【高考數(shù)學(xué)專題】專題06 分類討論思想-解題模板-高中數(shù)學(xué)解題模板

分類討論的數(shù)學(xué)思想【考點綜述】分類討論是高中數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，分類討論的過程是一個邏輯推理的過程：化整為零，各個擊破，再積零為整這也是從一般到特殊、再從特殊到般的過程，能培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性.邏輯推理是高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一，指的是從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).它主要包括兩類：從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.分類討論是指在解決一個問題時，若無法用同一種方法解決，則可以根據(jù)不同情況把問題分類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題，再將這些小問題逐一解決，從而使原問題獲得解決.【解題方法思維導(dǎo)圖預(yù)覽】【解題方法】解題方法模板：所給的問題比較復(fù)雜，需要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論使用情景：較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題解題模板：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；第二步逐類進(jìn)行討論，得出各類結(jié)果第三步歸納各類結(jié)論，得出結(jié)論.實際應(yīng)用問題模板一：分段函數(shù)中的分類討論思想使用情景：分段函數(shù)分類討論解題模板：例1已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍為___.解題模板選擇：本題中所給的是一個由分段函數(shù)解不等式的問題，故選取實際應(yīng)用問題模板一分段函數(shù)中的分類討論思想進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；題目中的函數(shù)為分段函數(shù)，需要對自變量按照函數(shù)的解析式分類討論：第二步逐類進(jìn)行討論，得出各類結(jié)果令，即或，解得或，，或，或或或，解得或，第三步歸納各類結(jié)論，得出結(jié)論.故不等式的解集為：.【典型例題】1.設(shè)函數(shù)f(x)=若，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由于的范圍不確定，故應(yīng)分和兩種情況求解.【詳解】當(dāng)時，，由得，所以，可得：，當(dāng)時，，由得，所以，即，即，綜上可知：或.故選：C【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)，解不等式的關(guān)鍵是對的范圍討論，分情況解，屬于中檔題.2.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分，兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合絕對值不等式的求解以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得；綜上所述，.故選:D.【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解，考查了對數(shù)不等式的求解，考查了分類的思想.3.已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行綜合分析．4.已知函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則，解得答案.【詳解】∵函數(shù)是R上的增函數(shù)，，∴，解得a∈，故選：C【點睛】本題考查的知識點是分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，首先保證每一段單增，再保證分段點處增，屬于中檔題.5.設(shè)函數(shù)，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對討論，分別求出兩段中的值，注意取舍.【詳解】當(dāng)時，，解得：或（舍去），當(dāng)時，，解得：舍去，綜上可得，實數(shù)的值為：故選：D【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)，解題的關(guān)鍵是確定自變量的取值范圍.實際應(yīng)用問題模板二：含參型分類討論使用情景：解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論.例2-A在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，3），B（2，3），及圓C：（x-a）2+（y+1）2=15+，若線段AB（包括端點A，B）在圓C的外部，則實數(shù)a的取值范圍是.解題模板選擇：本題中考查圓的方程的應(yīng)用，需要對具體的參數(shù)進(jìn)行分類討論，故選取實際應(yīng)用問題模板二含參型分類討論進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；本題中a為參數(shù)，需要a的值進(jìn)行分類討論，第二步逐類進(jìn)行討論，得出各類結(jié)果（1）若a=0，符合題意.（2若a<0，圓心C（a，-1）在第三象限，此時只需要點A在圓C外即可（恒符合題意）.（3）若0<a<2，圓心C（a，-1）在第四象限，而且在線段AB的正下方，此時只需圓C的半徑r<4，解得.（4）若a≥2，圓心C（a，-1）在第四象限，此時只需點B在圓C外即可符合題意，解得.第三步歸納各類結(jié)論，得出結(jié)論.綜上，實數(shù)a的取值范圍是.