高中數(shù)學(xué)高考35第六章 數(shù) 列 高考專題突破3 第1課時(shí) 等差、等比數(shù)列與數(shù)列求和

第1課時(shí)等差、等比數(shù)列與數(shù)列求和第六章高考專題突破三高考中的數(shù)列問(wèn)題NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引題型分類深度剖析課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析1PARTONE題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的交匯例1

記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；師生共研解設(shè){an}的公比為q.解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n.(2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列.故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列.等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想和通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求解.求解時(shí)，應(yīng)“瞄準(zhǔn)目標(biāo)”，靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2019·桂林模擬)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S1＋1，S3，S4成等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.(2)若S4，S6，Sn成等比數(shù)列，求n及此等比數(shù)列的公比.解由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2，∴S4＝16，S6＝36，題型二新數(shù)列問(wèn)題師生共研解析數(shù)列a4，a5，a6，…，an(n≥4，n∈N*)是“增差數(shù)列”，故得到an＋2＋an>2an＋1(n≥4，n∈N*)，化簡(jiǎn)得到(2n2－4n－1)t>2(n≥4，n∈N*)，當(dāng)n＝4時(shí)，2n2－4n－1有最小值15，根據(jù)新數(shù)列的定義建立條件和結(jié)論間的聯(lián)系是解決此類問(wèn)題的突破口，靈活對(duì)新數(shù)列的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.思維升華此時(shí)數(shù)列的公積為2×4＝8.綜上可得，這個(gè)數(shù)列的公積為0或8.跟蹤訓(xùn)練2

(1)定義“等積數(shù)列”，在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列且a1＝2，前21項(xiàng)的和為62，則這個(gè)數(shù)列的公積為_____.解析當(dāng)公積為0時(shí)，數(shù)列a1＝2，a2＝0，a3＝60，a4＝a5＝…＝a21＝0滿足題意；當(dāng)公積不為0時(shí)，應(yīng)該有a1＝a3＝a5＝…＝a21＝2，且a2＝a4＝a6＝…＝a20，由題意可得，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝62－2×11＝40，0或81…，共有2017項(xiàng)，所以題型三數(shù)列的求和命題點(diǎn)1分組求和與并項(xiàng)求和多維探究(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，則an＝a1qn－1，且an>0，又∵a1>0，q>0，∴a1＝1，q＝2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n－1)命題點(diǎn)2錯(cuò)位相減法求和解由(1)知bn＝(2n＋1)2n，∴Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)2n－1＋(2n＋1)2n，2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)2n＋(2n＋1)·2n＋1，兩式相減得，－Tn＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)2n＋1.＝－2－(2n－1)2n＋1，∴Tn＝2＋(2n－1)2n＋1.例5

在數(shù)列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.命題點(diǎn)3裂項(xiàng)相消法求和證明nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n的兩邊同時(shí)除以n(n＋1)，所以an＝2n2＋2n，(1)一般求數(shù)列的通項(xiàng)往往要構(gòu)造數(shù)列，此時(shí)可從要證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息.(2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，常用的求和方法有錯(cuò)位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法等.思維升華(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；因?yàn)閍n>0，所以an－an－1＝3，又因?yàn)閍1＝1，所以{an}是首項(xiàng)a1＝1，公差d＝3的等差數(shù)列，所以an＝3n－2(n∈N*)．①②解

因?yàn)閎n＋1－bn＝an＋1，b1＝1，所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N*)，所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1課時(shí)作業(yè)2PARTTWO1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26.(1)求an及Sn；基礎(chǔ)保分練123456解設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，解得a1＝3，d＝2，則an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，又bn＋1－bn＝n＋3－(n＋2)＝1，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列.1234562.(2018·豐臺(tái)模擬)在數(shù)列{an}和{bn}中，a1＝1，an＋1＝an＋2，b1＝3，b2＝7，等比數(shù)列{cn}滿足cn＝bn－an.(1)求數(shù)列{an}和{cn}的通項(xiàng)公式；123456解因?yàn)閍n＋1－an＝2，且a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，即an＝2n－1.因?yàn)閎1＝3，b2＝7，且a1＝1，a2＝3，所以c1＝b1－a1＝2，c2＝b2－a2＝4.因?yàn)閿?shù)列{cn}是等比數(shù)列，所以cn＝c1·qn－1＝2×2n－1＝2n，即cn＝2n.123456(2)若b6＝am，求m的值.解因?yàn)閎n－an＝2n，an＝2n－1，所以bn＝2n＋2n－1.所以b6＝26＋2×6－1＝75.令2m－1＝75，得m＝38.1234563.已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；123456∵{an}是遞增數(shù)列，∴a1＝2，q＝2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2·2n－1＝2n.(2)若bn＝an

an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>62成立的正整數(shù)n的最小值.解∵bn＝an

an＝2n·

2n＝－n·2n，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)，

①則2Sn＝－(1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1)，

②②－①，得Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，則Sn＋n·2n＋1＝2n＋1－2，解2n＋1－2>62，得n>5，∴n的最小值為6.1234564.(2018·河北省唐山市遷安三中月考)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足a1＝4，且a2，a4＋2，2a7－8成等比數(shù)列，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，由已知得a2(2a7－8)＝(a4＋2)2，化簡(jiǎn)得，d2＋4d－12＝0，解得d＝2或d＝－6(舍)，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.123456所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn1234565.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，(2n－1)an＋1＝(2n＋3)Sn(n＝1，2，3，…).123456技能提升練(2)求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn.∴Sn＝(2n－1)·2n－1，∴Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，

①2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n. ②①－②得－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n＝(3－2n)·2n－3，∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.123456123456拓展沖刺練123456①②123456(2)設(shè)cn＝(3n＋1)an，證明：數(shù)列{cn}中任意三項(xiàng)不可能構(gòu)成等差數(shù)列.123456證明由(1)得，cn＝(3n＋1)an＝3n－1，(反證法)假設(shè)存在正整數(shù)l，m，n且1≤l<m<n，使得cl，cm，cn成等差數(shù)列.則2(3m－1)＝3l＋3n－2，即2·3m＝3l＋3n，則有2·3m－l＝1＋3n－l，即2·