07趨勢外推預(yù)測方法

第七章趨勢外推預(yù)測方法§7.1趨勢外推預(yù)測法概述§7.2多項式曲線法§7.3指數(shù)曲線法§7.4修正指數(shù)曲線法和雙指數(shù)曲線法§7.5生長曲線法§7.6增長型曲線模型的識別方法§7.7增長型曲線模型的參數(shù)估計§7.8包絡(luò)曲線法1§7.1趨勢外推預(yù)測法概述統(tǒng)計資料表明，大量社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展主要是漸進(jìn)型的，其發(fā)展相對于時間具有一定的規(guī)律性。趨勢外推預(yù)測方法是根據(jù)事物的歷史和現(xiàn)實數(shù)據(jù)，尋求事物隨時間推移而發(fā)展變化的規(guī)律，從而推測其未來狀況的一種常用的預(yù)測方法。趨勢外推法的假設(shè)條件是：

(1)假設(shè)事物發(fā)展過程沒有跳躍式變化，即事物的發(fā)展變化是漸進(jìn)型的。

(2)假設(shè)所研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、功能等基本保持不變，即假定根據(jù)過去資料建立的趨勢外推模型能適合未來，能代表未來趨勢變化的情況。2由以上兩個假設(shè)條件可知，趨勢外推預(yù)測法是事物發(fā)展?jié)u進(jìn)過程的一種統(tǒng)計預(yù)測方法。簡言之，就是運用一個數(shù)學(xué)模型，擬合一條趨勢線，然后用這個模型外推預(yù)測未來時期事物的發(fā)展。趨勢外推預(yù)測法主要利用描繪散點圖的方法(圖形識別)和差分法計算進(jìn)行模型選擇。主要優(yōu)點是：可以揭示事物發(fā)展的未來，并定量地估價其功能特性。趨勢外推預(yù)測法比較適合中、長期新產(chǎn)品預(yù)測，要求有至少5年的數(shù)據(jù)資料。3趨勢外推法首先由R.賴恩（Rhyne）用于科技預(yù)測。他認(rèn)為，應(yīng)用趨勢外推法進(jìn)行預(yù)測，主要包括以下6個步驟：

（1）選擇預(yù)測參數(shù)；

（2）收集必要的數(shù)據(jù)；

（3）擬合曲線；

（4）趨勢外推；

（5）預(yù)測說明；

（6）研究預(yù)測結(jié)果在制訂規(guī)劃和決策中的應(yīng)用。趨勢外推法是在對研究對象過去和現(xiàn)在的發(fā)展作了全面分析之后，利用某種模型描述某一參數(shù)的變化規(guī)律，然后以此規(guī)律進(jìn)行外推。為了擬合數(shù)據(jù)點，實際中最常用的是一些比較簡單的函數(shù)模型，如線性模型、指數(shù)曲線、生長曲線、包絡(luò)曲線等。4趨勢外推預(yù)測可以分為兩大類：時間序列趨勢外推預(yù)測增長型曲線外推預(yù)測本章主要講述增長型曲線外推預(yù)測，并對時間序列趨勢外推預(yù)測進(jìn)行簡單回顧（§7.1）。時間序列趨勢外推預(yù)測又可以分為：樣本序列具有水平趨勢的外推預(yù)測法樣本序列具有非水平趨勢的外推預(yù)測法樣本序列具有線性趨勢的外推預(yù)測法樣本序列具有線性趨勢和季節(jié)波動的外推預(yù)測法51、樣本序列具有水平趨勢的外推預(yù)測法（1）樸素預(yù)測法（2）平均數(shù)預(yù)測法2、樣本序列具有非水平趨勢的外推預(yù)測法（1）加權(quán)移動平均法式中，為加權(quán)因子，滿足6（2）一次指數(shù)平滑預(yù)測法3、樣本序列具有線性趨勢的外推預(yù)測法（1）二次移動平均值預(yù)測法（即趨勢移動平均法）7(2)二次指數(shù)平滑預(yù)測法84、樣本序列具有線性趨勢和季節(jié)波動的外推預(yù)測法經(jīng)濟(jì)時間序列一般可以分解為四個因素：長期趨勢T、周期變動C、季節(jié)因素S和隨機(jī)因素I，并有如下三種模型：乘法模型：Y=TCSI