【名師點睛】分類討論是解決含參問題的常用方法，如能運用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想，便可簡化分類討論，達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題效果.例2-B解不等式（x-1）（x-k）<0.答案見解析解題模板選擇：本題中考查不等式的解法，需要對具體的參數(shù)進(jìn)行分類討論，故選取實際應(yīng)用問題模板二含參型分類討論進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；不等式中k為參數(shù)，需要對k進(jìn)行分類討論.第二步逐類進(jìn)行討論，得出各類結(jié)果當(dāng)k>1時，則不等式的解為1<x<k；當(dāng)k=1時，原不等式變?yōu)椋▁-1）2<0，不等式無解；當(dāng)k<1時，則不等式的解為k<x<1.第三步歸納各類結(jié)論，得出結(jié)論.綜上可得：當(dāng)k>1時，則不等式的解為1<x<k；當(dāng)k=1時，原不等式無解；當(dāng)k<1時，則不等式的解為k<x<1.【名師點睛】這種分類是根據(jù)不等式求解運算的適用范圍分類的.【典型例題】6.已知函數(shù)（1）解關(guān)于的不等式；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具體見解析.（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）將原不等式化為，分類討論可得不等式的解.（Ⅱ）若則；若，則參變分離后可得在恒成立，利用基本不等式可求的最小值，從而可得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）即，，（?。┊?dāng)時，不等式解集為；（ⅱ）當(dāng)時，不等式解集為；（ⅲ）當(dāng)時，不等式解集為，綜上所述，（ⅰ）當(dāng)時，不等式解集為；（ⅱ）當(dāng)時，不等式解集為；（ⅲ）當(dāng)時，不等式解集為.（Ⅱ）對任意的恒成立，即恒成立，即對任意的，恒成立.①時，不等式為恒成立，此時；②當(dāng)時，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時取“”,.綜上.【點睛】含參數(shù)的一元二次不等式，其一般的解法是：先考慮對應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，再考慮其判別式的符號，其次在判別式于零的條件下比較兩根的大小，最后根據(jù)不等號的方向和開口方向得到不等式的解．含參數(shù)的不等式的恒成立問題，優(yōu)先考慮參變分離，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的新函數(shù)的最值問題，后者可用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式來求.7.已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時,；當(dāng)時,；(2).【解析】【分析】（1）分和兩種情況，討論函數(shù)的最大值；（2）時，恒成立的等價條件為，求出不等式組的解可確定的取值范圍．【詳解】(1)函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，在區(qū)間上的最大值，分兩種情況：①（）時，根據(jù)圖象知，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；②（）時，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值.所以，當(dāng)時,；當(dāng)時,.(2)恒成立，只需在區(qū)間上的最大值即可，所以，得，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查含參數(shù)的二次函數(shù)在給定區(qū)間的最大值，分類討論是解決本題的關(guān)鍵；另外恒成立問題往往通過其等價條件來求解更簡單．8.已知關(guān)于的不等式的解集為R，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】【分析】按照兩種情況討論：①當(dāng)時，可得符合；②當(dāng)時，根據(jù)圖象的開口方向和判別式列式可解得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況①當(dāng)時，即或時，若，不等式變?yōu)?，成立，符合條件；若，不等式變?yōu)椋饧癁?，不符合題意.②當(dāng)時，不等式為一元二次不等式，要使解集為R，則對應(yīng)二次函數(shù)的圖象開口只能向上，且，即且，則或，且，所以或，且，即，綜上，實數(shù)的取值范圍.【點睛】本題考查了分類討論思想，考查了一元二次不等式恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù).(1)若對任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1);(2)詳見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）對討論，時不合題意；合題意；，利用判別式小于解不等式，求交集即可得到所求范圍；（2）先將不等式化為，再對參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，利用一元二次不等式的解法分別解不等式即可.試題解析：（1）當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，要使對任意實數(shù)，恒成立，需滿足，解得，故實數(shù)的取值范圍為.（2）由不等式得，即.方程的兩根是，.①當(dāng)時，，不等式的解為或；②當(dāng)時，不等式的解為；③當(dāng)時，不等式的解為；④當(dāng)時，，不等式無解；⑤當(dāng)時，，不等式的解為綜上：①當(dāng)時，不等式的解為或；②當(dāng)時，不等式的解為；③當(dāng)時，不等式的解為；④當(dāng)時，，不等式解集為；⑤當(dāng)時，不等式的解為【方法點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、分類討論思想，屬于難題.