第十八章 相似原理和模型試驗基礎(chǔ)

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18相似原理和模型試驗基礎(chǔ)采用模型試驗和理論分析相結(jié)合的方式是解決問題的有效途徑之一，在把模型中的實測資料引用到原型中產(chǎn)生下述問題：

(1)如何設(shè)計模型才能是模型和原型中的流動相似？

(2)如何把模型中觀測的流動現(xiàn)象和數(shù)據(jù)換算到原型中去？相似原理提供了解決這兩個問題的理論基礎(chǔ)。2

18.1相似現(xiàn)象的相似特征幾何相似：在兩個幾何圖形的相應(yīng)長度都保持固定的比例關(guān)系。

表征液體運(yùn)動的三種不同性質(zhì)的量：表征流場幾何形狀的、表征運(yùn)動狀態(tài)的以及表征動力的物理量。故兩個流動系統(tǒng)的相似可用幾何相似、運(yùn)動相似及動力相似來描述。

原型：Prototype

模型：Model3

幾何相似

幾何相似是指原型與模型保持幾何形狀和幾何尺寸相似，也就是原型和模型的任何一個相應(yīng)線性長度保持一定的比例關(guān)系。式中為長度比尺。面積比尺體積比尺4

運(yùn)動相似

運(yùn)動相似是指原型與模型兩個流動中任何對應(yīng)質(zhì)點的跡線是幾何相似的，而且任何對應(yīng)質(zhì)點流過相應(yīng)線段所需的時間又是具有同一比例的?；蛘哒f兩個流動的速度場(或加速度場)是幾何相似的。設(shè)時間比尺：則速度比尺加速度比尺5

動力相似

原型和模型流動中任何對應(yīng)點上作用著同名的力，各同名力相互平行且具有同一比值則稱該兩流動為動力相似?；驒C(jī)械運(yùn)動相似的兩個系統(tǒng)都應(yīng)受牛頓第二定律約束，即有6

動力相似

上式表明相似系統(tǒng)中各物理量的比尺是不能任意選定的而要受描述該運(yùn)動現(xiàn)象的物理方程的制約的。因則有也可寫成：即兩個相似流動的牛頓數(shù)應(yīng)該相等，這是流動相似的重要判據(jù)，稱為牛頓相似準(zhǔn)則。7

牛頓相似準(zhǔn)則只具有一般意義，要解決具體模型試驗的比尺關(guān)系還必須根據(jù)描述特定運(yùn)動現(xiàn)象的物理方程來導(dǎo)出特定相似準(zhǔn)則。根據(jù)納維-斯托克斯方程（x方向），原型流動中任意點的運(yùn)動必須遵循（18.12）模型流動中任意點的運(yùn)動必須遵循（18.13）8

兩個相似流動之間存在下列各種比尺關(guān)系：

將這些關(guān)系代入（18.12）式可得

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----（18.14）若兩個流動相似，則式（18.13）與（18.14）應(yīng)相等，由此式可得

（18.15）

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為重力之間的比值，為動力壓強(qiáng)之間的比值，為粘滯力之間的比值，為當(dāng)?shù)丶铀俣犬a(chǎn)生的當(dāng)?shù)貞T性力之間的比值，為位移加速度產(chǎn)生的位移慣性力之間的比值。式（18.15）中各項均以位移慣性力的比值除之，則得

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這樣我們就得到4個量綱一的數(shù)第一個表征重力和位移慣性力的比值，稱為弗勞德數(shù)；第二個表征動水壓強(qiáng)與位移慣性力的比值，稱為歐拉數(shù)；第三個表征粘滯力與位移慣性力的比值，稱為雷諾數(shù)；第四個表征當(dāng)?shù)貞T性力與位移慣性力的比值，稱為斯特勞哈爾數(shù)。這些量綱一的數(shù)都叫做相似準(zhǔn)數(shù)。12

相似條件

模型中的任何一個都必須和原型為同一物理方程所表述這是實現(xiàn)相似的第一個條件。模型與原型的單值條件所包含的物理量相似是實現(xiàn)相似的第二個條件。模型與原型的有關(guān)的相似準(zhǔn)數(shù)相等是實現(xiàn)相似的第三個條件。滿足這三個條件，模型與原型的流動才能完全相似。13

單項力作用下的相似準(zhǔn)則

(1)

重力相似準(zhǔn)則流經(jīng)閘、壩的水流，起主導(dǎo)作用的力是重力，只要用重力代替牛頓數(shù)中的F，根據(jù)牛頓相似準(zhǔn)則就可求出只有重力作用下液流相似準(zhǔn)則。重力可表示為G=ρgV

