計(jì)算方法第一章-緒論好用2013秋改上課用

計(jì)算方法主講：李福利哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系計(jì)算數(shù)學(xué)教研室電子郵箱：63864215@教材：計(jì)算方法張池平主編科學(xué)出版社參考書：計(jì)算方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)陳艷梅主編科學(xué)出版社考核方式及課程要求上機(jī)+平時(shí)作業(yè)

：20%期末考試：閉卷80%本課程為限修課，選課同學(xué)務(wù)必在網(wǎng)上選課課程小論文+10%（選）：word2003發(fā)至電子郵箱上機(jī)要求：Matlab語(yǔ)言5人一組，word2003

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63864215@第零章緒論一.什么是計(jì)算方法首先，計(jì)算方法是數(shù)學(xué)

英國(guó)著名哲學(xué)家培根說(shuō)：“數(shù)學(xué)是打開(kāi)科學(xué)大門的鑰匙”。

第一個(gè)諾貝爾物理獎(jiǎng)得主倫琴在回答“科學(xué)家需要什么樣的修養(yǎng)”這一問(wèn)題時(shí)，說(shuō)：“第一是數(shù)學(xué)，第二是數(shù)學(xué)，第三還是數(shù)學(xué)?！?/p>

被譽(yù)為“計(jì)算機(jī)之父”的馮·諾伊曼認(rèn)為“數(shù)學(xué)處于人類智慧的中心領(lǐng)域”一.什么是計(jì)算方法其次，計(jì)算方法是一門有自身特點(diǎn)的數(shù)學(xué)1.研究對(duì)象：用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法及其理論，是程序設(shè)計(jì)和對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)實(shí)際問(wèn)題行分析的依據(jù)。建立數(shù)學(xué)模型構(gòu)造數(shù)值算法用計(jì)算機(jī)求出近似結(jié)果代數(shù)方程、微分方程等等計(jì)算方法的地盤2.課程特點(diǎn)：計(jì)算方法主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型的近復(fù)雜性，并通過(guò)編寫程序進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證算似解的算法。研究算法的理論依據(jù)，精度和計(jì)算法的有效性。與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，數(shù)值計(jì)算方法求出的一般是近似解，而不是精確解。計(jì)算方法所研究的算法具有嚴(yán)格的理論依據(jù)，所求出的近似解是滿足誤差要求的“近似”。3.本課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)：

掌握常用的數(shù)值方法的基本原理會(huì)套用計(jì)算公式求解簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題掌握常用的科學(xué)與工程計(jì)算的基本方法會(huì)上機(jī)編寫常用數(shù)值方法的計(jì)算程序4.本課程的學(xué)習(xí)方法：1).

理解建立算法的理論依據(jù)和過(guò)程，適應(yīng)本課程2).注意每章開(kāi)頭問(wèn)題的引入，搞清楚問(wèn)題的來(lái)源“公式多”的特點(diǎn)。提法，逐步深入。3).理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)原理和基本線索，對(duì)最基本的算法要非常熟悉！深對(duì)算法的理解。4).認(rèn)真進(jìn)行上機(jī)實(shí)踐，編寫和調(diào)試算法程序，加5.本課程要解決的問(wèn)題：2)插值3)數(shù)值積分1)方程求根4)常微分方程的數(shù)值解法求方程的近似解的問(wèn)題。已知函數(shù)在幾個(gè)點(diǎn)處的值，求此函數(shù)的近似。求定積分的值。已知，求函數(shù)。5)線性方程組的數(shù)值解法求線性方程組的解，

是階矩陣。探討1：積分如何求解?高等數(shù)學(xué)求解積分的牛頓——萊布尼茲公式：設(shè)，是

在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則有的原函數(shù)無(wú)法求出，怎么辦？通過(guò)計(jì)算方法，可求得其近似解。1.大量的數(shù)學(xué)問(wèn)題不能精確求解二.為什么要學(xué)習(xí)計(jì)算方法：探討2：高階線性方程組如何求解?線性代數(shù)中求解線性方程組的克萊姆法則：如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，那末，方程組有唯一解其中，為方程組的系數(shù)行列式，是把系數(shù)行列式中第j列的元素用方程組右端的自由項(xiàng)b代替后所得到的n階行列式。求解20階線性方程組，用克萊姆法則要用次乘法運(yùn)算,用每秒1億次的計(jì)算機(jī)計(jì)算,大約需算30多萬(wàn)年;采用本門課程介紹的計(jì)算方法，卻只要幾秒鐘。2.求解不切實(shí)際探討3：在計(jì)算機(jī)上根據(jù)數(shù)學(xué)公式編程是否就能得到正確結(jié)果?研究例子:求解線性方程組其準(zhǔn)確解為x1=x2=x3=1如把方程組的系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字它的解為x1=-6.222...x2=38.25…x3=-33.65...3.計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題4.不同的計(jì)算方法效果不一樣18可用四種算式算出：計(jì)算實(shí)例19