加法模型：T=T+C+S+I

混合模型：Y=TC+SI

下面分別介紹加法型和乘法型序列的趨勢外推預(yù)測方法。9（1）加法型序列的外推預(yù)測法假設(shè)樣本序列為序列yt是加法型，即10求yn+T的預(yù)測值，預(yù)測步驟如下：第一步，對樣本序列做時段長為3的滑動平均，消去隨機(jī)干擾，記滑動平均后的序列為第二步，對求出趨勢線第三步，將序列yt消除線性趨勢因素的影響，求出消去趨勢影響后的序列值Mt

第四步，將Mt值按季節(jié)次序重排，如下表1所示，在此假定t=1代表春季，n=20.11對表7.1.1各列算出平均值，依序記為，分別表示樣本序列的季節(jié)指數(shù)。表7.1.112第五步，對樣本季節(jié)指數(shù)進(jìn)行檢驗，若，則符合季節(jié)指數(shù)的條件，否則，則需對樣本季節(jié)指數(shù)進(jìn)行修正。

修正的方法是：若，則將每個減去3/4，即令標(biāo)準(zhǔn)化的季節(jié)指數(shù)為Si：那么有第六步，運用已求得的Tt，Si即可進(jìn)行預(yù)測，由于是不可預(yù)測的隨機(jī)干擾，由此得到13例：某市的啤酒銷售量有如表7.1.2的數(shù)據(jù)序列，試求出第21，22，23，24季度的啤酒銷售量的預(yù)測值。表7.1.214解：第一步，按滑動時段長N=3，求出序列的滑動平均值，削去隨機(jī)干擾，顯出趨勢求出趨勢線的方程第二步，計算，并將Mt按季節(jié)排列，如表7.1.3所示，由于，故需對進(jìn)行修正，修正后的，即第三步，進(jìn)行預(yù)測，15表7.1.316（2）乘法型序列的外推預(yù)測法

設(shè)樣本序列為，外推預(yù)測公式可表示為現(xiàn)介紹求估計值的傳統(tǒng)分解方法。第一步，對yt序列值分解出長期趨勢因素。假設(shè)季節(jié)長度為4，只要將序列作滑動長度為4的滑動平均時，即可消除隨機(jī)干擾和季節(jié)波動影響。記滑動平均值為則滑動平均后的序列，即為線性趨勢因素，故有（2-1）（2-2）17第二步，對yt分解出季節(jié)因素與隨機(jī)因素，根據(jù)以去除yt，得到該式只含季節(jié)因素和隨機(jī)因素兩個分量。第三步，從中分解出季節(jié)因素St。由于，故可采用平均的方法可以消除隨機(jī)性影響。但簡單的平均可能把季節(jié)影響也消除掉，因此，為保留季節(jié)性影響，可將序列(2-3)式按春、夏、秋、冬順序逐年逐季排列，然后，將各年相同季節(jié)的相加起來進(jìn)行平均，這就達(dá)到了保留季節(jié)性，消除隨機(jī)性的目的。