或

以代替最后得到作用力只有重力時，兩個相似系統(tǒng)的弗勞德數(shù)應(yīng)相等，這就叫做重力相似準(zhǔn)則，或稱弗勞德準(zhǔn)則，模型與原型之間各物理量的比尺不能任意選擇，必須遵循弗勞德數(shù)準(zhǔn)則。14

現(xiàn)將各種物理量的比尺與模型比尺的關(guān)系推導(dǎo)如下：

(1)流速比尺

(2)流量比尺

(3)時間比尺

(4)力的比尺

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(5)

壓強(qiáng)比尺

(6)功的比尺

（7）功率的比尺

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2.阻力相似準(zhǔn)則阻力相似準(zhǔn)則：

根據(jù)水流的流態(tài)來研究什么情況下才能滿足上式（1）水流在阻力平均方區(qū)----可用謝齊公式計算J值

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若要求=，則即

若按弗勞德準(zhǔn)則設(shè)計模型比尺

又因故

在阻力平方區(qū)，所以

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水流在阻力平方區(qū)時，只要模型與原型的相對粗糙度相等，就可以做到模型與原型流動的阻力相似，就可以用弗勞德準(zhǔn)則進(jìn)行阻力作用相似模型的設(shè)計。如用曼寧公式則

(2)水流在層流區(qū)----層流時，阻力主要由水流的粘滯力引起

水流為層流時，如模型按照弗勞德準(zhǔn)則設(shè)計，要求模型與原型的水流阻力相似，兩者的弗勞德數(shù)，雷諾數(shù)必須相等。

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要粘滯力作用相似，則模型與原型的雷諾數(shù)必須相等，這叫雷諾準(zhǔn)則。由雷諾準(zhǔn)則推導(dǎo)模型與原型各物理量的比尺與模型比尺的關(guān)系如下：

(1)流速比尺

(2)流量比尺

(3)時間比尺

(4)力的比尺

當(dāng)時20

(5)壓強(qiáng)比尺

當(dāng)時

(6)功的比尺

當(dāng)時

7.功率比尺

當(dāng)時

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3.慣性力相似準(zhǔn)則要使兩個流動的當(dāng)?shù)貞T性力作用相似，則它們的斯特勞哈爾數(shù)必須相等，這稱為慣性力相似準(zhǔn)則，也稱為斯特勞哈爾準(zhǔn)則。

4.彈性力準(zhǔn)則要使兩個流動的彈性力作用相似，它們的柯西數(shù)必須相等，這稱為彈性力相似準(zhǔn)則，或稱柯西數(shù)準(zhǔn)則。

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5.表面張力相似準(zhǔn)則要使兩個流動的表面張力作用相似，則它們的韋伯?dāng)?shù)必須相等，這稱為表面張力準(zhǔn)則，也稱韋伯準(zhǔn)則。

6.壓力相似準(zhǔn)則要使兩個流動的壓力作用相似，則它們的歐拉數(shù)必須相等，這稱為壓力準(zhǔn)則，也稱歐拉準(zhǔn)則。

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歐拉數(shù)中的動水壓強(qiáng)p也可用壓差Δp代替，這樣歐拉數(shù)具有下列形式

在研究氣穴現(xiàn)象時，歐拉數(shù)具有重要的意義，通常Δp用某處的絕對壓強(qiáng)與汽化壓強(qiáng)的差來表示，并用歐拉數(shù)的2倍作為衡量氣穴的指標(biāo)

K就是氣穴指數(shù)。24

18.4水工模型設(shè)計的幾點說明

(1)如果原型液流是紊流，則模型中的液流也應(yīng)該是紊流，在設(shè)計河道模型時要選擇幾個流速較小的斷面進(jìn)行校核。

(2)原型水流是緩流或急流，模型中也相應(yīng)為緩流或急流。

(3)在阻力相似的模型中，應(yīng)該保持粗糙系數(shù)的相似，并檢驗?zāi)Ｐ退魇欠裨谧枇ζ椒絽^(qū)。25

18.5變態(tài)模型

縱向與橫垂向比尺不同的變態(tài)模型在隧道模型試驗時根據(jù)正態(tài)模型設(shè)計要求選定線形比尺后，再按公式計算。設(shè)縱向線形比尺，橫、垂向線形比尺為，根據(jù)重力相似準(zhǔn)則

因故

同理有

因為所以代入前式得

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因為，所以有

根據(jù)曼寧公式得

根據(jù)上面兩式得

如果隧道材料已選定則模型縱向比尺為

由此可求出隧道模型實際長度

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縱、橫向與垂直方向比尺不同的變態(tài)模型

設(shè)縱，橫向線形比尺為垂直方向線形比尺為根據(jù)重力準(zhǔn)則可得

同理由阻力準(zhǔn)則可得