2023屆高考數(shù)學(xué)壓軸小題19 解析幾何中的范圍問題含答案

61/612023屆高考數(shù)學(xué)壓軸小題19解析幾何中的范圍問題解析幾何中的范圍問題解析幾何中的范圍問題一．方法綜述圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出取值范圍；③利用基本不等式求出取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定取值范圍．二．解題策略類型一利用題設(shè)條件，結(jié)合幾何特征與性質(zhì)求范圍【例1】已知，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】山東省濱州市2021屆高三二模（5月）數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】在中，，由正弦定理得，，又點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以，所以，，在中，由，得，即，所以，又，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解離心率取值范圍的關(guān)鍵是挖掘題中的隱含條件，構(gòu)造不等式，本題是利用點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，構(gòu)造不等式.【舉一反三】1．（2020·河南高考模擬（理））設(shè)雙曲線的兩條漸近線與直線分別交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點(diǎn)若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：由雙曲線方程可知其漸近線方程為，將代入上式可得即．因?yàn)?，由圖形的對稱性可知，即．因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以．故B正確．2．（2020·湖北高考模擬（理））設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為為其共同的左右的焦點(diǎn)，且，若橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，∴，，解得.故選D．3.（2020六安市第一中學(xué)模擬）點(diǎn)在橢圓上，的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則故要求的最小值，即求的最小值，圓的半徑為2所以的最小值等于，的最小值為，故選D.類型二通過建立目標(biāo)問題的表達(dá)式，結(jié)合參數(shù)或幾何性質(zhì)求范圍【例2】（2020·玉林高級中學(xué)高考模擬（理））已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，為橢圓的右焦點(diǎn)，圓上有一動(dòng)點(diǎn)，不同于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．∴，又且，∴或，故的取值范圍為．選D．【舉一反三】1.拋物線上一點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)切圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為，解得或．當(dāng)時(shí)，，故舍去，所以拋物線方程為∴，所以是正三角形，邊長為，其內(nèi)切圓方程為，如圖所示，∴．設(shè)點(diǎn)（為參數(shù)），則，∴．2.（2020哈爾濱師大附中模擬）已知直線與橢圓：相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得.設(shè)，，則，，.又到直線的距離，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值.此時(shí)，.故選A.類型三利用根的判別式或韋達(dá)定理建立不等關(guān)系求范圍【例3】（2020·安徽馬鞍山二中高考模擬）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的左焦點(diǎn)恰好為圓F：的圓心，有兩頂點(diǎn)恰好是圓F與y軸的交點(diǎn)．若橢圓C上恰好存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+t對稱，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】的圓心為，可得橢圓的，圓與軸的交點(diǎn)為，可得橢圓的，可得，即有橢圓方程為，設(shè)橢圓上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)連線的方程為，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，由，得，△，，，設(shè)．的中點(diǎn)，，則，，中點(diǎn)在上，，即，得．故選．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力．【舉一反三】1.（2020河南省天一大聯(lián)考）已知拋物線：，定點(diǎn)，，點(diǎn)是拋物線上不同于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出拋物線，如圖所示.由圖可知，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，最大.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得.令，得，此時(shí)，所以.2.（2020四川省內(nèi)江模擬）若直線x﹣my+m＝0與圓（x﹣1）2+y2＝1相交，且兩個(gè)交點(diǎn)位于坐標(biāo)平面上不同的象限，則m的取值范圍是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣1，0） D．（﹣2，0）【答案】D【解析】圓與直線聯(lián)立，整理得圖像有兩個(gè)交點(diǎn)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即得.圓都在軸的正半軸和原點(diǎn)，若要交點(diǎn)在兩個(gè)象限，則交點(diǎn)縱坐標(biāo)的符號相反，即一個(gè)交點(diǎn)在第一象限，一個(gè)交點(diǎn)在第四象限.，解得，故選D項(xiàng).【指點(diǎn)迷津】圓都在軸的正半軸和原點(diǎn)，若要兩個(gè)交點(diǎn)在不同象限，則在第一、四象限，即兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)符號相反，通過聯(lián)立得到，令其小于0，是否關(guān)注“判別式”大于零是易錯(cuò)點(diǎn).類型四利用基本不等式求范圍【例4】（2020·遼寧高考模擬（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于點(diǎn)，若與直線的斜率的乘積為，則的最小值為（）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】【分析】設(shè)出直線的斜率，得到的斜率，寫出直線的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，根據(jù)弦長公式求得的值，進(jìn)而求得最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意可知斜率存在且不為零，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，有，有，，故，同理可求得.