數(shù)學(xué)模型-10統(tǒng)計回歸模型

第十章統(tǒng)計回歸模型10.1牙膏的銷售量10.2軟件開發(fā)人員的薪金10.3酶促反應(yīng)10.4投資額與國民生產(chǎn)總值和物價指數(shù)10.5教學(xué)評估回歸模型是用統(tǒng)計分析方法建立的最常用的一類模型數(shù)學(xué)建模的基本方法機理分析測試分析通過對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型不涉及回歸分析的數(shù)學(xué)原理和方法通過實例討論如何選擇不同類型的模型對軟件得到的結(jié)果進(jìn)行分析，對模型進(jìn)行改進(jìn)由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜及人們認(rèn)識程度的限制,無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。

10.1

牙膏的銷售量

問題建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間的模型預(yù)測在不同價格和廣告費用下的牙膏銷售量收集了30個銷售周期本公司牙膏銷售量、價格、廣告費用，及同期其它廠家同類牙膏的平均售價9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬支)價格差（元）廣告費用(百萬元)其它廠家價格(元)本公司價格(元)銷售周期基本模型y~公司牙膏銷售量x1~其它廠家與本公司價格差x2~公司廣告費用x2yx1yx1,x2~解釋變量(回歸變量,自變量)y~被解釋變量（因變量）0,1

,2,3~回歸系數(shù)~隨機誤差（均值為零的正態(tài)分布隨機變量）MATLAB統(tǒng)計工具箱

模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

輸入

x=~n4數(shù)據(jù)矩陣,第1列為全1向量alpha(置信水平,0.05)

b~的估計值bint~b的置信區(qū)間r~殘差向量y-xb

rint~r的置信區(qū)間Stats~檢驗統(tǒng)計量

R2,F,p

y~n維數(shù)據(jù)向量輸出

由數(shù)據(jù)y,x1,x2估計參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123F遠(yuǎn)超過F檢驗的臨界值p遠(yuǎn)小于=0.05

2的置信區(qū)間包含零點(右端點距零點很近)x2對因變量y的影響不太顯著x22項顯著可將x2保留在模型中模型從整體上看成立銷售量預(yù)測價格差x1=其它廠家價格x3-本公司價格x4估計x3調(diào)整x4控制價格差x1=0.2元，投入廣告費x2=650萬元銷售量預(yù)測區(qū)間為[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作庫存管理的目標(biāo)值下限用來把握公司的現(xiàn)金流若估計x3=3.9，設(shè)定x4=3.7，則可以95%的把握知道銷售額在7.83203.729（百萬元）以上控制x1通過x1,x2預(yù)測y(百萬支)模型改進(jìn)x1和x2對y的影響?yīng)毩?/p>

參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771p=0.000030124x1和x2對y的影響有交互作用兩模型銷售量預(yù)測比較(百萬支)區(qū)間[7.8230，8.7636]區(qū)間[7.8953，8.7592](百萬支)控制價格差x1=0.2元，投入廣告費x2=6.5百萬元預(yù)測區(qū)間長度更短略有增加x2=6.5x1=0.2x1x1x2x2兩模型與x1,x2關(guān)系的比較交互作用影響的討論價格差x1=0.1價格差x1=0.3加大廣告投入使銷售量增加（x2大于6百萬元）價格差較小時增加的速率更大x2價格優(yōu)勢會使銷售量增加價格差較小時更需要靠廣告來吸引顧客的眼球完全二次多項式模型MATLAB中有命令rstool直接求解x1x2從輸出Export可得牙膏的銷售量

建立統(tǒng)計回歸模型的基本步驟根據(jù)已知數(shù)據(jù)從常識和經(jīng)驗分析,輔之以作圖,

決定回歸變量及函數(shù)形式(先取盡量簡單的形式).用軟件(如MATLAB統(tǒng)計工具箱)求解.對結(jié)果作統(tǒng)計分析:R2,F,p,s2是對模型整體評價,

回歸系數(shù)置信區(qū)間是否含零點檢驗其影響的顯著性.

