高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品：指數(shù)函數(shù) 新人教A

第5課時(shí)指數(shù)函數(shù).1.根式的概念基礎(chǔ)知識(shí)梳理根式的概念符號(hào)表示備注如果

，那么x叫做a的n次方根n＞1且n∈N*當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)

，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有

，它們互為負(fù)數(shù)沒有偶次方根xn＝a正數(shù)負(fù)數(shù)兩個(gè)相反數(shù).基礎(chǔ)知識(shí)梳理思考？.2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪基礎(chǔ)知識(shí)梳理.(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．基礎(chǔ)知識(shí)梳理.3．有理指數(shù)冪的性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．基礎(chǔ)知識(shí)梳理.4．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)一般地，函數(shù)

叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是

，函數(shù)的定義域是R.(2)一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象與性質(zhì)如下表所示：基礎(chǔ)知識(shí)梳理y＝ax(a>0且a≠1)自變量.基礎(chǔ)知識(shí)梳理a>10<a<1圖象定義域R.基礎(chǔ)知識(shí)梳理a>10<a<1值域性質(zhì)(1)過定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1(2)當(dāng)x>0時(shí)，

；x<0時(shí)，(2)當(dāng)x>0時(shí)，

；x<0時(shí)，(3)在(－∞，＋∞)上是(3)在(－∞，＋∞)上是(0，＋∞)y>10<y<10<y<1y>1減函數(shù)增函數(shù).1．下列各式正確的是(

)三基能力強(qiáng)化答案：C.三基能力強(qiáng)化2．(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝3－x－1的定義域、值域是(

)A．定義域是R，值域是RB．定義域是R，值域是(0，＋∞)C．定義域是R，值域是(－1，＋∞)D．以上都不對答案：C.3.下列四種說法中，正確的是(

)B．指數(shù)函數(shù)y＝ax的最小值是0C．對任意的x∈R，都有3x＞2x答案：D三基能力強(qiáng)化.4．函數(shù)y＝ax－1(0＜a＜1)的圖象必過定點(diǎn)________．答案：(0,0)三基能力強(qiáng)化.5．(2009年高考江蘇卷改編)函數(shù)f(x)＝(a2＋a＋2)x，若實(shí)數(shù)m、n滿足f(m)＞f(n)，則m、n的大小關(guān)系為________．答案：m＞n三基能力強(qiáng)化.化簡原則(1)化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)；(2)化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；(3)化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；(4)注意運(yùn)算的先后順序．說明：有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中，其底數(shù)都大于0，否則不能用性質(zhì)來運(yùn)算．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一指數(shù)式的化簡與求值.課堂互動(dòng)講練例1化簡下列各式(其中各字母均為正數(shù))：.課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥】

(1)因?yàn)轭}目中的式子既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以便用法則運(yùn)算；(2)題目中給出的是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，先看其是否符合運(yùn)算法則的條件，如符合用法則進(jìn)行下去，如不符合再創(chuàng)設(shè)條件去求．.課堂互動(dòng)講練.【規(guī)律小結(jié)】對于結(jié)果的形式，如果題目是以根式的形式給出的，則結(jié)果用根式的形式表示，如果題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出的，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．結(jié)果不要同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不要既有分母又含有負(fù)指數(shù)冪．課堂互動(dòng)講練.1．同底數(shù)的指數(shù)結(jié)構(gòu)比較大小，可以直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)二比較大小問題.2．若底數(shù)不同而指數(shù)相同比較大小，可以利用指數(shù)函數(shù)的圖象進(jìn)行分析．3．若指數(shù)結(jié)構(gòu)底數(shù)不同，指數(shù)不同可以考慮中間數(shù)的方法，如：1,0，或其他與兩式子都有聯(lián)系的數(shù)或式，轉(zhuǎn)化比較大?。n堂互動(dòng)講練.課堂互動(dòng)講練例2A．y3>y1>y2B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)式的運(yùn)算化為同底．.課堂互動(dòng)講練【解析】

∵y1＝40.9＝21.8，y2＝80.44＝21.32，＝21.5,1.8>1.5>1.32.∴根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，y1>y3>y2.故選D.【答案】