（2-3）18表7.1.4例如，有表7.1.4的數(shù)值表，將該表的春季這一欄的值相加求平均值，就得到了消除隨機(jī)性的春季季節(jié)指數(shù)。類似可以求出夏、秋、冬各季的季節(jié)指數(shù)。分別記為：將這些值相加，得到，與標(biāo)準(zhǔn)的季節(jié)指數(shù)和有差異，這是由于樣本的隨機(jī)性所致。為使所求的季節(jié)指數(shù)比較接近標(biāo)準(zhǔn)的季節(jié)指數(shù)，必須對上述樣本季節(jié)指數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使調(diào)整后的季節(jié)指數(shù)總和恰為400。通過調(diào)整，季節(jié)指數(shù)的含義更加明顯了。19第四步，運用(2-2)式的滑動平均后得到的數(shù)據(jù)序列，建立線性趨勢方程，記為第五步，根據(jù)第三、四兩步得到的季節(jié)指數(shù)St和Tt，即可按要求進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測公式是20例：某地某種服裝的銷售量有下述季度銷售數(shù)據(jù)，見表7.1.5。根據(jù)表5的數(shù)據(jù)，繪制出銷售量依時間變化的圖形(見圖7.1.1)。從圖形可以明顯地看出，序列呈季節(jié)性變化，季節(jié)長度為4。此外，序列有線性長期趨勢，按乘法型序列外推預(yù)測法的基本原理，其模式為試求2000年春、夏、秋、冬各季某種服裝的銷售量預(yù)測值。21表7.1.522圖7.1.123解：第一步，根據(jù)表7.1.5的數(shù)據(jù)，進(jìn)行滑動時段長為4的滑動平均，得到如表7.1.6的滑動平均值。這些數(shù)值消除了季節(jié)波動與隨機(jī)干擾的影響，顯示出序列的趨勢變化，見表7.1.6中Tt列中的數(shù)據(jù)。第二步，將表7.1.6中yt列中的數(shù)據(jù)除以Tt列中的數(shù)據(jù)，即得到列的數(shù)據(jù)，這表示已將從yt中分離出來。第三步，從序列中消除隨機(jī)性的影響，分離出季節(jié)因素。24表7.1.625表7.1.726將表7.1.6中列的數(shù)據(jù)，按年、季重排，如表7.1.7，然后，分別計算各季度的均值，這樣便消去了隨機(jī)性，保留了季節(jié)性。各列的平均值，即為各季的季節(jié)指數(shù)，又稱為樣本季節(jié)指數(shù)，對各樣本季節(jié)指數(shù)求總得與標(biāo)準(zhǔn)季節(jié)指數(shù)有差異，因此，要作必要的調(diào)整，調(diào)整的方法是將乘以修正系數(shù)由此，得到調(diào)整后的季節(jié)指數(shù)為27第四步，求出趨勢直線方程參數(shù)的求估，可用目估法或最少二乘法求出。用目估法求得，則有第五步，進(jìn)行預(yù)測，2000年春季相當(dāng)于第37季度，由此得到2000年各季度某種服裝的銷售量預(yù)測值為28時間序列的基本特征是：其數(shù)值是依時間的變化而變化，起伏交替，有起有伏的，有些有某種變化趨勢。增長型曲線是描繪技術(shù)或經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的某些指標(biāo)依時間變化而呈現(xiàn)出增長(下降)規(guī)律性的一種曲線。在取得技術(shù)、經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的樣本序列之后，通過建模，進(jìn)行外推預(yù)測，是一種常用的預(yù)測方法。如新技術(shù)、新產(chǎn)品的發(fā)展和更新?lián)Q代過程，需求增長規(guī)律等均可以增長型曲線來描繪。從第二節(jié)開始將介紹增長曲線的基本類型和特征，增長曲線模型的識別方法及其參數(shù)估計，最后給出預(yù)測的案例。29

§7.2多項式曲線法這種增長曲線是一些不同次數(shù)的多項式。一般的k次多項式為：上列多項式中，均是模型參數(shù)，t是時間變量，yt是經(jīng)濟(jì)指標(biāo)值。若k不超過3，則參數(shù)有明顯的經(jīng)濟(jì)意義，a0為t=0時序列的初始值，a1可解釋為增長的變化速度，a2為加速度，a3為加速度的變化率。301、若增長曲線是一次多項式，則由是常量，表明yt依時間變化過程是一個均衡發(fā)展過程。2、若增長曲線為二次多項式，其圖像是二次拋物線。它分為兩支，一支增長為正，一支增長為負(fù)。如圖7.2.1所示。因為則，ut是一直線方程，相應(yīng)地是一常數(shù)，說明它的二階增長與時間變化無關(guān)。31圖7.2.1（a）（b）32若以一階差分代替一階微分，二階差分代替二階微分，并記類似地以三階差分代替三階微分，那么，對三次多項式，就得到由此得到以下基本規(guī)律：若增長曲線為一次曲線，則一階差分為常量；若為二次拋物線，則二階差分為常量，余此類推。33§7.3指數(shù)曲線法許多系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，如反映技術(shù)進(jìn)步或經(jīng)濟(jì)增長的時間序列數(shù)據(jù)，在其未達(dá)到飽和狀態(tài)之前的成長期內(nèi)，往往遵循指數(shù)曲線增長規(guī)律。因此，對發(fā)展中的事物，可以考慮用指數(shù)曲線進(jìn)行預(yù)測。指數(shù)曲線預(yù)測模型為：其中，a，b為模型參數(shù)；t為時間變量；yt為經(jīng)濟(jì)目標(biāo)值。341、對于模型當(dāng)a>0時，若b>0，那么增長曲線yt隨著t的增加無限制的增大；若b<0，那么增長曲線yt隨著t的增加而下降；當(dāng)t趨向無窮時，yt趨向零。yt以yt=0為其漸近線。如圖7.3.1所示。其特征為：（1）其本質(zhì)是具有不變增長速度的線性型增長曲線。對模型兩邊取對數(shù)，即得：令則（2）是一個常數(shù)。352、對于模型當(dāng)a>0時，若b>1，那么增長曲線yt隨著t的增加無限制的增大；若0<b<1，那么增長曲線yt隨著t的增加而下降；當(dāng)t趨向無窮時，yt趨向零。yt以yt=0為其漸近線。如下圖示：其特征為：（1）其本質(zhì)是具有不變增長速度的線性型增長曲線。（2）

