第六講 角動量 角動量守恒(二)

四、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用

已知：兩物體

m1、m2（m2m1

)

滑輪m、R,

可看成質(zhì)量均勻的圓盤,

軸上的摩擦力矩為Mf（設(shè)繩輕，且不伸長,與滑輪無相對滑動）。求:物體的加速度及繩中張力。解題思路;（1）選物體（2）看運動（3）查受力（注意:畫隔離體受力圖）（4）列方程（注意:架坐標(biāo)）例1.m1m2mR因繩不伸長,有

a1=a2=a因繩輕,有對m1有對m2有以加速度方向為正，可列出兩式設(shè)出各量如圖所示。【解】分別對m1,m2,m

看運動、分析力，

T1-m1g=m1a----（1）

m2g-T2=m2a----（2）對滑輪m

由轉(zhuǎn)動方程-----（3）三個方程,四個未知數(shù).再從運動學(xué)關(guān)系上有----（4）聯(lián)立四式解得：(以“方向”為正)

當(dāng)不計滑輪質(zhì)量和摩擦力矩時:（與中學(xué)作過的一致?。﹎=0,Mf=0，有討論已知：如圖，R=0.2m，m=1kg，vo=o，

h=1.5m，勻加速下落時間t=3s,

繩、輪無相對滑動，軸光滑。求：輪對o軸J=？

（測定轉(zhuǎn)動慣量J的實驗方法之一）定軸0Rthmv0=0繩設(shè)出各量如圖所示?！窘狻糠謩e對物體m和輪

看運動、分析力，例2.α·Rma【解】：由動力學(xué)關(guān)系：四個未知量由運動學(xué)關(guān)系：·Rm5.5轉(zhuǎn)動中的功和能一.力矩的功對轉(zhuǎn)動（功）無貢獻現(xiàn)在討論力矩對空間的積累效應(yīng)設(shè)剛體上P點受到外力的作用，∥,功為,位移為此式稱為力矩的功（實質(zhì)上仍然是力的功）。二.定軸轉(zhuǎn)動動能定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動動能:（可對比質(zhì)點的動能）……定軸轉(zhuǎn)動動能定理.即三.剛體定軸轉(zhuǎn)動的機械能守恒定律

剛體的重力勢能

hc----質(zhì)心的高度剛體系仍是個質(zhì)點系,根據(jù)質(zhì)點系的功能原理：若

dA外+dA內(nèi)非=o，則Ek+Ep=常量.----機械能守恒定律A外+A內(nèi)非=（Ek2+Ep2）—（Ek1+Ep1）求:桿下擺到角時，角速度？軸對桿的作用力？【解】“桿+地球”系統(tǒng)，(1)(2)由(1)、(2)解得：只有重力作功，E機

守恒。已知：均勻直桿質(zhì)量為m，長為l，軸o光滑，

初始靜止在水平位置。例3.EP重=0θ·ω0CABl,ml/4應(yīng)用質(zhì)心運動定理

求軸對桿的作用力：BCθO·Al,mθNlNtNmgactacll^^t·設(shè)軸力如圖，有(3)(4)

代入(3)(4)，得：βCθO··ωABl,mNlNtN^l^t或(負號代表什么？)質(zhì)量m長l

的均勻細桿可繞過其中點處的水平光滑固定軸0轉(zhuǎn)動，如果一質(zhì)量為

m’的小球以速度豎直落到棒的一端，發(fā)生彈性碰撞（忽略軸處摩擦）。例4.lm’mo【解】求：碰后小球的速度及桿的角速度。桿的角速度肯定如圖，假設(shè)小球碰后瞬時的速度向上，如圖所示。系統(tǒng)：小球+桿條件：M外=0角動量守恒（軸力無力矩；小球的重力矩與碰撞的內(nèi)力矩相比可以忽略）因為彈性碰撞,

動能守恒聯(lián)立(1)(2)解得討論1.量綱對2.>0對3.當(dāng)m>3m’時,v>0（向上）當(dāng)m=3m’時,v=0（瞬時靜止）當(dāng)m<3m’時,v<0（向下）例5.兩個質(zhì)量分別為m、M的小球，位于一固定的、半徑為R的水平光滑圓形溝槽內(nèi)。一輕彈簧被壓縮在兩球間（未與球相連）。用線將兩球縛緊，并使它們靜止，如圖所示。（1）今將線燒斷，兩球被彈開后在溝槽內(nèi)運動。問此后M轉(zhuǎn)過多大角度與m相碰？（2）設(shè)原來彈簧勢能為

U0.問線燒斷后兩球經(jīng)過多少時間發(fā)生碰撞？mMR系統(tǒng)：“m+M”條件：彈簧推力的力矩之和為0；重力、槽底支持力無力矩；槽壁對球的壓力指向圓心，

