2018-2019學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修4-4同步指導(dǎo)學(xué)案：第二講 參數(shù)方程 一 第二課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時參數(shù)方程和普通方程的互化學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解參數(shù)方程化為普通方程的意義.2.掌握參數(shù)方程化為普通方程的基本方法.3.能根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化靈活解決問題．知識點參數(shù)方程和普通方程的互化思考1要判斷一個點是否在曲線上，你覺得用參數(shù)方程方便還是用普通方程方便？答案用普通方程比較方便．思考2把參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是什么?答案關(guān)鍵是消參數(shù)．梳理(1）曲線的普通方程和參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化①曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程；②如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t），那么eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝ft，,y＝gt)）就是曲線的參數(shù)方程．（2）參數(shù)方程化為普通方程的三種常用方法①代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù);②三角函數(shù)法：利用三角恒等式消去參數(shù);③整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去．特別提醒：化參數(shù)方程為普通方程F（x,y)＝0，在消參過程中注意變量x，y的取值范圍，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f（t）和g（t）的值域得x，y的取值范圍。類型一參數(shù)方程化為普通方程例1將下列參數(shù)方程化為普通方程，并判斷曲線的形狀．（1)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\r（t)＋1,,y＝1－2\r（t)））(t為參數(shù));(2)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ，,y＝4sinθ－1）)（θ為參數(shù)）；(3）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f(1－t,1＋t),,y＝\f（2t，1＋t）））（t≠－1，t為參數(shù))．解(1）由x＝eq\r(t）＋1≥1，得eq\r（t）＝x－1,代入y＝1－2eq\r(t),得y＝－2x＋3（x≥1），這是以（1,1)為端點的一條射線．(2）由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ，,y＝4sinθ－1，））得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（cosθ＝\f（x,5）,①，sinθ＝\f(y＋1,4），

②))①2＋②2,得eq\f(x2，25)＋eq\f（y＋12,16)＝1，這是橢圓．(3）方法一x＋y＝eq\f（1－t，1＋t）＋eq\f（2t,1＋t）＝eq\f(1＋t，1＋t)＝1，又x＝eq\f(1－t，1＋t)＝eq\f(2,1＋t）－1，故x≠－1，y＝eq\f(2t，1＋t）＝eq\f（21＋t－2,1＋t）＝2－eq\f（2，1＋t)，故y≠2，所以所求的方程為x＋y＝1（x≠－1，y≠2）．方程表示直線(去掉一點(－1,2))．方法二由x＝eq\f（1－t，1＋t），所以x＋xt＝1－t，所以（x＋1)t＝1－x，即t＝eq\f(1－x，1＋x)，代入y中得，y＝eq\f(2t,1＋t)＝eq\f（2×\f(1－x,1＋x),1＋\f（1－x,1＋x))＝eq\f（21－x,1＋x＋1－x）＝1－x,所以x＋y＝1(x≠－1,y≠2)．方程表示直線(去掉一點(－1，2）)．反思與感悟消去參數(shù)方程中參數(shù)的技巧（1）加減消參數(shù)法：如果參數(shù)方程中參數(shù)的符號相等或相反，常常利用兩式相減或相加的方法消去參數(shù)．(2)代入消參數(shù)法：利用方程思想，解出參數(shù)的值，代入另一個方程消去參數(shù)的方法，稱為代入消參法,這是非常重要的消參方法．(3)三角函數(shù)式消參數(shù)法:利用三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2θ＋cos2θ＝1消去參數(shù)θ.跟蹤訓(xùn)練1將下列參數(shù)方程化為普通方程：（1）eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝t＋\f（1，t),，y＝t2＋\f（1，t2）)）(t為參數(shù)）;（2）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋3cosθ，,y＝3sinθ)）（θ為參數(shù)）．解（1)∵x＝t＋eq\f(1，t），∴x2＝t2＋eq\f（1，t2)＋2，把y＝t2＋eq\f(1，t2)代入得x2＝y(tǒng)＋2。又∵當(dāng)t>0時，x＝t＋eq\f(1,t)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時等號成立;當(dāng)t<0時，x＝t＋eq\f（1,t)≤－2,當(dāng)且僅當(dāng)t＝－1時等號成立．∴x≥2或x≤－2，∴普通方程為x2＝y(tǒng)＋2（x≥2或x≤－2)．