是一個常數(shù)。36或者，判斷依據(jù)可為：當(dāng)時間序列各期觀測值的一階差比率大致相等，就可以用此指數(shù)曲線進(jìn)行預(yù)測。指數(shù)曲線模型差分計算表見下表：37例7.3.1：某商品1995—2003年投入市場以來，社會總需求量統(tǒng)計資料如表7.3.2所示，試預(yù)測該商品2004年的社會總需求量。38解：第一步，選擇預(yù)測模型。(1)描繪散點圖，根據(jù)散點圖分布來選擇模型(見圖7.3.2)?？梢猿醪酱_定選用指數(shù)曲線預(yù)測模型：39(2)計算一階差比率(如表7.3.3所示)，并結(jié)合散點圖最后確定選用哪一種模型。由表7.3.3可知，觀測值yt的一階差比率大致相等，符合指數(shù)曲線模型的數(shù)字特征。通過以上分析可知，所給統(tǒng)計數(shù)據(jù)的圖形和數(shù)字特征都與指數(shù)曲線模型相符，所以，可選用模型40年份199519961997199819992000200120022003時序（t）1234567897.117.606.116.617.117.618.058.619.11表7.3.4觀測值數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換表經(jīng)計算后得：第二步，求模型參數(shù)。先對觀測值yt的數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，使其滿足其變換數(shù)據(jù)如表7.3.4所示。41根據(jù)直線模型，用OLS法可求得：所求指數(shù)模型為：第三步，預(yù)測2004年的需求量為42§7.4修正指數(shù)曲線法和雙指數(shù)曲線法一、修正指數(shù)曲線法采用指數(shù)曲線外推預(yù)測，存在預(yù)測值隨著時間推移無限增大的問題。這與客觀實際是不一致的，因為任何事物的發(fā)展都有其一定的限度，不可能無限增長。例如，一種商品的銷售量，在其市場成長期內(nèi)可能會按指數(shù)曲線增長。但隨著時間的推移，其增長的趨勢可能會減緩以至于停滯。對于這種情況，可以考慮改用修正指數(shù)曲線進(jìn)行預(yù)測。修正指數(shù)曲線預(yù)測模型為（7.4.1）式中：a，b，c均為待定參數(shù)。43式（7.4.1）描繪了發(fā)展過程有飽和現(xiàn)象的一種增長規(guī)律，其中a為飽和值或極限值。

y=a為yt的漸近線，當(dāng)b>0，yt以a為下漸近線；當(dāng)b<0，yt以a為上漸近線。參數(shù)c可能大于1，也可能小于1，但大于0。這種曲線的主要特征是：線性地變化。對式（7.4.1）兩邊對t求微商，則有令，則由此可見是t的線性函數(shù)。44修正指數(shù)曲線模型差分計算表見表7.4.1。45為求出a，b和c三個參數(shù)，可應(yīng)用分組法，通常的做法是：

先把整個時間序列數(shù)據(jù)分成三組，使每組數(shù)據(jù)個數(shù)相等，然后通過各組數(shù)據(jù)之和求出參數(shù)的具體數(shù)值。設(shè)數(shù)據(jù)序列（能夠被3整除）為：將其分成每組數(shù)據(jù)個數(shù)相等的3組

Ⅰ：

Ⅱ：

Ⅲ：各組數(shù)據(jù)之和分別記為：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。46將第Ⅰ組數(shù)據(jù)分別代入式（7.4.1），有對上述各式兩端求和，得47同理，可得48通過求Ⅱ-Ⅰ、Ⅲ-Ⅱ，并令二者相除，整理得c、b、a為49例7.4.1：某商品1995—2003年的銷售量資料如表7.4.2所示，試預(yù)測2004年的銷售量。解：

