07趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)方法

第七章趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)方法§7.1趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)法概述§7.2多項(xiàng)式曲線法§7.3指數(shù)曲線法§7.4修正指數(shù)曲線法和雙指數(shù)曲線法§7.5生長(zhǎng)曲線法§7.6增長(zhǎng)型曲線模型的識(shí)別方法§7.7增長(zhǎng)型曲線模型的參數(shù)估計(jì)§7.8包絡(luò)曲線法1§7.1趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)法概述統(tǒng)計(jì)資料表明，大量社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展主要是漸進(jìn)型的，其發(fā)展相對(duì)于時(shí)間具有一定的規(guī)律性。趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)方法是根據(jù)事物的歷史和現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)，尋求事物隨時(shí)間推移而發(fā)展變化的規(guī)律，從而推測(cè)其未來狀況的一種常用的預(yù)測(cè)方法。趨勢(shì)外推法的假設(shè)條件是：

(1)假設(shè)事物發(fā)展過程沒有跳躍式變化，即事物的發(fā)展變化是漸進(jìn)型的。

(2)假設(shè)所研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、功能等基本保持不變，即假定根據(jù)過去資料建立的趨勢(shì)外推模型能適合未來，能代表未來趨勢(shì)變化的情況。2由以上兩個(gè)假設(shè)條件可知，趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)法是事物發(fā)展?jié)u進(jìn)過程的一種統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法。簡(jiǎn)言之，就是運(yùn)用一個(gè)數(shù)學(xué)模型，擬合一條趨勢(shì)線，然后用這個(gè)模型外推預(yù)測(cè)未來時(shí)期事物的發(fā)展。趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)法主要利用描繪散點(diǎn)圖的方法(圖形識(shí)別)和差分法計(jì)算進(jìn)行模型選擇。主要優(yōu)點(diǎn)是：可以揭示事物發(fā)展的未來，并定量地估價(jià)其功能特性。趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)法比較適合中、長(zhǎng)期新產(chǎn)品預(yù)測(cè)，要求有至少5年的數(shù)據(jù)資料。3趨勢(shì)外推法首先由R.賴恩（Rhyne）用于科技預(yù)測(cè)。他認(rèn)為，應(yīng)用趨勢(shì)外推法進(jìn)行預(yù)測(cè)，主要包括以下6個(gè)步驟：

（1）選擇預(yù)測(cè)參數(shù)；

（2）收集必要的數(shù)據(jù)；

（3）擬合曲線；

（4）趨勢(shì)外推；

（5）預(yù)測(cè)說明；

（6）研究預(yù)測(cè)結(jié)果在制訂規(guī)劃和決策中的應(yīng)用。趨勢(shì)外推法是在對(duì)研究對(duì)象過去和現(xiàn)在的發(fā)展作了全面分析之后，利用某種模型描述某一參數(shù)的變化規(guī)律，然后以此規(guī)律進(jìn)行外推。為了擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)，實(shí)際中最常用的是一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)模型，如線性模型、指數(shù)曲線、生長(zhǎng)曲線、包絡(luò)曲線等。4趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)可以分為兩大類：時(shí)間序列趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)增長(zhǎng)型曲線外推預(yù)測(cè)本章主要講述增長(zhǎng)型曲線外推預(yù)測(cè)，并對(duì)時(shí)間序列趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)進(jìn)行簡(jiǎn)單回顧（§7.1）。時(shí)間序列趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)又可以分為：樣本序列具有水平趨勢(shì)的外推預(yù)測(cè)法樣本序列具有非水平趨勢(shì)的外推預(yù)測(cè)法樣本序列具有線性趨勢(shì)的外推預(yù)測(cè)法樣本序列具有線性趨勢(shì)和季節(jié)波動(dòng)的外推預(yù)測(cè)法51、樣本序列具有水平趨勢(shì)的外推預(yù)測(cè)法（1）樸素預(yù)測(cè)法（2）平均數(shù)預(yù)測(cè)法2、樣本序列具有非水平趨勢(shì)的外推預(yù)測(cè)法（1）加權(quán)移動(dòng)平均法式中，為加權(quán)因子，滿足6（2）一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)法3、樣本序列具有線性趨勢(shì)的外推預(yù)測(cè)法（1）二次移動(dòng)平均值預(yù)測(cè)法（即趨勢(shì)移動(dòng)平均法）7(2)二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)法84、樣本序列具有線性趨勢(shì)和季節(jié)波動(dòng)的外推預(yù)測(cè)法經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列一般可以分解為四個(gè)因素：長(zhǎng)期趨勢(shì)T、周期變動(dòng)C、季節(jié)因素S和隨機(jī)因素I，并有如下三種模型：乘法模型：Y=TCSI

加法模型：T=T+C+S+I

混合模型：Y=TC+SI

下面分別介紹加法型和乘法型序列的趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)方法。9（1）加法型序列的外推預(yù)測(cè)法假設(shè)樣本序列為序列yt是加法型，即10求yn+T的預(yù)測(cè)值，預(yù)測(cè)步驟如下：第一步，對(duì)樣本序列做時(shí)段長(zhǎng)為3的滑動(dòng)平均，消去隨機(jī)干擾，記滑動(dòng)平均后的序列為第二步，對(duì)求出趨勢(shì)線第三步，將序列yt消除線性趨勢(shì)因素的影響，求出消去趨勢(shì)影響后的序列值Mt