D.課堂互動(dòng)講練【名師點(diǎn)評(píng)】應(yīng)先化為同底，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象比較大?。?1．與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域的求法(1)函數(shù)y＝af(x)的定義域與y＝f(x)的定義域相同；(2)先確定f(x)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域、單調(diào)性，可確定y＝af(x)的值域．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2．與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解步驟(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域；(2)弄清函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的；(3)分層逐一求解函數(shù)的單調(diào)性；(4)求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(注意“同增異減”)．課堂互動(dòng)講練.課堂互動(dòng)講練例3求下列函數(shù)的定義域、值域及其單調(diào)區(qū)間：.課堂互動(dòng)講練.【解】

(1)依題意x2－5x＋4≥0，解得x≥4，或x≤1，∴f(x)的定義域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．課堂互動(dòng)講練.當(dāng)x∈[4，＋∞)時(shí)，u是增函數(shù)．而3＞1，∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，課堂互動(dòng)講練.∴函數(shù)的定義域?yàn)镽.∴h(t)＝－t2＋4t＋5＝－(t－2)2＋9(t＞0)．∵t＞0，∴h(t)＝－(t－2)2＋9≤9，等號(hào)成立的條件是t＝2，即g(x)≤9，等號(hào)成立的條件是∴g(x)的值域是(－∞，9]．課堂互動(dòng)講練.由h(t)＝－(t－2)2＋9(t＞0)，∴要求g(x)的增區(qū)間實(shí)際上是求h(t)的減區(qū)間，求g(x)的減區(qū)間實(shí)際上是求h(t)的增區(qū)間．∵h(yuǎn)(t)在(0,2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減，課堂互動(dòng)講練.∴g(x)在[－1，＋∞)上遞減，在(－∞，－1]上遞增，故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1]，單調(diào)遞減區(qū)間是[－1，＋∞)．課堂互動(dòng)講練.【誤區(qū)警示】

(1)利用換元法解決問題時(shí)，易忽視中間變量的取值范圍，如(1)中u≥0，(2)中t＞0；(2)第(2)問中求單調(diào)區(qū)間是利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)確定自變量x的范圍，易錯(cuò)誤得出t的范圍．課堂互動(dòng)講練.課堂互動(dòng)講練例4(解題示范)(本題滿分12分)(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)≥b恒成立．求b的取值范圍．.課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥】

(1)首先看函數(shù)的定義域而后用奇偶性定義判斷；(2)單調(diào)性利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性易于判斷，還可用導(dǎo)數(shù)解決；(3)恒成立問題關(guān)鍵是探求f(x)的最小值．.【解】

(1)函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱．所以f(x)為奇函數(shù).3分(2)當(dāng)a>1時(shí)，a2－1>0，y＝ax為增函數(shù)，y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù).5分當(dāng)0<a<1時(shí)，a2－1<0，y＝ax為減函數(shù)，y＝a－x為增函數(shù)，課堂互動(dòng)講練.從而y＝ax－a－x為減函數(shù)．所以f(x)為增函數(shù)．故當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.7分(3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，∴在區(qū)間[－1,1]上為增函數(shù)．所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，課堂互動(dòng)講練.∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，則只需b≤－1，故b的取值范圍是(－∞，－1].12分課堂互動(dòng)講練.【易錯(cuò)警示】

在解答過程中易出現(xiàn)不判斷函數(shù)的定義域，直接利用f(－x)與f(x)關(guān)系，造成失分或在單調(diào)性判斷上不去對a分類討論，或者是在f(x)≥b恒成立問題上找不出突破口，導(dǎo)致解不出．導(dǎo)致此種錯(cuò)誤的原因是沒有熟練掌握奇偶性與單調(diào)性的定義，以及恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．課堂互動(dòng)講練.(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范圍，使f(x)>0在定義域上恒成立．課堂互動(dòng)講練高考檢閱.解：(1)由于ax－1≠0，則ax≠1，得x≠0，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}.2分(2)對于定義域內(nèi)任意x，有課堂互動(dòng)講練.＝f(x)．∴f(x)是偶函數(shù).6分課堂互動(dòng)講練.(3)當(dāng)a>1時(shí)，對x>0，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知ax>1，課堂互動(dòng)講練.即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.7分又由(2)，f(x)為偶函數(shù)，知f(－x)＝f(x)，當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．綜上知a>1時(shí)，f(x)>0在定義域上恒成立.9分課堂互動(dòng)講練.當(dāng)x>0時(shí)，1>ax>0，ax＋1>0，ax－1<0，x3>0，此時(shí)f(x)<0，不滿足題意；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝f(x)<0，也不滿足題意．綜上，所求a的范