數(shù)學(xué)建模-概率模型

概率模型一、概率論的誕生及應(yīng)用二、常染色體遺傳模型三、隨機(jī)決策模型四、允許缺貨的存儲(chǔ)模型

1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰(shuí)先贏

c局便算贏家,若在一賭徒勝

a局

(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問(wèn)應(yīng)如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問(wèn)題,于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念數(shù)學(xué)期望.（一）概率論的誕生及應(yīng)用1.概率論的誕生2.概率論的應(yīng)用

概率論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律.概率論的應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查，在通訊工程中概率論可用以提高信號(hào)的抗干擾性、分辨率等等.在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱(chēng)為確定性現(xiàn)象.

“太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起”,確定性現(xiàn)象

“水從高處流向低處”,實(shí)例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象確定性現(xiàn)象的特征

條件完全決定結(jié)果在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象.實(shí)例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.

隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.實(shí)例2

明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨.特征:條件不能完全決定結(jié)果2.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究的.問(wèn)題什么是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象?說(shuō)明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系

,其數(shù)量關(guān)系無(wú)法用函數(shù)加以描述.1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn).定義

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛱岢隽烁怕收摰墓砘Y(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.3、概率的定義Andrey

NikolaevichKolmogorov1903.4--1987.101）等可能概型(古典概型)定義

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，A為E的任意一個(gè)事件，且包含m個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A出現(xiàn)的概率記為:

古典概型的基本模型:摸球模型(1)無(wú)放回地摸球(2)有放回地摸球例1

某接待站在某一周曾接待過(guò)12次來(lái)訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.

假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定,且各來(lái)訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周內(nèi)接待12次來(lái)訪共有小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有故12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為例2

假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率.64個(gè)人生日各不相同的概率為故64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為解說(shuō)明我們利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計(jì)回歸模型馬氏鏈模型隨機(jī)模型確定性模型隨機(jī)性模型(二)常染色體遺傳模型1.常染色體遺傳是指后代從每個(gè)親體的基因中各繼承一個(gè)基因從而形成自己的基因型。說(shuō)明2.假設(shè)遺傳基因是由兩個(gè)基因A和B控制的，則有三種可能基因型：AA、AB和BB。例如：金魚(yú)草是由兩個(gè)基因決定它開(kāi)花的顏色，AA型開(kāi)紅花，AB型開(kāi)粉花，而B(niǎo)B型開(kāi)白花。這里AA型和AB型表示了同一外部特征，此時(shí)可以認(rèn)為基因A支配了基因B，也可以說(shuō)基因B對(duì)基因A是隱性的。3.當(dāng)一個(gè)親體的基因型為AB，另一個(gè)親體的基因型為BB時(shí)，那么后代可以從基因型BB中得到基因B，從基因型AB中得到A或B，且等可能的得到。問(wèn)題的提出

某植物園中的一種植物的基因型為AA、AB和BB，現(xiàn)采用AA型植物與每一種基因植物相結(jié)合的方案培育后代。試組建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，若干年后，這種植物的任一代的三種基因型的分布情況。模型假設(shè)1)按說(shuō)明3，后代從上一代親體中繼承基因A或B是等可能的，則可計(jì)算得到雙親體基因型的所有可能結(jié)合，是其后代形成每種基因型的概率分布情況如下表：下一代的基因型(n代)上一代父母的基因型(n-1代)