第四步，將Mt值按季節(jié)次序重排，如下表1所示，在此假定t=1代表春季，n=20.11對(duì)表7.1.1各列算出平均值，依序記為，分別表示樣本序列的季節(jié)指數(shù)。表7.1.112第五步，對(duì)樣本季節(jié)指數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，若，則符合季節(jié)指數(shù)的條件，否則，則需對(duì)樣本季節(jié)指數(shù)進(jìn)行修正。

修正的方法是：若，則將每個(gè)減去3/4，即令標(biāo)準(zhǔn)化的季節(jié)指數(shù)為Si：那么有第六步，運(yùn)用已求得的Tt，Si即可進(jìn)行預(yù)測(cè)，由于是不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)干擾，由此得到13例：某市的啤酒銷售量有如表7.1.2的數(shù)據(jù)序列，試求出第21，22，23，24季度的啤酒銷售量的預(yù)測(cè)值。表7.1.214解：第一步，按滑動(dòng)時(shí)段長(zhǎng)N=3，求出序列的滑動(dòng)平均值，削去隨機(jī)干擾，顯出趨勢(shì)求出趨勢(shì)線的方程第二步，計(jì)算，并將Mt按季節(jié)排列，如表7.1.3所示，由于，故需對(duì)進(jìn)行修正，修正后的，即第三步，進(jìn)行預(yù)測(cè)，15表7.1.316（2）乘法型序列的外推預(yù)測(cè)法

設(shè)樣本序列為，外推預(yù)測(cè)公式可表示為現(xiàn)介紹求估計(jì)值的傳統(tǒng)分解方法。第一步，對(duì)yt序列值分解出長(zhǎng)期趨勢(shì)因素。假設(shè)季節(jié)長(zhǎng)度為4，只要將序列作滑動(dòng)長(zhǎng)度為4的滑動(dòng)平均時(shí)，即可消除隨機(jī)干擾和季節(jié)波動(dòng)影響。記滑動(dòng)平均值為則滑動(dòng)平均后的序列，即為線性趨勢(shì)因素，故有（2-1）（2-2）17第二步，對(duì)yt分解出季節(jié)因素與隨機(jī)因素，根據(jù)以去除yt，得到該式只含季節(jié)因素和隨機(jī)因素兩個(gè)分量。第三步，從中分解出季節(jié)因素St。由于，故可采用平均的方法可以消除隨機(jī)性影響。但簡(jiǎn)單的平均可能把季節(jié)影響也消除掉，因此，為保留季節(jié)性影響，可將序列(2-3)式按春、夏、秋、冬順序逐年逐季排列，然后，將各年相同季節(jié)的相加起來進(jìn)行平均，這就達(dá)到了保留季節(jié)性，消除隨機(jī)性的目的。