如果分別用近似值和按上列四種算法計(jì)算，其結(jié)果如下表1-1所示。20

1234序號(hào)

算式計(jì)算結(jié)果表1-1121由表1-1可見(jiàn)，按不同算式和近似值計(jì)算出的結(jié)果各不相同，有的甚至出現(xiàn)了負(fù)值，這真是差之毫厘，謬以千里?？梢?jiàn)近似值和算法的選定對(duì)計(jì)算結(jié)果的精確度影響很大。因此，在研究算法的同時(shí)，還必須正確掌握誤差的基本概念，誤差在近似值運(yùn)算中的傳播規(guī)律，誤差分析、估計(jì)的基本方法和算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念，否則，一個(gè)合理的算法也可能會(huì)得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果。第一章誤差基本理論本章重點(diǎn)：誤差的基本概念；分析誤差的原則。本章難點(diǎn)：相對(duì)誤差；有效數(shù)字。一、誤差來(lái)源：誤差在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在！小學(xué)時(shí)用刻度尺度量；計(jì)算“神十”運(yùn)行的軌道；計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)的數(shù)是有限位的，等等……按照誤差的來(lái)源可分為以下四類：（1）模型誤差將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是通常只是簡(jiǎn)化的、近似的。實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題忽略次要因素，關(guān)注主要因素第一節(jié)誤差的來(lái)源與誤差分析的重要性（2）觀測(cè)誤差實(shí)際觀測(cè)中由于受到設(shè)備、自然條件等因素的影響，所得的數(shù)據(jù)存在的誤差。？（3）截?cái)嗾`差用數(shù)值方法求出的近似解與精確解之間的誤差稱為截?cái)嗾`差。例如，由泰勒公式：精確值若用有限項(xiàng)近似計(jì)算，則截去的就是截?cái)嗾`差。（4）舍入誤差受計(jì)算機(jī)位數(shù)限制，需要對(duì)參數(shù)，中間結(jié)果和最終結(jié)果做舍入處理，用有限字長(zhǎng)的數(shù)值代替精確數(shù)，由此而產(chǎn)生的誤差為舍入誤差。例如：在一臺(tái)計(jì)算機(jī)中用3.14159代替所產(chǎn)生的誤差。模型誤差觀測(cè)誤差截?cái)嗾`差舍入誤差在設(shè)計(jì)算法時(shí)進(jìn)行誤差分析，控制截?cái)嗾`差注意編寫程序的技巧，減小舍入誤差的影響二、絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限定義：設(shè)為準(zhǔn)確值，為的一個(gè)近似值，則稱為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差，若誤差的絕對(duì)值不超過(guò)某個(gè)正數(shù)稱正數(shù)為近似值的絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱誤差限。例如，用最小刻度為厘米的刻度尺測(cè)得某物體的長(zhǎng)度為5m，其誤差不超過(guò)0.01米，即誤差限為0.01米。注意：絕對(duì)誤差限是有量綱的！！該物體的準(zhǔn)確長(zhǎng)度可記為：。三、相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限只用絕對(duì)誤差不能真正刻畫近似值的優(yōu)劣，例如，分別測(cè)量10m和16m的兩根旗桿，產(chǎn)生的誤差均為0.1m，顯然，測(cè)量16m的旗桿時(shí)更準(zhǔn)確些。如何刻畫這一點(diǎn)呢？我們引入相對(duì)誤差的概念。定義：稱絕對(duì)誤差與準(zhǔn)確值的比值，為近似值的相對(duì)誤差。作為的相對(duì)誤差。于是，測(cè)量10m和16m旗桿的相對(duì)誤差分別為：可見(jiàn)后者測(cè)量的更準(zhǔn)確。注意：相對(duì)誤差限是沒(méi)有量綱的?。?shí)際計(jì)算中的準(zhǔn)確值是不知道的，通常用和同樣，若，則稱為近似值的相對(duì)誤差限。四、有效數(shù)字按四舍五入原則對(duì)取3位：取前幾位近似，取5位：取7位：它們的誤差都不超過(guò)末位數(shù)字的半個(gè)單位。一般地，有如下定義：文字定義：若近似值的誤差限是它某一位的半個(gè)單位，就說(shuō)近似數(shù)x*準(zhǔn)確到該位；

