高數(shù)1-7章 1-2節(jié) 《微分方程的基本概念可分離變量的微分方程》 課件

*微分方程第七章—積分問題—微分方程問題

推廣*一、微分方程的發(fā)展歷史

方程對于學(xué)過中學(xué)數(shù)學(xué)的人來說是比較熟悉的；在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來，列出包含一個未知數(shù)或幾個未知數(shù)的一個或者多個等式，然后去求方程的解。

*在實(shí)際工作中，常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問題。比如：某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動機(jī)推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等，研究這些問題所建立的數(shù)學(xué)方程不僅與未知函數(shù)有關(guān)，而且與未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分有關(guān)，這就是我們要研究的微分方程。解這類問題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來，從列出的包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一個或幾個方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式－－即求解微分方程。*

牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，在公元17世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解。

常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。同時，數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。*二、微分方程的研究方法

研究微分方程一般有五種方法1、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來導(dǎo)出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的方程是非常少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問題。2、利用數(shù)學(xué)分析或非線性分析理論來研究微分方程解的存在性、延展性、解對初值的連續(xù)性和可微性問題。3、微分方程解析理論

由于絕大多數(shù)微分方程不能通過求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)（即解）表示成級數(shù)形式，并引進(jìn)特殊函數(shù)，如，橢圓函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等，并使微分方程和函數(shù)論及復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來，產(chǎn)生了微分方程解析理論。*5、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論1900年，希爾伯特提出的23個問題中的第16個問題之一，至今未解決。4、微分方程的數(shù)值解法二、微分方程的研究方法*微分方程的基本概念機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一節(jié)微分方程的基本概念引例幾何問題物理問題

第七章*引例1.一曲線通過點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*引例2.列車在平直路上以的速度行駛,制動時獲得加速度求制動后列車的運(yùn)動規(guī)律.解:設(shè)列車在制動后

t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動規(guī)律為說明:

利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住,以及制動后行駛了多少路程.即求

s

=s(t).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*1.微分方程---凡含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。*

附注：一個關(guān)系式要成為微分方程，要求該關(guān)系式中必須含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，但其中的自變量或未知函數(shù)可以不顯含.如果一個關(guān)系式中不顯含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，則這樣的關(guān)系式就不能成為微分方程，例如就不是微分方程.實(shí)際上，我們在數(shù)學(xué)分析課程中已經(jīng)知道，它是一個函數(shù)方程.*

本課程主要研究常微分方程.同時把常微分方程簡稱為微分方程或方程.2微分方程的分類2.1常微分方程與偏微分方程偏微分方程___

如果自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程稱為偏微分方程，如就是偏微分方程.常微分方程___如果在一個微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，則這樣的微分方程稱為常微分方程，如上面例1以及例2中的

就是常微分方程.

*2.2微分方程的階

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù).是一階微分方程；是一階微分方程；

是二階微分方程；

是四階微分方程.是一階微分方程.在上面例中，*(n

階顯式微分方程)一般地,n

階常微分方程的形式是或機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*引例2—

使方程成為恒等式的函數(shù).通解—

解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程—

確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解—不含任意常數(shù)的解,定解條件其圖形稱為積分曲線.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*例1.

驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解,的特解.解:

這說明是方程的解.

是兩個獨(dú)立的任意常數(shù),利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*求所滿足的微分方程.例2.已知曲線上點(diǎn)

P(x,y)處的法線與x

軸交點(diǎn)為

Q解:如圖所示,令Y=0,得

Q

點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn)P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束*轉(zhuǎn)化可分離變量微分方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)解分離變量方程可分離變量方程

第七章*1變量分離方程的概念先看例子：*定義1：如果一階微分方程中的可以寫成的形式，即則稱這樣的微分方程為變量（可）分離的微分方程。特點(diǎn)：右端是只含的函數(shù)和只含的函數(shù)的乘積。分別為的連續(xù)函數(shù)。一般假設(shè)*當(dāng)時，它可以寫成且稱這樣的微分方程為變量(已)分離的微分方程。的函數(shù)，左端是只含的函數(shù)。特點(diǎn)：右端是只含

變量（可）分離的微分方程和變量已分離的微分方程統(tǒng)稱變量分離方程。*分離變量方程的解法:設(shè)y＝(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時,說明由②確定的隱函數(shù)y＝(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F’(x)=f(x)≠0時,上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝(y)也是①的解.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*練習(xí):解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*例4：*例5：*例6：此題結(jié)論對以后求線性方程有用,希望大家能記住！！*例7：**例8：*例9.子的含量

M

成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)

隨時間t

的變化規(guī)律.解:

根據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知

t=0時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*例10.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*例11.有高1m的半球形容器,水從它的底部小孔流出,開始時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中,容器里水面的高度h

隨時間

t

的變解:由水力學(xué)知,水從孔口流出的流量為即求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在內(nèi)水面高度由

h

降到機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*對應(yīng)下降體積因此得微分方程定解問題:將方程分離變量:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*兩端積分,得利用初始條件,得因此容器內(nèi)水面高度h與時間

t

有下列關(guān)系:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;說明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個解.例如,方程解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*變量分離方程的一般解題步驟*

找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程2)根據(jù)物理規(guī)律列方程3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系