（2-3）18表7.1.4例如，有表7.1.4的數(shù)值表，將該表的春季這一欄的值相加求平均值，就得到了消除隨機(jī)性的春季季節(jié)指數(shù)。類似可以求出夏、秋、冬各季的季節(jié)指數(shù)。分別記為：將這些值相加，得到，與標(biāo)準(zhǔn)的季節(jié)指數(shù)和有差異，這是由于樣本的隨機(jī)性所致。為使所求的季節(jié)指數(shù)比較接近標(biāo)準(zhǔn)的季節(jié)指數(shù)，必須對(duì)上述樣本季節(jié)指數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使調(diào)整后的季節(jié)指數(shù)總和恰為400。通過調(diào)整，季節(jié)指數(shù)的含義更加明顯了。19第四步，運(yùn)用(2-2)式的滑動(dòng)平均后得到的數(shù)據(jù)序列，建立線性趨勢(shì)方程，記為第五步，根據(jù)第三、四兩步得到的季節(jié)指數(shù)St和Tt，即可按要求進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)公式是20例：某地某種服裝的銷售量有下述季度銷售數(shù)據(jù)，見表7.1.5。根據(jù)表5的數(shù)據(jù)，繪制出銷售量依時(shí)間變化的圖形(見圖7.1.1)。從圖形可以明顯地看出，序列呈季節(jié)性變化，季節(jié)長(zhǎng)度為4。此外，序列有線性長(zhǎng)期趨勢(shì)，按乘法型序列外推預(yù)測(cè)法的基本原理，其模式為試求2000年春、夏、秋、冬各季某種服裝的銷售量預(yù)測(cè)值。21表7.1.522圖7.1.123解：第一步，根據(jù)表7.1.5的數(shù)據(jù)，進(jìn)行滑動(dòng)時(shí)段長(zhǎng)為4的滑動(dòng)平均，得到如表7.1.6的滑動(dòng)平均值。這些數(shù)值消除了季節(jié)波動(dòng)與隨機(jī)干擾的影響，顯示出序列的趨勢(shì)變化，見表7.1.6中Tt列中的數(shù)據(jù)。第二步，將表7.1.6中yt列中的數(shù)據(jù)除以Tt列中的數(shù)據(jù)，即得到列的數(shù)據(jù)，這表示已將從yt中分離出來。第三步，從序列中消除隨機(jī)性的影響，分離出季節(jié)因素。24表7.1.625表7.1.726將表7.1.6中列的數(shù)據(jù)，按年、季重排，如表7.1.7，然后，分別計(jì)算各季度的均值，這樣便消去了隨機(jī)性，保留了季節(jié)性。各列的平均值，即為各季的季節(jié)指數(shù)，又稱為樣本季節(jié)指數(shù)，對(duì)各樣本季節(jié)指數(shù)求總得與標(biāo)準(zhǔn)季節(jié)指數(shù)有差異，因此，要作必要的調(diào)整，調(diào)整的方法是將乘以修正系數(shù)由此，得到調(diào)整后的季節(jié)指數(shù)為27第四步，求出趨勢(shì)直線方程參數(shù)的求估，可用目估法或最少二乘法求出。用目估法求得，則有第五步，進(jìn)行預(yù)測(cè)，2000年春季相當(dāng)于第37季度，由此得到2000年各季度某種服裝的銷售量預(yù)測(cè)值為28時(shí)間序列的基本特征是：其數(shù)值是依時(shí)間的變化而變化，起伏交替，有起有伏的，有些有某種變化趨勢(shì)。增長(zhǎng)型曲線是描繪技術(shù)或經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的某些指標(biāo)依時(shí)間變化而呈現(xiàn)出增長(zhǎng)(下降)規(guī)律性的一種曲線。在取得技術(shù)、經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的樣本序列之后，通過建模，進(jìn)行外推預(yù)測(cè)，是一種常用的預(yù)測(cè)方法。如新技術(shù)、新產(chǎn)品的發(fā)展和更新?lián)Q代過程，需求增長(zhǎng)規(guī)律等均可以增長(zhǎng)型曲線來描繪。從第二節(jié)開始將介紹增長(zhǎng)曲線的基本類型和特征，增長(zhǎng)曲線模型的識(shí)別方法及其參數(shù)估計(jì)，最后給出預(yù)測(cè)的案例。29

§7.2多項(xiàng)式曲線法這種增長(zhǎng)曲線是一些不同次數(shù)的多項(xiàng)式。一般的k次多項(xiàng)式為：上列多項(xiàng)式中，均是模型參數(shù)，t是時(shí)間變量，yt是經(jīng)濟(jì)指標(biāo)值。若k不超過3，則參數(shù)有明顯的經(jīng)濟(jì)意義，a0為t=0時(shí)序列的初始值，a1可解釋為增長(zhǎng)的變化速度，a2為加速度，a3為加速度的變化率。301、若增長(zhǎng)曲線是一次多項(xiàng)式，則由是常量，表明yt依時(shí)間變化過程是一個(gè)均衡發(fā)展過程。2、若增長(zhǎng)曲線為二次多項(xiàng)式，其圖像是二次拋物線。它分為兩支，一支增長(zhǎng)為正，一支增長(zhǎng)為負(fù)。如圖7.2.1所示。因?yàn)閯t，ut是一直線方程，相應(yīng)地是一常數(shù)，說明它的二階增長(zhǎng)與時(shí)間變化無關(guān)。31圖7.2.1（a）（b）32若以一階差分代替一階微分，二階差分代替二階微分，并記類似地以三階差分代替三階微分，那么，對(duì)三次多項(xiàng)式，就得到由此得到以下基本規(guī)律：若增長(zhǎng)曲線為一次曲線，則一階差分為常量；若為二次拋物線，則二階差分為常量，余此類推。33§7.3指數(shù)曲線法許多系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，如反映技術(shù)進(jìn)步或經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，在其未達(dá)到飽和狀態(tài)之前的成長(zhǎng)期內(nèi)，往往遵循指數(shù)曲線增長(zhǎng)規(guī)律。因此，對(duì)發(fā)展中的事物，可以考慮用指數(shù)曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)。指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型為：其中，a，b為模型參數(shù)；t為時(shí)間變量；yt為經(jīng)濟(jì)目標(biāo)值。341、對(duì)于模型當(dāng)a>0時(shí)，若b>0，那么增長(zhǎng)曲線yt隨著t的增加無限制的增大；若b<0，那么增長(zhǎng)曲線yt隨著t的增加而下降；當(dāng)t趨向無窮時(shí)，yt趨向零。yt以yt=0為其漸近線。如圖7.3.1所示。其特征為：（1）其本質(zhì)是具有不變?cè)鲩L(zhǎng)速度的線性型增長(zhǎng)曲線。對(duì)模型兩邊取對(duì)數(shù)，即得：令則（2）是一個(gè)常數(shù)。352、對(duì)于模型當(dāng)a>0時(shí)，若b>1，那么增長(zhǎng)曲線yt隨著t的增加無限制的增大；若0<b<1，那么增長(zhǎng)曲線yt隨著t的增加而下降；當(dāng)t趨向無窮時(shí)，yt趨向零。yt以yt=0為其漸近線。如下圖示：其特征為：（1）其本質(zhì)是具有不變?cè)鲩L(zhǎng)速度的線性型增長(zhǎng)曲線。（2）

