2022年初升高暑期數(shù)學精品講義專題06 集合的概念及其表示重難點突破【含答案】

專題06集合的概念及其表示一、考情分析二、經(jīng)驗分享【知識點一、集合的概念】1．集合與元素一般地，我們把___________統(tǒng)稱為元素，用小寫拉丁字母表示．把___________組成的總體叫做集合，用大寫拉丁字母表示．說明：組成集合的元素可以是數(shù)、點、圖形、多項式，也可以是人或物等．2．元素與集合的關系如果是集合的元素，就說屬于集合，記作___________；如果不是集合中的元素，就說不屬于集合，記作___________．注意：與取決于元素a是否是集合A中的元素．根據(jù)集合中元素的確定性可知，對任何元素a與集合A，與這兩種情況中必有一種且只有一種成立．3．集合中元素的特征（1）___________：集合中的元素是否屬于這個集合是確定的，即任何對象都能明確它是或不是某個集合的元素，兩者必居其一．這是判斷一組對象是否構成集合的標準．（2）___________：給定集合的元素是互不相同的．即對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．（3）___________：集合中各元素間無先后排列的要求，沒有一定的順序關系．4．集合相等只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的．【知識點二、常用的數(shù)集及其記法】1．全體___________組成的集合稱為非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；2．所有___________組成的集合稱為正整數(shù)集，記作或；3．全體___________組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；4．全體___________組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；5．全體___________組成的集合稱為實數(shù)集，記作R．易錯點：為非負整數(shù)集（即自然數(shù)集），包括0，而表示正整數(shù)集，不包括0，注意區(qū)分．【知識點三、集合的表示方法】1．列舉法把集合的元素___________出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：（1）用列舉法表示的集合，集合中的元素之間用“，”隔開，另外，集合中的元素必須滿足確定性、互異性、無序性．（2）“{}”含有“所有”的含義，因此用表示所有實數(shù)是錯誤的，應是．2．描述法用集合所含元素的___________表示集合的方法稱為描述法．具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的___________．說明：用描述法表示集合應寫清楚該集合中的代表元素，即代表元素是數(shù)、有序實數(shù)對、集合，還是其他形式．【知識點四、Venn圖，子集】1．Venn圖的概念我們經(jīng)常用平面上___________的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖．說明：（1）表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線．（2）Venn圖表示集合時，能夠直觀地表示集合間的關系，但集合元素的公共特征不明顯．2．子集（1）子集的概念一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作（或），讀作“A含于B”（或“B包含A”）．用Venn圖表示AB如圖所示：（2）子集的性質①任何一個集合是它自身的子集，即．②傳遞性，對于集合，，，如果，且，那么．【知識點五、從子集的角度看集合的相等】如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作．用Venn圖表示如圖所示．【知識點六、真子集】1．真子集的概念如果集合，但存在元素___________，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）．如果集合是集合的真子集，在Venn圖中，就把表示的區(qū)域畫在表示的區(qū)域的內部．如圖所示：2．真子集的性質對于集合，，，如果，，那么．辨析：子集與真子集的區(qū)別：若，則或；若，則．【知識點七、空集】1．空集的概念我們把___________任何元素的集合叫做空集，記作，并規(guī)定：空集是任何集合的子集．2．空集的性質（1）空集是任何集合的___________，即；（2）空集是任何非空集合的___________，即．注意：空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往往容易因忽略空集的特殊性而導致漏解三、題型分析(一)集合的概念判斷指定的對象的全體能否構成集合，關鍵在于能否找到一個明確的標準，使得對于任何一個對象，都能確定它是否是給定集合中的元素．注意：構成集合的元素除常見的數(shù)、式、點等數(shù)學對象外，還可以是其他任意確定的對象．例1．（1）、（2022·全國·高三專題練習）下列說法中正確的是（

