第25課時 三角形的基礎(chǔ)知識

第25課時三角形的根底知識一、知識鏈接1、三角形的有關(guān)概念及分類定義：由的三條線段相接而組成的圖形叫做三角形。分類：〔1〕按邊分：不等邊三角形、等腰三角形〔等邊三角形、底邊和腰不相等的等腰三角形〕；〔2〕按角分：直角三角形和斜三角形〔銳角三角形、鈍角三角形〕。2、三角形的角平分線定義：三角形一個角的平分線和這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。幾何符號語言：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC=∠BAC或∠BAC=2∠BAD=2∠DAC特性：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的，它到三角形的距離相等。3、三角形的高線定義：從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱高。幾何符號語言：∵AD是△ABC的高〔AD⊥BC〕∴∠ADB=∠ADC=90°特性：三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的。銳角三角形三條高的交點(diǎn)在三角形的；鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的；直角三角形的三條高的交點(diǎn)在上。4、三角形的中線定義：在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它對邊的線段叫做三角形的中線。幾何符號語言：∵AM是△ABC的中線∴BM=MC=BC；BC=2BM=2MC；S△ABM=S△ACM=S△ABC。特性：三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的。規(guī)律：三角形的一條中線將三角形分成兩個面積相等〔等底同高〕的三角形；5、三角形的中位線定義：連接三角形兩邊的線段叫做三角形的中位線。定理：三角形的中位線第三邊，且等于。注意：正確理解三角形的中線和中位線的概念，三角形的中線平分面積，三角形的中位線分得三角形兩局部面積比為1:3。6、三角形三邊的關(guān)系關(guān)系：〔1〕三角形任意兩邊之和第三邊；〔2〕三角形任意兩邊之差第三邊；〔3〕＜第三邊＜。7、三角表的內(nèi)角和定理及推論定理：三角形的三個內(nèi)角和等于°。推論：〔1〕三角形的一個外角等于與它的兩個內(nèi)角的和；〔2〕三角形的一個外角與它不相鄰的任何一個內(nèi)角；〔3〕直角三角形的兩個銳角；〔4〕三角形的外角和等于°。二、基訓(xùn)熱身1．現(xiàn)有3cm，4cm，7cm，9cm長的四根木棒，任取其中三根組成一個三角形，那么可以組成的三角形的個數(shù)是〔〕A．1個B．2個C．3個D．4個2．〔2022?懷化〕如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延長BC到D，那么∠ACD=°．3．〔2022?棗莊〕如圖2，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，那么∠D的度數(shù)為〔〕A．17°B．34°C．56°D．124°〔圖1〔圖1〕〔圖2〕4.〔2022?鄂州〕一副三角板有兩個直角三角形，如圖3疊放在一起，那么∠的度數(shù)是〔〕〔圖〔圖3〕B．120°C．150°D．135°三.中考教練類型一三角形的三邊關(guān)系【例1】〔2022?衢州〕小芳同學(xué)有兩根長度為4cm、10cm的木棒，她想釘一個三角形相框，桌上有五根木棒供她選擇〔如下圖〕，從中任選一根，能釘成三角形相框的概率是．【點(diǎn)析】此題考查了概率公式的應(yīng)用．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．反應(yīng)1〔2022汕頭〕三角形兩邊的長分別是4和10，那么此三角形第三邊的長可能是〔〕A．5B．6C．11D．16類型二三角形的內(nèi)角和定理【例2】〔2022嘉興〕△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，那么∠A等于〔〕A．40°B．60°C．80°D．90°【點(diǎn)析】此題考查三角形的是內(nèi)角和定理，只需把∠B和∠C都用∠A表示出來即可。反應(yīng)2〔2022·濱州〕一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2：3：7，這個三角形一定是〔〕A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形類型三三角形的外角【例3】，如圖，E為BC上一點(diǎn)，D在BA的延長線上，DE交AC于F點(diǎn)，∠B＝45°，∠C＝30°，∠EFC＝80°，求∠D的度數(shù)。【點(diǎn)析】此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)。反應(yīng)3〔2022?郴州〕如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點(diǎn)．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的B′處，那么∠ADB′的度數(shù)為〔〕A．25°B．30°C．35°D．40°類型四三角形的中位線定理的運(yùn)用ACDBEP【例4】如圖，D，E分別為△ABC的AC、BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊使C落在AB邊上的點(diǎn)P處，ACDBEP那么∠APD等于〔〕A．42°B．48°C．52°D．58°【點(diǎn)析】此題考查了三角形的中位線定理，解答此題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理的內(nèi)容：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．反應(yīng)4〔2022?昆明〕如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∠A=50°，∠ADE=60°，那么∠C的度數(shù)為〔〕A．