2023年高考安徽理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔安徽卷〕數(shù)學(xué)〔理科〕第一卷〔選擇題共50分〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．〔1〕【2023年安徽，理1，5分】設(shè)是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．假設(shè)，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】設(shè)，那么由得，即，所以，，所以，，即，應(yīng)選A．〔2〕【2023年安徽，理2，5分】如下列圖，程序框圖〔算法流程圖〕的輸出結(jié)果是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】開始，，；返回，，，；返回，，，；返回，不成立，輸出，應(yīng)選D．〔3〕【2023年安徽，理3，5分】在以下命題中，不是公理的是〔〕〔A〕平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行〔B〕過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面〔C〕如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)〔D〕如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線【答案】A【解析】由立體幾何根本知識(shí)知，B選項(xiàng)為公理2，C選項(xiàng)為公理1，D選項(xiàng)為公理3，A選項(xiàng)不是公理，應(yīng)選A．〔4〕【2023年安徽，理4，5分】“〞是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增〞的〔〕〔A〕充分不必要條件〔B〕必要不充分條件〔C〕充分必要條件〔D〕既不充分也不必要條件【答案】C【解析】函數(shù)的圖象有以下三種情形：由圖象可知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，，應(yīng)選C．〔5〕【2023年安徽，理5，5分】某班級(jí)有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生．隨機(jī)詢問(wèn)了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)，五名男生的成績(jī)分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績(jī)分別為88,93,93,88,93．以下說(shuō)法一定正確的是〔〕〔A〕這種抽樣方法是一種分層抽樣〔B〕這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣〔C〕這五名男生成績(jī)的方差大于這五名女生成績(jī)的方差〔D〕該班男生成績(jī)的平均數(shù)小于該班女生成績(jī)的平均數(shù)【答案】C【解析】解法一：對(duì)A選項(xiàng)，分層抽樣要求男女生總?cè)藬?shù)之比=男女生抽樣人數(shù)之比，所以A選項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)B選項(xiàng)，系統(tǒng)抽樣要求先對(duì)個(gè)體進(jìn)行編號(hào)再抽樣，所以B選項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)C選項(xiàng)，男生方差為40，女生方差為30．所以C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，男生平均成績(jī)?yōu)?0，女生平均成績(jī)?yōu)?1．所以D選項(xiàng)錯(cuò)，應(yīng)選C．解法二：五名男生成績(jī)的平均數(shù)為，五名女生成績(jī)的平均數(shù)為，五名男生成績(jī)的方差為，五名女生成績(jī)的方差為，所以，應(yīng)選C．〔6〕【2023年安徽，理6，5分】一元二次不等式的解集為，那么的解集為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】由題意知，所以，應(yīng)選D．〔7〕【2023年安徽，理7，5分】在極坐標(biāo)系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】由題意可知，圓可化為普通方程為．所以圓的垂直于軸的兩條切線方程分別為和，再將兩條切線方程化為極坐標(biāo)方程分別為和，應(yīng)選B．〔8〕【2023年安徽，理8，5分】函數(shù)的圖象如下列圖，在區(qū)間上可找到個(gè)不同的數(shù)，使得，那么的取值范圍是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】可化為，故上式可理解為圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率相等，即可看成過(guò)原點(diǎn)的直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．如下列圖，由數(shù)形結(jié)合知識(shí)可得，①為，②為，③為，應(yīng)選B．〔9〕【2023年安徽，理9，5分】在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)，滿足，那么點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】以，為鄰邊作一個(gè)平行四邊形，將其放置在如圖平面直角坐標(biāo)系中，使，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，由，可得出，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，現(xiàn)設(shè)，那么由得，即，由于，，可得，畫出動(dòng)點(diǎn)滿足的可行域?yàn)槿鐖D陰影局部，故所求區(qū)域的面積為，應(yīng)選D．〔10〕【2023年安徽，理10，5分】假設(shè)函數(shù)有極值點(diǎn)，，且，那么關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是〔〕〔A〕3〔B〕4〔C〕5〔D〕6【答案】A【解析】由得，或，即的根為或的解．如下列圖由圖象可知有2個(gè)解，有1個(gè)解，因此的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3，應(yīng)選A．第二卷〔非選擇題共100分〕二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．〔11〕【2023年安徽，理11，5分】假設(shè)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，那么的最小正值是．【答案】【解析】∵的通項(xiàng)為，∴，解得．∴，得．〔12〕【2023年安徽，理12，5分】設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，，．假設(shè)，，那么角．【答案】【解析】∵，∴．①又∵，②∴由①②可得，，，∴，∴．〔13〕【2023年安徽，理13，5分】直線交拋物線于，兩點(diǎn)．