質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

§12–1質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩§12–2動(dòng)量矩定理§12–3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程§12–4剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§12–5質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理§12–6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程第十二章動(dòng)量矩定理1質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：動(dòng)量的改變外力（外力系主矢）

動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對于某固定點(diǎn)（固定軸）的動(dòng)量矩的改變與外力對同一點(diǎn)軸）之矩兩者之間的關(guān)系。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)外力（外力系主矢）物體在移動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)與受力之間的關(guān)系－動(dòng)量定理。物體在轉(zhuǎn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)的量與受力之間的關(guān)系－動(dòng)量矩定理例：勻質(zhì)圓盤，質(zhì)心C

在轉(zhuǎn)軸上。動(dòng)量：質(zhì)心無運(yùn)動(dòng)所以，動(dòng)量不能反應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。而：2§12-1質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩力對軸z

的之矩：

代數(shù)量力對點(diǎn)O之矩在z軸上的投影：復(fù)習(xí)：力對點(diǎn)O之矩3質(zhì)點(diǎn)對軸z

的動(dòng)量矩：代數(shù)量質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O動(dòng)量矩：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對點(diǎn)O之矩在z軸上的投影：單位：kg·ｍ2/s。動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對點(diǎn)O之矩質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O動(dòng)量矩在z軸上的投影，等于對z軸的動(dòng)量矩：4二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對軸z動(dòng)量矩：各質(zhì)點(diǎn)對同一z軸動(dòng)量矩的代數(shù)和。剛體動(dòng)量矩計(jì)算：1．平動(dòng)剛體對點(diǎn)O的動(dòng)量矩：平動(dòng)剛體對軸z動(dòng)量矩：質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)O動(dòng)量矩：各質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O動(dòng)量矩的矢量和。52．剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩：3．平面運(yùn)動(dòng)剛體1．平動(dòng)剛體對點(diǎn)O的動(dòng)量矩：平動(dòng)剛體對固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)心的動(dòng)量對該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。平動(dòng)剛體對軸z動(dòng)量矩：平面運(yùn)動(dòng)剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸的動(dòng)量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。6例題1例題

動(dòng)量矩定理解：運(yùn)動(dòng)分析滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1，

滑輪B：m2，R2，J2；物體C：m3

求:系統(tǒng)對O軸的動(dòng)量矩。A輪：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)C物：平動(dòng)B輪：平面運(yùn)動(dòng)逆時(shí)針7§12-2動(dòng)量矩定理一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理兩邊叉乘矢徑,有左邊可寫成

質(zhì)點(diǎn)對任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。故：8

將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得

上式稱質(zhì)點(diǎn)對固定軸的動(dòng)量矩定理，也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對任一固定軸的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對同一軸之矩。稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。若則常矢量若則9試用動(dòng)量矩定理導(dǎo)出單擺(數(shù)學(xué)擺)的運(yùn)動(dòng)微分方程。已知單擺m，l，t=0時(shí)=0，從靜止開始釋放。OφvA例題2例題

動(dòng)量矩定理10

把單擺看成一個(gè)在圓弧上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)

A，。又設(shè)在任一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)

A具有速度

v

，擺線

OA與鉛垂線的夾角是

。對通過懸點(diǎn)

O而垂直于運(yùn)動(dòng)平面的固定軸

z作為矩軸，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理由于動(dòng)量矩和力矩分別是解：OφvA和例題2例題

動(dòng)量矩定理從而可得11化簡即得單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程例題2例題動(dòng)量矩定理微幅擺動(dòng)時(shí)，解微分方程,并代入初始條件則運(yùn)動(dòng)方程，擺動(dòng)周期并令OφvA12注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎┵|(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用：

在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。13質(zhì)點(diǎn)系對任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序:一質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理對質(zhì)點(diǎn)系，有對質(zhì)點(diǎn)Mi：將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得而:則:14

上式稱為質(zhì)點(diǎn)系對固定軸的動(dòng)量矩定理。即質(zhì)點(diǎn)系對任一固定軸的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對同一軸的主矩）。

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒

當(dāng)時(shí)，常矢量。當(dāng)時(shí)，常量。

動(dòng)量矩定理說明內(nèi)力不會改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。15

動(dòng)畫動(dòng)量矩定理參見動(dòng)畫：爬繩比賽的力學(xué)分析(1)16

動(dòng)畫動(dòng)量矩定理參見動(dòng)畫：爬繩比賽的力學(xué)分析(2)17

動(dòng)畫動(dòng)量矩定理參見動(dòng)畫：挺身式跳遠(yuǎn)的騰空動(dòng)作18滑輪、重物

A和

B連接如圖示。定滑輪對水平轉(zhuǎn)軸

O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

JO

；定滑輪的半徑是

r。繩端懸掛的重物

A和

B

重量分別是

PA

和

PB

，且

PA

>

PB

。試求定滑輪的角加速度。例題3例題動(dòng)量矩定理19解:

取定滑輪，重物

A,B和繩索為研究對象。系統(tǒng)的動(dòng)量矩由三部分組成，等于考慮到

v

=r

，則得外力主矩僅由重力

PA和

PB產(chǎn)生，有例題3例題動(dòng)量矩定理對定滑輪的轉(zhuǎn)軸

z(垂直于圖面向外)應(yīng)用動(dòng)量矩定理，有20將表達(dá)式(b)和(c)

代入方程(a)，即得從而求出定滑輪的角加速度方向?yàn)槟骁娤颉＠}3例題動(dòng)量矩定理21

摩擦離合器靠接合面的摩擦進(jìn)行傳動(dòng)。在接合前，已知主動(dòng)軸

1

以角速度0轉(zhuǎn)動(dòng)，而從動(dòng)軸

2

處于靜止(圖a)。一經(jīng)結(jié)合，軸

1

的轉(zhuǎn)速迅速減慢，軸

2

的轉(zhuǎn)速迅速加快，兩軸最后以共同角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)(圖b)。已知軸

1

和軸

2

連同各自的附件對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別是

J1

和

J2

，試求接合后的共同角速度

，軸承的摩擦不計(jì)。

0

1

2

2

1(a)(b)例題4例題動(dòng)量矩定理22例題4例題動(dòng)量矩定理參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理－例題423解：

取軸1和軸2組成的系統(tǒng)作為研究對象。接合時(shí)作用在兩軸的外力對公共轉(zhuǎn)軸的矩都等于零。故系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的總動(dòng)量矩不變。接合前，系統(tǒng)的動(dòng)量矩是

(J1

0+J2

0)。離合器接合后，系統(tǒng)的動(dòng)量矩是(J1+J2)。故由動(dòng)量矩守恒定律得從而求得結(jié)合后的共同角速度顯然

的轉(zhuǎn)向與

0相同。例題4

0

1

2

2

1(a)(b)例題動(dòng)量矩定理24

小球A，B以細(xì)繩相連。質(zhì)量皆為m，其余構(gòu)件質(zhì)量不計(jì)。忽略摩擦，系統(tǒng)繞z軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)的角速度為ω0。當(dāng)細(xì)繩拉斷后，求各桿與鉛垂線成θ角時(shí)系統(tǒng)的角速度ω。ω0zaallABωzaaθθllAB例題5例題動(dòng)量矩定理25例題5例題動(dòng)量矩定理參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理－例題526

此系統(tǒng)所受的重力和軸承的約束力對于轉(zhuǎn)軸的矩都等于零，因此系統(tǒng)對于轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒。當(dāng)θ=0時(shí)，動(dòng)量矩當(dāng)θ≠

0時(shí)，動(dòng)量矩因?yàn)長z1=Lz2，得解:ωzaaθθllABω0zaallAB例題動(dòng)量矩定理例題527

高爐運(yùn)送礦石用的卷揚(yáng)機(jī)如圖所示。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，輪繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車和礦石總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)貫量為J，軌道的傾角為θ。設(shè)繩的質(zhì)量和各處摩擦均忽略不計(jì)，求小車的加速度a。θOMωW1vW2FN例題6例題動(dòng)量矩定理28

取小車與鼓輪組成質(zhì)點(diǎn)系，視小車為質(zhì)點(diǎn)。以順時(shí)針為正，此質(zhì)點(diǎn)系對O軸的動(dòng)量矩為受力分析：力偶M，重力W1和W2，軸承O的約束力FOx和FOy，軌道對小車的約束力FN。θOMωW1FOxFOyvW2W2NW2tFN解：而W2t

=P2

sin

θ=m2gsin

θ，則系統(tǒng)外力對O軸的矩為W1，F(xiàn)Ox，F(xiàn)Oy對O軸力矩為零。將W2沿軌道及其垂直方向分解為W2t和W2N，W2N與FN相抵消。例題動(dòng)量矩定理例題629由質(zhì)點(diǎn)系對O軸的動(dòng)量矩定理，有因

，，于是解得若

，則,小車的加速度沿斜坡向上。例題動(dòng)量矩定理例題6θOMωW1FOxFOyvW2W2NW2tFN30§12-3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程對于一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體—?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程解決兩類問題：已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理，有312）．若常量，則=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。將與比較，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。1）．若,則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)或保持靜止。

特殊情況：32§12-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義：

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國際單位制中單位kg·m2。二．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

１．積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）33

勻質(zhì)細(xì)直桿長為l,質(zhì)量為m。

求：1）對z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；2）對z'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：例題5例題動(dòng)量矩定理34