模型改進(jìn),如增添二次項、交互項等.對因變量進(jìn)行預(yù)測.10.2軟件開發(fā)人員的薪金資歷~從事專業(yè)工作的年數(shù)；管理~1=管理人員，0=非管理人員；教育~

1=中學(xué)，2=大學(xué)，3=更高程度建立模型研究薪金與資歷、管理責(zé)任、教育程度的關(guān)系分析人事策略的合理性，作為新聘用人員薪金的參考

編號薪金資歷管理教育0113876111021160810303187011130411283102編號薪金資歷管理教育422783716124318838160244174831601451920717024619346200146名軟件開發(fā)人員的檔案資料

分析與假設(shè)

y~薪金，x1~資歷（年）x2=

1~管理人員，x2=

0~非管理人員1=中學(xué)2=大學(xué)3=更高資歷每加一年薪金的增長是常數(shù)；管理、教育、資歷之間無交互作用

教育線性回歸模型

a0,a1,…,a4是待估計的回歸系數(shù)，是隨機誤差中學(xué)：x3=1,x4=0；大學(xué)：x3=0,x4=1；更高：x3=0,x4=0模型求解參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間a011032[1025811807]a1546[484608]a26883[62487517]a3-2994[-3826-2162]a4148[-636931]R2=0.957F=226p=0.000R2,F,p模型整體上可用資歷增加1年薪金增長546管理人員薪金多6883中學(xué)程度薪金比更高的少2994大學(xué)程度薪金比更高的多148a4置信區(qū)間包含零點，解釋不可靠!中學(xué)：x3=1,x4=0;大學(xué)：x3=0,x4=1;更高：x3=0,x4=0.x2=

1~管理，x2=

0~非管理x1~資歷(年)殘差分析方法

結(jié)果分析殘差e與資歷x1的關(guān)系

e與管理—教育組合的關(guān)系

殘差全為正，或全為負(fù)，管理—教育組合處理不當(dāng)

殘差大概分成3個水平，

6種管理—教育組合混在一起，未正確反映。應(yīng)在模型中增加管理x2與教育x3,x4的交互項

組合123456管理010101教育112233管理與教育的組合進(jìn)一步的模型增加管理x2與教育x3,x4的交互項參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間a011204[1104411363]a1497[486508]a27048[68417255]a3-1727[-1939-1514]a4-348[-545–152]a5-3071[-3372-2769]a61836[15712101]R2=0.999F=554p=0.000R2,F有改進(jìn)，所有回歸系數(shù)置信區(qū)間都不含零點，模型完全可用

消除了不正?，F(xiàn)象

異常數(shù)據(jù)(33號)應(yīng)去掉

e~x1

e~組合去掉異常數(shù)據(jù)后的結(jié)果參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間a011200[1113911261]a1498[494503]a27041[69627120]a3-1737[-1818-1656]a4-356[-431–281]a5-3056[-3171–2942]a61997[18942100]R2=0.9998F=36701p=0.0000e~x1

e~組合R2：0.9570.9990.9998F：226

55436701置信區(qū)間長度更短殘差圖十分正常最終模型的結(jié)果可以應(yīng)用模型應(yīng)用

制訂6種管理—教育組合人員的“基礎(chǔ)”薪金(資歷為0）組合管理教育系數(shù)“基礎(chǔ)”薪金101a0+a39463211a0+a2+a3+a513448302a0+a410844412a0+a2+a4+a619882503a011200613a0+a218241中學(xué)：x3=1,x4=0；大學(xué)：x3=0,x4=1；更高：x3=0,x4=0x1=

0；

x2=

1~管理，x2=

0~非管理大學(xué)程度管理人員比更高程度管理人員的薪金高

大學(xué)程度非管理人員比更高程度非管理人員的薪金略低

對定性因素(如管理、教育)，可以引入0-1變量處理，0-1變量的個數(shù)應(yīng)比定性因素的水平少1軟件開發(fā)人員的薪金殘差分析方法可以發(fā)現(xiàn)模型的缺陷，引入交互作用項常常能夠改善模型

剔除異常數(shù)據(jù)，有助于得到更好的結(jié)果注：可以直接對6種管理—教育組合引入5個0-1變量

10.3

酶促反應(yīng)