分類討論思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點.充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.10.對任意，函數(shù)的值恒大于零，求的取值范圍.【答案】不存在這樣的實數(shù)，使函數(shù)的值恒大于零.【解析】【分析】①當(dāng)時，函數(shù)的值不恒大于零，舍去；②當(dāng)時，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】①當(dāng)時，函數(shù)的值不恒大于零，不符合題意，舍去；②當(dāng)時，要使得對任意，函數(shù)的值恒大于零，則滿足，即，此不等式組無解，故.綜上知，不存在這樣的實數(shù)，使函數(shù)的值恒大于零.【點睛】本題主要考查了一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及一元二次不等式的求解，著重考查分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.實際應(yīng)用問題模板三：按性質(zhì)型分類討論使用情景：結(jié)合數(shù)列或函數(shù)的性質(zhì)需要進(jìn)行分類討論解題模板：例3已知數(shù)列的前n項和，則等于（）A.40B.44C.45D.49B解題模板選擇：本題中數(shù)列的通項公式的確定與n相關(guān)，需要分類討論n=1和n≥2兩種情況，故選取實際應(yīng)用問題模板三按性質(zhì)型分類討論進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；由前n項和確定數(shù)列的通項公式需要對n進(jìn)行分類討論：第二步逐類進(jìn)行討論，得出各類結(jié)果當(dāng)n=1時，a1=0；當(dāng)n≥2時，，而n=1時，2n-1=2×1-1=1≠0，所以，第三步歸納各類結(jié)論，得出結(jié)論.所以=0+5+9+13+17=44，故選：B.【典型例題】11.在數(shù)列中，，則通項公式________．【答案】【解析】【分析】首先利用得出時的通項公式，把代入此通項公式檢驗也滿足，從而得到數(shù)列的通項公式.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，上式也成立，∴，故答案為：.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，熟練掌握數(shù)列的遞推式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12.設(shè)數(shù)列的前n項和滿足，且，則_____．【答案】【解析】【分析】由，兩本同除以，可構(gòu)造是等差數(shù)列，由此可求出，再利用，即可求得【詳解】由，得是以為首相，1為公差的等差數(shù)列，，，當(dāng)時，，故答案為：【點睛】本題主要考查了由數(shù)列的遞推關(guān)系式，求數(shù)列的通項公式，是?？碱}型，屬于中檔題.13.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2+n+2，則a1+a3+a5+a7＝_____．【答案】34【解析】【分析】根據(jù)關(guān)系求得，即可賦值得到結(jié)果.【詳解】因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，.又當(dāng)不滿足上式，故可得.則.故答案為：.【點睛】本題考查利用求，注意分類討論，屬基礎(chǔ)題.14.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項之積為，且，則數(shù)列的通項公式是________________.【答案】【解析】【分析】令可得，利用的定義，，可得的遞推關(guān)系，從而得是等差數(shù)列，求出后可得，從而可得．【詳解】，∴，，即，，∴，∴，即是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，故，，，也符合此式，，∴當(dāng)時，，又，∴，故答案為：.【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，解題中注意數(shù)列的和、數(shù)列的積與項的關(guān)系，進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化．如對積有，對和有，另外這種關(guān)系中常常不包括的情形，需討論以確定是否一致．15.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2+n，則an＝_____．【答案】2n【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系求解即可.【詳解】由題,當(dāng)時,,當(dāng)時,.當(dāng)時也滿足.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系求通項公式的方法,屬于基礎(chǔ)題.實際應(yīng)用問題模板四：不確定型分類討論使用情景：對于一些不確定型的問題，需要進(jìn)行分類討論.解題模板：例4設(shè)數(shù)列滿足：（n=1，2，…，20），成等比數(shù)列.若.則滿足條件的不同數(shù)列的個數(shù)為.15099解題模板選擇：本題中數(shù)列的問題需要確定1和-1的個數(shù)，不能確定類型，故選取實際應(yīng)用問題模板四不確定型分類討論進(jìn)行解答.解題模板應(yīng)用：第一步確定需要討論的對象和它的取值范圍；因為成等比數(shù)列.所以，a7=±3.則需要對進(jìn)行分類討論.第二步逐類進(jìn)行討論，得出各類結(jié)果當(dāng)時，注意到，故這6個差中必