【高考數(shù)學專題】數(shù)列的概念與簡單表示法課件- 高三數(shù)學一輪復習

第1節(jié)數(shù)列的概念及簡單表示法

最新考綱：1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)；2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).知識梳理1.數(shù)列的定義按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.2.數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列的表示法

數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

4.數(shù)列的通項公式

(1)通項公式：如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.

(2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.注意提醒：1.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝2.數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān).3.易混項與項數(shù)的概念，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應的位置序號.考點一由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項例1．數(shù)列0，，…的一個通項公式為()A．a(chǎn)n＝(n∈N*)B．a(chǎn)n＝(n∈N*)C．a(chǎn)n＝(n∈N*)D．a(chǎn)n＝(n∈N*)考點突破答案：C[注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可．]例2．寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：(1)3,5,7,9，…；(2)…；(3)3,33,333,3333，…；(4)－1,1，－2,2，－3,3….[解](1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1.(2)數(shù)列中各項的符號可通過(－1)n＋1表示．每一項絕對值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，所以an＝(－1)n＋1

.

.(3)將數(shù)列各項改寫為…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)．(4)數(shù)列的奇數(shù)項為－1，－2，－3，…可用－表示，數(shù)列的偶數(shù)項為1,2,3，…可用表示．

因此an＝方法總結(jié)：由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*處理.考點二由an與Sn的關(guān)系求通項例1.若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.解：當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1

＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式．故數(shù)列的通項公式為an＝例2.若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式an＝________.解：由Sn＝an＋，得當n≥2時，Sn－1＝an－1＋，兩式相減，得an＝an－an－1，∴當n≥2時，an＝－2an－1，即＝－2.又n＝1時，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，∴an＝(－2)n－1.方法總結(jié)：1.已知Sn求an的三個步驟（1）.先利用a1＝S1求出a1；（2）.用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1

,n≥2.便可求出當n≥2時an的表達式；（3）.注意檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并.2.Sn與an關(guān)系問題的求解思路,根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.（1）.利用an＝Sn－Sn－1,n≥2.轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；（2）.利用Sn－Sn－1＝an,n≥2.轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.考點三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項

考法1形如an＋1＝an＋f(n)，求an例1.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，則an等于()A.2＋lnn B.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnn D.1＋n＋lnn解：因為an＋1－an＝＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).把以上各式分別相加得an－a1＝lnn－ln1，則an＝2＋lnn，且a1＝2也適合，因此an＝2＋lnn(n∈N*).考法2形如an＋1＝anf(n)，求an例2.若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.解：由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得＝(n≥2).所以an＝···…···a1＝···…···1＝，又a1也滿足上式，所以an＝.考法3形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.例2.若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項公式an＝________.解：由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.方法總結(jié)：

由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累