50°B．60°C．70°D．80°類型五角平分線的計算【例5】〔2022?威海〕如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，點(diǎn)E在BC的延長線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D，連接AD，以下結(jié)論中不正確的選項是〔〕A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【點(diǎn)析】由三角形的兩條外角平分線和另一個角的內(nèi)角平分線交于同一點(diǎn)可知AD為三角形的外角平分線。反應(yīng)5〔1〕如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，假設(shè)∠A=50°，那么∠BOC的度數(shù)為〔2〕〔2022呼和浩特〕如圖2，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，那么∠AEC=______°〔〔圖1〕〔圖2〕四、總分值訓(xùn)練一、選擇題〔每題6分，共30分〕1．假設(shè)三角形的三邊長分別為3，4，x－1，那么x的取值范圍是〔〕A．0＜x＜8B．2＜x＜8C．0＜x＜6D．2＜x＜62．〔2022?新疆〕等腰三角形的兩邊長分別為3和6，那么這個等腰三角形的周長為〔〕A．12B．15C．12或15D．183．〔2022·臨沂〕如圖1，l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，那么∠2的度數(shù)為〔〕A．40°B．60°C．80°D．100°4．〔2022·內(nèi)江〕把一塊直尺與一塊三角板如圖2放置，假設(shè)∠1=40°，那么∠2的度數(shù)為〔〕A．125°B．120°C．140°D．130°〔〔圖1〕〔圖2〕〔圖3〕5．〔2022?湘西州〕如圖3，一副分別含有30°和45°角的兩個直角三角板，拼成如圖3所示的圖形〔圖3〕那么∠BFD的度數(shù)是〔〕A．15°B．25°C．30°D．10°6．一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2:3:7，這個三角形一定是〔〕A．直角三角形B．等腰三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形7．〔2022云南〕如圖4，在△ABC中，∠B=67°,∠C=33°,是△ABC的角平分線，那么的度數(shù)為〔〕A．40°B．45°C．50°D．55°8．〔2022深圳〕如圖5所示，一個60°角的三角形紙片，剪去這個60°角后，得到一個四邊形，那么的度數(shù)為〔〕A．120°B．180°C．240°D．300°〔〔圖4〕＿〔圖5〕＿9．假設(shè)為△ABC的三邊，那么化簡的結(jié)果為〔〕A．B．C．D．10.〔2022?德陽〕如果三角形的兩邊分別為3和5，那么連結(jié)這個三角形三邊中點(diǎn)所得的三角形的周長可能是〔〕A．5.5B．5C．D．4二、填空題11．〔2022涼山州〕實數(shù)，滿足，那么以，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是．12．〔2022?鹽城〕如圖6，A、B兩地間有一池塘阻隔，為測量A、B兩地的距離，在地面上選一點(diǎn)C，連接CA、CB的中點(diǎn)D、E．假設(shè)DE的長度為30m，那么A、B兩地的距離為m．13．〔2022·黔東〕在△ABC中，三個內(nèi)角∠A、滿足，那么∠B=14．〔2022·上?！钞?dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形〞，其中α稱為“特征角〞．如果一個“特征三角形〞的“特征角〞為100°，那么這個“特征三角形〞的最小內(nèi)角的度數(shù)為_________．15．〔2022·寧夏〕如圖7，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處．假設(shè)∠A=22°，那么∠BDC=〔〔圖6〕〔圖7〕15．如圖8，點(diǎn)D在BC的延長線上，DE⊥AB于E，交AC于F，∠B＝50°，∠CFD＝60°，那么∠ACB＝〔圖8〕ABDEFCCABD〔圖9〕16．如圖9，BD是△ABC〔圖8〕ABDEFCCABD〔圖9〕ABCDE12〔圖10〕18．如圖10ABCDE12〔圖10〕那么∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系是三、解答題〔共16分〕ABCDEF19．某機(jī)器零件的橫截面如下圖，按要求線段AB和DC的延長線相交成直角才算合格，一工人測得∠A＝23°，∠D＝31°，∠AEDABCDEFBACDE20．：如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝68°，∠C＝42°BACDE21．如圖，：在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等邊三角形，求∠C的度數(shù)。22.如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，求四邊形EFGH的周長。一、知識鏈接1．不在同一直線上，首尾順次2．內(nèi)心，三邊3．垂線，垂心，內(nèi)部，外部，直角頂點(diǎn)4．中點(diǎn)，重心5．中點(diǎn)，平行于，第三邊的一半6．大于，小于，兩邊之差，兩邊之和7．不相鄰，大于，互余，360°二、基訓(xùn)熱身1．B2．803．C4．A三、中考教練例1：；反應(yīng)1：C例2：A；反應(yīng)2：D例3：∠D＝25°；反應(yīng)3：D例4：B；反應(yīng)：C例5：B；反應(yīng)5：〔1〕115°；〔2〕°四、總分值訓(xùn)練1－10：BBDDADCCAA12．6013．6014．30°15．60°16．100°17．218．∠A＝∠1＋∠219．解：連結(jié)FE并延長至G，∵∠AEG=∠AFG+∠A∠DEG=∠DFG+∠DABCDEFG∴∠AEG+∠DEG=∠AFG+ABCDEFG即∠AED=∠AFD+∠A+∠D=90°+23°+31°=144°≠143°∴該零件不合格。20．解：∠BAC=180°-∠B-∠