勻質(zhì)細(xì)圓盤半徑為R,質(zhì)量為m。求：1）對O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；2）對x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：例題6例題動(dòng)量矩定理352.回轉(zhuǎn)半徑由所定義的長度稱為剛體對

z軸的回轉(zhuǎn)半徑。

對于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。

在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。剛體的回轉(zhuǎn)半徑相當(dāng)與將所有質(zhì)量集中在離軸距離為位置上363.平行移軸定理

同一個(gè)剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。

剛體對某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。由公式可知：剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。37

證明：設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，例如，對于例1中均質(zhì)細(xì)桿z'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值。38

當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,然后再加起來就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來處理。4．計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法39例題7例題動(dòng)量矩定理

鐘擺：均質(zhì)直桿m1,l；

均質(zhì)圓盤：m2,R。求JO

。解：40例題8例題動(dòng)量矩定理

提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,可視為均質(zhì)圓盤;物體C的重量為P3;輪A上作用常力矩M1。求：物體C上升的加速度。41例題8例題動(dòng)量矩定理2)輪B與物體C：補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)條件化簡(1)得：化簡(2)得：解:1)輪A:42

飛輪對O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，以角速度ωO繞水平的O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。制動(dòng)時(shí)，閘塊給輪以正壓力FN。已知閘塊與輪之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為fs，輪的半徑為R，軸承的摩擦忽略不計(jì)。求制動(dòng)所需的時(shí)間t。OωO例題9例題動(dòng)量矩定理43

以輪為研究對象。受力分析：作用于輪上的力FN，摩擦力F和重力W、軸承約束力。取逆時(shí)針方向?yàn)檎瑒傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為將上式積分，并根據(jù)已知條件確定積分上下限，得由此解得解：OωOFFNFOxFOyW例題9例題動(dòng)量矩定理44§12-5質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理一．質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心和固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，具有完全相似的數(shù)學(xué)形式，而對于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)，一般并不存在這種簡單的關(guān)系。二．質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩的改變，只與作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。45§12–6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

設(shè)有一平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對稱平面，力系可以簡化為該平面內(nèi)的一個(gè)力系。取質(zhì)量對稱平面為平面圖形S，質(zhì)心一定位于S內(nèi)。

取質(zhì)心C為動(dòng)系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動(dòng)可分解為

1）隨質(zhì)心C的平動(dòng)

(xC,yC)2）

繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)

（）可通過質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來確定。46寫成投影形式或上式稱為平面運(yùn)動(dòng)微分方程。47

勻質(zhì)圓柱的質(zhì)量是

m

，半徑是

r，從靜止開始沿傾角是φ的固定斜面向下滾動(dòng)而不滑動(dòng)，斜面與圓柱的靜摩擦系數(shù)是

fs

。試求圓柱質(zhì)心

C

的加速度，以及保證圓柱滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件。例題10例題動(dòng)量矩定理48平移純滾動(dòng)連滾帶滑例題動(dòng)量矩定理例題10參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理－例題10(1、2、3)49解:

圓柱在圖示力作用下由靜止開始作平面運(yùn)動(dòng)。令它的鉛直對稱面重合于坐標(biāo)平面

Oxy，軸

x沿斜面向下，則有圓柱平面運(yùn)動(dòng)的三個(gè)微分方程可寫成由于圓柱只滾動(dòng)而不滑動(dòng)，故有運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aC=r

(d)例題動(dòng)量矩定理maC=mgsinφ

－F(a)0=FN－mgcosφ

(b)JC=Fr(c)例題1050當(dāng)圓柱只滾不滑時(shí)，滑動(dòng)摩擦力必須滿足

F

≤fsFN

，代入求出的

F，

和

FN，則得從而求得圓柱滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件聯(lián)立求解以上四個(gè)方程，并考慮到

JC=mr2/2

，就得到aC=2gsinφ

/3,FN=mgcosφ,F=mgsinφ

/3tan

φ

≤3fs例題動(dòng)量矩定理例題1051

質(zhì)量為m半徑為r的滑輪（可視作均質(zhì)圓盤）上繞有軟繩，將繩的一端固定于點(diǎn)A而令滑輪自由下落如圖示。不計(jì)繩子的質(zhì)量，求輪心C的加速度和繩子的拉力。CrvCωA例題11例題動(dòng)量矩定理52例題11例題動(dòng)量矩定理參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理－例題1153取滑輪和軟繩組成的系統(tǒng)為對象，畫出受力圖。

滑輪的運(yùn)動(dòng)可看作沿過點(diǎn)A的鉛垂線向下作純滾動(dòng)，滾動(dòng)角速度，滾動(dòng)角加速度。解：應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理沿鉛垂軸的投影，得在列寫第二個(gè)方程時(shí)，可以任意選用以下方法中的一種：(a)1.