第一步，選擇模型。

(1)描散點圖，初步確定模型形式。由散點圖7.4.2可以初步確定選用修正指數(shù)曲線預(yù)測模型50(2)計算一階差比率(如表7.4.3所示)。由表7.4.3可知，yt的一階差比率大致相等。所以，結(jié)合散點圖分析，最后確定選用修正指數(shù)曲線模型進(jìn)行預(yù)測比較適宜。第二步，求模型的參數(shù)(計算表如表7.4.4所示)。5152由表7.4.4有所求模型為第三步，進(jìn)行預(yù)測。即53二、雙指數(shù)曲線法雙指數(shù)曲線模型其中a、b、c均為參數(shù)，t為時間變量。將上式兩邊取對數(shù)，得到令則有故稱此種曲線為對數(shù)拋物線。由(7.4.2)兩邊對t求微商，得到若令，則得到雙指數(shù)曲線的增長特征是呈線性變化。（7.4.2）（7.4.3）54§7.5生長曲線法生物的生長過程一般經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展、成熟到衰老幾個階段，在不同的生長階段，生物生長的速度也不一樣。發(fā)生初期成長速度較慢，由慢到快；發(fā)展時期生長速度則較快；成熟時期，生長速度達(dá)到最快而后逐漸變慢；衰老期則幾乎停止生長。指數(shù)曲線模型不能預(yù)測接近極限值時生物生長的特性值，因為趨近極限值時，生物生長特性值已不按指數(shù)規(guī)律增長。描述生物生長過程可以考慮運用形狀近似于S型的曲線(稱為S曲線)。本節(jié)主要介紹兩種最為常用的生長曲線，即龔珀茲曲線和皮爾曲線（也叫邏輯增長曲線）。55一、龔珀茲曲線模型及其應(yīng)用龔珀茲曲線和皮爾曲線，均屬于生長曲線回歸預(yù)測方法。龔珀茲曲線多用于新產(chǎn)品的研制、發(fā)展、成熟和衰退分析。工業(yè)產(chǎn)品壽命一般可分為四個時期：一是引入期；二是成長期；三是成熟期；四是衰退期。龔珀茲曲線特別適宜于對處在成熟期的商品進(jìn)行預(yù)測。龔珀茲曲線預(yù)測模型為（7.5.1）式中：a，b，k——待定參數(shù)，k又稱極限參數(shù)，t為時間變量。隨a，b取值的不同，曲線有四種類型，如圖7.5.1所示。56圖7.5.1

龔珀茲曲線一般形狀57對（7.5.1）式兩邊取對數(shù)，得到令則可見，它是一種修正的指數(shù)曲線，其參數(shù)k1，a1，b的求法同前，可用分組法求得。（7.5.2）（7.5.3）581、曲線的性質(zhì)可通過對（7.5.2）式求一階和二階導(dǎo)數(shù)得到：由此可知：當(dāng)b>1，>0時，有均大于零，所以與均是增函數(shù)，增長曲線是yt是凸的。參見圖7.5.1中的曲線Ⅳ，它說明了預(yù)測目標(biāo)值隨時間的延長而不斷地增加。當(dāng)1>b>0，<0時，有>0，<0，這說明了是時間t的增函數(shù)，但則是減函數(shù)。由此可知，目標(biāo)值y雖然隨著時間的推移仍保持增長，但增長的速度卻在下降，因此，y的圖像時凹的，參見圖7.5.1中的曲線Ⅰ。59當(dāng)b>1，<0時，有<0，<0，說明與均隨t的增大而下降，因此，y隨t的增大而不斷下降，參見圖7.5.1中的曲線Ⅱ。當(dāng)0<b<1，>0時，有<0，>0，從而不斷下降，其圖像如圖7.5.1中的曲線Ⅲ所示。2、龔珀茲曲線的增長變化特征由(7.5.1)式兩邊對t求微商，得令，代入上式，并兩邊取對數(shù)，即得是t的線性函數(shù)。60龔珀茲曲線對數(shù)一階差的比率表見表7.5.2，當(dāng)一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)對數(shù)一階差的比率大致相等時，就可選用龔珀茲曲線進(jìn)行預(yù)測。