（2）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋3cosθ，,y＝3sinθ））可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x－2＝3cosθ,,y＝3sinθ，）)兩式平方相加得(x－2)2＋y2＝9，即普通方程為(x－2)2＋y2＝9。類型二普通方程化為參數(shù)方程例2已知圓C的方程為x2＋y2－2x＝0，根據(jù)下列條件，求圓C的參數(shù)方程．(1）以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)；(2）設(shè)x＝2m，m為參數(shù)．解（1）過原點且傾斜角為θ的直線方程為y＝xtanθ，由方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2－2x＝0，,y＝xtanθ)）消去y，得x2＋x2tan2θ－2x＝0，解得x＝0或x＝eq\f（2，1＋tan2θ）＝eq\f（2cos2θ，sin2θ＋cos2θ)＝2cos2θ。當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x＝2cos2θ時，y＝xtanθ＝2cosθ·sinθ＝sin2θ.又eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0，,y＝0））適合參數(shù)方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2cos2θ,,y＝sin2θ，））∴所求圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2cos2θ，，y＝sin2θ）)（θ為參數(shù)，0≤θ<π）．（2）把x＝2m代入圓C的普通方程，得4m2＋y2－4m＝0，可得y2＝4m－4m2,即y＝±2eq\r(m－m2)，∴所求圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2m,,y＝±2\r（m－m2））)(m為參數(shù))．反思與感悟(1）普通方程化為參數(shù)方程時，選取參數(shù)后,要特別注意參數(shù)的取值范圍,它將決定參數(shù)方程是否與普通方程等價．（2)參數(shù)的選取不同,得到的參數(shù)方程是不同的．跟蹤訓(xùn)練2已知曲線的普通方程為4x2＋y2＝16.(1)若令y＝4sinθ（θ為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？（2）若令y＝t(t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程?若令x＝2t（t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？解(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ（由θ的任意性可取x＝2cosθ)．∴4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,,y＝4sinθ））(θ為參數(shù)）．（2)將y＝t代入普通方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，則x2＝eq\f（16－t2,4)，∴x＝±eq\f(\r(16－t2）,2）.因此，橢圓4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(16－t2）,2），，y＝t））和eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r（16－t2）,2），，y＝t))（t為參數(shù))同理將x＝2t代入普通方程4x2＋y2＝16,得參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝4\r(1－t2))）和eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2t,,y＝－4\r(1－t2)）)(t為參數(shù)）．類型三參數(shù)方程與普通方程互化的應(yīng)用例3已知x，y滿足圓C：x2＋（y－1）2＝1的方程，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（\r（3),3)t,，y＝－t＋5））(t為參數(shù))．（1）求3x＋4y的最大值和最小值；（2)若P(x，y）是圓C上的點,求P到直線l的最小距離，并求此時點P的坐標(biāo)．解圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝cosθ,,y＝sinθ＋1））（θ為參數(shù))，直線l的普通方程為eq\r(3)x＋y－5＝0。(1）3x＋4y＝3cosθ＋4sinθ＋4＝5sin（θ＋φ)＋4,tanφ＝eq\f（3,4)，∴3x＋4y的最大值為9，最小值為－1.(2)P到直線l的距離為d＝eq\f（｜\r(3）cosθ＋sinθ－4｜，2)＝eq\f（\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（2sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3）))－4)),2)，當(dāng)θ＋eq\f(π，3）＝eq\f(π，2)，即θ＝eq\f（π，6)時,dmin＝1,此時，x＝coseq\f(π,6）＝eq\f（\r(3)，2）,y＝sineq\f（π，6）＋1＝eq\f(3，2)，∴點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)，2)，\f（3,2))）.反思與感悟（1）參普互化有利于問題的解決，根據(jù)需要,合理選擇用參數(shù)方程還是普通方程．（2）解決與圓有關(guān)的最大值，最小值問題時,通常用圓的參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值，最小值問題．跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x－y＋4＝0。