第3章測試信號的時域分析與處理

本章學(xué)習(xí)要求：1.掌握信號時域特征的獲取方法2.掌握信號與數(shù)據(jù)的插值方法3.了解信號與數(shù)據(jù)的擬合方法4.掌握數(shù)值微分和數(shù)值積分5.了解時域信號的平滑和建模數(shù)字信號處理主要研究用數(shù)字序列來表示測試信號，并用數(shù)學(xué)公式和運(yùn)算來對這些數(shù)字序列進(jìn)行處理，以便把信號變換成符合某種需要的形式。內(nèi)容包括數(shù)字波形分析、幅值分析、頻譜分析和數(shù)字濾波。

數(shù)字信號處理基礎(chǔ)數(shù)字信號處理中常用的運(yùn)算有差分方程計算、相關(guān)系數(shù)計算、離散傅里葉變換計算、功率譜密度計算、矩陣運(yùn)算、對數(shù)和指數(shù)運(yùn)算、復(fù)頻率變換及模數(shù)和數(shù)值轉(zhuǎn)換等。數(shù)字信號處理的優(yōu)勢1)用數(shù)學(xué)計算和計算機(jī)顯示代替復(fù)雜的電路和機(jī)械結(jié)構(gòu)2)計算機(jī)軟硬件技術(shù)發(fā)展的有力推動a)多種多樣的工業(yè)用計算機(jī)。

b)靈活、方便的計算機(jī)虛擬儀器開發(fā)系統(tǒng)物理信號對象傳感器電信號放大調(diào)制電信號A/D轉(zhuǎn)換數(shù)字信號計算機(jī)顯示D/A轉(zhuǎn)換電信號控制物理信號測試信號數(shù)字化處理的基本步驟預(yù)處理數(shù)字處理a、信號調(diào)理（預(yù)處理）：是指在數(shù)字處理之前，對信號用模擬方法進(jìn)行的處理。把信號變成適于數(shù)字處理的形式，以減小數(shù)字處理的困難。對輸入信號的幅值進(jìn)行處理，使信號幅值與A／D轉(zhuǎn)換器的動態(tài)范圍相適應(yīng)；衰減信號中不感興趣的高頻成分，減小頻混的影響；隔離被分析信號中的直流分量，消除趨勢項及直流分量的干擾解調(diào)b、A／D轉(zhuǎn)換：是將預(yù)處理以后的模擬信號變?yōu)閿?shù)字信號，存入到指定的地方。信號經(jīng)過上述變換以后，即變成了時間上離散、幅值上量化的數(shù)字信號。采樣――利用采樣脈沖序列，從信號中抽取一系列離散值，使之成為采樣信號的過程．編碼――將經(jīng)過量化的值變?yōu)槎M(jìn)制數(shù)字的過程。

量化(quantization)――把采樣信號經(jīng)過舍入變?yōu)橹挥杏邢迋€有效數(shù)字的數(shù)，這一過程稱為量化．4位A/D:XXXXX(1)0101

X(2)0011

X(3)0000

C、數(shù)字信號分析：可用數(shù)字運(yùn)算器件組成信號處理器完成，也可用通用計算機(jī)。

數(shù)字信號處理的主要內(nèi)容包括頻譜分析、功率譜分析、相關(guān)分析、數(shù)字濾波與信號的識別等。目前分析計算速度很快，已近乎達(dá)到“實時”。

d、結(jié)果顯示：一般采用數(shù)據(jù)和圖形顯示結(jié)果

信號的時域處理是處理觀測結(jié)果的首要任務(wù)。如最大值，最小值、過零點等。對于隨機(jī)信號，其統(tǒng)計特性的獲取是其時域處理的主要內(nèi)容。本章以討論時間序列x(n)的處理方法為主。3.1信號時域特征的獲取方法假如采集的信號為模擬電壓信號x(t),經(jīng)過ADC后變?yōu)榘匆欢〞r間間隔Ts采樣的時間序列x[n]。如果ADC容許的工作范圍（滿量程值）記為Q，在這個范圍內(nèi)模擬信號將被劃分為差值相等的（2N-1）個數(shù)，因此采樣信號的分辨率可定為如圖3-1所示，在任一采樣間隔內(nèi)，x(t)是連續(xù)變化的，而x(n)為常數(shù)，由A/D轉(zhuǎn)換所造成的量化誤差（量化噪聲）為e=x(t)-x(n)。e的值在±q/2范圍內(nèi)作均勻分布。3.1.1采樣信號的主要特點e的均值為