是一個(gè)常數(shù)。36或者，判斷依據(jù)可為：當(dāng)時(shí)間序列各期觀測(cè)值的一階差比率大致相等，就可以用此指數(shù)曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)。指數(shù)曲線模型差分計(jì)算表見下表：37例7.3.1：某商品1995—2003年投入市場(chǎng)以來，社會(huì)總需求量統(tǒng)計(jì)資料如表7.3.2所示，試預(yù)測(cè)該商品2004年的社會(huì)總需求量。38解：第一步，選擇預(yù)測(cè)模型。(1)描繪散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖分布來選擇模型(見圖7.3.2)?？梢猿醪酱_定選用指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型：39(2)計(jì)算一階差比率(如表7.3.3所示)，并結(jié)合散點(diǎn)圖最后確定選用哪一種模型。由表7.3.3可知，觀測(cè)值yt的一階差比率大致相等，符合指數(shù)曲線模型的數(shù)字特征。通過以上分析可知，所給統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的圖形和數(shù)字特征都與指數(shù)曲線模型相符，所以，可選用模型40年份199519961997199819992000200120022003時(shí)序（t）1234567897.117.606.116.617.117.618.058.619.11表7.3.4觀測(cè)值數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換表經(jīng)計(jì)算后得：第二步，求模型參數(shù)。先對(duì)觀測(cè)值yt的數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，使其滿足其變換數(shù)據(jù)如表7.3.4所示。41根據(jù)直線模型，用OLS法可求得：所求指數(shù)模型為：第三步，預(yù)測(cè)2004年的需求量為42§7.4修正指數(shù)曲線法和雙指數(shù)曲線法一、修正指數(shù)曲線法采用指數(shù)曲線外推預(yù)測(cè)，存在預(yù)測(cè)值隨著時(shí)間推移無限增大的問題。這與客觀實(shí)際是不一致的，因?yàn)槿魏问挛锏陌l(fā)展都有其一定的限度，不可能無限增長(zhǎng)。例如，一種商品的銷售量，在其市場(chǎng)成長(zhǎng)期內(nèi)可能會(huì)按指數(shù)曲線增長(zhǎng)。但隨著時(shí)間的推移，其增長(zhǎng)的趨勢(shì)可能會(huì)減緩以至于停滯。對(duì)于這種情況，可以考慮改用修正指數(shù)曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)。修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型為（7.4.1）式中：a，b，c均為待定參數(shù)。43式（7.4.1）描繪了發(fā)展過程有飽和現(xiàn)象的一種增長(zhǎng)規(guī)律，其中a為飽和值或極限值。

y=a為yt的漸近線，當(dāng)b>0，yt以a為下漸近線；當(dāng)b<0，yt以a為上漸近線。參數(shù)c可能大于1，也可能小于1，但大于0。這種曲線的主要特征是：線性地變化。對(duì)式（7.4.1）兩邊對(duì)t求微商，則有令，則由此可見是t的線性函數(shù)。44修正指數(shù)曲線模型差分計(jì)算表見表7.4.1。45為求出a，b和c三個(gè)參數(shù)，可應(yīng)用分組法，通常的做法是：

先把整個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)分成三組，使每組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相等，然后通過各組數(shù)據(jù)之和求出參數(shù)的具體數(shù)值。設(shè)數(shù)據(jù)序列（能夠被3整除）為：將其分成每組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相等的3組

Ⅰ：

Ⅱ：

Ⅲ：各組數(shù)據(jù)之和分別記為：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。46將第Ⅰ組數(shù)據(jù)分別代入式（7.4.1），有對(duì)上述各式兩端求和，得47同理，可得48通過求Ⅱ-Ⅰ、Ⅲ-Ⅱ，并令二者相除，整理得c、b、a為49例7.4.1：某商品1995—2003年的銷售量資料如表7.4.2所示，試預(yù)測(cè)2004年的銷售量。解：