以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－4eq\r（2）ρcoseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ－\f（π，4)））＋6＝0.(1)求直線l的極坐標(biāo)方程,曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2）若點P是曲線C上任意一點，P點的直角坐標(biāo)為(x，y)，求x＋2y的最大值和最小值．解（1)直線l的方程為x－y＋4＝0，因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ－ρsinθ＋4＝0。又曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－4eq\r(2）ρcoseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋6＝0，所以ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0,因為ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋（y－2）2＝2。（2)由(1）知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r（2)cosθ,，y＝2＋\r(2)sinθ)）(θ為參數(shù))，所以x＋2y＝（2＋eq\r(2)cosθ）＋2（2＋eq\r(2)sinθ)＝6＋eq\r（2)（cosθ＋2sinθ）＝6＋eq\r(10）sin(θ＋φ)，tanφ＝eq\f（1，2)。當(dāng)sin(θ＋φ)＝－1時，x＋2y有最小值6－eq\r(10），當(dāng)sin(θ＋φ)＝1時，x＋2y有最大值6＋eq\r(10).1．若點P在曲線ρcosθ＋2ρsinθ＝3上，其中0≤θ≤eq\f（π，4），ρ>0，則點P的軌跡是（)A．直線x＋2y＝3B．以（3,0)為端點的射線C．圓（x－1)2＋y2＝1D．以(1,1），（3,0）為端點的線段答案D2．將參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2＋sin2θ，，y＝sin2θ)）（θ為參數(shù))化成普通方程為(）A．y＝x－2 B．y＝x＋2C．y＝x－2（2≤x≤3） D．y＝x＋2(0≤y≤1）答案C解析由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ，∴y＝x－2.又sin2θ＝x－2∈[0，1］，∴x∈[2，3］．3．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝sin2θ，，y＝sinθ＋cosθ)）（θ為參數(shù)）表示的曲線的普通方程是_____________________．答案y2＝x＋1（－1≤x≤1）4．將參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f（1，t)，,y＝t2＋\f（1，t2))）（t為參數(shù)）化成普通方程為____________________．答案x2－y＝2(y≥2)解析由x＝t＋eq\f(1，t),得x2＝t2＋eq\f(1,t2）＋2，又y＝t2＋eq\f（1，t2)，∴x2＝y(tǒng)＋2.∵t2＋eq\f(1,t2)≥2，∴y≥2。5．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ＋4sinφ，,y＝4cosφ－3sinφ))(φ為參數(shù))表示的圖形是________．答案圓解析x2＋y2＝（3cosφ＋4sinφ)2＋(4cosφ－3sinφ）2＝25，表示圓．1．參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程化為普通方程,可通過代入消元法和三角恒等式消參法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，通過曲線的普通方程來判斷曲線的類型，研究曲線的性質(zhì)．由普通方程化為參數(shù)方程要選定恰當(dāng)?shù)膮?shù),尋求曲線上任一點M的坐標(biāo)(x，y）和參數(shù)的關(guān)系，根據(jù)實際問題的要求，可以選擇時間、角度、線段長度、直線的斜率、截距等作為參數(shù)．2．同一問題參數(shù)的選擇往往不是惟一的，適當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)，可以簡化解題的過程,降低計算量,提高準(zhǔn)確率．3．參數(shù)方程與普通方程的等價性把參數(shù)方程化為普通方程后,很容易改變變量的取值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致，因此我們要注意參數(shù)方程與普通方程的等價性．一、選擇題1．曲線eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝｜sinθ|，,y＝cosθ))(θ為參數(shù)）的方程等價于（）A．x＝eq\r(1－y2) B．y＝eq\r(1－x2）C．y＝±eq\r(1－x2) D．x2＋y2＝1答案A2．已知直線l:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，，y＝－2－t))（t為參數(shù)）與圓C:eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋1，，y＝2sinθ)）（θ為參數(shù))，則直線l的傾斜角及圓心C的直角坐標(biāo)分別為（)A。eq\f（π，4），（1,0） B.eq\f(π，4），(－1,0)C.eq\f（3π，4），（1，0) D。eq\f(3π,4)，(－1,0)答案C3．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋sin2θ,,y＝－1＋cos2θ))(θ為參數(shù))化為普通方程是()A．2x－y＋4＝0B．2x＋y－4＝0C．