61例7.5.1：某公司1995—2003年的實際銷售額資料如表7.5.1所示。試?yán)谬忕昶澢€預(yù)測2004年的銷售額。62第一步，計算參數(shù)k，a和b。即第二步，把k，a和b代入公式，即可得預(yù)測模型第三步，進(jìn)行預(yù)測，即63二、皮爾曲線模型（邏輯增長曲線模型）皮爾曲線多用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計，也適用于對產(chǎn)品生命周期進(jìn)行分析預(yù)測，尤其適用于處在成熟期的商品的市場需求飽和量(或稱市場最大潛力)的分析和預(yù)測。皮爾曲線函數(shù)模型為其中k，a，b是參數(shù)，k稱為極限參數(shù)，它意味著yt處于飽和狀態(tài)時的值。其圖像如圖7.5.2所示。（7.5.4）64圖7.5.21、曲線性質(zhì)如圖7.5.2這種曲線以其轉(zhuǎn)折點為中心，兩邊是對稱數(shù)，當(dāng)；當(dāng)。因此它有上、下兩條漸近線y=k與y=0。圖7.5.2描繪了這樣一種發(fā)展過程：初始階段發(fā)展是緩慢的，接著是急劇的增長階段，然后是一個平穩(wěn)的發(fā)展時期，最后達(dá)到飽和狀態(tài)。這是許多技術(shù)的發(fā)展或某些產(chǎn)品銷售特性的表現(xiàn)形式。例如，企業(yè)集團(tuán)形成發(fā)展行為，技術(shù)創(chuàng)新擴(kuò)散的基本規(guī)律，電視機(jī)、縫紉機(jī)的普及過程等均遵從這種S型曲線的增長規(guī)律。

652、邏輯曲線的增長變化特征為求出邏輯曲線的增長變化特征，首先對(7.5.4)求導(dǎo)數(shù)，得到從而令，對上式兩邊取對數(shù)，得到由此可見，是t的線性函數(shù)。66參數(shù)k，a，b的求?。鹤畛Ｓ玫姆椒ㄊ堑箶?shù)和法。對式(7.5.4)兩端取倒數(shù)，得式(7.5.5)在形式上已與式(7.2.1)表示的修正指數(shù)曲線相同。用倒數(shù)和法確定參數(shù)k，a，b的具體步驟為：(1)收集的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)的樣本數(shù)要能夠被3整除，設(shè)為(2)將收集到的數(shù)據(jù)分成每組數(shù)據(jù)個數(shù)相等的3組（7.5.5）Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：67(3)對各組中的樣本數(shù)據(jù)yt取倒數(shù)，用前述分組法步驟可進(jìn)一步求得k，a，b的值。Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：記：則：68生長曲線模型（Growthcurvemodels）可以描述事物發(fā)生、發(fā)展和成熟的全過程，是情報研究中常用的一種方法。生物群體的生長，例如人口的增加、細(xì)胞的繁延，開始幾乎都是按指數(shù)函數(shù)的規(guī)律增長的。在達(dá)到一定的生物密度以后，由于自身和環(huán)境的制約作用，逐漸趨于一穩(wěn)定狀態(tài)。通過對技術(shù)發(fā)展過程的研究，發(fā)現(xiàn)也具有類似的規(guī)律。由于技術(shù)性能的提高與生物群體的生長存在著這種非嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念愃?，因而可用生長曲線模擬技術(shù)的發(fā)展過程。生長曲線法幾乎可用來研究每個技術(shù)領(lǐng)域的發(fā)展，它不僅可以描述技術(shù)發(fā)展的基本傾向，而更重要的是，它可以說明一項技術(shù)的增長由高速發(fā)展變?yōu)榫徛l(fā)展的轉(zhuǎn)折時期，為規(guī)劃決策確定開發(fā)新技術(shù)的恰當(dāng)時機(jī)提供依據(jù)。