第一步，選擇模型。

(1)描散點(diǎn)圖，初步確定模型形式。由散點(diǎn)圖7.4.2可以初步確定選用修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型50(2)計(jì)算一階差比率(如表7.4.3所示)。由表7.4.3可知，yt的一階差比率大致相等。所以，結(jié)合散點(diǎn)圖分析，最后確定選用修正指數(shù)曲線模型進(jìn)行預(yù)測(cè)比較適宜。第二步，求模型的參數(shù)(計(jì)算表如表7.4.4所示)。5152由表7.4.4有所求模型為第三步，進(jìn)行預(yù)測(cè)。即53二、雙指數(shù)曲線法雙指數(shù)曲線模型其中a、b、c均為參數(shù)，t為時(shí)間變量。將上式兩邊取對(duì)數(shù)，得到令則有故稱此種曲線為對(duì)數(shù)拋物線。由(7.4.2)兩邊對(duì)t求微商，得到若令，則得到雙指數(shù)曲線的增長(zhǎng)特征是呈線性變化。（7.4.2）（7.4.3）54§7.5生長(zhǎng)曲線法生物的生長(zhǎng)過程一般經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展、成熟到衰老幾個(gè)階段，在不同的生長(zhǎng)階段，生物生長(zhǎng)的速度也不一樣。發(fā)生初期成長(zhǎng)速度較慢，由慢到快；發(fā)展時(shí)期生長(zhǎng)速度則較快；成熟時(shí)期，生長(zhǎng)速度達(dá)到最快而后逐漸變慢；衰老期則幾乎停止生長(zhǎng)。指數(shù)曲線模型不能預(yù)測(cè)接近極限值時(shí)生物生長(zhǎng)的特性值，因?yàn)橼吔鼧O限值時(shí)，生物生長(zhǎng)特性值已不按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)。描述生物生長(zhǎng)過程可以考慮運(yùn)用形狀近似于S型的曲線(稱為S曲線)。本節(jié)主要介紹兩種最為常用的生長(zhǎng)曲線，即龔珀茲曲線和皮爾曲線（也叫邏輯增長(zhǎng)曲線）。55一、龔珀茲曲線模型及其應(yīng)用龔珀茲曲線和皮爾曲線，均屬于生長(zhǎng)曲線回歸預(yù)測(cè)方法。龔珀茲曲線多用于新產(chǎn)品的研制、發(fā)展、成熟和衰退分析。工業(yè)產(chǎn)品壽命一般可分為四個(gè)時(shí)期：一是引入期；二是成長(zhǎng)期；三是成熟期；四是衰退期。龔珀茲曲線特別適宜于對(duì)處在成熟期的商品進(jìn)行預(yù)測(cè)。龔珀茲曲線預(yù)測(cè)模型為（7.5.1）式中：a，b，k——待定參數(shù)，k又稱極限參數(shù)，t為時(shí)間變量。隨a，b取值的不同，曲線有四種類型，如圖7.5.1所示。56圖7.5.1

龔珀茲曲線一般形狀57對(duì)（7.5.1）式兩邊取對(duì)數(shù)，得到令則可見，它是一種修正的指數(shù)曲線，其參數(shù)k1，a1，b的求法同前，可用分組法求得。（7.5.2）（7.5.3）581、曲線的性質(zhì)可通過對(duì)（7.5.2）式求一階和二階導(dǎo)數(shù)得到：由此可知：當(dāng)b>1，>0時(shí)，有均大于零，所以與均是增函數(shù)，增長(zhǎng)曲線是yt是凸的。參見圖7.5.1中的曲線Ⅳ，它說明了預(yù)測(cè)目標(biāo)值隨時(shí)間的延長(zhǎng)而不斷地增加。當(dāng)1>b>0，<0時(shí)，有>0，<0，這說明了是時(shí)間t的增函數(shù)，但則是減函數(shù)。由此可知，目標(biāo)值y雖然隨著時(shí)間的推移仍保持增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)的速度卻在下降，因此，y的圖像時(shí)凹的，參見圖7.5.1中的曲線Ⅰ。59當(dāng)b>1，<0時(shí)，有<0，<0，說明與均隨t的增大而下降，因此，y隨t的增大而不斷下降，參見圖7.5.1中的曲線Ⅱ。當(dāng)0<b<1，>0時(shí)，有<0，>0，從而不斷下降，其圖像如圖7.5.1中的曲線Ⅲ所示。2、龔珀茲曲線的增長(zhǎng)變化特征由(7.5.1)式兩邊對(duì)t求微商，得令，代入上式，并兩邊取對(duì)數(shù)，即得是t的線性函數(shù)。60龔珀茲曲線對(duì)數(shù)一階差的比率表見表7.5.2，當(dāng)一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)一階差的比率大致相等時(shí)，就可選用龔珀茲曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)。

61例7.5.1：某公司1995—2003年的實(shí)際銷售額資料如表7.5.1所示。試?yán)谬忕昶澢€預(yù)測(cè)2004年的銷售額。62第一步，計(jì)算參數(shù)k，a和b。即第二步，把k，a和b代入公式，即可得預(yù)測(cè)模型第三步，進(jìn)行預(yù)測(cè)，即63二、皮爾曲線模型（邏輯增長(zhǎng)曲線模型）皮爾曲線多用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計(jì)，也適用于對(duì)產(chǎn)品生命周期進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，尤其適用于處在成熟期的商品的市場(chǎng)需求飽和量(或稱市場(chǎng)最大潛力)的分析和預(yù)測(cè)。皮爾曲線函數(shù)模型為其中k，a，b是參數(shù)，k稱為極限參數(shù)，它意味著yt處于飽和狀態(tài)時(shí)的值。其圖像如圖7.5.2所示。（7.5.4）64圖7.5.21、曲線性質(zhì)如圖7.5.2這種曲線以其轉(zhuǎn)折點(diǎn)為中心，兩邊是對(duì)稱數(shù)，當(dāng)；當(dāng)。因此它有上、下兩條漸近線y=k與y=0。圖7.5.2描繪了這樣一種發(fā)展過程：初始階段發(fā)展是緩慢的，接著是急劇的增長(zhǎng)階段，然后是一個(gè)平穩(wěn)的發(fā)展時(shí)期，最后達(dá)到飽和狀態(tài)。這是許多技術(shù)的發(fā)展或某些產(chǎn)品銷售特性的表現(xiàn)形式。例如，企業(yè)集團(tuán)形成發(fā)展行為，技術(shù)創(chuàng)新擴(kuò)散的基本規(guī)律，電視機(jī)、縫紉機(jī)的普及過程等均遵從這種S型曲線的增長(zhǎng)規(guī)律。