2x－y＋4＝0,x∈［2，3］D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]答案D解析由條件可得cos2θ＝y(tǒng)＋1＝1－2sin2θ＝1－2(x－2）,化簡可得2x＋y－4＝0，x∈［2,3］．4．過原點作傾斜角為θ的直線與圓eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋2cosα,y＝2sinα)）(α為參數(shù))相切，則θ等于(）A。eq\f(π，6) B。eq\f(5π，6)C。eq\f（π，6)或eq\f（5π，6) D.eq\f(π,3)答案C解析直線為y＝xtanθ，圓為（x－4）2＋y2＝4,直線與圓相切時，易知tanθ＝±eq\f（\r(3）,3），∴θ＝eq\f(π,6）或eq\f（5π，6）。5．下列參數(shù)方程中，與普通方程y2＝x表示同一曲線的是()A。eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t,，y＝t2）)(t為參數(shù)） B.eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝sin2t,，y＝sint））（t為參數(shù)）C。eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝t，，y＝\r（t)））（t為參數(shù)） D。eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝t2，，y＝t））（t為參數(shù))答案D解析由參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝t2，，y＝t)）消去參數(shù)t，可得y2＝x.又參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t）)滿足x≥0，y∈R，故選D。二、填空題6．設(shè)y＝tx（t為參數(shù)),則圓x2＋y2－4y＝0的參數(shù)方程是____________________．答案eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（4t,1＋t2），，y＝\f（4t2，1＋t2)）)(t為參數(shù))解析把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0,得x＝eq\f(4t,1＋t2)或x＝0，當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x＝eq\f(4t，1＋t2）時,y＝eq\f（4t2,1＋t2)，又eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝0,,y＝0))適合參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（4t,1＋t2），,y＝\f（4t2,1＋t2)，))∴參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(4t,1＋t2)，，y＝\f（4t2，1＋t2)））（t為參數(shù))．7．若曲線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－k,k2＋4)，,，y＝\f(4，k2＋4）))(k為參數(shù)），則其普通方程為________________．答案4x2＋y2－y＝0（0<y≤1）解析由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(－k，k2＋4），,y＝\f（4，k2＋4))）(k為參數(shù)）兩式相除，得k＝－eq\f（4x，y），代入y＝eq\f(4，k2＋4），得4x2＋y2－y＝0.由于y＝eq\f(4，k2＋4）∈(0，1］,所以曲線的普通方程為4x2＋y2－y＝0(0〈y≤1)．8．在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為eq\f(π,4）的直角l與曲線C:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2＋cosα，，y＝1＋sinα))（α為參數(shù))交于A,B兩點，且|AB|＝2，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線l的極坐標(biāo)方程是________________．答案ρ(cosθ－sinθ)＝1解析設(shè)傾斜角為eq\f（π,4）的直線l的方程為y＝x＋b,曲線C：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα,，y＝1＋sinα）)(α為參數(shù))的普通方程為（x－2)2＋(y－1)2＝1，圓心C(2，1）到直線x－y＋b＝0的距離為d＝eq\f(|b＋1｜,\r（2）），依題意,得｜AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2,即1－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(｜b＋1｜,\r（2))）)2＝1，解得b＝－1，所以直線方程為x－y－1＝0,化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ－ρsinθ＝1，即ρ(cosθ－sinθ)＝1為所求．9．過點M（2,1）作曲線C:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))的弦，使M為弦的中點，則此弦所在直線的普通方程為________．答案2x＋y－5＝0解析由于曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，，y＝4sinθ))表示圓心在原點，半徑為4的圓，所以過點M的弦與線段OM垂直，因為kOM＝eq\f(1，2），所以弦所在直線的斜率是－2，故所求直線方程為y－1＝－2（x－2)，即2x＋y－5＝0為所求．10．