e的方差為

e的標(biāo)準(zhǔn)差為由量化噪聲形成的信噪比SNR定義為信號x(t)的均方值與量化噪聲的方差之比。3.1.1采樣信號的主要特點1.零線的獲取方法測試信號的零線通常并不與數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的零點重合。記錄數(shù)據(jù)后需要找出并恢復(fù)零線。在測試時須先記錄一段零信號（見圖3-2），在該水平段范圍內(nèi)取足夠數(shù)量的采樣值求其算術(shù)平均值作為曲線的零點，其他各點的幅值由采樣值減去零線的值即可。3.1.2時域信號的特征值獲取方法2.峰值的獲取方法對采樣所得的時間序列，逐點進(jìn)行判讀，記下出現(xiàn)最大或最小值的點，減去零線值就得到峰（或谷）值。在多峰時，可以人工將序列分段，每段只含一個峰，然后進(jìn)行搜索。3.1.2時域信號的特征值獲取方法但這種搜索方法往往難以保證精度。原因:峰值正好在兩次采樣間隔之間峰值附近有一較大毛刺（1）采樣率與峰值判讀的誤差關(guān)系因為很難保證采樣點剛好與峰值點重合，采樣點的信號值必然小于峰值。誤差與峰值附近曲線的變化率和采樣頻率有關(guān)。例子，p303.1.2時域信號的特征值獲取方法由上例可知要通過簡單搜索方法獲取一定精度的峰值數(shù)據(jù)，采樣頻率應(yīng)遠(yuǎn)大于采樣定理要求的兩倍關(guān)系。但采樣頻率過大有其不合理之處?？梢圆扇〗⒉逯刀囗検降姆椒ā＃?）干擾噪聲對峰值判讀的影響干擾噪聲過大時，不能用插值多項式來獲取峰值，需采用曲線擬合的方法?；虿扇∑渌麛?shù)據(jù)平滑措施（例如滑動平均法）后再判讀峰值。3.1.2時域信號的特征值獲取方法3.信號周期、上升時間和脈沖寬度的獲取方法上述幾個值的獲取以過零點的判讀為基礎(chǔ)。方法：設(shè)零線值為x0，選定一個零點判讀容許誤差限±δ，然后對序列x[n]進(jìn)行搜索，凡是滿足條件x0-δ<x[n]<x0+δ的點就判定為過零點。與峰值類似，當(dāng)采樣頻率不足時，零點判讀也會出現(xiàn)嚴(yán)重誤差?？捎貌逯捣ɑ驍M合法進(jìn)行修正。例如：p30

3.1.2時域信號的特征值獲取方法確定性信號、隨機(jī)信號純隨機(jī)信號（例如發(fā)動機(jī)噪聲）、隨機(jī)信號包含確定性信號（例如紙張厚度、自由落體的速度）3.1.3隨機(jī)信號統(tǒng)計特性的獲取測試信號盡管是隨機(jī)的，但包含著許多重要信息。從隨機(jī)信號中提取有用信息，首先是提取其統(tǒng)計特征值。本書只討論各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號。本章只討論隨機(jī)的時間序列。

(教材P21圖1.11)

隨機(jī)信號是非確定性信號，不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，但其值的變化服從統(tǒng)計規(guī)律。

對隨機(jī)信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄稱為樣本函數(shù)，記作x(t)。

在同一試驗條件下，全部樣本函數(shù)的集合就是隨機(jī)過程。補(bǔ)充知識：各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號隨機(jī)過程的樣本函數(shù)00000x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)t1t2ttttt補(bǔ)充知識：各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號

時間平均是按單個樣本的時間歷程進(jìn)行平均的計算。

總體平均是某時刻對所有樣本函數(shù)的觀測值求平均的計算。

平穩(wěn)隨機(jī)過程是統(tǒng)計特征參數(shù)不隨時間變化而改變的隨機(jī)過程。否則就是非平穩(wěn)隨機(jī)過程。

各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程中任取一個樣本函數(shù)，其時間平均參數(shù)與所有樣本函數(shù)在某時刻的總體平均參數(shù)一致。一般工程上遇到的平穩(wěn)隨機(jī)過程大多數(shù)是各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程。補(bǔ)充知識：各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號