且從這一位直到左邊第一位非零數(shù)字一共有位，則稱近似值有位有效數(shù)字。位誤差不超過(guò)該位的半個(gè)單位左邊第一個(gè)非零數(shù)字因此，當(dāng)取作的近似時(shí)，有3個(gè)有效數(shù)字。當(dāng)取

作的近似時(shí)，有5個(gè)有效數(shù)字。注：經(jīng)過(guò)四舍五入得到的數(shù)字都是有效數(shù)字。數(shù)學(xué)定義可寫成并且，的絕對(duì)誤差則稱具有n

位有效數(shù)字有效數(shù)字與誤差的關(guān)系證：定理有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系(A)若近似值具有(A)式的形式，且具有位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為：(B)要求所取近似值的相對(duì)誤差限滿足(B)式。在實(shí)際計(jì)算中，為使近似值具有位有效數(shù)字，注1：該定理表明，有效數(shù)字越多，相對(duì)誤差限越小，精度越高。注2：例1-1以四舍五入原則寫出下列各數(shù)具有5個(gè)有效數(shù)字的近似數(shù)。123.456，0.3455678，4.000045.位誤差不超過(guò)該位的半個(gè)單位左邊第一個(gè)非零數(shù)字有效數(shù)字定義解：按四舍五入原則，所求近似數(shù)分別為123.46，0.34557，4.0000注意：4.000045的具有5個(gè)有效數(shù)字的近似數(shù)不是4！4只有一個(gè)有效數(shù)字！例1-2為使的近似值的相對(duì)誤差小于1%，問(wèn)至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：方法：使相對(duì)誤差滿足（B）式。(B)為有效數(shù)字個(gè)數(shù)為左邊第一個(gè)非零數(shù)字的近似值的左邊第一個(gè)非零數(shù)字為4，由（B）式有，解得，取即可，此時(shí)五、數(shù)據(jù)誤差的影響（傳播）和當(dāng)存在有誤差限時(shí)，加減：由它們經(jīng)過(guò)乘：除：運(yùn)算公式而得到的近似數(shù)的誤差限是：特別地，加減法的誤差限加減法的誤差限（續(xù)）同號(hào)異號(hào)異號(hào)，且兩者的絕對(duì)值非常接近時(shí)非常大乘法的誤差限（續(xù)）除法的誤差限（續(xù)）除法的誤差限（續(xù)）當(dāng)除數(shù)絕對(duì)值較小時(shí)，商的絕對(duì)誤差的絕對(duì)值將非常大冪、對(duì)數(shù)的誤差限請(qǐng)同學(xué)們自己推導(dǎo)例1-3已測(cè)得某場(chǎng)地的長(zhǎng)

的值為，寬的值為，已知試求解：根據(jù)本小節(jié)結(jié)論，面積于是，相對(duì)誤差限為面積的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。的絕對(duì)誤差限為第二節(jié)選用算法應(yīng)遵循的原則一.盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少乘除等運(yùn)算的次數(shù)。第二節(jié)選用算法應(yīng)遵循的原則二.盡量避免相近數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2-a1=0.00001,只剩下1位有效數(shù)字。第二節(jié)選用算法應(yīng)遵循的原則三.避免絕對(duì)值很小的數(shù)做分母，會(huì)造成浮點(diǎn)溢出/*overflow*/

當(dāng)|b|<<|a|時(shí)，應(yīng)盡量避免。第二節(jié)選用算法應(yīng)遵循的原則四.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法，以控制舍入誤差高速增長(zhǎng)例計(jì)算定積分解:記為則初始誤差Whathappened?!注意此公式精確成立誤差放大

5千倍!但如果利用遞推公式但如果利用遞推公式I30=0.0I29=0.033333333333333I28=0.033333333333333I27=0.034523809523810I26=0.035758377425044I25=0.037086216252883I24=0.038516551349885I23=0.040061810360421I22=0.041736443027808I21=0.043557434407827I20=0.045544884075818I19=0.047722755796209I18=0.050119854958094I17=0.052771119168995I16=0.055719345931236I15=0.059017540879298I14=0.062732163941380I13=0.066947702575616I12=0.071773253648030I11=0.077352228862664I10=0.083877070103394I9=0.091612292989661I8=0.100931967445593I7=0.112383504069301I6=0.126802356561528I5=0.145532940573079I4=0.170893