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r（3）＋3cosθ，，y＝1＋3sinθ）)(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π，6)））＝0，則圓C截直線所得弦長為________．答案4eq\r（2)解析圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\r(3）＋3cosθ,,y＝1＋3sinθ，）)圓心為（eq\r(3)，1）,半徑為3，直線的普通方程為ρeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cosθcos\f（π，6)－sinθsin\f(π,6))）＝eq\f(\r（3），2)x－eq\f（1,2)y＝0，即eq\r（3)x－y＝0，圓心C(eq\r（3)，1）到直線eq\r(3）x－y＝0的距離為d＝eq\f(|\r(3）2－1｜，\r(3＋1))＝1，所以圓C截直線所得弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－12)＝4eq\r(2).三、解答題11．將參數(shù)方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（a,2）\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（t＋\f(1，t）))，,y＝\f（b，2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f（1,t))））)(a，b為大于0的常數(shù)，t為參數(shù)）化為普通方程，并判斷曲線的形狀．解因為x＝eq\f（a,2)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（t＋\f（1,t))），所以t>0時，x∈［a,＋∞），t〈0時,x∈(－∞,－a]．由x＝eq\f（a,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1，t）））兩邊平方，可得x2＝eq\f(a2，4）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(t2＋2＋\f(1，t2)）），①由y＝eq\f（b,2)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(t－\f（1，t))）兩邊平方,可得y2＝eq\f(b2,4）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(t2－2＋\f(1,t2)）)，②①×eq\f（1,a2）－②×eq\f（1，b2)并化簡，得eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1(a，b為大于0的常數(shù)）．所以普通方程為eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1（a>0,b>0)．所以方程表示焦點在x軸上的雙曲線．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosα，,y＝rsinα)）（α為參數(shù)，r為常數(shù)，r〉0）以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為eq\r（2）ρcoseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π，4）))＋2＝0.若直線l與曲線C交于A,B兩點，且|AB｜＝2eq\r（2），求r的值．解由eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ＋\f（π,4)))＋2＝0，得ρcosθ－ρsinθ＋2＝0，即直線l的方程為x－y＋2＝0.由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝rcosα，，y＝rsinα，）)得曲線C的普通方程為x2＋y2＝r2，圓心坐標(biāo)為(0,0),所以，圓心到直線的距離d＝eq\r（2),由｜AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2），得r＝2.13．已知曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2＋\r（10）cosθ，,y＝\r(10）sinθ))(θ為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ＋6sinθ.（1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）曲線C1，C2是否相交？若相交，請求出公共弦的長；若不相交,請說明理由．解（1）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2＋\r（10）cosθ，,y＝\r（10）sinθ))(θ為參數(shù)），得(x＋2)2＋y2＝10,∴曲線C1的普通方程為（x＋2)2＋y2＝10.∵ρ＝2cosθ＋6sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ＋6ρsinθ，∴x2＋y2＝2x＋6y，即(x－1）2＋(y－3)2＝10，∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為（x－1）2＋(y－3)2＝10.(2）∵圓C1的圓心為C1（－2,0），圓C2的圓心為C2（1,3），∴|C1C2|＝eq\r(－2－12＋0－32）＝3eq\r(2)〈2eq\r（10），∴兩圓相交．設(shè)公共弦的長為d,∵兩圓半徑相等，∴公共弦平分線段C1C2，∴eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（d,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3\r（2)，2)）)2＝（eq\r(10）)2，解得d＝eq\r(22),∴公