時間均值：適用于紙張厚度

樣本均值：適用于自由落體速度

1.均值設(shè)共進(jìn)行了K此測試，每次測試得到的序列為然后對每個時間點的K個數(shù)據(jù)進(jìn)行平均

均值不能反映隨機(jī)序列幅度變化的大小，方差和標(biāo)準(zhǔn)差可以給出這方面的信息。

時間序列x[n]的（均）方差記為δx

2或var（x[n]),定義為：２.方差(variance)及標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)

如果將均值看作是x[n]的直流分量的幅度，那么方差描述了交流分量的強(qiáng)度。標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差的平方根。補(bǔ)充知識：白噪聲

白噪聲或白雜訊，是一種功率頻譜密度為常數(shù)的隨機(jī)信號或隨機(jī)過程。換句話說，此信號在各個頻段上的功率是一樣的，

由于白光是由各種頻率（顏色）的單色光混合而成，因而此信號的這種具有平坦功率譜的性質(zhì)被稱作是“白色的”，此信號也因此被稱作白噪聲。相對的，其他不具有這一性質(zhì)的噪聲信號被稱為有色噪聲。補(bǔ)充知識：白噪聲理想的白噪聲具有無限帶寬，因而其能量是無限大，這在現(xiàn)實世界是不可能存在的。實際上，我們常常將有限帶寬的平整訊號視為白噪音，因為這讓我們在數(shù)學(xué)分析上更加方便。白噪聲在數(shù)學(xué)處理上比較方便，因此它是系統(tǒng)分析的有力工具。白噪聲信號波形特征

（是一種功率頻譜密度為常數(shù)的隨機(jī)信號或隨機(jī)過程，此信號在各個頻段上的功率是一樣的。）

方差不能反映交變分量變化的快慢及信號幅值的分布狀況。

時間序列x[n]的自協(xié)方差定義為：３.自協(xié)方差與自相關(guān)系數(shù)

當(dāng)ｋ＝０時，當(dāng)ｘ［ｎ］為白噪聲序列時，則有

這也是白噪聲最重要的特征之一，說明白噪聲序列的每一個值都是獨立的，序列完全沒有記憶，其變化極快，具有無限的信號帶寬。是一種理想信號。

序列在ｋ較小時取正值，隨著ｋ值的增加而趨近與零。趨近與零的速度越慢，表明信號的記憶性越強(qiáng)，變化也較慢。３.自協(xié)方差與自相關(guān)系數(shù)

自相關(guān)系數(shù)的定義為：

自相關(guān)系數(shù)可以看做是歸一化的自協(xié)方差。關(guān)于相關(guān)將在第５章詳細(xì)討論。p(x)的計算方法：

信號的幅值域分析包括信號的幅值概率密度函數(shù)分析和幅值概率分布函數(shù)分析，它反映了信號落在不同幅值強(qiáng)度區(qū)域的概率密度和概率分布情況。4.概率分布直方圖

以幅值大小為橫坐標(biāo)，以每個幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)的頻次為縱坐標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種方法。直方圖概率密度函數(shù)歸一化概率分布函數(shù)

概率分布函數(shù)是信號幅值小于或等于某值R的概率，其定義為：概率分布函數(shù)又稱之為累積概率，表示了落在某一區(qū)間的概率。

不同的隨機(jī)信號有不同的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)圖形，由此可判別信號的性質(zhì)。

已有的概率分布函數(shù)有很多，常見的有正態(tài)分布（高斯分布）和均勻分布。白噪聲符合正態(tài)分布，量化噪聲符合均勻分布。4.概率分布

設(shè)ｙ＝ｆ（ｘ）為區(qū)間［ａ，ｂ］上的連續(xù)函數(shù)，已知離散數(shù)據(jù)（ｘｉ，ｙｉ）滿足ｙｉ＝ｆ（ｘｉ）。代數(shù)插值就是要尋找一個代數(shù)式ｐ（ｘ）滿足條件3.２信號與數(shù)據(jù)的插值方法3.２.1代數(shù)插值方法概述

工程上一般選用多項式作為ｐ（ｘ）的函數(shù)形式。原因有二?？梢宰C明（見Ｐ３５）只要基點ｘｉ沒有相同的，就有唯一的多項式滿足插值條件（上式）。用通常方法求取多項式系數(shù)計算過于復(fù)雜。因此提出拉格朗日和牛頓插值。