問題研究酶促反應(yīng)（酶催化反應(yīng)）中嘌呤霉素對反應(yīng)速度與底物（反應(yīng)物）濃度之間關(guān)系的影響

建立數(shù)學(xué)模型，反映該酶促反應(yīng)的速度與底物濃度以及經(jīng)嘌呤霉素處理與否之間的關(guān)系

設(shè)計了兩個實驗：酶經(jīng)過嘌呤霉素處理；酶未經(jīng)嘌呤霉素處理。實驗數(shù)據(jù)見下表:

方案底物濃度(ppm)0.020.060.110.220.561.10反應(yīng)速度處理764797107123139159152191201207200未處理6751848698115131124144158160/基本模型

Michaelis-Menten模型y~

酶促反應(yīng)的速度,x~底物濃度1

,2~待定系數(shù)底物濃度較小時，反應(yīng)速度大致與濃度成正比；底物濃度很大、漸進(jìn)飽和時，反應(yīng)速度趨于固定值.酶促反應(yīng)的基本性質(zhì)

xy01實驗數(shù)據(jù)經(jīng)嘌呤霉素處理xy未經(jīng)嘌呤霉素處理xy線性化模型

經(jīng)嘌呤霉素處理后實驗數(shù)據(jù)的估計結(jié)果

參數(shù)參數(shù)估計值（×10-3）置信區(qū)間（×10-3）15.107[3.5396.676]20.247[0.1760.319]R2=0.8557F=59.2975p=0.0000對1

,2非線性

對1,2線性

線性化模型結(jié)果分析

x較大時，y有較大偏差1/x較小時有很好的線性趨勢，1/x較大時出現(xiàn)很大的起落

參數(shù)估計時，x較?。?/x很大）的數(shù)據(jù)控制了回歸參數(shù)的確定

1/y1/xxy[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’model’,beta0)beta的置信區(qū)間MATLAB統(tǒng)計工具箱

輸入

x~自變量數(shù)據(jù)矩陣y~因變量數(shù)據(jù)向量beta~參數(shù)的估計值R~殘差，J~估計預(yù)測誤差的Jacobi矩陣

model~模型的函數(shù)M文件名beta0~給定的參數(shù)初值

輸出

betaci=nlparci(beta,R,J)非線性模型參數(shù)估計functiony=f1(beta,x)y=beta(1)*x./(beta(2)+x);x=;y=;beta0=[195.80270.04841];[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’f1’,beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta,betaci

beta0~線性化模型估計結(jié)果非線性模型結(jié)果分析參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間1212.6819[197.2029228.1609]20.0641[0.04570.0826]畫面左下方的Export輸出其它統(tǒng)計結(jié)果。拖動畫面的十字線，得y的預(yù)測值和預(yù)測區(qū)間剩余標(biāo)準(zhǔn)差s=10.9337最終反應(yīng)速度為半速度點(達(dá)到最終速度一半時的x值

)為其它輸出命令nlintool

給出交互畫面o~原始數(shù)據(jù)+~擬合結(jié)果

混合反應(yīng)模型

x1為底物濃度，x2為一示性變量

x2=1表示經(jīng)過處理，x2=0表示未經(jīng)處理

β1是未經(jīng)處理的最終反應(yīng)速度

γ1是經(jīng)處理后最終反應(yīng)速度的增長值

β2是未經(jīng)處理的反應(yīng)的半速度點

γ2是經(jīng)處理后反應(yīng)的半速度點的增長值在同一模型中考慮嘌呤霉素處理的影響o~原始數(shù)據(jù)+~擬合結(jié)果混合模型求解用nlinfit

和nlintool命令估計結(jié)果和預(yù)測剩余標(biāo)準(zhǔn)差s=10.4000

參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間1160.2802[145.8466174.7137]20.0477[0.03040.0650]152.4035[32.413072.3941]20.0164[-0.00750.0403]2置信區(qū)間包含零點，表明2對因變量y的影響不顯著參數(shù)初值(基于對數(shù)據(jù)的分析)經(jīng)嘌呤霉素處理的作用不影響半速度點參數(shù)未經(jīng)處理經(jīng)處理o~原始數(shù)據(jù)+~擬合結(jié)果未經(jīng)處理經(jīng)處理簡化的混合模型