M外=0，角動量守恒。設(shè)m,M剛脫離彈簧時的角速度為m，M有第（1）問：M轉(zhuǎn)過多大角度與m相碰【解】對彈出過程：溝槽水平光滑，所以m、M都作勻速圓周運動。設(shè)經(jīng)過t它們相遇，相遇時，m轉(zhuǎn)過角，M轉(zhuǎn)過角,由（1）式有即且有解（1）’（2）聯(lián)立，得第（2）問：原來彈簧勢能為U0,問線燒斷后兩球經(jīng)過多少時間發(fā)生碰撞？因為在此過程中，系統(tǒng)：m+M條件：只有保守力（彈力）作功，所以機械能守恒。能否先求出？(或)再利用（3）式的角，得將（1）式的代入上式，可解得（量綱對）例6.已知:泥球質(zhì)量為m,半徑為R的均質(zhì)圓盤質(zhì)量為M=2m,它可繞水平光滑軸o軸轉(zhuǎn)動.泥球與它正下方的圓盤上的P點距離為h，=60。

求:（1）碰撞后的瞬間

m、M

共同角速度（2）P點轉(zhuǎn)到x軸時，角速度

角加速度【解】對“泥球+地球”系統(tǒng)，只有保守力作功，故機械能守恒：m下落過程：對第（1）問

碰撞過程:對“m+M”系統(tǒng)，碰撞時間極小，沖力遠大于重力，重力（外力）對0的力矩可忽略，故角動量守恒：(1)(3)代入(2)得：轉(zhuǎn)動過程：對“m+M+地球”系統(tǒng)，對第（2）問只有重力作功，故E機守恒：令P點與x軸重合時，EP重=0(3)(4)代入(5)得：P點轉(zhuǎn)到x軸時，用質(zhì)心運動定理求aCyaCxNyNx

y

xmgCRMg0M=2m已求得P與x軸重合時，討論P與x軸重合時，軸O對盤M的作用力x向：y向：

y

xmgCaCyaCxRNyNxMg0M=2m解得軸O對盤M的作用力：x向：y向：將代入上兩式，（向左）（向上）即例7.一圓盤剛體平面運動如圖，已知m1,m2,

R,

桌面水平光滑，滑輪質(zhì)量不計。

求：圓盤角加速度。平面平行運動隨質(zhì)心的平動繞過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動【解】對m1,由牛Ⅱ?qū)2，由質(zhì)心運動方程----（1）----（2）繞過質(zhì)心的瞬時軸轉(zhuǎn)動桌面對m2

沒有摩擦力;有支持力，但無力矩。質(zhì)心雖然有加速度，不是慣性系，但是繞過質(zhì)心的瞬時軸的轉(zhuǎn)動方程是和慣性系中的轉(zhuǎn)動方程一樣的，可以解得有----（3）運動學(xué)關(guān)系：----（4）將（1）（2）代入（4），再將（3）代入之，例8.

勻質(zhì)球由靜止沿斜面無滑動滾動（純滾動）求：質(zhì)心下降h時的vc

及斜面的fr無滑動，不作功：E

守恒對球＋地，分析力靜摩擦力的作用：把部分能量變成轉(zhuǎn)動動能。【解】無滑動，有：得（注意：對質(zhì)心的角速度與對接觸點的是相同的）質(zhì)心系中動能定理：將ω代入得由動能定理：質(zhì)心系中：是作功的，而且只有它作功。此力作用的位移就是球在斜面上純滾動的長度h/sin有5.6進動（旋進Precession）例如:陀螺進動：高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象。為什么重心已經(jīng)偏出支撐點但是不倒？能否從力學(xué)規(guī)律上解釋？一般地說，轉(zhuǎn)動剛體的角動量和角速度是不平行的。進動是一種剛體繞點轉(zhuǎn)動的有趣現(xiàn)象。但若剛體質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布對稱時，則有（對轉(zhuǎn)軸上的任一點）：例如，圖中所示剛體以輕桿連接，（不對稱），則對O點的

顯然不平行于。為簡單起見,我們只討論具有對稱軸的剛體的旋進問題。即m2r2m1r1L2L1LOωz利用質(zhì)點系對固定點的角動量定理在陀螺的自轉(zhuǎn)軸有一傾角時,陀螺受的重力產(chǎn)生的對o點的力矩為（方向向里）的方向也向里,并且在水平面內(nèi),如圖。×MdL·mgθOω×如連續(xù)畫下去，可以看到角動量矢量的端點，繞豎直軸作圓周運動，這就表現(xiàn)出進動現(xiàn)象。所以，進動現(xiàn)象正是自旋的物體在外力矩的作用下沿外力矩方向改變其角動量矢量的結(jié)果。計算進動的角速度Ω：