為便于求得插值多項式，將式（３.２－３）中的多項式改為Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多項式：3.２.２拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）插值

式中，ｌｉ（ｘ）稱為朗格朗日基本多項式，可以取

注意，上式分子中沒有（ｘ－ｘｉ）項，分母中沒有（ｘｉ－ｘｉ）項。

于是Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多項式可寫為：3.２.２拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）插值１.拉格朗日線性插值：設(shè)已得未知函數(shù)的兩點（ｘ０，ｙ０），（ｘ１，ｙ１）。求通過這兩點的插值多項式。代入上式得：

這是經(jīng)過兩點的直線方程，所以這種插值方法稱為線性插值。3.２.２拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）插值２.二次（拋物線）插值：設(shè)已得未知函數(shù)的三點（ｘ０，ｙ０），（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）。求通過這三點的插值多項式。?。睿剑驳茫?/p>

這是一個ｘ的二次多項式，如三點不在一條直線上，則是一個拋物線。因此，這種插值方法叫二次插值或拋物線插值。見圖３－３3.２.２拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）插值２.二次（拋物線）插值：例３－１

插值基點已知時，插值多項式p(x)是唯一的；然而通過這些插值點的f(x)卻有無數(shù)種可能。對差值余項的估計可采取后驗估計法：

首先選定插值點ｘ屬于(a,b),比較和

是否近似相等。若相等，則取作為插值多項式，否則增加基點計算，并與比較，一直到精度滿意為止。3.２.3牛頓（Newton）插值法

拉格朗日插值法在增加基點時必須重新計算，為克服這個缺點，引入牛頓插值法等。牛頓插值多項式的形式為：

不難看出Nn(x)可由Nn-1(x)通過增加一個新項而得。當(dāng)已經(jīng)求得Nn-1(x)時，只要求得an即可通過上述遞推關(guān)系求得Nn(x)

；而a0，a1．．．a(chǎn)n-1并不需要重新計算。這就是牛頓插值法的主要優(yōu)點。

3.２.3牛頓（Newton）插值法

當(dāng)已知n+1個數(shù)據(jù)求插值多項式Nn(x)時，只需將數(shù)據(jù)代入上式中得到線性方程組：

可用線性代數(shù)求解上述方程組。另外，這是一個下三角方程，所以可用遞推法求解。（略）

3.２.4多項式插值的誤差

多項式插值在基點（數(shù)據(jù)點）處誤差為零，但在其他地方存在誤差。例3-3、例3-4

由例子可知，插值區(qū)間中間部分誤差較小并隨多項式階次增加而減小。而兩端誤差較大并可能隨多項式階次增加更大（圖3-6）。稱為Runge現(xiàn)象。

為克服Runge現(xiàn)象所形成的誤差，7階以上的多項式實際很少采用。在數(shù)據(jù)點很多的情況下，通常采用兩種方法克服Runge現(xiàn)象。第一，采用低階（3階以下）多項式插值（下節(jié)討論）。

3.２.4多項式插值的誤差其根為：

當(dāng)插值區(qū)間不是（-1,1）而是（a,b)時，要做區(qū)間變換。

例3-5

第二，可以采用在插值區(qū)間的中間減少數(shù)據(jù)點且在邊上適當(dāng)加密的方法。目前常用的為切比雪夫點。

3.２.5分段插值和樣條函數(shù)分段插值：將插值區(qū)間劃分為一系列的子區(qū)間，每個子區(qū)間只包含少量的基點，在子區(qū)間內(nèi)用低階多項式插值，這就叫分段插值。

當(dāng)插值區(qū)間較大，數(shù)據(jù)點很多時，低階多項式插值，誤差大。高階插值，計算量大。分段插值可以改善插值精度。

缺陷：插值結(jié)果所得的分多項式在區(qū)間交界點上其導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。樣條函數(shù)正是根據(jù)這種要求而研究出來的。（略）

3.3信號與數(shù)據(jù)的擬合方法插值要求插值函數(shù)通過所有數(shù)據(jù)點，當(dāng)插值點誤差很小時，是合理的。但隨機(jī)誤差過大時，這種要求會使得插值曲線變得復(fù)雜而不合理。