假設(shè)該拋物線上存在點(diǎn)，使得為直角，那么的取值范圍為．【答案】【解析】如圖，設(shè)，，，那么，．∵，∴，即，，∴，∴．〔14〕【2023年安徽，理14，5分】如圖，互不相同的點(diǎn)A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分別在角的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等．設(shè)．假設(shè)，，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式是．【答案】【解析】設(shè)，∵，，，∴，．又易知，∴．∴．∵所有梯形的面積均相等，且，∴．∴，∴．〔15〕【2023年安徽，理15，5分】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為．那么以下命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號(hào))．①當(dāng)時(shí)，為四邊形；②當(dāng)時(shí)，為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿足；④當(dāng)時(shí)，為六邊形；⑤當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】①②③⑤【解析】當(dāng)時(shí)，，，所以，又因?yàn)椋寓谡_；當(dāng)時(shí)，截面為，且為四邊形，故①也正確，如圖〔1〕所示；如〔2〕圖，當(dāng)時(shí)，由得，即，，故③正確；如圖〔3〕所示，當(dāng)時(shí)，截面為五邊形，所以④錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，截面為，可知，，且四邊形為菱形，四邊形，故⑤正確．圖〔1〕圖〔2〕圖〔3〕三、解答題：本大題共6題，共75分．解容許寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)．〔16〕【2023年安徽，理16，12分】函數(shù)的最小正周期為．〔1〕求的值；〔2〕討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性．解：〔1〕．因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，且，從而有，故．?〕由〔1〕知，．假設(shè)，那么．當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞減．綜上可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．〔17〕【2023年安徽，理17，12分】設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間．〔1〕求的長(zhǎng)度(注：區(qū)間的長(zhǎng)度定義為；〔2〕給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)度的最小值．解：〔1〕因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根，，故的解集為．因此區(qū)間，的長(zhǎng)度為．〔2〕設(shè)，那么．令，得．，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，的最小值必定在或處取得．而，故．因此當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最小值．〔18〕【2023年安徽，理18，12分】設(shè)橢圓E：的焦點(diǎn)在軸上．〔1〕假設(shè)橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；〔2〕設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，并且．證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線上．解：〔1〕因?yàn)榻咕酁?，所以，解得．故橢圓的方程為．〔2〕設(shè)，，，其中．由題設(shè)知，那么直線的斜率，直線的斜率，故直線的方程為．當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)坐標(biāo)為．因此，直線的斜率為．由于，所以．化簡(jiǎn)得．①將①代入方程，由于點(diǎn)在第一象限，解得，，即點(diǎn)在定直線上．〔19〕【2023年安徽，理19，13分】如圖，圓錐頂點(diǎn)為，底面圓心為，其母線與底面所成的角為，和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為．〔1〕證明：平面與平面的交線平行于底面；〔2〕求．解：〔1〕設(shè)面與面的交線為．，不在面內(nèi)，所以面．又因?yàn)槊?，面與面的交線為，所以．由直線在底面上而在底面外可知，與底面平行．〔2〕設(shè)CD的中點(diǎn)為．連接，．由圓的性質(zhì)，，．因?yàn)榈酌?，底面，所以．又，故面．又面，因此面面．從而直線在面上的射影為直線，故為與面所成的角．．設(shè)，那么．根據(jù)題設(shè)有，得．由和，得，因此．在中，，故．〔20〕【2023年安徽，理20，13分】設(shè)函數(shù)．證明：〔1〕對(duì)每個(gè)，存在唯一的，滿足；〔2〕對(duì)任意，由〔1〕中構(gòu)成的數(shù)列滿足．解：〔1〕對(duì)每個(gè)，當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞增．由于，當(dāng)時(shí)，，故．又，所以存在唯一的，滿足．〔2〕當(dāng)時(shí)，，故．由在內(nèi)單調(diào)遞增知，，故為單調(diào)遞減數(shù)列，從而對(duì)任意，．對(duì)任意，由于，①．②①式減去②式并移項(xiàng)，利用，得．因此，對(duì)任意，都有．〔21〕【2023年安徽，理21，13分】某高校數(shù)學(xué)系方案在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)．該系共有位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系位學(xué)生參加(和都是固定的正整數(shù))．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到．記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為．〔1〕求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；〔2〕求使取得最大值的整數(shù)．解：〔1〕因?yàn)槭录骸皩W(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息〞與事件：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息〞是相互獨(dú)立的事件，所以與相互獨(dú)立．由于，故，因此學(xué)生甲收到活動(dòng)通知信息的概率．〔2〕當(dāng)時(shí)，只能取，有．當(dāng)時(shí)，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者．