故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故最小值為，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線和拋物線相交所得弦長公式，考查利用基本不等式求最小值.【舉一反三】1.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過且依次交拋物線及圓于點(diǎn)四點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，即為圓的圓心，準(zhǔn)線方程為．由拋物線的定義得，又，所以．同理．①當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，則有，∴．②當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為，由消去y整理得，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．綜上可得．選C．【指點(diǎn)迷津】（1）與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．利用定義可將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可以使運(yùn)算化繁為簡．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑．（2）圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件．2.（2020河南省安陽市一模）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)恰為圓Ω：的圓心，且雙曲線C的漸近線方程為．點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，，分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由圓Ω：的圓心（2，0），可得焦點(diǎn)，，雙曲線C的漸近線方程為，可得，且，解得，，設(shè)，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，可得．故選：B．3.（2020四川省涼山州市高三第二次診斷）已知拋物線:的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)分別作兩條直線，，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為，則的最小值為___．【答案】8【解析】設(shè)，設(shè)直線為,聯(lián)立直線和拋物線得到，兩根之和為：,同理聯(lián)立直線和拋物線得到由拋物線的弦長公式得到代入兩根之和得到，已知，類型五構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，確定函數(shù)值范圍或最值【例5】（2020·江西高考模擬（理））已知，，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，過點(diǎn)作與垂直的直線交直線于點(diǎn)，則的橫坐標(biāo)范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)P（），則Q（2，），當(dāng)≠0時(shí)，求出兩直線方程，解交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，利用|x0|范圍，得|x|范圍，當(dāng)＝0時(shí)，求得|x|＝1即可求解.【詳解】設(shè)P（），則Q（2，2），當(dāng)≠0時(shí)，kAP，kPM，直線PM：y﹣（x﹣），①直線QB：y﹣0（x），②聯(lián)立①②消去y得x，∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，當(dāng)＝0時(shí)，易求得|x|＝1，故選：A．【指點(diǎn)迷津】解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識運(yùn)動(dòng)變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決．【舉一反三】1.（2020上海市交大附中模擬）過直線上任意點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為，線段AB的中點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為______．【答案】【解析】∵點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，∴可設(shè)，則過的圓的方程為，化簡可得，與已知圓的方程相減可得的方程為，由直線的方程為，聯(lián)立兩直線方程可解得，，故線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到直線的距離，∵，∴，∴，∴，∴，即故答案為：2.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若點(diǎn)在直線上，且軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，若離心率，則的取值范圍為【答案】【解析】由題意得，直線的方程為，所以，直線的方程為，所以，故．由可得，整理得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．故選A．3.（2020山東師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬）已知雙曲線C：右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則雙曲線C離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，可得四邊形為矩形，設(shè)，，即有，且，，，，由，可得，則，可得，即有，則，即有．故答案為：．類型六利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式求范圍【例6】（云南省保山市2019年高三統(tǒng)一檢測）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，過點(diǎn)作直線n不同時(shí)為零的垂線，垂足為M，則的取值范圍是______．【答案】【解析】根據(jù)題意，直線，即，則有，解可得，則直線恒過點(diǎn)．設(shè)，又由與直線垂直，且為垂足，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，所以；即的取值范圍是；故答案為：．【指點(diǎn)迷津】1.本題根據(jù)題意，將直線變形為，分析可得該直線恒過點(diǎn)，設(shè)，進(jìn)而分析可得點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，據(jù)此分析可得答案．2.此類問題為“隱形圓問題”，常規(guī)的處理辦法是找出動(dòng)點(diǎn)所在的軌跡（通常為圓），常見的“隱形圓”有：（1）如果為定點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓；（2）如果中，為定長，為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為一段圓?。