更合理的方法是設(shè)法找到一條曲線，它并不通過所有數(shù)據(jù)點，但所有的點與曲線都相當(dāng)貼近。這樣的曲線稱為擬合曲線，求取曲線的過程稱為曲線擬合。

3.3.1最小二乘擬合曲線有了數(shù)據(jù)（xi,yi)之后，首先選定g(x)的函數(shù)形式。方法1：依靠對被測對象的已有知識，找到描述被測過程的數(shù)學(xué)模型（函數(shù)形式比較簡明），就可以作為g(x)的具體形式，然后根據(jù)已有數(shù)據(jù)確定待定系數(shù)。方法2：根據(jù)已有數(shù)據(jù)作出曲線或在顯示器上顯示，根據(jù)圖形選定一個與其軌跡近似的函數(shù)。

多項式階數(shù)、系數(shù)改變時曲線形式豐富，被大量選用。

3.3.1最小二乘擬合曲線將各個數(shù)據(jù)點代入f(x)將得到N個如下形式的方程：

ei稱為殘差，殘差越小，擬合效果越好，定量判定擬合效果的判據(jù)有以下幾種：

最大誤差：

平均誤差：

均方根誤差：

3.3.1最小二乘擬合曲線最大誤差只以一個點的殘差判斷數(shù)據(jù)優(yōu)劣，顯得不夠全面。平均誤差則比較全面。均方根誤差從統(tǒng)計學(xué)角度有其重要含義，因此通常把E2(f)最小的曲線認(rèn)為是最佳的曲線。要使E2(f)最小，只要最小，這叫最小二乘原理。下面討論最小二乘擬合直線的求法。

1.最小二乘直線擬合已知一組數(shù)據(jù)（xi,yi),欲求最小二乘直線即要求系數(shù)A，B能保證下式為最小值。

為此應(yīng)令E（A，B）對A和B的偏導(dǎo)數(shù)均為零可得：該方程組稱為最小二乘直線的正規(guī)方程（法方程），解之可得A，B。2.最小二乘多項式擬合選定擬合函數(shù)的形式為K階多項式曲線與數(shù)據(jù)點的殘差為

殘差平方和為為使E(c)最小化，可令E關(guān)于ci的偏導(dǎo)數(shù)為零，得到一組K+1個方程稱為正規(guī)方程，解之可得待定系數(shù)ci,也就是得到了最小二乘多項式。補(bǔ)充知識：差分方程與Z變換

差分的概念：一般地，在連續(xù)變化的時間范圍內(nèi)，變量y關(guān)于時間t的變化率是用dy/dt來刻畫的；對離散型的變量y[n],常取在規(guī)定的時間區(qū)間上的差商Δy[n]/Δt來刻畫變量y[n]的變化率。如果選擇Δt=1，則可以近似表示變量y[n]的變化率。這就是一階差分。二階差分：補(bǔ)充知識：差分方程與Z變換很多系統(tǒng)本身就是在離散時間內(nèi)運(yùn)算的。例如股票市場、人口統(tǒng)計等分析中，關(guān)注的是某數(shù)據(jù)x[n]的慢變化趨勢，為了濾除少量數(shù)據(jù)的過大起伏，往往計算某一段時間間隔內(nèi)數(shù)據(jù)的平均值y[n]。設(shè)共取2M+1個數(shù)據(jù)，則有方程某人從銀行貸款，月息為β，設(shè)第n個月還款x[n]元，月底剩余欠款y[n]元，則y[n]為上月的欠款及利息減去當(dāng)月還款后的值。補(bǔ)充知識：差分方程與Z變換例如，用計算機(jī)求解微分方程選取合適的時間間隔Ts對連續(xù)時間信號采樣，y[n]=y(nTs),x[n]=x(nTs),y(t)在t=nTs處的導(dǎo)數(shù)可用y[n]鄰近的樣點近似求解。由以上兩式得：整理的：補(bǔ)充知識：差分方程與Z變換無論何種離散系統(tǒng)，其輸入輸出均為數(shù)據(jù)序列，系統(tǒng)按特定規(guī)律對輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算。系統(tǒng)一般可用差分方程描述，其形式為：其中N為差分方程的階數(shù)。差分方程是微分方程的離散形式。補(bǔ)充知識：差分方程與Z變換與拉普拉斯變換在連續(xù)信號與系統(tǒng)中起的作用類似，z變換是分析離散時間信號與系統(tǒng)的重要工具。離散時間信號x[n]的z變換X(z)為復(fù)變量z的函數(shù)，變換域函數(shù)x[z]與時間域函數(shù)x[n]具有相同的信息。序列x[n]的z變換為：例如：單位樣值序列和單位階躍序列的Z變換分別為，補(bǔ)充知識：差分方程與Z變換

