逆矩陣怎樣求幾何變換的觀點(diǎn)-江蘇濱海中學(xué)

蘇教版選修4-2高二數(shù)學(xué)2.4.1逆矩陣的概念11一月2023讓學(xué)引思2023/1/11

江蘇省濱海中學(xué)徐義由前面學(xué)習(xí)我們知道:二階矩陣對(duì)應(yīng)著平面上的一個(gè)幾何變換，它把點(diǎn)（x

，y）變換到點(diǎn)（x′，y′）.反過(guò)來(lái):若知道變換后的結(jié)果（x′，y′）,能否“找到回家的路”,再讓它變回到原來(lái)的（x

，y）呢？如圖示：（x

，y）（x′，y′）走過(guò)去走回來(lái)1創(chuàng)設(shè)情境建構(gòu)概念問：“找到回家的路”的本質(zhì)是什么？已知矩陣，我們能否找到一個(gè)矩陣，使得連續(xù)進(jìn)行的兩次變換的結(jié)果與恒等變換的結(jié)果相同。變回自己引例：對(duì)于下列給出的變換矩陣A，是否存在變換矩陣B，使得連續(xù)進(jìn)行兩次變換（先TA后TB）的結(jié)果與恒等變換的結(jié)果相同：（1）以x軸為反射軸的反射變換；（2）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600的旋轉(zhuǎn)變換；（3）橫坐標(biāo)不變，沿y軸方向?qū)⒖v坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的

2倍的伸壓變換；（4）沿y軸方向，向x軸的投影變換；（5）縱坐標(biāo)y不變，橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例增加，且（x,y）→（x+2y,y）的切變變換；1創(chuàng)設(shè)情境建構(gòu)概念解：（1）對(duì)于反射變換TA，滿足條件的變換即為其自身，即B=A；解：（3）對(duì)于伸壓變換TA，存在伸壓變換TB，即B為使平面的保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)沿y軸方向壓縮為原來(lái)的一半的變換矩陣；2分析情境形成概念（1）以x軸為反射軸的反射變換；（2）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600的旋轉(zhuǎn)變換；（3）橫坐標(biāo)不變，沿y軸方向?qū)⒖v坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍的伸壓變換；解：（2）對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換TA，存在旋轉(zhuǎn)變換TB，即B為繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的變換矩陣；2分析情境形成概念解：（4）對(duì)于投影變換TA，不存在滿足條件的變換矩陣B。原因：投影變換不是一一映射；（4）沿y軸方向，向x軸的投影變換；（5）縱坐標(biāo)y不變，橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例增加，且（x,y）→（x+2y,y）的切變變換；（5）對(duì)于切變變換，存在切變變換，即B為使平面的保持縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例減少,且（x,y）→（x-2y,y）的變換矩陣；由引例,我們可以得到：有的矩陣能“找到回家的路”，（變回為自己）稱它為原變換的逆變換，而逆變換也對(duì)應(yīng)著一個(gè)矩陣,但并非所有的二階矩陣A，都存在二階矩陣B，使得AB=BA=E.那我們?cè)撊绾螌?duì)逆矩陣下一個(gè)合適的定義呢？2分析情境形成概念一、概念的引入有在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，其中為的倒數(shù)，

（或稱的逆）；

在矩陣的運(yùn)算中，單位陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中

的1你能通過(guò)類比的方法給逆矩陣下個(gè)定義嗎？2分析情境形成概念二.逆矩陣定義分析情境形成概念2

定義

對(duì)于階矩陣，如果有一個(gè)階矩陣，使得則說(shuō)矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.如何證明？思考：(1)如果矩陣可逆，那么逆矩陣唯一嗎？若設(shè)和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的,即證明：

應(yīng)用概念探究性質(zhì)3(2)如果矩陣可逆，那么結(jié)果是什么？思考：(3)定義中只有矩陣是否可逆？此時(shí)的結(jié)果是多少？三.

逆矩陣性質(zhì)

若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.(1)(2)現(xiàn)在要解決的問題：1.二階矩陣滿足什么條件時(shí)可逆?2.可逆時(shí)，逆矩陣怎樣求？

應(yīng)用概念探究性質(zhì)3（3）如果亦有矩陣互為逆矩陣.

應(yīng)用概念探究方法4

應(yīng)用概念探究方法3說(shuō)明：現(xiàn)在已解決的問題：1.二階矩陣滿足什么條件時(shí)可逆?2.可逆時(shí)，逆矩陣怎樣求？幾何變換的觀點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的幾何變換存在逆變換映射的觀點(diǎn)：變換對(duì)應(yīng)的映射是一一映射幾何變換法：逆矩陣即為逆變換對(duì)應(yīng)的矩陣目前只能利用定義，用待定系數(shù)法解決！顯然用待定系數(shù)法求逆矩陣時(shí)，計(jì)算量較大，過(guò)程繁瑣。那么對(duì)于一個(gè)二階矩陣有沒有求逆矩陣的公式呢？公式：思考：公式法求二階矩陣的逆矩陣的前提是什么？3

應(yīng)用概念探究方法練習(xí)1練習(xí)2練一練

應(yīng)用概念探究方法3現(xiàn)在能解決的問題：1.二階矩陣滿足什么條件時(shí)可逆?2.可逆時(shí)，逆矩陣怎樣求？幾何變換的觀點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的幾何變換存在逆變換映射的觀點(diǎn)：變換對(duì)應(yīng)的映射是一一映射幾何變換法：逆矩陣即為逆變換對(duì)應(yīng)的矩陣待定系數(shù)法公式法判別式法（行列式法）：“判別式”

幾何變換逆矩陣的求法逆矩陣的概念數(shù)量積的五條性質(zhì)逆矩陣

的性質(zhì)回顧反思拓展延伸51.課堂小結(jié)幾何變換待定系數(shù)公式法數(shù)量積的五條性質(zhì)是否可逆的判斷幾何變換映射觀點(diǎn)判別式法回顧反思拓展延伸5面對(duì)挑戰(zhàn)，敢于超越！

課本P65練習(xí)1，2課本P65練習(xí)2，7我們由矩陣乘法的性質(zhì)知道，對(duì)于二階矩陣，當(dāng)，且