貏e地，當(dāng)，則的軌跡為圓（除去）；（3）如果為定點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足(為正常數(shù))，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓；【舉一反三】1.已知橢圓的上、下頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為B2、B1、A、F，延長B1F與AB2交于點(diǎn)P，若∠B1PA為鈍角，則此橢圓的離心率e的取值范圍為_____．【答案】【解析】由題意得橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c，（c=）可得∠B1PA等于向量與的夾角，∵A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），F(xiàn)2（c，0）∴=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b），∵∠B1PA為鈍角，∴與的夾角大于，由此可得?＜0，即﹣ac+b2＜0，將b2=a2﹣c2代入上式得：a2﹣ac﹣c2＜0，不等式兩邊都除以a2，可得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，解之得e＜或e＞，結(jié)合橢圓的離心率e∈（0，1），可得＜e＜1，即橢圓離心率的取值范圍為（，1）．故答案為（，1）．2．（2020·湖北高考模擬（理））已知是雙曲線：上的一點(diǎn)，半焦距為，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的取值范圍是【答案】【解析】【分析】用兩點(diǎn)間的距離公式表示，根據(jù)點(diǎn)M在雙曲線上化簡變形，即可得到所求范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，消去得，，所?三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·福建高考模擬（文））已知是雙曲線上一點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)，與的內(nèi)切圓切于點(diǎn)，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】與的內(nèi)切圓切于點(diǎn)，∴,由雙曲線定義=,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,共線時(shí)取等，故選：B2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，直線過A點(diǎn)且與x軸垂直，P為直線上的任意一點(diǎn)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】數(shù)學(xué)-2021年高三5月大聯(lián)考（廣東卷）【答案】A【解析】由題意可知，，直線的方程為，設(shè)直線，的傾斜角分別為，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P為第二象限的點(diǎn)，即，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.，，且滿足，則，，∴，則的最大值為，故的最大值是.當(dāng)P為第二或第四象限的點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)P為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)時(shí)，.綜上可知，的取值范圍為，故選：A.3．（2020·黑龍江高考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為橢圓：的下頂點(diǎn)，，在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，因此且，故，代入橢圓方程可得，所以．因，所以即，所以即，解得，故選A．4．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為、，，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓短軸長的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】江西省九江市2021屆高三三模數(shù)學(xué)（文）試題【答案】D【解析】不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，可得，所以，，，可得，因此，橢圓短軸長的取值范圍是.故選：D.5.（2020河北省石家莊市第二中學(xué)）已知實(shí)數(shù)滿足，，則的最大值為（）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)在圓上，且，原問題等價(jià)于求解點(diǎn)A和點(diǎn)C到直線距離之和的倍的最大值，如圖所示，易知取得最大值時(shí)點(diǎn)A,C均位于直線下方，作直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，作直線于點(diǎn)，由梯形中位線的性質(zhì)可知，當(dāng)直線時(shí)，直線方程為，兩平行線之間的距離：，由圓的性質(zhì)，綜上可得：的最大值.本題選擇D選項(xiàng).6．設(shè)雙曲線的離心率為，A，B是雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，M是雙曲線C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線斜率分別，若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】內(nèi)蒙古赤峰市2021屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題【答案】D【解析】設(shè)，則，那么，兩式相減得：，整理得：，即，又因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，所以，故，其中，所以故選：D.7已知是橢圓的左焦點(diǎn)，直線與該橢圓相交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，線段的中垂線與軸的交點(diǎn)在線段上．該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】四川省達(dá)州市2021屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題【答案】A【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，中垂線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，由得：，，，，，，直線方程為：，令，解得：，即，在線段上，，整理可得：，即，又橢圓離心率，，即橢圓離心率的取值范圍為.故選：A.8．已知拋物線，過其焦點(diǎn)的直線與其交于兩點(diǎn)，若，則直線的傾斜角的最大值為（）A． B． C． D．