有些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象也符合或近似生長曲線的變化規(guī)律，因而它也完全可以用來研究經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的問題。69§7.6增長型曲線模型的識別方法在實際預(yù)測工作中，通過調(diào)查收集到按時間序列變化的系列數(shù)據(jù)之后，如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)，建立增長曲線模型?即在上述6種曲線中，選擇哪一種模型最合適?這就是增長曲線模型的識別問題。下面介紹幾種識別方法。701．目估法（或圖形識別法）這種方法的基本做法是：將調(diào)查觀測得到的數(shù)據(jù)點繪在以時間t為橫軸，觀測值或它的對數(shù)值為縱軸的坐標(biāo)紙上，根據(jù)其變化動態(tài)構(gòu)成的圖像，選擇合適的曲線。一般說來，若動態(tài)序列接近一條直線，則選配直線模型；若其對數(shù)值在半對數(shù)坐標(biāo)紙上構(gòu)成的圖像接近一直線則選配簡單指數(shù)曲線。這種直觀方法的優(yōu)點是：簡單方便，缺點是：主觀因素較多，而且在很大程度上依賴于圖形的大小。但是，在序列的發(fā)展趨勢及其構(gòu)造比較簡單的情況下，目估法也常常能得到比較滿意的結(jié)果。712．殘差平方和最小的識別方法這種方法是以殘差平方和最小作為識別增長曲線模型的最優(yōu)準(zhǔn)則。即：最小。這種方法看起來是比較科學(xué)的，排除了目估法中的主觀因素，但在多項式曲線的模型識別中，用這種方法識別的曲線就不一定是“最優(yōu)”的。因為，它的“最優(yōu)”，只能說明歷史數(shù)據(jù)的擬合情況，而不能說明它的未來發(fā)展趨勢，因此，這種曲線在預(yù)測的前提下不一定是最優(yōu)的。723．增長特征法所謂增長特征法就是以研究動態(tài)序列的增長變化特征與增長曲線的相應(yīng)特征為基礎(chǔ)的一種識別方法。其基本點就是選擇增長曲線在理論上的變化規(guī)律與樣本序列的實際變化規(guī)律最接近的一種曲線作為選擇的最優(yōu)曲線。此法的應(yīng)用步驟如下：(1)計算樣本序列的滑動平均值。采取這一步驟的主要目的是消除樣本序列的隨機(jī)干擾成分，以突出序列本身的固有趨勢?；瑒悠骄档挠嬎愎绞牵?p+1稱為滑動時段長，其大小由實際經(jīng)驗確定。73(2)計算序列的平均增長。平均增長的計算公式為當(dāng)直線方程中，b表示平均增長，故它的計算公式是74(3)計算樣本序列的增長特征。在§7.2-7.5節(jié)中，介紹了增長曲線的不同類型及其特征，我們可以根據(jù)這些特征，識別樣本序列屬于何種增長曲線類型。為消除隨機(jī)干擾的影響，序列值應(yīng)以經(jīng)過滑動平均后的值代替，序列的增長值應(yīng)以平均增長值代替。根據(jù)§7.2-7.5介紹的增長曲線特征，得到如下的增長曲線模型識別表(見表7.6.1)。75表7.6.176例：已知某地的卷煙生產(chǎn)有如下的產(chǎn)量記錄(見表7.6.2)，識別其增長曲線類型。表7.6.2解：采用增長特征法進(jìn)行識別。首先，以三年滑動平均值作值，然后以計算平均增長，得到如表7.6.3所列的序列與。從表7.6.3可見，(5)，(7)，(8)三列均有線性變化的特征，那么選取何種曲線是最優(yōu)的選擇?通常的辦法是比較這三者的線性關(guān)系的密切程度，也就是分別計算出與時間t的線性相關(guān)系數(shù)，從中選取最大相關(guān)性函數(shù)。

