第七章 第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及三視圖和直觀圖

1．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2．能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測畫法畫出它們的直觀圖．空間幾何體的結(jié)構(gòu)及三視圖和直觀圖3．會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．4．會(huì)畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求)．

[理要點(diǎn)]一、多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個(gè)面

，每相鄰兩個(gè)面的交線都

．棱錐有一個(gè)面是

，而其余各面都是有一個(gè)

的三角形．棱臺(tái)棱錐被平行于

的平面所截，

和之間的部分叫做棱臺(tái).互相平行平行且相等多邊形公共頂點(diǎn)底面截面底面二、旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形

所在的直線圓錐直角三角形

所在的直線圓臺(tái)直角梯形

所在的直線球半圓

所在的直線任一邊一條直角邊垂直于底邊的腰直徑三、簡單組合體簡單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成；一種是由簡單幾何體截去或挖去而成，有多面體與多面體、多面體與旋轉(zhuǎn)體、旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．四、平行投影與直觀圖空間幾何體的直觀圖常用

畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為

，z′軸與x′軸和y′軸所在平面

．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別

．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度

，平行于y軸的線段長度在直觀圖中

．斜二測45°垂直平行于坐標(biāo)軸不變變?yōu)樵瓉淼囊话胛濉⑷晥D幾何體的三視圖包括

、

、

，分別是從幾何體的

、

、

觀察幾何體畫出的輪廓線．正(主)視圖側(cè)(左)視圖俯視圖正前方正左方正上方[究疑點(diǎn)]1．由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，棱柱有兩個(gè)面互相平行且其余

各面都是平行四邊形，反過來成立嗎？提示：反之不一定成立．如圖所示幾何體有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形，但不滿足“每相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊互相平行”，故它不是棱柱，所以要加深對(duì)棱柱概念的理解．2．空間幾何體的三視圖和直觀圖在觀察角度上有什么

區(qū)別？提示：觀察角度：三視圖是從三個(gè)不同位置觀察幾何體而畫出的圖形；直觀圖是從某一點(diǎn)觀察幾何體而畫出的圖形．[題組自測]1．下列結(jié)論正確的是 (

)A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊

旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐

可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是

母線解析：根據(jù)有關(guān)定義及結(jié)構(gòu)特征知，A、B、C錯(cuò)．答案：D2．給出下列命題：①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；③若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．其中正確命題的序號(hào)是________．解：①正確，正四面體是每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如正方體ABCD－A1B1C1D1中的四面體A－CB1D1；②錯(cuò)誤，反例如圖所示，底面△ABC為等邊三角形，可令A(yù)B＝VB＝VC＝BC＝AC，則△VBC為等邊三角形，△VAB和△VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；③錯(cuò)誤，必須是相鄰的兩個(gè)側(cè)面．答案：①3．如圖，是一個(gè)正方體的展開圖，

在原正方體中，相對(duì)的面分別

是______________．解析：折疊后知①④，②⑥，③⑤對(duì)應(yīng)．答案：①④；②⑥；③⑤4．判斷下列命題是否正確．①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)；③若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；④若有兩個(gè)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；⑤存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；⑥棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)．解：①錯(cuò)誤，因?yàn)槔庵牡酌娌灰欢ㄊ钦噙呅?；②錯(cuò)誤，必須用平行于底面的平面去截棱錐，才能得到棱臺(tái)；③正確，因?yàn)槿齻€(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；④正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；⑤正確，正方體AC1中的四棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；⑥正確，由棱臺(tái)的概念可知．[歸納領(lǐng)悟]幾種常見的多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱．特別地，當(dāng)?shù)酌媸?/p>

正多邊形時(shí)，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．(2)正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐．特別地，各條棱均相等的正三棱錐又叫正四面體.答案：C答案：B3．某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體是(

)A．三棱錐B．四棱錐C．四棱臺(tái)

D．三棱臺(tái)解析：由所給三視圖與直觀圖的關(guān)系，可以判定對(duì)應(yīng)的幾何體為如圖所示的四棱錐，且PA⊥面ABCD，AB⊥BC，BC∥AD.答案：B4．(2010·北京高考)一個(gè)長方體去掉一個(gè)小長方體，所得幾何體的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為 (

)解析：由正(主)視圖可知去掉的長方體在正對(duì)視線的方向，從側(cè)(左)視圖可以看出去掉的長方體在原長方體的右側(cè)，由以上各視圖的描述可知C選項(xiàng)符合．答案：C[歸納領(lǐng)悟]1．畫幾何體的三視圖的要求是：正(主)視圖與俯視圖長對(duì)正；正(主)視圖與側(cè)(左)視圖高平齊；側(cè)(左)視圖與俯視圖寬相等．2．畫幾何體的三視圖時(shí)，可以把垂直投射面的視線想象成平行光線，體會(huì)輪廓線(包括被遮擋住，但可以經(jīng)過想象透視到的光線)的投影就是要畫出的視圖，可見的輪廓線要畫成實(shí)線，不可見的輪廓線要畫成虛線．[題組自測]1．關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法正確的是(

)A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形B．梯形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是菱形D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形解析：由斜二測畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長度減半，直角坐標(biāo)系變成了斜坐標(biāo)系，而平行性沒有改變，因此只有D正確．答案：D2．如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是

(

)答案：C3．如圖，△O′A′B′是△OAB水平放置的直觀圖，

則△OAB的面積為________．解析：還原為原三角形，易知OB＝4，OA＝6，OA⊥OB，∴S△OAB＝12.答案：124．(2010·揚(yáng)州模擬)用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來的圖形是 (

)答案：A本題中條件不變求原平面圖形的面積．一、把脈考情從近兩年高考試題來看，多以選擇題考查幾何體的三視圖和直觀圖．分值5分，難度中，低檔．命題的主要類型有：由幾何體的直觀圖確定對(duì)應(yīng)的三視圖，由幾何體的三視圖確定對(duì)應(yīng)的直觀圖．由三視圖提供的數(shù)據(jù)信息確定對(duì)應(yīng)幾何體的體積與表面積．預(yù)測2012年高考仍以此為命題熱點(diǎn)．解析：正(主)視圖是從幾何體的正前方往后看，即幾何體在后方的投影．答案：D2．(2010·陜西高考)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，

則該幾何體的體積是 (

)答案：B3．(2010·新課標(biāo)全國卷)一個(gè)幾何體的正(主)視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的________．(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))①三棱錐②四棱錐③三