代數(shù)運(yùn)算的同態(tài)和同構(gòu)

第講代數(shù)運(yùn)算的同態(tài)和同構(gòu)第一頁(yè)，共48頁(yè)。21-4運(yùn)算性質(zhì)

定義設(shè)°

為S上的二元運(yùn)算,(1)如果對(duì)于任意的x,yS有

x°

y=y°

x,

則稱運(yùn)算在S上滿足交換律.(2)如果對(duì)于任意的x,y,z∈S有

(x°

y)°

z=x°

(y

°

z),

則稱運(yùn)算在S上滿足結(jié)合律.

(3)如果對(duì)于任意的x∈S有

x

°

x=x,

則稱運(yùn)算在S上滿足冪等律.第二頁(yè)，共48頁(yè)。3實(shí)例分析Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合,n2；P(B)為冪集；AA為A上A，|A|2.集合運(yùn)算交換律結(jié)合律冪等律Z,Q,R普通加法+有有無(wú)普通乘法有有無(wú)Mn(R)矩陣加法+有有無(wú)矩陣乘法無(wú)有無(wú)P(B)并有有有交有有有相對(duì)補(bǔ)無(wú)無(wú)無(wú)對(duì)稱差有有無(wú)AA函數(shù)符合無(wú)有無(wú)第三頁(yè)，共48頁(yè)。4二元運(yùn)算的性質(zhì)（續(xù)）

定義設(shè)°

和?為S上兩個(gè)不同的二元運(yùn)算,(1)如果

x,y,z∈S有

(x?y)°

z=(x°

z)?(y°

z)

z°(x?y)=(z°

x)?(z°

y)

則稱°

運(yùn)算對(duì)?運(yùn)算滿足分配律.

第四頁(yè)，共48頁(yè)。5實(shí)例分析集合運(yùn)算分配律

Z,Q,R普通加法+與乘法對(duì)+可分配+對(duì)不分配

Mn(R)矩陣加法+與乘法對(duì)+可分配+對(duì)不分配

P(B)并與交對(duì)可分配對(duì)可分配交與對(duì)稱差對(duì)可分配對(duì)不分配Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合,n2；P(B)為冪集；AA為A上A，|A|2.第五頁(yè)，共48頁(yè)。

補(bǔ)充題第六頁(yè)，共48頁(yè)。第七頁(yè)，共48頁(yè)。目錄復(fù)習(xí)代數(shù)運(yùn)算及運(yùn)算律11.8同態(tài)、同構(gòu)2

1.9同態(tài)、同構(gòu)3第八頁(yè)，共48頁(yè)。代數(shù)交換律結(jié)合律單位元逆元<Z,+>0x1=x<Z,×>11，-1可逆<R,+>0x1=x<R,×>1x1是x的倒數(shù)(0無(wú)逆元<Mn(R),+>0x1=x<Mn(R),*>×Ex可逆時(shí)<P(S),∪>的逆元為<P(S),∩>SS的逆元為S<{0,1,…,n-1},>001=0,x1=nx<{0,1,…,n-1},⊙>1<S(A),>恒等變換第九頁(yè)，共48頁(yè)。練習(xí)題判斷下列定義在有理數(shù)集合上的代數(shù)運(yùn)算是否適合結(jié)合律、交換律？第十頁(yè)，共48頁(yè)。1問(wèn)題的提出

結(jié)合律和交換律是只同一種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系,而分配律是同兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的一種規(guī)律.1.6與兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律

——分配律第十一頁(yè)，共48頁(yè)。2第一(左)分配律第十二頁(yè)，共48頁(yè)。

Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合，n2；P(S)為冪集；AA為從A到A的函數(shù)集，|A|2.

集合運(yùn)算分配律

Z,Q,R普通加法+與乘法對(duì)+可分配+對(duì)不分配

Mn(R)矩陣加法+與乘法對(duì)+可分配+對(duì)不分配

P(S)并∪與交∩

∪對(duì)∩可分配∩對(duì)∪可分配

交∩與對(duì)稱差

∩對(duì)可分配

例題第十三頁(yè)，共48頁(yè)。第十四頁(yè)，共48頁(yè)。3第二(右)分配律第十五頁(yè)，共48頁(yè)。定理2第十六頁(yè)，共48頁(yè)。與代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的映射

—同態(tài)映射（8-9節(jié)）第十七頁(yè)，共48頁(yè)。1同態(tài)映射2同態(tài)滿射3同構(gòu)映射4自同構(gòu)映射5舉例第十八頁(yè)，共48頁(yè)。1.最初的思想如何比較兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)?回憶兩個(gè)三角形全等的定義:經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng),頂點(diǎn)可以重合.這里涉及兩個(gè)步驟:第一,點(diǎn)間有一個(gè)對(duì)應(yīng)(映射);第二,對(duì)應(yīng)后可以重合.我們比較兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)和.