z變換的性質(zhì)：1.線性

2.移位

3.z域微分補(bǔ)充知識：差分方程與Z變換

z變換的性質(zhì)：4.Z域尺度變換

5.初值定理

6.卷積定理補(bǔ)充知識：差分方程與Z變換

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：Z域零狀態(tài)響應(yīng)與激勵的比值。當(dāng)系統(tǒng)的差分方程給出時，設(shè)為在零狀態(tài)條件下，對上式兩邊取z變換，傳遞函數(shù)為3.4數(shù)值微分和數(shù)值積分?jǐn)?shù)據(jù)采集系統(tǒng)記錄的變化曲線，實際上都是按一定采樣周期Ts采樣所得的時間序列。數(shù)據(jù)處理時要求對這些“曲線”進(jìn)行微分或者積分。但其沒有具體的函數(shù)形式，因此只能采用數(shù)值積分或數(shù)值微分。3.4.1差分近似微分常用的有以下三種差分近似方法：向前差分近似向后差分近似

中心差分近似二階導(dǎo)數(shù)可用二階差分近似，以向前差分為例：3.4.2插值多項式的導(dǎo)數(shù)對已知數(shù)據(jù)點（xi,yi)可以通過插值或擬合而得到能反映y=f(x)關(guān)系的多項式：

在x=0處，p(x)的k階導(dǎo)數(shù)如果要求x=a處的各階導(dǎo)數(shù)，可以做一次坐標(biāo)變換，令然后對數(shù)據(jù)點（zi,yi)建立插值多項式或擬合多項式求出上式在z=0處的導(dǎo)數(shù)即在x=a處的導(dǎo)數(shù)。3.4.3數(shù)值積分法求積分就是求曲線下面的面積，但現(xiàn)在只有數(shù)據(jù)點而沒有曲線，因此計算結(jié)果與如何在數(shù)據(jù)點之間插值關(guān)系密切。數(shù)據(jù)點之間用直線連接（線性插值），稱為梯形法。用3個或4個數(shù)據(jù)點作二階或三階多項式插值，然后計算面積，稱為辛普森法。用四階多項式插值，稱為科特斯法。N階拉格朗日插值，牛頓-科特斯法。1.牛頓-柯特斯公式用n階拉格朗日多項式pn(x)去逼近f(x),由（3.2-6)得故

式中1.牛頓-柯特斯公式ωi稱為權(quán)系數(shù)，而牛頓-柯特斯積分公式為由式3.2-7可知，li(x)只與自變量x及多項式階數(shù)n有關(guān)，而與函數(shù)值y=f(x)無關(guān)，因此Ai是與被積函數(shù)無關(guān)的一組數(shù)據(jù)。經(jīng)推導(dǎo)（過程略）得：表3-3給出了各階多項式的權(quán)系數(shù)值，將系數(shù)代入上式得2.組合積分方法高于四階的效果不好，計算繁雜，誤差較大。因此可用低階的公式進(jìn)行組合積分。當(dāng)b-a較大時，可將區(qū)間(a,b)等分成幾個子區(qū)間，然后分段進(jìn)行梯形積分并相加。上式稱為組合梯形積分公式2.組合積分方法如果分段進(jìn)行辛普森積分并相加，則將積分區(qū)間分為m(m=2n)個子區(qū)間，并取兩個子區(qū)間（含三個數(shù)據(jù)點）為一個積分子區(qū)間，進(jìn)行二階多項式插值后求積分。由3.4-14可得上式稱為組合辛普森積分公式3.5時域信號的平滑與建模有用信號（確定性信號或隨機(jī)信號）一般都是與干擾信號（與有用信號無關(guān)的隨機(jī)信號）混合在一起的。本節(jié)討論的就是如何將有用信號提取出并探明有用隨機(jī)信號和干擾噪聲的統(tǒng)計特性。

