第三節(jié)格林公式

第三節(jié)一、格林公式

二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件格林公式及其應(yīng)用第十一章三、二元函數(shù)的全微分求積問(wèn)題的提出牛頓-萊布尼茨公式定積分可通過(guò)其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值來(lái)表達(dá)D問(wèn)題：二重積分能否表達(dá)為某個(gè)函數(shù)在D的邊界曲線L上的曲線積分？意義：設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D

,則稱(chēng)D為平面單連通區(qū)域,否則稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD區(qū)域連通性的分類(lèi)D復(fù)連通區(qū)域區(qū)域D分類(lèi)單連通區(qū)域(無(wú)“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(有“洞”、點(diǎn)洞區(qū)域)單連通區(qū)域舉例（1）（2）（3）（3）（2）（1）復(fù)連通區(qū)域舉例（1）（2）當(dāng)觀察者在

L

上行走時(shí)，D

內(nèi)在他近處的部分總在他的左邊。定理1.

設(shè)閉區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線L

圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一、格林公式域的內(nèi)部靠左域D邊界L的正向:外邊界的正向是逆時(shí)針內(nèi)邊界的正向是順時(shí)針其中L是D

的取正向的邊界曲線。1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-

型區(qū)域則證:

將格林公式分為:即同理可證①②①、②兩式相加得:D2)若D不滿足以上條件,則可通過(guò)加輔助線將其分割為有限個(gè)上述形式的區(qū)域,如圖證畢GDFCEAB(3)由(2)知格林公式仍成立說(shuō)明：若D為復(fù)連通區(qū)域：則曲線L

應(yīng)包括內(nèi)外所有邊界并且它們對(duì)D均取正向。格林公式的實(shí)質(zhì)：主要用途：實(shí)現(xiàn)曲線積分與二重積分之間的轉(zhuǎn)換。而經(jīng)常用來(lái)將復(fù)雜的曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分。建立了平面上的曲線積分與二重積分的聯(lián)系，是牛頓萊布尼茨公式在平面上的推廣。格林公式若記則格林公式可表示為格林公式的應(yīng)用：（1）利用曲線積分計(jì)算平面區(qū)域的面積（2）利用格林公式求曲線或二重積分推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積由格林公式例如,橢圓所圍面積面積公式：若取同理，若取則有若取則有例1.設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:

令則利用格林公式,得例2.

計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解:

利用格林公式,有本題我們應(yīng)用格林公式將二重積分化為曲線積分時(shí),關(guān)鍵是要找到P(x,y)和Q(x,y),使得經(jīng)觀察并且這樣的P,Q在D邊界上的曲線積分較簡(jiǎn)單可以直接利用二重積分的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算。xyoABL不是一條封閉的曲線，補(bǔ)充有向線段BO,OA,則L+BO+OA為封閉曲線，所圍區(qū)域記為D，解：方法1:用曲線積分法方法2：用格林公式例3.計(jì)算,其中曲線L是半徑為r的圓在第一象限限部分,方向順時(shí)針.解：方法2：用格林公式xyoAB在BO上，y=0,在OA上，x=0,例3.計(jì)算,其中曲線L是半徑為r的圓在第一象限限部分,方向順時(shí)針.例4.

計(jì)算其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解:

記L所圍閉區(qū)域?yàn)镈，由格林公式知？即格林公式的條件：P、Q在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)xyoLyxo在D內(nèi)作圓周取順時(shí)針?lè)较?,對(duì)應(yīng)用格記L和

lˉ

所圍復(fù)連通區(qū)域?yàn)榱止?得起點(diǎn)，終點(diǎn)

yxoxyoL例4.

計(jì)算其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解:

記L所圍閉區(qū)域?yàn)镈，該方法俗稱(chēng)“挖洞法。”思考：為什么要用小圓周去“挖洞”？參考題：計(jì)算其中L

是以(1,0)為中心，R

為半徑的圓周(R>1),取逆時(shí)針?lè)较蚶?.求其中L是以(a,0)為中心，a為半徑的上半圓周，逆時(shí)針?lè)较?，m

為常數(shù)。解：分析被積函數(shù)比較復(fù)雜，無(wú)論

L

的方程取什么形式，直接用曲線積分的方法都比較困難。故考慮用格林公式表達(dá)式簡(jiǎn)單問(wèn)題：L不是封閉的曲線，不符合格林公式的條件yx0補(bǔ)充有向線段OA，形成閉曲線，滿足條件yx0解：在OA上，y=0，dy=0，x從0變到2a該方法俗稱(chēng)“封口法”例5.求關(guān)于格林公式小結(jié)（1）“挖洞法”和“封口法”是格林公式應(yīng)用中兩類(lèi)常見(jiàn)的典型方法。（2）當(dāng)曲線積分中，函數(shù)P

、Q

使得等于零、常數(shù)或比較簡(jiǎn)單時(shí)，要考慮用格林公式。作業(yè)作業(yè)P174習(xí)題11-3:2,4,6,7二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件恒成立.GyxoAB什么叫平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)？問(wèn)題：什么樣的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)？定理2.

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即說(shuō)明:

積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí),曲線積分可記為證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無(wú)關(guān),有函數(shù)證明

(3)(4)設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有證明

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢注意：在應(yīng)用該定理時(shí)，一定要保證定理的條件：（1）G是一個(gè)單連通區(qū)域（2）P、Q在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)說(shuō)明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3)可用積分法求du=

Pdx

+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;例6.證明曲線積分證明：顯然整個(gè)xoy面是一個(gè)單連通區(qū)域，又由定理2，曲線積分在整個(gè)xoy面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)在整個(gè)xoy面內(nèi)恒成立。在整個(gè)xoy面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。它們均在整個(gè)xoy

面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。例7.

計(jì)算曲線積分在第一象限部分到A(1,1)的路經(jīng)。其中L

為從點(diǎn)O(0,0)沿圓周yx0解：分析由被積函數(shù)知，直接用曲線積分的方法比較困難。由于故所求曲線積分在整個(gè)xoy面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，因此考慮改變積分路徑：OB+BA所以yx0在OB上，y=0,在BA上，x=1,假設(shè)二元函數(shù)u=u(x,y)可微，則反過(guò)來(lái)，若給定一個(gè)表達(dá)式問(wèn)它是否一定是某個(gè)二元函數(shù)u(x,y)的全微分式未必一定是。問(wèn)題：在什么條件下，表達(dá)式一定是某個(gè)二元函數(shù)u(x,y)的全微分式？如何求出這個(gè)二元函數(shù)u(x,y)?三、二元函數(shù)的全微分求積例8.

驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。解：方法2

設(shè)則有兩邊關(guān)于x求不定積分又而所以例8.

驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).例9.

驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2

可知存在原函數(shù)或解:再由得C=0積分與路徑無(wú)關(guān)知：例10.

設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān),其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且

,計(jì)算內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價(jià)條件在

D

內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).在

D

內(nèi)有對(duì)D

內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設(shè)P,Q

在D

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有思考與練習(xí)1.設(shè)且都取正向,問(wèn)下列計(jì)算是否正確?提示:2.設(shè)提示:備用題1.

設(shè)

C

為沿從點(diǎn)依逆時(shí)針的半圓,計(jì)算解:

添加輔助線如圖,利用格林公式.原式=到點(diǎn)