/925圖3.2.1循環(huán)移位過程示2023/1/984

2.時(shí)域循環(huán)移位定理設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位，即

y(n)=x((n+m))NRN(n)則

(3.2.3)其中X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1。2023/1/9262.時(shí)域循環(huán)移位定理2023/1/985證明：

令n+m=n′，則有在一個(gè)周期內(nèi)求和2023/1/927證明：令n+m=n′，則有在一個(gè)周期2023/1/986

由于上式中求和項(xiàng)以N為周期，所以對(duì)其在任一周期上的求和結(jié)果相同。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)間，則得：

2023/1/928由于上式中求和項(xiàng)對(duì)比記憶：循環(huán)時(shí)移：線性時(shí)移：2023/1/987時(shí)域移位，頻域相移對(duì)比記憶：2023/1/929時(shí)域移位，頻域相移2023/1/9883.頻域循環(huán)移位定理如果：

則：頻域循環(huán)移位：頻域線性移位：頻域移位，時(shí)域調(diào)制2023/1/9303.頻域循環(huán)移位定理頻域移位，時(shí)域調(diào)2023/1/9893.2.3循環(huán)卷積定理

時(shí)域循環(huán)卷積定理是DFT中最重要的定理，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。已知系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，計(jì)算系統(tǒng)的輸出，以及FIR濾波器用FFT實(shí)現(xiàn)等，都是基于該定理的。

1．兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積設(shè)序列h(n)和x(n)的長(zhǎng)度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為： 2023/1/9313.2.3循環(huán)卷積定理2023/1/990式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度，L≥max［N，M］。上式顯然與第1章介紹的線性卷積不同，為了區(qū)別線性卷積，用*表示線性卷積，用表示L點(diǎn)循環(huán)卷積，即yc(n)=h(n)

x(n)。觀察（3.2.5）式，x((n－m))L是以L為周期的周期信號(hào)，n和m的變化區(qū)間均是［0,L－1］，因此直接計(jì)算該式比較麻煩。計(jì)算機(jī)中采用矩陣相乘或快速傅里葉變換（FFT）的方法計(jì)算循環(huán)卷積。不進(jìn)位乘法2023/1/932式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度，L≥max2023/1/991

定義中，x(n)、h(n)、yc(n)長(zhǎng)度均認(rèn)為是L，不夠長(zhǎng)的補(bǔ)零。1o

n=0,m=0,1,…,L－1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成x(n)的循環(huán)倒相序列為序列x(n)進(jìn)行對(duì)比，相當(dāng)于將第一個(gè)序列值x(0)不動(dòng)，將后面的序列反轉(zhuǎn)180°再放在x(0)的后面。循環(huán)卷積的矩陣實(shí)現(xiàn)：2023/1/933定義中，x(n)、h(n)、yc(n2023/1/9922o令n=1,m=0,1,…,L-1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成的序列為3o再令n=2,m=0,1,…,L－1，此時(shí)得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移1位。。。。依次類推，當(dāng)n和m均從0變化到L-1時(shí)，得到一個(gè)關(guān)于x((n－m)L的矩陣如下：2023/1/9342o令n=1,m=0,2023/1/993上面矩陣稱為x(n)的L點(diǎn)“循環(huán)卷積矩陣”，其特點(diǎn)是:（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循環(huán)倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。（3）矩陣的各主對(duì)角線上的序列值均相等。則：2023/1/935上面矩陣稱為x(n)的L點(diǎn)“循環(huán)卷積矩陣2023/1/994（3.2.7）按照上式，可以在計(jì)算機(jī)上用矩陣相乘的方法計(jì)算兩個(gè)序列的循環(huán)卷積，這里關(guān)鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。上式中如果h(n)的長(zhǎng)度N<L，則需要在h(n)末尾補(bǔ)L－N個(gè)零。2023/1/936（3.2.7）按照上式，可以在計(jì)算機(jī)上2023/1/995

【例3.2.1】計(jì)算下面給出的兩個(gè)長(zhǎng)度為4的序列h(n)與x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積。

解按照式（3.2.21）寫出h(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為2023/1/937【例3.2.1】計(jì)算下面給出的兩2023/1/996h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為2023/1/938h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式2023/1/997h(n)和x(n)及其4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果分別如圖3.2.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。經(jīng)驗(yàn)證本例的8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果等于h(n)與x(n)的線性卷積結(jié)果。后面將證明，當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的長(zhǎng)度時(shí)，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。2023/1/939h(n)和x(n)及其4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積2023/1/998

圖3.2.2序列及其循環(huán)卷積波形2023/1/940圖3.2.2序列及其循環(huán)卷積波形2023/1/999

2.循環(huán)卷積定理

有限長(zhǎng)序列x1(n)和x2(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2，N=max［N1,N2］，x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)循環(huán)卷積為:

則x(n)的N點(diǎn)DFT為

其中（3.2.5）N

時(shí)域卷積，頻域相乘時(shí)域循環(huán)卷積定理2023/1/9412.循環(huán)卷積定理（3.2.5）N2023/1/9100

證明：

直接對(duì)(3.2.5)式兩邊進(jìn)行DFT，則有2023/1/942證明：直接對(duì)(3.2.5)式兩邊2023/1/9101令n－m=n′，則有因?yàn)樯鲜街?/p>

是以N為周期的，所以對(duì)其在任一個(gè)周期上求和的結(jié)果不變。因此2023/1/943令n－m=n′，則有2023/1/9102由于，因此即循環(huán)卷積亦滿足交換律。

N

N

2023/1/944由于2023/1/9103

作為習(xí)題請(qǐng)證明以下頻域循環(huán)卷積定理:如果x(n)=x1(n)x2(n)，則(3.2.6)N

時(shí)域相乘，頻域卷積2023/1/945作為習(xí)題請(qǐng)證明以下頻域循環(huán)卷積定理:2023/1/9104或

式中N

頻域循環(huán)卷積定理2023/1/946或N頻域循環(huán)卷積定理2023/1/91053.2.4復(fù)共軛序列的DFT

設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列，長(zhǎng)度為N，

X(k)=DFT［x(n)］則

DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7)

且

X(N)=X(0)2023/1/9473.2.4復(fù)共軛序列的DFT2023/1/9106證明：根據(jù)DFT的唯一性，只要證明(3.2.7)式右邊等于左邊即可。

又由X(k)的隱含周期性有X(N)=X(0)

用同樣的方法可以證明

DFT［x*(N-n)］=X*(k)(3.2.8)2023/1/948證明：根據(jù)DFT的唯一性，只要證明(2023/1/9107

3.2.5DFT的共軛對(duì)稱性

1.有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列用xep(n)和xop(n)分別表示有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列，則二者滿足如下定義式：

xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1(3.2.9)xop(n)=-x*op(N-n),