77表7.6.378

4、差分法：利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達(dá)到平穩(wěn)序列。一階向后差分可以表示為：二階向后差分可以表示為：

79差分法識別標(biāo)準(zhǔn)：差分特性使用模型一階差分相等或大致相等一次線性模型二階差分相等或大致相等二次線性模型三階差分相等或大致相等三次線性模型一階差分比率相等或大致相等指數(shù)曲線模型一階差分的一階比率相等或大致相等修正指數(shù)曲線模型對數(shù)一階差分比率相等或大致相等龔珀茲曲線80§7.7增長型曲線模型的參數(shù)估計根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)對曲線模型參數(shù)作出估計的方法多種多樣，不同的模型有不同的方法。一般說來，對于多項式曲線、簡單指數(shù)曲線和雙指數(shù)曲線，只要將曲線適當(dāng)變形，把它線性化，即可使用線性回歸分析方法，求得待估的參數(shù)值。而龔珀茲曲線、修正指數(shù)曲線和邏輯曲線的參數(shù)估計方法有所不同，現(xiàn)介紹如下。811．邏輯分析法所謂邏輯分析法，就是根據(jù)預(yù)測對象的自然發(fā)展規(guī)律，如某些食品消費的已知物理與生理的常規(guī)界限，或資源限制與法律限制等，運用邏輯分析的方法，以確定待估參數(shù)值。例如，制冷技術(shù)的極限參數(shù)是-273℃，家用縫紉機(jī)最多是一戶購買一臺，其家庭普及率充其量是100％。2．三和法或分組法所謂三和法（或分組法）就是將整個增長序列分為三個相等的時間周期，并對每一個時間周期的數(shù)據(jù)求和以估計參數(shù)。823．三點法所謂參數(shù)估計的三點法就是假定曲線通過已知的三個點，即增長序列的始點、中間點和終點。同時，要求相鄰兩點的時間距離相等?，F(xiàn)以邏輯曲線的參數(shù)估計為例介紹此法。設(shè)曲線模型為設(shè)增長序列的始點為y0，中間點為y1，終點為y2，相鄰兩點的時間距離均為n。由于這三點均在增長曲線上，故它們均滿足方程，由此得到83聯(lián)立求解上式，得：化簡上述k的等式得到一個關(guān)于k的二次方程，求出k的兩個根，取其較合理者代入a，b的等式即得a，b的估計值。值得注意的是：利用三點法作參數(shù)估計時，只利用了增長序列的三個值，它們只是整個序列的一部分信息，因此難免會產(chǎn)生一些誤差。844．參數(shù)估計的優(yōu)選法前面介紹的三和法和三點法，其優(yōu)點是應(yīng)用方便，計算程序簡單，但估計精度比較差。應(yīng)用最小二乘法于上述參數(shù)估計雖然可以把精度提高，但若遇到非線性問題，計算程序就顯得十分繁瑣，不便于應(yīng)用。為此，介紹一種在優(yōu)選法的基礎(chǔ)上使用的最小二乘法，并稱這種估計方法為參數(shù)模型法。下面以龔珀資曲線為例介紹此法。設(shè)曲線模型為若通過某種方式能先估出參數(shù)k的值，則（7.7.1）式可以線性化。（7.7.1）85將模型變形為則有若令則模型化為線性模型（7.7.2）86因此，問題歸結(jié)為參數(shù)點k的選擇問題?，F(xiàn)在介紹選擇k的優(yōu)選方法（又稱0.618法）。優(yōu)選的標(biāo)準(zhǔn)是使預(yù)測值與實測值之差的平方和最小，即以殘差平方和最小為原則。這里的Zt含有參數(shù)點k，這是(7.7.2)與普通的線性方程不同的地方。但是，對于每個給定的k，(7.7.2)又是普通的線性方程，因而可以應(yīng)用線性最小二乘法求出待估參數(shù)A、B，從而可得到參數(shù)a、b的估計值。87§7.8包絡(luò)曲線法科學(xué)技術(shù)發(fā)展過程既有漸進(jìn)技術(shù)進(jìn)步的成分又有突變因素的影響，對于復(fù)雜的技術(shù)系統(tǒng)的預(yù)測，采用指數(shù)曲線和生長曲線均不能勝任，因為它們僅能預(yù)測技術(shù)發(fā)展的量變過程而不能預(yù)測出質(zhì)的飛躍。分析和預(yù)測復(fù)雜的技術(shù)系統(tǒng)，特別是從事長遠(yuǎn)預(yù)測時，不僅要預(yù)測技術(shù)發(fā)展的量變過程，同時要預(yù)測技術(shù)發(fā)展的質(zhì)變過程。若用一條相切于這些S形生長曲線的平滑的包絡(luò)線來描述這一過程，則可以得到表示一種技術(shù)特性發(fā)展總體趨勢的曲線，這就是包絡(luò)曲線法。88一、概念生長曲線描述一項單元技術(shù)的發(fā)展過程，而包絡(luò)曲線（Envelopcurve）描述整個技術(shù)系統(tǒng)的發(fā)展過程。一項單元技術(shù)有功能特性上限，而由一系列先后相繼的單元技術(shù)構(gòu)成的整個技術(shù)系統(tǒng)，不會因單元技術(shù)達(dá)到性能上限而停止發(fā)展。例如，把計算機(jī)作為整個技術(shù)系統(tǒng)，則分別以電子管→晶體管→中小規(guī)模集成電路到大規(guī)模集成電路作為邏輯元件的相應(yīng)計算機(jī)就是它的單元技術(shù)。隨著單元技術(shù)的更替，計算機(jī)技術(shù)性能在不斷提高。由于單元技術(shù)的連續(xù)更替，在時間—特性圖上表現(xiàn)為一系列的S曲線，隨時間的推移，后一條S曲線的性能比前一條S曲線的性能有所提高。如果把這一系列S曲線邊成一條包絡(luò)曲線，其形狀也往往是一條S曲線。（如圖7.8.1）89包絡(luò)曲線有可能揭示預(yù)測變量的總趨勢，估計預(yù)測變量的可能極限，描述其極限的性質(zhì)。同時包絡(luò)曲線往往要越過現(xiàn)有技術(shù)的極限參數(shù)，預(yù)見或揭示即將出現(xiàn)的新技術(shù)。因此，它不僅可以用于預(yù)測漸變過程，更主要的是可以用來預(yù)測科學(xué)和技術(shù)發(fā)展的突變，即跳躍式發(fā)展過程，以及揭示原理上新的發(fā)明等。