微積分課件：5-2 可分離變量的方程

1舉例小結(jié)思考題作業(yè)5.2可分離變量的微分方程第5章微分方程應(yīng)用2如果一階微分方程等式的每一邊僅是一個變量的函數(shù)與

可分離變量的方程或可以寫成的形式,易于化為形式特點這個變量的微分之積.兩端積分可得通解.一、舉例3可分離變量的方程求通解的步驟是:分離變量,兩邊積分其中C為任意常數(shù).就是方程的通解分離變量法.1.2.由上式確定的函數(shù)(隱式通解).這種解方程的方法稱為將上式可分離變量方程的初值問題的解為4例求方程的通解.解分離變量兩端積分為方程的通解.隱式通解5

考研數(shù)學(xué)三,四(4分)解練習(xí)分離變量兩端積分可分離變量方程為方程的通解.所以6考研數(shù)學(xué)一,二填空4分練習(xí)解兩邊積分分離變量此方程為可分離變量方程得通解為7注應(yīng)用問題建立微分方程的方法:方法大體有兩種第一種方法常見的物理定律有力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、直接利用物理定律、經(jīng)濟學(xué)知識或幾何條件第二種方法取小元素分析,然后利用物理定律列出方程(類似于定積分應(yīng)用中的元素法).列出方程,電學(xué)的定律;8兩端積分解由題設(shè)條件分離變量負號是由于當(dāng)t增加時M單調(diào)減少得,

通解特解例衰變問題.衰變速度與未衰變原子含量M成正比,求衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律.即為衰變規(guī)律.衰變速度二、應(yīng)用9例出x有如下的關(guān)系:其中a為正的比例常數(shù),b為正的常數(shù);為零時,凈利潤為P0,求凈利潤解將題設(shè)方程分離變量得兩端積分得由此可得凈利潤為根據(jù)經(jīng)驗知道,某產(chǎn)品的凈利潤P與廣告支且廣告支出10例出x有如下的關(guān)系:其中a為正的比例常數(shù),b為正的常數(shù);為零時,凈利潤為P0,求凈利潤凈利潤為根據(jù)經(jīng)驗知道,某產(chǎn)品的凈利潤P與廣告支且廣告支出可見于是由題設(shè)方程可知P(x)是x的單調(diào)增加函數(shù);另一方面,顯然有因此,隨廣告支出的增加,凈利潤將相應(yīng)地不斷增加,并趨向水平漸近線這表明,參數(shù)b的經(jīng)濟意義是凈利潤可能達到的最大值.11練習(xí)推進器停止工作,已知船受水的阻力與船速的平方成正比(比例系問經(jīng)過多少時間,船的速度減為原速度的一半?解由題意初始條件即得.解得當(dāng)輪船的前進速度為v0時,數(shù)為mk,其中k>0為常數(shù),而m為船的質(zhì)量).可分離變量的方程分離變量兩端積分12例求游船上的傳染病人數(shù).一只游船上有800人,12小時后有3人發(fā)病.故感染者不能被及時隔離.設(shè)傳染病的傳播速度與受感染的人數(shù)及未受感染的人數(shù)之積成正比.一名游客患了某種傳染病,由于這種傳染病沒有早期癥狀,直升機將在60至72小時將疫苗運到,試估算疫苗運到時患此傳染病的人數(shù).解用y(t)表示發(fā)現(xiàn)首例病人后t小時時的感染人數(shù),表示t刻未受感染的人數(shù),由題意,得其中k>0為比例常數(shù).可分離變量微分方程分離變量初始條件:13即兩邊積分,得通解初始條件由初始條件得再由便可確定出所以14直升機將在60至72小時將疫苗運到,試估算疫苗運到時患此傳染病的人數(shù).下面計算小時時的感染者人數(shù)從上面數(shù)字可看出,在72小時疫苗運到時,感染的人數(shù)將是60小時感染人數(shù)的2倍.病流行時及時采取措施是至關(guān)重要的.可見在傳染15例

有高1m的半球形容器,水從它的底部小孔流出,開始時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中,容器里水面的高度h

隨時間

t

的變由水力學(xué)知,水從孔口流出的流量為即求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在內(nèi)水面高度由

h

降到解建立坐標系16對應(yīng)下降體積因此得微分方程定解問題:將方程分離變量:17兩端積分,得利用初始條件,得因此容器內(nèi)水面高度h與時間

t

有下列關(guān)系:18可分離變量的微分方程分離變量兩端積分三、小結(jié)解法:隱式(或顯式)通解19分析有兩種方法其一,將所給選項代入關(guān)系式直接驗算,(B)正確.其二,對積分關(guān)系式兩邊求導(dǎo)化為微分方程,并注意到由所給關(guān)系式在特殊點可確定出微分方程所應(yīng)滿足的初始條件.考研數(shù)學(xué)一,3分思考題