簡化的混合模型形式簡單，參數(shù)置信區(qū)間不含零點剩余標(biāo)準(zhǔn)差s=10.5851，比一般混合模型略大估計結(jié)果和預(yù)測參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間1166.6025[154.4886178.7164]20.0580[0.04560.0703]142.0252[28.941955.1085]一般混合模型與簡化混合模型預(yù)測比較實際值一般模型預(yù)測值Δ(一般模型）簡化模型預(yù)測值Δ(簡化模型）6747.34439.207842.73585.44465147.34439.207842.73585.44468489.28569.571084.73567.0478……………191190.83299.1484189.05748.8438201190.83299.1484189.05748.8438207200.968811.0447198.183710.1812200200.968811.0447198.183710.1812簡化混合模型的預(yù)測區(qū)間較短，更為實用、有效預(yù)測區(qū)間為預(yù)測值Δ注：非線性模型擬合程度的評價無法直接利用線性模型的方法，但R2

與s仍然有效。酶促反應(yīng)

反應(yīng)速度與底物濃度的關(guān)系非線性關(guān)系求解線性模型

求解非線性模型機理分析嘌呤霉素處理對反應(yīng)速度與底物濃度關(guān)系的影響混合模型

發(fā)現(xiàn)問題，得參數(shù)初值引入0-1變量簡化模型

檢查參數(shù)置信區(qū)間是否包含零點10.4投資額與國民生產(chǎn)總值和物價指數(shù)

問題建立投資額模型，研究某地區(qū)實際投資額與國民生產(chǎn)總值(GNP)及物價指數(shù)(

PI

)的關(guān)系2.06883073.0424.5201.00001185.9195.0101.95142954.7474.9190.96011077.6166.491.78422631.7401.9180.9145992.7144.281.63422417.8423.0170.8679944.0149.371.50422163.9386.6160.8254873.4133.361.40051918.3324.1150.7906799.0122.851.32341718.0257.9140.7676756.0125.741.25791549.2206.1130.7436691.1113.531.15081434.2228.7120.7277637.797.421.05751326.4229.8110.7167596.790.91物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號根據(jù)對未來GNP及PI的估計，預(yù)測未來投資額

該地區(qū)連續(xù)20年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)

時間序列中同一變量的順序觀測值之間存在自相關(guān)以時間為序的數(shù)據(jù)，稱為時間序列

分析許多經(jīng)濟數(shù)據(jù)在時間上有一定的滯后性

需要診斷并消除數(shù)據(jù)的自相關(guān)性，建立新的模型若采用普通回歸模型直接處理，將會出現(xiàn)不良后果

投資額與國民生產(chǎn)總值和物價指數(shù)

……………………1.32341718.0257.9140.7676756.0125.741.25791549.2206.1130.7436691.1113.531.15081434.2228.7120.7277637.797.421.05751326.4229.8110.7167596.790.91物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號基本回歸模型投資額與GNP及物價指數(shù)間均有很強的線性關(guān)系t~年份，yt

~投資額，x1t~GNP,x2t~物價指數(shù)0,1,2~回歸系數(shù)x1tytx2tytt~對t相互獨立的零均值正態(tài)隨機變量基本回歸模型的結(jié)果與分析

MATLAB統(tǒng)計工具箱

參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間0322.7250[224.3386421.1114]10.6185[0.47730.7596]2-859.4790[-1121.4757-597.4823]R2=0.9908F=919.8529p=0.0000剩余標(biāo)準(zhǔn)差

s=12.7164沒有考慮時間序列數(shù)據(jù)的滯后性影響R2＝0.9908，擬合度高模型優(yōu)點模型缺點可能忽視了隨機誤差存在自相關(guān)；如果存在自相關(guān)性，用此模型會有不良后果自相關(guān)性的定性診斷

殘差診斷法模型殘差作殘差et~et-1散點圖大部分點落在第1,3象限t

存在正的自相關(guān)大部分點落在第2,4象限自相關(guān)性直觀判斷在MATLAB工作區(qū)中輸出et為隨機誤差t的估計值et-1ett

存在負(fù)的自相關(guān)基本回歸模型的隨機誤差項t

存在正的自相關(guān)自回歸性的定量診斷自回歸模型ρ~自相關(guān)系數(shù)0,1,2~回歸系數(shù)ρ=

0無自相關(guān)性ρ>

0ρ<

0如何估計ρ

如何消除自相關(guān)性D-W統(tǒng)計量D-W檢驗

ut

~對t相互獨立的零均值正態(tài)隨機變量存在負(fù)自相關(guān)性存在正自相關(guān)性廣義差分法

D-W統(tǒng)計量與D-W檢驗

檢驗水平,樣本容量，回歸變量數(shù)目D-W分布表n較大DW4-dU44-dLdUdL20正自相關(guān)負(fù)自相關(guān)不能確定不能確定無自相關(guān)檢驗臨界值dL和dU由DW值的大小確定自相關(guān)性廣義差分變換