第一,我們需要一個(gè)映射;

第二,這個(gè)映射還能夠使“運(yùn)算重合”或曰：保持運(yùn)算.具體的說(shuō),假如和是的兩個(gè)元,那么和都有意義,都是的元.保持運(yùn)算即下面等式成立:第十九頁(yè)，共48頁(yè)。上面的等式即:換一種表示，假定在之下的像，第二十頁(yè)，共48頁(yè)。第二十一頁(yè)，共48頁(yè)。2同態(tài)映射與性質(zhì)注:同態(tài)映射簡(jiǎn)稱為態(tài)射.＝{所有整數(shù)},的代數(shù)運(yùn)算是普通加法.,的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法.定義1

一個(gè)到的映射稱為對(duì)于代數(shù)運(yùn)算和的同態(tài)映射,假如,,都有:定義與例子第二十二頁(yè)，共48頁(yè)。例1證明

(是的任一元)是一個(gè)到的同態(tài)映射.證明……例2:

,若是偶數(shù)

,若是奇數(shù)

證明:是一個(gè)到的滿射的同態(tài)映射.證明:顯然,是到的滿射.對(duì)于的任意兩個(gè)整數(shù)和來(lái)說(shuō),分三種情況:(1)若,都是偶數(shù),那么也是偶數(shù)

,,所以,(2)若,都是奇數(shù)……(3)若和奇偶性相反,……….第二十三頁(yè)，共48頁(yè)。例3:(是的任一元)固然是一個(gè)到的映射,但不是同態(tài)映射.因?yàn)?對(duì)于任意的和來(lái)說(shuō),第二十四頁(yè)，共48頁(yè)。定義2(1)單同態(tài):同態(tài)+單射(2)滿同態(tài):(3)同構(gòu)映射:進(jìn)一步的定義第二十五頁(yè)，共48頁(yè)。性質(zhì)1

設(shè)是三個(gè)代數(shù)系統(tǒng),并且

是兩個(gè)同態(tài)映射(單同態(tài)、滿同態(tài)、同構(gòu)映射).那么,

仍然是同態(tài)映射(單同態(tài)、滿同態(tài)、同構(gòu)映射)性質(zhì)第二十六頁(yè)，共48頁(yè)。性質(zhì)2設(shè)是一個(gè)同構(gòu).那么，也是一個(gè)同構(gòu).證明:(1)是雙射(2)保持運(yùn)算.看一個(gè)關(guān)鍵等式第二十七頁(yè)，共48頁(yè)。性質(zhì)1

（1）反身性:

（2）傳遞性:

注:對(duì)稱性不成立3同態(tài)的代數(shù)系統(tǒng)定義和是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng),如果存在一個(gè)到的同態(tài)滿射,就稱和同態(tài).記號(hào):第二十八頁(yè)，共48頁(yè)。5舉例例3例2例1第二十九頁(yè)，共48頁(yè)。4可單向傳遞的性質(zhì)定理1

假定,對(duì)于代數(shù)運(yùn)算和來(lái)說(shuō),到同態(tài).那么,（1）若適合結(jié)合律,也適合結(jié)合律；（2）若適合交換律,也適合交換律.第三十頁(yè)，共48頁(yè)。于是證明我們用來(lái)表示到的同態(tài)滿射.

（1）假定是的任意三個(gè)元.由于是同態(tài)滿射,我們?cè)诶镏辽僬业贸鋈齻€(gè)元,,來(lái),使得在之下,(2)同學(xué)們按照上面的方法,給出證明.

注:這種通過(guò)同態(tài)映射過(guò)渡的方法在證明具有一般性第三十一頁(yè)，共48頁(yè)。定理2

假定,都是集合的代數(shù)運(yùn)算,都是集合的代數(shù)運(yùn)算,并且存在一個(gè)到的滿射,使得與對(duì)于代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)同態(tài),對(duì)于代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)也同態(tài).那么

(1)若適合第一分配律,也適合第一分配律.(2)若適合第二分配律,也適合第二分配律.證明……注:,由的性質(zhì)可以推出具有同樣的性質(zhì);反過(guò)來(lái)不成立.第三十二頁(yè)，共48頁(yè)。5同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)及其意義定義定義和是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng),如果存在一個(gè)到的同構(gòu)映射,就稱和同態(tài).記號(hào):自同態(tài)、自同構(gòu)的概念可以自然的給出，同學(xué)們自己做。第三十三頁(yè)，共48頁(yè)。同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)意味什么例1

,

．012012

120201345345345453534012各是與的代數(shù)運(yùn)算與的表．請(qǐng)比較兩個(gè)運(yùn)算表,方向異同之處?第三十四頁(yè)，共48頁(yè)。在A的運(yùn)算表,進(jìn)行變換:

變成了什么?．它們可以用統(tǒng)一成為一個(gè)運(yùn)算表……..第三十五頁(yè)，共48頁(yè)。

同構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)由運(yùn)算所帶來(lái)的規(guī)律性是相同的,因此,同構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)盡管可能有這樣或那樣的差別,但從近世代數(shù)的宗旨來(lái)看,我們自然認(rèn)為:它們的差別是表面上的,次要的,而它們的共同點(diǎn)——運(yùn)算所體現(xiàn)的規(guī)律性則是本質(zhì)的,主要的.于是,我們需要闡明近世代數(shù)的觀點(diǎn)是:凡同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)都認(rèn)為是(代數(shù))相同的.同構(gòu)的兩個(gè)集合之間關(guān)系的結(jié)論第三十六頁(yè)，共48頁(yè)。在上述的觀點(diǎn)下,一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)經(jīng)同構(gòu)映射而保持不變的性質(zhì)叫做它的代數(shù)性質(zhì).于是,由代數(shù)運(yùn)算所表述的任意一個(gè)性質(zhì)都是代數(shù)性質(zhì).我們將代數(shù)體系的代數(shù)性質(zhì)的總合統(tǒng)稱為它的代數(shù)結(jié)構(gòu).因此,同構(gòu)的代數(shù)體系由于完全相同的代數(shù)結(jié)構(gòu).研究代數(shù)體系的首要目的就是確定所有互不同構(gòu)的的代數(shù)結(jié)構(gòu).而為了確定一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu),只須