04排列組合解題策略1

C4CC4C3秒殺秘籍：特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解：由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這兩個位置.先排末位共有C1，然后排首位共有C1，最后排其它位置共有A3由分步計數(shù)原理得AiAiA3=288434位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素.若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件。排列組合解題策略（一）1.7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？解：先種兩種不同的葵花在不受限限制的四個花盒中共有A2不同種法，再其它葵花有A5不同種法，所以4 5共有不同種法A2A5=12X120=1440種不同的種法.45用1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個（1） 數(shù)字1不排在個位和千位（2）數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位。解：（1）個位和千位有5個數(shù)字可供選擇其，其余2位有四個可供選擇新1，由乘法原理：逐卉=240（2） 當(dāng)1在千位時余下三位有蕓=60，1不在千位時，千位有￡種選法，個位有￡種，余下的有新，共有??4?=192所以總共有192+60=252（1）有4名學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？（2）有4名學(xué)生參加爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？（3）將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？答案：（1）34（2）43（3）43乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有 種.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊員，有A3種排法，而其余7名隊員選出2名安排在第二、3四位置，有A；種排法，所以不同的出場安排共有A;A;=252種.用0,2,3,4,5,五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）。A.24個B.30個C.40個D.60個解：由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時，有A42個，2）0不排在末尾時，則有C2iA3iA3i個，由分?jǐn)?shù)計數(shù)原理，共有偶數(shù)A42+C2iA3iA3i=30個，選B。從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（）A.24種B.18種 C.12種 D.6種解：由題意，不同的選法有:C32種，不同的排法有:A33?故不同的種植方法共有C32?A33=12,故應(yīng)選C.某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 解：命中的三槍捆綁成一槍，與命中的另一槍插入未命中的四槍的空位，共有人2=20種不的情形.5A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 解：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，A4=24種9.3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ）A.360B.188C.216D.96解：6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有，C;A;A4A2=432種，其中男生甲站兩端的有A2C2A2A2A2=144，符合條件的排法故共有288。10.4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？解：先將男生捆綁在一起看成一個大元素與女生全排列有/種排法，而男生之間又有鹽種排法，又乘法原理滿足條件的排法有：鹽X^=576四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法—種（U羯）某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有— /I，""上秒殺秘籍：不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨唱共有A5種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間5包含首尾兩個空位共有種A4不同的方法，由分步計數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有A5A4種6 5 6元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端。某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？解：原有的8個節(jié)目中含有9個空檔，插入一個節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個，故有4耳4。=100中插入方法。停車場劃出一排12個停車位置，今有8輛車需要停放.要求空車位置連在一起，不同的停車方法有多少種？先排好8輛車有A8種方法，要求空車位置連在一起，則在每2輛之間及其兩端的9個空檔中任選一個，將空車位置插入有C1種方法，所以共有CiA8種方法.9 98高三（一）班學(xué)要安排畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是 （A-5A;=3600某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完秒殺秘籍：相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排.由分步計數(shù)原理可得共有A；A;A;=480種不同的排法.oex甲a厄丁o要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.

秒殺秘籍：定序問題空位插入除法原理例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定，共有多少不同的排法？解:對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：A7/A37 3（插空法）先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有C3A4方法.（先選三個座位坐下74甲，乙，丙共有C3種選法，余下四個空位排其它四人共有A4種排法，所以共有C3A4種方法.）7 4 74對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。成后才能進(jìn)行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)解：只需將剩余兩個工程插在由甲、乙、丙、丁四個工程形成的5個空中，可得有A2=20種不同排法。5馬路上有編號為1，2,3???，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解：在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈C3種方法，所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.19.3個人坐在一排8個椅子上，若每個人左右兩邊都有空位，則坐法的種數(shù)有多少種？解：先將3個人（各帶一把椅子）進(jìn)行全排列有A3，。*。*。*。，在四個空中分別放一把椅子，還剩一把椅子再去插空有A：種，所以每個人左右兩邊都空位的排法有A4A3=24種.20.10人身高各不相等，排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？C521.6個人排隊，甲、乙、丙三人按 “甲---乙---丙”順序排的排隊方法有多少種？排隊方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66《A33=120種。書架上某層有6本書，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6本書的順序，有 種不同的插法（具體數(shù)字秒殺秘籍：平均分組問題除法原理例5.6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？解：分三步取書得C2C2C2種方法，但這里出現(xiàn)TOC\o"1-5"\h\z6 4 2重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為（AB,CD,EF）,則C：C：C；中還有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）共有A3種取法，而這些分法僅是（AB,CD,EF）一種分法,故共有C；C：C;/A3種分法。平均分成的組，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后要一定要除以A^（n為均分的組數(shù)）避免重復(fù)計數(shù)。 ”作答）A9/A6=5049 6某市春節(jié)晚會原定10個節(jié)目，導(dǎo)演最后決定添加3個與“抗冰救災(zāi)”有關(guān)的節(jié)目，但是賑災(zāi)節(jié)目不排在第一個也不排在最后一個，并且已經(jīng)排好的10個節(jié)目的相對順序不變，則該晚會的節(jié)目單的編排總數(shù)4，6次序一定，

（1）A7/A33⑵為.A“4，6次序一定，

（1）A7/A33⑵用1，2,13,；，5,6,7這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，（1）若偶數(shù)2，有多少個？（2）若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個？一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？A6/A22=360將13個球隊分成3組,一組5個隊，其它兩組4個隊，有多少分法？（C；3C；C：/A2=45045）

27.10名學(xué)生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種不同的分組方法（C14C3C27.10名學(xué)生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種不同的分組方法（C14C3C3-C2C3C3-2C4C3/A2=1540）則不同的安排方案種數(shù)為 （C：C;A2/A2=90）有6本不同的書按下列分配方式分配,問共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；（2）分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本;（3）分成每組都是2本的三個組；（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本；（5）分給5人每人至少1本。 C2C2C2 C2C1C1C1C1C1.（1）C1C2C3 （2）C1C2C3A3 （3） ~4（4）C2C2C2 （5）554321A53 4將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）.解：第一步將4名大學(xué)生按，2,1，1分成三組，其分法有SC?C1;第二步將分好的三組分配到3個鄉(xiāng)A22TOC\o"1-5"\h\z鎮(zhèn)，其分法有A3所以滿足條件得分配的方案有C4?￡,C1-A3=363 A2 3231.5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（）（A）150種 （B）180種 （C）200種 （D）280種C3C1 ,一 C1C2 .—解：分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2,則有—TA3=60種，若是1,1,3，則有 A3=90A2 3 A2 32 2種，所以共有150種，選A(A)30種(B)90種(C)(A)30種(B)90種(C)180種 (D)270種C1-C2u解：將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有七一=15種方法，再將3組分到3個班，共A22有15-A3=90種不同的分配方案，選B.3某外商計劃在四個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有（ ）種A.16種B.36種 C.42種D.60種解：按條件項目可分配為2,1,0,0與1,1,1,0的結(jié)構(gòu)，..?C2C2A2+C3A3=36+24=60故選D；432 4334.5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）A、480種C、120種A、480種C、120種D、96種…C2C1C1解： 5&2A4=240，選B335.12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配