652、邏輯曲線的增長(zhǎng)變化特征為求出邏輯曲線的增長(zhǎng)變化特征，首先對(duì)(7.5.4)求導(dǎo)數(shù)，得到從而令，對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，得到由此可見，是t的線性函數(shù)。66參數(shù)k，a，b的求取：最常用的方法是倒數(shù)和法。對(duì)式(7.5.4)兩端取倒數(shù)，得式(7.5.5)在形式上已與式(7.2.1)表示的修正指數(shù)曲線相同。用倒數(shù)和法確定參數(shù)k，a，b的具體步驟為：(1)收集的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的樣本數(shù)要能夠被3整除，設(shè)為(2)將收集到的數(shù)據(jù)分成每組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相等的3組（7.5.5）Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：67(3)對(duì)各組中的樣本數(shù)據(jù)yt取倒數(shù)，用前述分組法步驟可進(jìn)一步求得k，a，b的值。Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：記：則：68生長(zhǎng)曲線模型（Growthcurvemodels）可以描述事物發(fā)生、發(fā)展和成熟的全過程，是情報(bào)研究中常用的一種方法。生物群體的生長(zhǎng)，例如人口的增加、細(xì)胞的繁延，開始幾乎都是按指數(shù)函數(shù)的規(guī)律增長(zhǎng)的。在達(dá)到一定的生物密度以后，由于自身和環(huán)境的制約作用，逐漸趨于一穩(wěn)定狀態(tài)。通過對(duì)技術(shù)發(fā)展過程的研究，發(fā)現(xiàn)也具有類似的規(guī)律。由于技術(shù)性能的提高與生物群體的生長(zhǎng)存在著這種非嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念愃疲蚨捎蒙L(zhǎng)曲線模擬技術(shù)的發(fā)展過程。生長(zhǎng)曲線法幾乎可用來研究每個(gè)技術(shù)領(lǐng)域的發(fā)展，它不僅可以描述技術(shù)發(fā)展的基本傾向，而更重要的是，它可以說明一項(xiàng)技術(shù)的增長(zhǎng)由高速發(fā)展變?yōu)榫徛l(fā)展的轉(zhuǎn)折時(shí)期，為規(guī)劃決策確定開發(fā)新技術(shù)的恰當(dāng)時(shí)機(jī)提供依據(jù)。有些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象也符合或近似生長(zhǎng)曲線的變化規(guī)律，因而它也完全可以用來研究經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的問題。69§7.6增長(zhǎng)型曲線模型的識(shí)別方法在實(shí)際預(yù)測(cè)工作中，通過調(diào)查收集到按時(shí)間序列變化的系列數(shù)據(jù)之后，如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)，建立增長(zhǎng)曲線模型?即在上述6種曲線中，選擇哪一種模型最合適?這就是增長(zhǎng)曲線模型的識(shí)別問題。下面介紹幾種識(shí)別方法。701．目估法（或圖形識(shí)別法）這種方法的基本做法是：將調(diào)查觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)繪在以時(shí)間t為橫軸，觀測(cè)值或它的對(duì)數(shù)值為縱軸的坐標(biāo)紙上，根據(jù)其變化動(dòng)態(tài)構(gòu)成的圖像，選擇合適的曲線。一般說來，若動(dòng)態(tài)序列接近一條直線，則選配直線模型；若其對(duì)數(shù)值在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上構(gòu)成的圖像接近一直線則選配簡(jiǎn)單指數(shù)曲線。這種直觀方法的優(yōu)點(diǎn)是：簡(jiǎn)單方便，缺點(diǎn)是：主觀因素較多，而且在很大程度上依賴于圖形的大小。但是，在序列的發(fā)展趨勢(shì)及其構(gòu)造比較簡(jiǎn)單的情況下，目估法也常常能得到比較滿意的結(jié)果。712．殘差平方和最小的識(shí)別方法這種方法是以殘差平方和最小作為識(shí)別增長(zhǎng)曲線模型的最優(yōu)準(zhǔn)則。即：最小。這種方法看起來是比較科學(xué)的，排除了目估法中的主觀因素，但在多項(xiàng)式曲線的模型識(shí)別中，用這種方法識(shí)別的曲線就不一定是“最優(yōu)”的。因?yàn)椋摹白顑?yōu)”，只能說明歷史數(shù)據(jù)的擬合情況，而不能說明它的未來發(fā)展趨勢(shì)，因此，這種曲線在預(yù)測(cè)的前提下不一定是最優(yōu)的。723．增長(zhǎng)特征法所謂增長(zhǎng)特征法就是以研究動(dòng)態(tài)序列的增長(zhǎng)變化特征與增長(zhǎng)曲線的相應(yīng)特征為基礎(chǔ)的一種識(shí)別方法。其基本點(diǎn)就是選擇增長(zhǎng)曲線在理論上的變化規(guī)律與樣本序列的實(shí)際變化規(guī)律最接近的一種曲線作為選擇的最優(yōu)曲線。此法的應(yīng)用步驟如下：(1)計(jì)算樣本序列的滑動(dòng)平均值。采取這一步驟的主要目的是消除樣本序列的隨機(jī)干擾成分，以突出序列本身的固有趨勢(shì)?；瑒?dòng)平均值的計(jì)算公式是：2p+1稱為滑動(dòng)時(shí)段長(zhǎng)，其大小由實(shí)際經(jīng)驗(yàn)確定。73(2)計(jì)算序列的平均增長(zhǎng)。平均增長(zhǎng)的計(jì)算公式為當(dāng)直線方程中，b表示平均增長(zhǎng)，故它的計(jì)算公式是74(3)計(jì)算樣本序列的增長(zhǎng)特征。在§7.2-7.5節(jié)中，介紹了增長(zhǎng)曲線的不同類型及其特征，我們可以根據(jù)這些特征，識(shí)別樣本序列屬于何種增長(zhǎng)曲線類型。為消除隨機(jī)干擾的影響，序列值應(yīng)以經(jīng)過滑動(dòng)平均后的值代替，序列的增長(zhǎng)值應(yīng)以平均增長(zhǎng)值代替。根據(jù)§7.2-7.5介紹的增長(zhǎng)曲線特征，得到如下的增長(zhǎng)曲線模型識(shí)別表(見表7.6.1)。75表7.6.176例：已知某地的卷煙生產(chǎn)有如下的產(chǎn)量記錄(見表7.6.2)，識(shí)別其增長(zhǎng)曲線類型。表7.6.2解：采用增長(zhǎng)特征法進(jìn)行識(shí)別。首先，以三年滑動(dòng)平均值作值，然后以計(jì)算平均增長(zhǎng)，得到如表7.6.3所列的序列與。從表7.6.3可見，(5)，(7)，(8)三列均有線性變化的特征，那么選取何種曲線是最優(yōu)的選擇?通常的辦法是比較這三者的線性關(guān)系的密切程度，也就是分別計(jì)算出與時(shí)間t的線性相關(guān)系數(shù)，從中選取最大相關(guān)性函數(shù)。