測試信號x(t)可看做趨勢項y(t)和隨機(jī)噪聲u(t)相加的結(jié)果。

y(t)是有用信號，通常比x光滑，反映了x走向趨勢。u(t)是信號x的隨機(jī)部分，對u建模就是確定其統(tǒng)計學(xué)特性（均值、方差、概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)）。對信號的建模包含對其趨勢項和隨機(jī)項的建模。3.5.1滑動平均（MA）模型與曲線擬合類似，可以在一個較長的時域信號中摘取一小段，然后用多項式或直線去逼近其趨勢項，從而達(dá)到信號平滑的目的。

信號建模就是確定上述多項式的階數(shù)和系數(shù)。雖然最小二乘法也適用，但由于時域信號量大，因此計算量太大，需考慮其他方法。在時間序列x[n]中某一點x[n]前后各取k個數(shù)據(jù)點，并通過這2K+1個數(shù)據(jù)擬合一個最小二乘直線，則這條直線一定通過平均數(shù)據(jù)點。3.5.1滑動平均（MA）模型令x[n]的平均值作為趨勢項y[n]的估計值，就等于在該點上應(yīng)用了最小二乘直線的估計值，卻沒有進(jìn)行繁復(fù)的系數(shù)估算。對時間序列x[n]逐點進(jìn)行上述平均處理，稱為滑動平均MA（MovingAverage)。也可以采用遞推算法：3.5.1滑動平均（MA）模型考慮時間間隔越久遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)對某時刻信號的影響越小，因此引入加權(quán)平均的概念。將3.5-5改寫為式3.5-5相當(dāng)于等權(quán)平均。ai應(yīng)滿足否則將引進(jìn)不應(yīng)有的增益或衰減。一般在所考慮的2k+1個數(shù)據(jù)點中間取最大權(quán)值，然后向前后對稱遞減，遞減規(guī)律可以是線性也可是非線性。(以三角形分布為例，p59)3.5.1滑動平均（MA）模型如果對所選數(shù)據(jù)點進(jìn)行非線性擬合并按擬合結(jié)果進(jìn)行平滑，其結(jié)果就相當(dāng)于加權(quán)平均平滑。下面以二階多項式擬合為例說明，例如取五個點x[n-2],x[n-1],x[n],x[n+1],x[n+2],并將時間坐標(biāo)原點移到x[n]處，這樣得到5對數(shù)據(jù)。對此用最小二乘法求二次擬合曲線得3.5.1滑動平均（MA）模型要求a0,a1,a2來保證E最小，可對E求偏導(dǎo)數(shù)，令其為零并解方程組（過程略），取t=0時的作為y[n]的估計值，即顯然這相當(dāng)于取滑動平均的權(quán)系數(shù)為至于取更多點數(shù)據(jù)做多項式擬合平滑，相應(yīng)的模型可用以下差分方程表示，系數(shù)可查表3-5第1、3章作業(yè)1.測試信號的物理特性千差萬別，但按其變化特點來看可以分為三類，試問分別為哪三類并簡述各自特點。2.測試信號處理及分析的主要目的（內(nèi)容）有哪些？3.某12位AD轉(zhuǎn)換器工作范圍為0-5V，試求該AD轉(zhuǎn)換器的分辨率q及其量化噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差δe.4.時域信號中峰值是如何獲取的，造成峰值誤差的原因有哪些？5.假如測量獲取的時間序列x[n]為[1.1,1.2,1.3,1.2,1.2,1.1],試求其均值和方差。第1、3章作業(yè)6.求通過數(shù)據(jù)點（1,1)(1.2,1.5)(2,4)的拉格朗日二次（拋物線）插值。7.什么是Runge現(xiàn)象，克服Runge現(xiàn)象的兩種方法是什么。8.在數(shù)據(jù)擬合時，選定擬合函數(shù)形式的方法有哪些？最常用的函數(shù)形式是什么，為什么？9.常用的差分近似求法有哪些？寫出計算公式并繪圖說明。10.常見的數(shù)值積分方法有哪些，簡要說明之。3.5.2自回歸模型測試數(shù)據(jù)大都存在一定的“慣性”或“記憶”現(xiàn)象。采樣間隔Ts足夠小時，y[n]與y[n-1]甚至更早的值y[n-i]是相關(guān)的。可將y[n]表示為其以前數(shù)據(jù)的線性組合，即上式稱為y的p階自回歸AR（Au