列寫對固定軸Az的動(dòng)量矩定理。CrmgFωA例題11例題

動(dòng)量矩定理54聯(lián)立求解式（a），（b），得到2.列寫對平移軸Cz的動(dòng)量矩定理。再代入式（a）解得將，,，代入上式，得即（b）例題11例題動(dòng)量矩定理CrmgFωA55

起重裝置由勻質(zhì)鼓輪D（半徑為R，重為W1）及均質(zhì)梁AB（長l=4R，重W2=W1）組成，鼓輪通過電機(jī)C（質(zhì)量不計(jì)）安裝在梁的中點(diǎn)，被提升的重物E重。電機(jī)通電后的驅(qū)動(dòng)力矩為M，求重物E上升的加速度a及支座A，B的約束力FNA及FNB。OABACDE例題12例題動(dòng)量矩定理561.考慮鼓輪D，重物E及與鼓輪固結(jié)的電機(jī)轉(zhuǎn)子所組成的系統(tǒng)（圖b），M為電機(jī)定子作用在轉(zhuǎn)子的驅(qū)動(dòng)力矩，對固定點(diǎn)O的應(yīng)用動(dòng)量矩定理得解：O(b)WMODEW1其中解得例題12例題動(dòng)量矩定理572.考慮整個(gè)系統(tǒng)（圖c），注意驅(qū)動(dòng)力矩為M系統(tǒng)內(nèi)力。對點(diǎn)B應(yīng)用動(dòng)量矩定理得OAB(C)WW2FNAACDEFNBW1解得例題12例題動(dòng)量矩定理58對整個(gè)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量定理得OAB(b)WW2FNAACDEFNBW1(c)解得例題12例題第4章

動(dòng)量矩定理59

勻質(zhì)細(xì)桿

AB

的質(zhì)量是

m，長度是

2l，放在鉛直面內(nèi)，兩端分別沿光滑的鉛直墻壁和光滑的水平地面滑動(dòng)。假設(shè)桿的初位置與墻成交角

0，初角速度等于零；試求桿沿鉛直墻壁下滑時(shí)的角速度和角加速度

以及桿開始脫離墻壁時(shí)它與墻壁所成的角度

1

。xyOφABCyx例題13例題動(dòng)量矩定理60例題動(dòng)量矩定理例題1361解:

在

A端脫離墻壁以前，受力如圖所示。桿作平面運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)系

Oxy，則桿的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫成xyOFAFBmgφCvABCyx由幾何關(guān)系知例題動(dòng)量矩定理例題1362xyOFAFBmgφCvABCyx將式(d)和(e)對時(shí)間求導(dǎo)，得把(f)和(g)分別代入(a)和(b)，再把

FA和

FB的值代入(c)最后得桿

AB的角加速度例題動(dòng)量矩定理例題1363xyOFAFBmgφCvABCyx利用關(guān)系把上式化成積分求得桿

AB的角速度例題動(dòng)量矩定理例題1364當(dāng)桿即將脫離墻時(shí)，F(xiàn)A→0。以FA=0代入(a)，再根據(jù)(f)得把(h)和(i)的表達(dá)式在

=1時(shí)的值代入上式，得關(guān)系整理后，求得桿開始脫離墻時(shí)與墻所成的夾角例題動(dòng)量矩定理例題1365一．基本概念1．動(dòng)量矩：某瞬時(shí)物體繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一種度量。2．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩：3．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：4．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。

對于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對過質(zhì)心垂直于質(zhì)量對稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要熟記。第十二章動(dòng)量矩定理習(xí)題課662)

若，則常量。5．剛體動(dòng)量矩計(jì)算平動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：二．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及守恒

1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理2．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒1)若，則常矢量。平面運(yùn)動(dòng)：67三．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理及守恒

1．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒四．質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動(dòng)量矩定理2)

若，則常量。1)若，則常矢量。68五．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

1．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程2．剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程或69六．動(dòng)量矩定理的應(yīng)用

應(yīng)用動(dòng)量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對單軸傳動(dòng)系統(tǒng)尤為方便）1．已知質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。2．已知質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩是常力矩或時(shí)間的函數(shù)，求剛體的角加速度或角速度的改變。3．已知質(zhì)點(diǎn)所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù)和等于零，應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求角速度或角位移。70七．應(yīng)用舉例[例1]

均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為f

'，滾阻不計(jì)，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的時(shí)間。解：研究對象:圓柱;剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程123補(bǔ)充方程：4

受力分析如圖示;運(yùn)動(dòng)分析：質(zhì)心C不動(dòng)，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。71將4式代入1、2兩式，有將上述結(jié)果代入3式，有解得：123補(bǔ)充方程：472[例2]

兩根質(zhì)量各為8kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成T字型，可繞通過O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OA處于水平位置時(shí),T形桿具有角速度

=4rad/s。求該瞬時(shí)軸承O的反力。解：一、“T”字型桿四、由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程二、受力分析：三、運(yùn)動(dòng)分析：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)