以*0,1

,2

為回歸系數(shù)的普通回歸模型原模型DW值D-W檢驗無自相關(guān)有自相關(guān)廣義差分繼續(xù)此過程原模型新模型新模型

步驟

原模型變換不能確定增加數(shù)據(jù)量；選用其它方法

投資額新模型的建立

DWold

<

dL

作變換

原模型殘差et樣本容量n=20，回歸變量數(shù)目k=3，=0.05

查表臨界值dL=1.10,dU=1.54DWold=0.8754原模型有正自相關(guān)DW4-dU44-dLdUdL20正自相關(guān)負(fù)自相關(guān)不能確定不能確定無自相關(guān)參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間*0163.4905[1265.45922005.2178]10.6990[0.57510.8247]2-1009.0333[-1235.9392-782.1274]R2=0.9772F=342.8988p=0.0000總體效果良好剩余標(biāo)準(zhǔn)差

snew=9.8277<sold=12.7164投資額新模型的建立

新模型的自相關(guān)性檢驗dU<DWnew

<

4-dU

新模型殘差et樣本容量n=19，回歸變量數(shù)目k=3，=0.05

查表臨界值dL=1.08,dU=1.53DWnew=1.5751新模型無自相關(guān)性DW4-dU44-dLdUdL20正自相關(guān)負(fù)自相關(guān)不能確定不能確定無自相關(guān)新模型還原為原始變量一階自回歸模型一階自回歸模型殘差et比基本回歸模型要小新模型

et~*，原模型

et~+殘差圖比較新模型

?t~*，新模型

?t~+擬合圖比較模型結(jié)果比較基本回歸模型一階自回歸模型投資額預(yù)測對未來投資額yt

作預(yù)測，需先估計出未來的國民生產(chǎn)總值x1t和物價指數(shù)x2t設(shè)已知t=21時，x1t=3312，x2t=2.1938一階自回歸模型2.06883073.0424.5201.95142954.7474.9191.78422631.7401.9180.7436691.1113.530.7277637.797.420.7167596.790.91物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號物價指數(shù)國民生產(chǎn)總值投資額年份序號一階自回歸模型基本回歸模型?t

較小是由于yt-1=424.5過小所致10.5

教學(xué)評估為了考評教師的教學(xué)質(zhì)量，教學(xué)研究部門對學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到15門課程各項評分的平均值.

問題X1~內(nèi)容組織的合理性；X2~問題展開的邏輯性；X3~回答學(xué)生的有效性；X4~課下交流的有助性；X5~教材的幫助性；X6~考試的公正性；Y~總體評價.編號X1X2X3X4X5X6Y2014.464.424.234.104.564.374.112244.113.823.293.603.993.823.38……………………4244.244.384.354.484.154.504.33建立Y與X1~X6間簡單、有效的模型，給教師提出建議.從X1~X6中挑選出對Y影響顯著的變量建立回歸模型.將所有對Y影響顯著的X都選入模型，而影響不顯著的X都不選入模型，使模型中自變量個數(shù)盡可能少.問題分析繼續(xù)進(jìn)行，直到不能引入和移出為止.確定一個包含若干X的初始集合S0.從S0外的X中引入一個對Y影響最大的,S0S1.對S1中的X進(jìn)行檢驗，移出一個影響最小的,S1S2.引入和移出都以給定的顯著性水平為標(biāo)準(zhǔn).解決辦法利用逐步回歸

MATLAB統(tǒng)計工具箱中的逐步回歸輸入x~自變量集合的n×k

數(shù)據(jù)矩陣（n是數(shù)據(jù)容量,k是變量數(shù)目），

y~因變量數(shù)據(jù)向量（n維）