【來源】河南省商丘市新鄉(xiāng)市部分學(xué)校2021屆高三5月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】由已知得焦點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.滿足要求.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為)，與拋物線方程聯(lián)立，得，設(shè)，，由拋物線定義知，，，所以解得或，所以直線傾斜角的范圍是或，所以直線的傾斜角的最大值為，故選：D.9．（2020·河北衡水中學(xué)高考模擬（理））已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，于點(diǎn)，且四邊形的面積為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】過B作BB1⊥l于B1，設(shè)直線AB與l交點(diǎn)為D，由拋物線的性質(zhì)可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，設(shè)BD=m，BF=n，則===，即=，∴m=2n．又=，∴==，∴n=，∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，又AA1=3n=2p，CF=p，∴A1D=2p，CD=p，∴A1C=p，∴直角梯形AA1CF的面積為（2p+p）?p=6，解得p=2，∴y2=4x，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），∵=λ，∴y1=λy2，設(shè)直線l：x=my﹣1代入到y(tǒng)2=4x中得y2﹣4my+4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=4，∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m2﹣2，由①②可得4m2==λ++2，由1＜λ≤2可得y=λ++2遞增，即有4m2∈（4，]，即m2∈（1，]，又MN中點(diǎn)（2m2﹣1，2m），∴直線MN的垂直平分線的方程為y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，]，故選：A．10．（2020·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)西校區(qū)高考模擬（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于兩點(diǎn)，若四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題易知四邊形PAOB為平行四邊形,且不妨設(shè)雙曲線C的漸近線,設(shè)點(diǎn)P(m,n),則直線PB的方程為y-n=b(x-m),且點(diǎn)P到OB的距離為,由,解得,又,又,,雙曲線C的方程為,即,又,解得或,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍為,故選A.11．已知橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則面積的最大值為（）A． B．2 C． D．1【來源】河南省濟(jì)源平頂山許昌2021屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題【答案】D【解析】設(shè)，由條件知，得又，所以，，故的方程．依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線，設(shè)，，，將代入，得，當(dāng)△，即時(shí)，從而又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，且滿足△，故的面積的最大為1．故選：．12．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】河南省開封市2021屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得,又由，即，即,設(shè)點(diǎn)，可得，則，解得，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，整理得，解得或，又由，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：C.13．（2020·廣東高考模擬（理））設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則周長的取值范圍是【答案】【解析】根據(jù)橢圓對稱性得周長等于,(為右焦點(diǎn)),由得，即周長的取值范圍是.14．（2020北京市大興區(qū)高三一模）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),（x＞1），所以，因?yàn)?，?dāng)y＞0時(shí)，y=,所以，由于函數(shù)在[1，+∞）上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)y＞0時(shí)函數(shù)f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.當(dāng)y≤0時(shí)，y=,所以，由于函數(shù)在[1，+∞）上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在[1，+∞）上是減函數(shù)，所以當(dāng)y≤0時(shí)函數(shù)k(x)＞0.綜上所述，的取值范圍是.15．設(shè)直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形，若這樣的直線恰有兩條，則雙曲線離心率的取值范圍是___________.【來源】浙江省2021屆高三下學(xué)期水球高考命題研究組方向性測試Ⅲ數(shù)學(xué)試題【答案】【解析】由題意，直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖：其中是等腰直角三角形，且這樣的直線有兩條，由對稱性知，直線l不能垂直于x軸，否則這樣的直線是奇數(shù)條，l不垂直于x軸，即點(diǎn)O不能為直角頂點(diǎn)，則雙曲線兩條漸近線所成的含x軸的對頂角不大于，則只能是以點(diǎn)P或Q為直角頂點(diǎn)的兩種情況，且點(diǎn)P，Q分別在x軸的上方和下方，不妨以Q為直角頂點(diǎn)，則有，而，，所以雙曲線的漸近線的傾斜角有，，而，，，則，離心率.故答案為：16.（2020北京市順義區(qū)高三期末）過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，滿足：若，則______；若，則的取值范圍為______．【答案】3【解析】解：由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，，所以另一種情況同理．所以AF的斜率為，方程為，代入拋物線方程可得，所以可得，因?yàn)椋?，所以，設(shè)直線AB的方程為，代入到，可得，，由，可得，，，，，，，，解得故答案為：3，．17．（2020·河南高考模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于點(diǎn)，以線段為直徑的圓上存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【解析】由題得直線AB的方程為即y=x-1,設(shè)A，聯(lián)立所以，|AB|=所以AB為直徑的圓E的圓心為（3,2），半徑為4.所以該圓E的方程為.