77表7.6.378

4、差分法：利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達(dá)到平穩(wěn)序列。一階向后差分可以表示為：二階向后差分可以表示為：

79差分法識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)：差分特性使用模型一階差分相等或大致相等一次線性模型二階差分相等或大致相等二次線性模型三階差分相等或大致相等三次線性模型一階差分比率相等或大致相等指數(shù)曲線模型一階差分的一階比率相等或大致相等修正指數(shù)曲線模型對(duì)數(shù)一階差分比率相等或大致相等龔珀茲曲線80§7.7增長(zhǎng)型曲線模型的參數(shù)估計(jì)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)曲線模型參數(shù)作出估計(jì)的方法多種多樣，不同的模型有不同的方法。一般說來，對(duì)于多項(xiàng)式曲線、簡(jiǎn)單指數(shù)曲線和雙指數(shù)曲線，只要將曲線適當(dāng)變形，把它線性化，即可使用線性回歸分析方法，求得待估的參數(shù)值。而龔珀茲曲線、修正指數(shù)曲線和邏輯曲線的參數(shù)估計(jì)方法有所不同，現(xiàn)介紹如下。811．邏輯分析法所謂邏輯分析法，就是根據(jù)預(yù)測(cè)對(duì)象的自然發(fā)展規(guī)律，如某些食品消費(fèi)的已知物理與生理的常規(guī)界限，或資源限制與法律限制等，運(yùn)用邏輯分析的方法，以確定待估參數(shù)值。例如，制冷技術(shù)的極限參數(shù)是-273℃，家用縫紉機(jī)最多是一戶購(gòu)買一臺(tái)，其家庭普及率充其量是100％。2．三和法或分組法所謂三和法（或分組法）就是將整個(gè)增長(zhǎng)序列分為三個(gè)相等的時(shí)間周期，并對(duì)每一個(gè)時(shí)間周期的數(shù)據(jù)求和以估計(jì)參數(shù)。823．三點(diǎn)法所謂參數(shù)估計(jì)的三點(diǎn)法就是假定曲線通過已知的三個(gè)點(diǎn)，即增長(zhǎng)序列的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)。同時(shí)，要求相鄰兩點(diǎn)的時(shí)間距離相等?，F(xiàn)以邏輯曲線的參數(shù)估計(jì)為例介紹此法。設(shè)曲線模型為設(shè)增長(zhǎng)序列的始點(diǎn)為y0，中間點(diǎn)為y1，終點(diǎn)為y2，相鄰兩點(diǎn)的時(shí)間距離均為n。由于這三點(diǎn)均在增長(zhǎng)曲線上，故它們均滿足方程，由此得到83聯(lián)立求解上式，得：化簡(jiǎn)上述k的等式得到一個(gè)關(guān)于k的二次方程，求出k的兩個(gè)根，取其較合理者代入a，b的等式即得a，b的估計(jì)值。值得注意的是：利用三點(diǎn)法作參數(shù)估計(jì)時(shí)，只利用了增長(zhǎng)序列的三個(gè)值，它們只是整個(gè)序列的一部分信息，因此難免會(huì)產(chǎn)生一些誤差。844．參數(shù)估計(jì)的優(yōu)選法前面介紹的三和法和三點(diǎn)法，其優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用方便，計(jì)算程序簡(jiǎn)單，但估計(jì)精度比較差。應(yīng)用最小二乘法于上述參數(shù)估計(jì)雖然可以把精度提高，但若遇到非線性問題，計(jì)算程序就顯得十分繁瑣，不便于應(yīng)用。