）A．與定點A，B等距離的點不能構成集合B．由“title”中的字母構成的集合中元素的個數(shù)為5C．一個集合中有三個元素a，b，c，其中a，b，c是的三邊長，則不可能是等邊三角形D．高中學生中的游泳能手能構成集合【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合元素的特征判斷可得；【詳解】解：對于A：與定點A，B等距離的點在線段的中垂線上，故可以組成集合，即A錯誤；對于B：由集合元素的互異性可知，由“title”中的字母構成的集合中元素的個數(shù)為4，故B錯誤；對于C：因為集合的元素具有互異性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等邊三角形，即C正確；對于D：游泳能手模棱兩可，不具有確定性，故D錯誤；故選：C【變式訓練1-1】、（2021·全國·高一課時練習）下列各個全體中，能表示為集合的是（

）A．某屆某校較優(yōu)秀的畢業(yè)生； B．很接近的所有實數(shù)；C．某班身高較高的男生； D．數(shù)軸上所有的有理數(shù)點．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的概念依次判斷即可得答案.【詳解】解：對于A選項，較優(yōu)秀的畢業(yè)生不確定，故不正確；對于B選項，很接近的數(shù)沒有度量標準，故不正確；對于C選項，身高較高沒有度量標準，故不正確；對于D選項，滿足集合的概念，故正確.故選：D【變式訓練1-2】、（2021·浙江高三專題練習）下列各對象可以組成集合的是（）A．與1非常接近的全體實數(shù)B．某校2015-2016學年度笫一學期全體高一學生C．高一年級視力比較好的同學D．與無理數(shù)相差很小的全體實數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)集合定義與性質一一判斷即可.【詳解】A中對象不確定，故錯；B中對象可以組成集合；C中視力比較好的對象不確定，故錯；D中相差很小的對象不確定，故錯.故選：B(二)元素與集合之間的關系元素與集合之間有且僅有“屬于（）”和“不屬于（）”兩種關系，且兩者必居其一．判斷一個對象是否為集合中的元素，關鍵是看這個對象是否具有集合中元素的特征．若集合是用描述法表示的，則集合中的元素一定滿足集合中元素的共同特征，可據(jù)此列方程（組）或不等式（組）求解參數(shù)；若，且集合是用列舉法表示的，則a一定等于集合A的其中一個元素，由此可列方程（組）求解．例2．（1）、（2022·廣東廣州·三模）若，則的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關系及集合中元素的性質，即可判斷的可能取值.【詳解】，則，符合題設；時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設；時，則，符合題設；∴或均可以.故選：C（2）．（2021·全國·高一專題練習）用符號“∈”或“?”填空：（1）設集合B是小于的所有實數(shù)的集合，則2________B，1＋________B；（2）設集合C是滿足方程x＝n2＋1(其中n為正整數(shù))的實數(shù)x的集合，則3________C，5________C；（3）設集合D是滿足方程y＝x2的有序實數(shù)對(x，y)組成的集合，則－1________D，(－1，1)________D．【答案】