所以點(diǎn)D恒在圓E外，圓E上存在點(diǎn)P,Q，使得以PQ為直徑的圓過點(diǎn)D(-2,t)，即圓E上存在點(diǎn)P,Q，使得DP⊥DQ，顯然當(dāng)DP,DQ與圓E相切時(shí)，∠PDQ最大，此時(shí)應(yīng)滿足∠PDQ，所以，整理得.解之得.18．已知是拋物線的焦點(diǎn)，，為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，__________．【來源】安徽省蕪湖市2021屆高三下學(xué)期5月教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控理科數(shù)學(xué)試題【答案】【解析】由題意得，拋物線的準(zhǔn)線方程方程為，點(diǎn)在準(zhǔn)線上，如圖所示，過向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義知，所以，即問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線的傾斜角的正弦值最小時(shí)，求的值；設(shè)，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，傾斜角的正弦值最小.聯(lián)立，判別式時(shí)，解得，此時(shí)，∴.故答案為：.19．已知拋物線，斜率小于0的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作與軸垂直的直線，交拋物線于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則直線的斜率的最大值為________．【來源】江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校2021屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題【答案】【解析】設(shè)：，代入

得，

由韋達(dá)定理知：，，

由知，，，，，.當(dāng)且僅當(dāng)“”即時(shí)，等號成立.故答案為：.20．已知點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過F作一條漸近線的垂線，垂足為A，若（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2，雙曲線的離心率，則a的取值范圍為__________．【來源】天一大聯(lián)考2021屆高三階段性測試（六）理科數(shù)學(xué)試題【答案】【解析】由題意可知：點(diǎn)F到漸近線的距離等于，從而即，又，所以，則，又，所以，解得.故答案為：.解析幾何中的定值與解析幾何中的定值與定點(diǎn)問題一．方法綜述 解析幾何中的定值與定點(diǎn)問題近年高考中的熱點(diǎn)問題，其解決思路下；（1）定值問題：解決這類問題時(shí)，要運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)，在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性；一種思路是進(jìn)行一般計(jì)算推理求出其結(jié)果，選定一個(gè)適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點(diǎn)差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡整理求出結(jié)果；另一種思路是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。（2）定點(diǎn)問題：定點(diǎn)問題是動(dòng)直線（或曲線）恒過某一定點(diǎn)的問題；一般方法是先將動(dòng)直線（或曲線）用參數(shù)表示出來，再分析判斷出其所過的定點(diǎn)．定點(diǎn)問題的難點(diǎn)是動(dòng)直線（或曲線）的表示，一旦表示出來，其所過的定點(diǎn)就一目了然了．所以動(dòng)直線（或曲線）中，參數(shù)的選擇就至關(guān)重要．解題的關(guān)健在于尋找題中用來聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過整理，變形轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線系、曲線系來解決。二．解題策略類型一定值問題【例1】（2020?青浦區(qū)一模）過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦AB和CD，則+的值為（）A． B． C．2p D．【答案】D【解析】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（），所以設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)直線AB的方程為y＝k（x﹣），所以，整理得，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)直線CD的方程為y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，則則+＝．故選：D．【點(diǎn)評】求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.【舉一反三】1.（2020?華陰市模擬）已知F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，D，與圓（x﹣1）2+y2＝1交于不同的兩點(diǎn)B，C（如圖），則|AB|?|CD|的值是（）A．2 B．2 C．1 D．【答案】C【解析】設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），拋物線方程為y2＝4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，圓（x﹣1）2+y2＝1的圓心為F（1，0），圓心與焦點(diǎn)重合，半徑為1，又由直線過拋物線的焦點(diǎn)F，則|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|?|CD|＝x1x2，設(shè)直線方程為x＝my+1，代入拋物線方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，則y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故選：C．2．（2020溫州高三月考）如圖，P為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線PA，PB，斜率分別為k1，k2．若k1?k2為定值，則λ＝（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取P（a，0），設(shè)切線方程為：y＝k（x﹣a），代入橢圓橢圓方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化為：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1?k2＝，取P（0，b），設(shè)切線方程為：y＝kx+b，代入橢圓橢圓方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化為：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1?k2＝，又k1?k2為定值，∴＝，解得λ＝．故選：C．