為此，介紹一種在優(yōu)選法的基礎(chǔ)上使用的最小二乘法，并稱這種估計(jì)方法為參數(shù)模型法。下面以龔珀資曲線為例介紹此法。設(shè)曲線模型為若通過某種方式能先估出參數(shù)k的值，則（7.7.1）式可以線性化。（7.7.1）85將模型變形為則有若令則模型化為線性模型（7.7.2）86因此，問題歸結(jié)為參數(shù)點(diǎn)k的選擇問題?，F(xiàn)在介紹選擇k的優(yōu)選方法（又稱0.618法）。優(yōu)選的標(biāo)準(zhǔn)是使預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值之差的平方和最小，即以殘差平方和最小為原則。這里的Zt含有參數(shù)點(diǎn)k，這是(7.7.2)與普通的線性方程不同的地方。但是，對(duì)于每個(gè)給定的k，(7.7.2)又是普通的線性方程，因而可以應(yīng)用線性最小二乘法求出待估參數(shù)A、B，從而可得到參數(shù)a、b的估計(jì)值。87§7.8包絡(luò)曲線法科學(xué)技術(shù)發(fā)展過程既有漸進(jìn)技術(shù)進(jìn)步的成分又有突變因素的影響，對(duì)于復(fù)雜的技術(shù)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)，采用指數(shù)曲線和生長(zhǎng)曲線均不能勝任，因?yàn)樗鼈儍H能預(yù)測(cè)技術(shù)發(fā)展的量變過程而不能預(yù)測(cè)出質(zhì)的飛躍。分析和預(yù)測(cè)復(fù)雜的技術(shù)系統(tǒng)，特別是從事長(zhǎng)遠(yuǎn)預(yù)測(cè)時(shí)，不僅要預(yù)測(cè)技術(shù)發(fā)展的量變過程，同時(shí)要預(yù)測(cè)技術(shù)發(fā)展的質(zhì)變過程。若用一條相切于這些S形生長(zhǎng)曲線的平滑的包絡(luò)線來描述這一過程，則可以得到表示一種技術(shù)特性發(fā)展總體趨勢(shì)的曲線，這就是包絡(luò)曲線法。88一、概念生長(zhǎng)曲線描述一項(xiàng)單元技術(shù)的發(fā)展過程，而包絡(luò)曲線（Envelopcurve）描述整個(gè)技術(shù)系統(tǒng)的發(fā)展過程。一項(xiàng)單元技術(shù)有功能特性上限，而由一系列先后相繼的單元技術(shù)構(gòu)成的整個(gè)技術(shù)系統(tǒng)，不會(huì)因單元技術(shù)達(dá)到性能上限而停止發(fā)展。例如，把計(jì)算機(jī)作為整個(gè)技術(shù)系統(tǒng)，則分別以電子管→晶體管→中小規(guī)模集成電路到大規(guī)模集成電路作為邏輯元件的相應(yīng)計(jì)算機(jī)就是它的單元技術(shù)。隨著單元技術(shù)的更替，計(jì)算機(jī)技術(shù)性能在不斷提高。由于單元技術(shù)的連續(xù)更替，在時(shí)間—特性圖上表現(xiàn)為一系列的S曲線，隨時(shí)間的推移，后一條S曲線的性能比前一條S曲線的性能有所提高。如果把這一系列S曲線邊成一條包絡(luò)曲線，其形狀也往往是一條S曲線。（如圖7.8.1）89包絡(luò)曲線有可能揭示預(yù)測(cè)變量的總趨勢(shì)，估計(jì)預(yù)測(cè)變量的可能極限，描述其極限的性質(zhì)。同時(shí)包絡(luò)曲線往往要越過現(xiàn)有技術(shù)的極限參數(shù)，預(yù)見或揭示即將出現(xiàn)的新技術(shù)。因此，它不僅可以用于預(yù)測(cè)漸變過程，更主要的是可以用來預(yù)測(cè)科學(xué)和技術(shù)發(fā)展的突變，即跳躍式發(fā)展過程，以及揭示原理上新的發(fā)明等。