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【解析】【分析】根據(jù)元素和集合的關系，逐項分析判斷即可得解.【詳解】（1）∵∴?B；∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，∴1＋<，∴1＋B．（2）∵n是正整數(shù)，∴n2＋1≠3，∴3?C；當n＝2時，n2＋1＝5，∴5C．（3）∵集合D中的元素是有序實數(shù)對(x，y)，則－1是數(shù)，∴－1?D；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D．故答案為：?，，?，，?，.【變式訓練2-1】、（2020·江蘇高一課時練習），對任意的，總有（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依次將和代入討論求解即可得答案.【詳解】解：將代入得顯然成立，故將代入不等式得，即，顯然成立，∴；所以故選：B.【變式訓練2-2】、（2021·全國·高一課時練習）已知集合M有2個元素x，2－x，若－1?M，則下列說法一定錯誤的是________．①2∈M；②1∈M；③x≠3.【答案】②【解析】【分析】先由－1?M求出x≠－1，x≠1且x≠3，，然后對①、②、③分別驗證即可.【詳解】依題意解得x≠－1，x≠1且x≠3，對于①：當x＝2或2－x＝2，即x＝2或0時，M中的元素為0，2，故①可能正確；對于②：當x＝1或2－x＝1，即x＝1時，M中兩元素為1，1不滿足互異性，故②不正確，③顯然正確．故答案為：②例3．（2020·安徽省太和中學高一月考）設數(shù)集由實數(shù)構成，且滿足：若(且)，則.（1）若，試證明中還有另外兩個元素；（2）集合是否為雙元素集合，并說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）不是雙元素集合，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)，則，由求解.（2）根據(jù)，，進行遞推求解.【詳解】（1）∵若，則，又∵，∴，∵，∴，∴中另外兩個元素分別為-1，.（2）∵，，∴，且，，，所以集合中至少有3個元素，所以集合A不是雙元素集合.【變式訓練3-1】、（2021·北京市八一中學高一階段練習）以某些整數(shù)為元素的集合具有以下兩個性質：①中的元素有正整數(shù)，也有負整數(shù)；②若，則．（1）若，求證：；（2）求證：；（3）判斷集合是有限集還是無限集？請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）集合為無限集；理由見解析．【解析】【分析】（1）設，得，進一步得到；（2）設，進一步得到，同理得到，從而得到；（3）利用反證法進行證明，從而得出結論．【詳解】（1）由②若則可得：若，則，（2）證明：由①，可設且；即為正整數(shù)，為正整數(shù)，由②可知，個相加屬于集合，即，同理，個相加屬于集合，即，；（3）判斷：集合為無限集．假設集合為有限集，則集合中必最大值，且最大值為正數(shù)，不妨設最大值為，由（2）若，，則可得：與集合的最大值為矛盾，所以集合為無限集．(三)、集合的表示方法對于元素較少的集合宜采用列舉法表示，用列舉法表示集合時，要求元素不重復、不遺漏、不計次序；對于元素較多的集合宜采用描述法表示．但是對于有些元素較多的集合，如果其中的元素具有規(guī)律性，那么也可以用列舉法表示，常用省略號表示多個元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．例4．（2022·湖南·高一課時練習）用列舉法表示下列集合：(1)中國國旗的顏色組成的集合；(2)單詞mathematics中的字母組成的集合；(3)自然數(shù)中不大于10的質數(shù)組成的集合；(4)同時滿足的整數(shù)組成的集合；(5)由＋(a,b∈R)所確定的實數(shù)組成的集合.【答案】(1){紅，黃}(2){m,a,t,h,e,i,c,s}(3){2,3,5,7}(4){－1,0,1,2}(5){－2,0,2}【解析】【分析】（1）中國國旗的顏色有紅、黃兩種，列舉法表示即可；（2）集合中的元素具有互異性，除去相同的字母，分析即得解；（3）自然數(shù)中不大于10的質數(shù)有2,3,5,7，列舉法表示即可；（4）求解不等式組，分析即得解；（5）分析的正負，分類討論即得解(1)由題意，中國國旗的顏色有紅、黃兩種故中國國旗的顏色組成的集合為{紅，黃}(2)集合中的元素具有互異性，除去相同的字母單詞mathematics中的字母組成的集合為{m,a,t,h,e,i,c,s}(3)自然數(shù)中不大于10的質數(shù)有2,3,5,7故自然數(shù)中不大于10的質數(shù)組成的集合為{2,3,5,7}(4)故同時滿足的整數(shù)有－1,0,1,2對應的集合為：{－1,0,1,2}(5)由題意，當時，＋；當時，＋；當時，＋；當時，＋故由＋(a,b∈R)所確定的實數(shù)組成的集合為{－2,0,2}【變式訓練4-1】、（2021·全國高一課時練習）用列舉法表示下列集合：（1）大于1且小于6的整數(shù)；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】根據(jù)題意，求出集合的元素，用列舉法表示出來即可．