3．（2020?公安縣高三模擬）已知橢圓的離心率為，三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊AB、BC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、F，且三條邊所在直線的斜率分別為k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直線OD、OE、OF的斜率之和為﹣1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則＝．【答案】2【解析】∵橢圓的離心率為，∴，則，得．又三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，三條邊AB、BC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、F，三條邊所在直線的斜率分別為k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不為0．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OD、OE、OF的斜率之和為﹣1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則，，兩式作差得，，則，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．類型二定點(diǎn)問題【例2】（2020?渝中區(qū)高三模擬）已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，A是拋物線C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交y軸的正半軸于點(diǎn)B，且A，B同在一個(gè)以F為圓心的圓上，另有直線l′∥l，且l′與拋物線C相切于點(diǎn)D，則直線AD經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，0） D．（2，0）【答案】A【解析】設(shè)A（m，m2），B（0，n），∵拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F（0，1）又A，B同在一個(gè)以F為圓心的圓上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直線l的斜率k＝＝﹣∵直線l′∥l，∴直線l′的斜率為k，設(shè)點(diǎn)D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直線AD的斜率為＝＝＝，∴直線AD的方程為y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直線AD經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1），故選：A．【點(diǎn)評】圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)．(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．【舉一反三】1．（2020·全國高考模擬（理））已知拋物線，過點(diǎn)作該拋物線的切線，，切點(diǎn)為，，若直線恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)的坐標(biāo)為，，，的方程為，由，，可得，切線都過點(diǎn)，，故可知過，兩點(diǎn)的直線方程為，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，故選2．（2020·重慶高考模擬（理））已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn).（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)是圓的切線，是圓與以為直徑的兩圓的公共弦，可得以為直徑的圓的方程為，①又，②①-②得，可得滿足上式，即過定點(diǎn)，故選B.3．（2020大理一模）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，過A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)，直線AM、AN的斜率記為，滿足，則直線MN經(jīng)過的定點(diǎn)為___________．【答案】【解析】由，同理．，,取，由對稱性可知，直線MN經(jīng)過軸上的定點(diǎn).【歸納總結(jié)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓上一定點(diǎn)A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)，直線AM、AN的斜率記為，當(dāng)為非零常數(shù)時(shí)，直線MN經(jīng)過定點(diǎn).三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·黑龍江高三模擬）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率，滿足，則的橫截距（）A．為定值B．為定值C．為定值D．不是定值【答案】A【解析】設(shè)直線的方程為，由題意得，則得；設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則得，；又因?yàn)?，即，所以，則得，直線的方程為；當(dāng)時(shí)，，所以直線的橫截距為定值.故選A.2．（2020·遼寧省朝陽市第二高級中學(xué)高二期中（文））如果直線（，）和函數(shù)（，）的圖象恒過同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)，恒過定點(diǎn).將點(diǎn)代入，可得.由于始終落在所給圓的內(nèi)部或圓上，所以.又由解得或，所以點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，，取點(diǎn)時(shí)，，所以的取值范圍是.3．（2020·全國高三模擬）過軸上的點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若為定值，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C．D．【答案】D【解析】設(shè)直線的方程為，代入，得，設(shè)，則.，同理，，∴，∵為定值，是與無關(guān)的常數(shù)，∴．故選D．4．（2020?越城區(qū)高三期末）已知A、B是拋物線y2＝4x上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，則“?＝0”是“直線AB恒過定點(diǎn)（4，0）”的（）A．充分非必要條件 B．充要條件 C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件【答案】B【解析】根據(jù)題意，A、B是拋物線y2＝4x上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），若“?＝0”，則設(shè)直線AB方程為x＝my+b，將直線AB方程代入拋物線方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4b＝0，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b，若?＝0，則?＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝b2﹣4b＝0，解可得：b＝4或b＝0，又由b≠0，則b＝4，則直線AB的方程為x＝my+4，即my＝x﹣4，則直線AB恒過定點(diǎn)（4，0），“?＝0”是“直線AB恒過定點(diǎn)（4，0）”的充分條件；反之：若直線AB恒過定點(diǎn)（4，0），設(shè)直線AB的方程為x＝my+4，將直線AB方程代入拋物線方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣16＝0，則有y1y2＝﹣16，此時(shí)?＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝0，故“?＝0”是“直線AB恒過定點(diǎn)（4，0）”的必要條件；綜合可得：“?＝0”是“直線AB恒過定點(diǎn)（4，0）”的充要條件；故選：B．5．（2020·湖北高考模擬）設(shè)是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，是的角平分線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的長為（）A．定值 B．定值C．定值 D．不確定，隨點(diǎn)位置變化而變化【答案】A【解析】依題意如圖，延長F1Q，交PF2于點(diǎn)T，∵是∠F1PF2的角分線．TF1是的垂線，∴是TF1的中垂線，∴|PF1|＝|PT|，∵P為雙曲線1上一點(diǎn)，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|TF2|＝2a，在三角形F1F2T中，QO是中位線，∴|OQ|＝a．故選：A．6．（2020·浙江省杭州第二中學(xué)高三）設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，若為定值，則的值可能為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，直線與圓相切時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，圓在直線上方，，當(dāng)時(shí)，圓在直線下方，，若為定值，則，因此．只有D滿足．故選：D.7．（2020·湖北高考模擬（理））已知圓：，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)則即因此、在直線上，直線方程為，又，所以即，直線經(jīng)過定點(diǎn)，選A.8．（2020·全國高三期末（理））已知圓O：，直線l：y=kx+b(k≠0)，l和圓O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，以O(shè)x為始邊，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OE，OF為終邊的最小正角分別為α，β，給出如下3個(gè)命題：①當(dāng)k為常數(shù)，b為變數(shù)時(shí)，sin(α＋β)是定值；②當(dāng)k為變數(shù)，b為變數(shù)時(shí)，sin(α＋β)是定值；③當(dāng)k為變數(shù)，b為常數(shù)時(shí)，sin(α＋β)是定值．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，，由三角函數(shù)的定義得將直線的方程與的方程聯(lián)立得，由韋達(dá)定理得所以因此，當(dāng)是常數(shù)時(shí)，是常數(shù)，故選B(特值法可秒殺)9．（2020·浙江高三期末）斜率為的直線過拋物線焦點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，作，垂足為，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．為定值 B．為定值C．點(diǎn)的軌跡為圓的一部分 D．點(diǎn)的軌跡是圓的一部分【答案】C【解析】設(shè)拋物線上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則兩式做差得，，整理得為定值，所以A正確.因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以直線AB方程為.由得，則.為定值.故B正確.點(diǎn)的軌跡是以O(shè)F為直徑的圓的一部分，故D正確.本題選擇C選項(xiàng).10．（2020·安徽高三月考（理））已知拋物線，圓，直線自上而下順次與上述兩曲線交于四點(diǎn)，則下列各式結(jié)果為定值的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由消去y整理得，設(shè)，則．過點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，則．對于A，，不為定值，故A不正確．對于B，，不為定值，故B不正確．對于C，，為定值，故C正確．對于D，，不為定值，故D不正確．選C．11．（2020·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高三月考（理））在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的“L-距離”定義為則平面內(nèi)與軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)的“L-距離”之和等于定值（大于）的點(diǎn)的軌跡可以是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，再設(shè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的“L-距離”之和等于，由題意可得：，即，當(dāng)時(shí)，方程化為；當(dāng)時(shí)，方程化為；當(dāng)時(shí)，方程化為；當(dāng)時(shí)，方程化為；當(dāng)時(shí)，方程化為；當(dāng)時(shí)，方程化為；結(jié)合題目中給出四個(gè)選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A中的圖象符合要求，故選A．12．（2020·東北育才學(xué)校高三月考（理））有如下3個(gè)命題；①雙曲線上任意一點(diǎn)到兩條漸近線的距離乘積是定值；②雙曲線的離心率分別是，則是定值；③過拋物線的頂點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線與拋物線的交點(diǎn)分別是，則直線過定點(diǎn)；其中正確的命題有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】A【解析】①雙曲線（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)P，設(shè)為（m，n），兩條漸近線方程為y=±x，可得兩個(gè)距離的乘積為?=，由b2m2﹣a2n2=a2b2，可得兩個(gè)距離乘積是定值；②雙曲線=1與（a＞0，b＞0）的離心率分別是e1，e2，即有e12=，e22=，可得為定值1；③過拋物線x2=2py（p＞0）的頂點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線與拋物線的交點(diǎn)分別是A，B，可設(shè)A（s，），B（t，），由OA⊥OB可得st+=0，即有st=﹣4p2，kAB==，可得直線AB的方程為y﹣=（x﹣s），即為y=x+2p，則直線AB過定點(diǎn)（0，2p）．