【詳解】解：用列舉法表示下列集合（1）大于1且小于6的整數(shù)，；（2）；所以（3），由解得，，故表示為，（四）、集合相等從集合相等的概念入手，尋找兩個集合中元素之間的關系，看一個集合中的元素與另一集合中的哪個元素相等，一般需要分類討論，在求出參數(shù)值后，要注意檢驗是否滿足集合中元素的互異性及是否使有關的代數(shù)式有意義．例5．（1）、（2022·江蘇·高一）設集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，則實數(shù)x的值組成的集合為（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C【解析】【分析】利用集合相等求解.【詳解】解：因為，所以，解得或，的取值集合為，故選：C（2）、（2022·浙江麗水·高一期末）已知集合，，若，則實數(shù)_______【答案】【解析】【分析】由題知方程有且只有一個實數(shù)根，進而得，再解方程即可得答案.【詳解】解：因為，所以方程有且只有一個實數(shù)根，所以，解得.所以故答案為：【變式訓練5-1】、（2020·江蘇省通州高級中學高一月考）已知集合，，若，則_______．【答案】5【分析】由集合的性質，即元素的無序性和互異性可得，得.【詳解】根據(jù)集合的元素具有無序性和互異性可得，，所以.故答案為：5.【點睛】（1）集合的充要條件是，且；（2）集合由三個性質：確定性，互異性和無序性.（五）、判斷兩個集合之間的關系（1）從集合關系的定義入手，對兩個集合進行分析，首先，判斷一個集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是，則A?B，否則A不是B的子集；其次，判斷另一個集合B中的任意元素是否屬于第一個集合A，若是，則B?A，否則B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，則A＝B．（2）確定集合是用列舉法還是描述法表示的，對于用列舉法表示的集合，可以直接比較它們的元素；對于用描述法表示的集合，可以對元素性質的表達式進行比較，若表達式不統(tǒng)一，要先將表達式統(tǒng)一，然后再進行判斷．也可以利用數(shù)軸或Venn圖進行快速判斷．例6．（1）、（2022·云南德宏·高一期末）下列四個選項中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合與集合的關系及元素與集合的關系判斷即可；【詳解】解：對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：D（2）．（2021·江蘇泰州市·泰州中學高三其他模擬）設集合，，則（）A．A B．A C． D．【答案】B【分析】分和兩種情況得出集合A，由此可得選項.【詳解】解：對于集合A，當，時，，當，時，,所以或，所以A，故選：B．（3）．【變式訓練6-1】、（2022·海南?？凇つM預測）已知集合，，若，則實數(shù)a＝（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【解析】【分析】對于集合，元素對應的是一元二次方程的解，根據(jù)判別式得出必有兩個不相等的實數(shù)根，又根據(jù)韋達定理以及，可確定出其中的元素，進而求解.【詳解】對于集合N，因為，所以N中有兩個元素，且乘積為-2，又因為，所以，所以．即a＝1．故選：B.【變式訓練6-2】、（2022·江蘇·高一）（多選題）若，則(

)A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意可知集合B最少包含1，2兩個元素，最多包含1，2，3或1，2，4三個元素.【詳解】∵，∴B＝{1，2}或B＝{1，2，3}或B＝{1，2，4}.故選：ABC.（六）、確定集合的子集的個數(shù)有限集子集的確定問題，求解關鍵有三點：（1）確定所求集合；（2）注意兩個特殊的子集：和自身；（3）依次按含有一個元素的子集，含有兩個元素的子集，含有三個元素的子集……寫出子集．就可避免重復和遺漏現(xiàn)象的發(fā)生．例7．（1）（2021·全國高三二模）集合的子集個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)含有個元素的集合其子集個數(shù)為計算可得；【詳解】解：由題意得集合的子集個數(shù)為.故選：D（2）．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學校高一期中）已知集合有兩個子集，則m的值是__________．【答案】0或4【解析】【分析】由題意得只有一個元素，對分類討論求解【詳解】當時，，滿足題意當時，由題意得，綜上，或故答案為：0或4【變式訓練7-1】、（202