三個(gè)命題都正確．故選A．13．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線（為正常數(shù)）上，過點(diǎn)作雙曲線的某一條漸近線的垂線，垂足為，則的值為（）A． B． C． D．無法確定【來源】四川省南充市2021屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題【答案】A【解析】設(shè)，即有，雙曲線的漸近線為，可得，由勾股定理可得，可得．故選：A．14．已知、是雙曲線：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線在第一象限上存在一點(diǎn)，使得，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則的值為（）.A．B．C．D．【來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考理數(shù)試題【答案】C【解析】，，∴，，，設(shè)點(diǎn)，，∴，，則，，∴，∴，故選：C.15．已知，是雙曲線的焦點(diǎn)，是過焦點(diǎn)的弦，且的傾斜角為，那么的值為A．16 B．12 C．8 D．隨變化而變化【答案】A【解析】由雙曲線方程知，，雙曲線的漸近線方程為直線的傾斜角為，所以，又直線過焦點(diǎn)，如圖所以直線與雙曲線的交點(diǎn)都在左支上.由雙曲線的定義得，…………(1)，…………(2)由(1)+(2)得，.故選：A16．已知橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，平分角，則與的面積之和為()A．1 B． C．2 D．3【來源】中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期1月測試?yán)砦臄?shù)學(xué)（一卷）試題【答案】C【解析】如圖，橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，作一圓與線段F1P，F(xiàn)1F2的延長線都相切，并且與線段PF2也相切，切點(diǎn)分別為D，A，B，，，所以(c為橢圓半焦距)，從而點(diǎn)A為橢圓長軸端點(diǎn)，即圓心M的軌跡是直線x=a(除點(diǎn)A外).因點(diǎn)M(2,1)在的平分線上，且橢圓右端點(diǎn)A(2,0)，所以點(diǎn)M是上述圓心軌跡上的點(diǎn)，即點(diǎn)M到直線F1P，PF2，F(xiàn)1F2的距離都相等，且均為1，與的面積之和為.故選：C17．已知橢圓的上頂點(diǎn)為為橢圓上異于A的兩點(diǎn)，且，則直線過定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線的方程為，，則由整理得，所以，，因?yàn)?，，，所?/p>

解得或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過點(diǎn)而，而不在同一直線上，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過，符合題意.故選：D.18．已知橢圓，圓，過橢圓上任一與頂點(diǎn)不重合的點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【來源】安徽省宣城市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】設(shè)，則切線的方程為，切線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，，所以直線的方程為，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，故選：D19．已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，過軸上點(diǎn)作一直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于），若直線和的交點(diǎn)為，記直線和的斜率分別為，則（）A． B．3 C． D．2【來源】湖北省“大課改、大數(shù)據(jù)、大測評”2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】設(shè)，，，設(shè)直線的方程：由和三點(diǎn)共線可知，解得：，，（*）聯(lián)立，得，，，代入（*）得，，，.故選：A20.（2020·北京市第二中學(xué)分校高三（理））拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，，滿足，則直線一定過定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為__________．【答案】.【解析】設(shè)直線的方程為代入拋物線，消去得,設(shè)，，則，，∴，∴（舍去）或,故直線過定點(diǎn)．21．（2020·江蘇揚(yáng)州中學(xué)高三月考）已知點(diǎn)，圓點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，若為定值，則________.【答案】0【解析】設(shè)，，則，整理得，又是圓上的任意一點(diǎn)，故，圓的一般方程為，因此，，解得.22．（2020·江蘇海安高級中學(xué)高三）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P（異于原點(diǎn)O）為y軸上的一個(gè)定點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長為_____．【答案】【解析】設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），則∵∠APB的大小恒為定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案為23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓上任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)A），過點(diǎn)B作與直線OA平行的直線交橢圓于點(diǎn)C，當(dāng)直線AB、AC斜率都存在時(shí)，=___________.【答案】0【解析】取特殊點(diǎn)B，則BC的方程為，由得C所以.24．（2020·河北定州一中高三月考）為圓上任意一點(diǎn)，異于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足為常數(shù)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】設(shè)，則，可得，①，②由①②得，可得，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為.25．（2020·上海長島中學(xué)高三）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，直線與直線斜率之積為2，已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)、，使得為定值，則該定值為________【答案】【解析】設(shè)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），則由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵點(diǎn)M，N在雙曲線上，所以，，故2x2-y