AA--AAAA--ABAA--BBAB--AB

AB--BBBB--BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21

：第n代植物中基因型為AA的植物總數(shù)的百分率；

：第n代植物中基因型為AB的植物總數(shù)的百分率；

：第n代植物中基因型為BB的植物總數(shù)的百分率；

：第n代植物中基因型的分布率；即有則特別當(dāng)n=0時(shí)，稱(chēng)為植物基因型的初始分布率。模型建立

首先考慮第n代中的AA型，按前表所給數(shù)據(jù)，第n代AA型所占百分率為同理，可得第n代的AB和BB型所占百分率，并聯(lián)立三式得：用矩陣形式表示，可得：簡(jiǎn)潔地表示為：其中由上式遞推，可得第n代基因型分布的數(shù)學(xué)模型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了對(duì)的求解，設(shè)法將M轉(zhuǎn)化為對(duì)角陣模型求解將M對(duì)角化，就是求可逆矩陣P，使則，即其中Λ為對(duì)角陣，其對(duì)角元素為M的特征值，P為M的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。得M的特征值為解方程組將分別代入方程組求解，分別得到三個(gè)特征向量為：解行列式以三個(gè)特征值為對(duì)角元素構(gòu)成對(duì)角陣Λ，以三個(gè)特征向量為列構(gòu)成可逆陣P，即：又，于是得到從而或?qū)懗赡Ｐ头治?1)由上式可見(jiàn)，當(dāng)n∞時(shí)，有即當(dāng)繁殖后代數(shù)目很大時(shí)，所培育出的植物基本上呈現(xiàn)的是AA型，AB型極少，BB型根本就不存在。(2)本例基本思路用到了概率論中的知識(shí)，而在求解過(guò)程中則巧妙的利用了矩陣來(lái)表示概率分布。作業(yè)選用AB型或BB型植物與每一個(gè)其它基因型植物相結(jié)合從而給出類(lèi)似的結(jié)果

(三)隨機(jī)決策模型

決策問(wèn)題是人們?cè)谡?、軍事、社?huì)、經(jīng)濟(jì)以及我們的日常生活、學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)碰到的問(wèn)題。例如：在有多余資金時(shí)，應(yīng)如何支配資金，就需要我們對(duì)以下方案作出決策：方案一：存入銀行，保險(xiǎn)又增值，但相對(duì)收入低一些；方案二：投資房地產(chǎn)，買(mǎi)股票，買(mǎi)期貨等這些方案，帶有較大的風(fēng)險(xiǎn)性，但相對(duì)收入比存入銀行高的多。決策問(wèn)題分類(lèi)：

確定性決策

不確定性決策

風(fēng)險(xiǎn)性決策(主要研究問(wèn)題)

主要介紹：1.風(fēng)險(xiǎn)決策模型的概念

2.風(fēng)險(xiǎn)決策模型的求解方法3.例題分析有關(guān)概念風(fēng)險(xiǎn)決策是指在作出決策時(shí)往往有某些隨機(jī)性的因素影響，而決策者對(duì)這些因素的了解不足，但是對(duì)各種因素發(fā)生的概率已知或可估算出來(lái)，這種決策因存在一定的風(fēng)險(xiǎn)而稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)型決策。2.基本要素：(1)決策者(2)方案或策略(3)準(zhǔn)則：衡量所選方案正確性的標(biāo)準(zhǔn)。一般以期望的效益值為準(zhǔn)則，即根據(jù)每個(gè)方案的數(shù)學(xué)期望值作出判斷。(概率論的有關(guān)知識(shí))(4)事件或狀態(tài)：不為決策者所控制的客觀存在的且將發(fā)生的自然狀態(tài)(5)結(jié)果：事件發(fā)生帶來(lái)的收益或損失值。3.解決方法

決策樹(shù)法：利用樹(shù)形圖法表示決策過(guò)程。解決方法例1：某漁船對(duì)下個(gè)月是否出海打魚(yú)作出決策，若出海后是好天，則可獲益5000元；若出海后天氣變壞，將損失2000元；若不出海，無(wú)論天氣好壞，都承擔(dān)1000元損失。根據(jù)預(yù)測(cè)，下個(gè)月好天的概率為0.6，天氣變壞的概率為0.4，應(yīng)如何選擇最佳方案？？決策樹(shù)的畫(huà)法ABC決策結(jié)點(diǎn)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)概率分支收益值或損失值策略分支由此得到例1的決策樹(shù)為ABC天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣好0.45000元-2000元-1000元-1000元出海不出海注意：1)決策樹(shù)是由左向右畫(huà)，畫(huà)的過(guò)程中同時(shí)將各種已知數(shù)據(jù)標(biāo)于相應(yīng)的位置上，這樣的樹(shù)形圖即為本題的數(shù)學(xué)模型。2)求解過(guò)程與畫(huà)決策樹(shù)順序正好相反，即由右向左進(jìn)行，先計(jì)算右端的每個(gè)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的期望值模型建立2200-1000模型求解先計(jì)算出海的期望值，將出海收益作為隨機(jī)變量，相應(yīng)的天氣情況的概率作為概率，則概率分布列為x5000-2000P0.60.4則數(shù)學(xué)期望EX=5000*0.6+(-2000)*0.4=2200,此為狀態(tài)結(jié)點(diǎn)B的數(shù)學(xué)期望值，標(biāo)于B的上方。

同理將不出海的效益作為隨機(jī)變量，求出期望值為EX=(-1000)*0.6+(-1000)*0.4=-1000,標(biāo)于C的上方。模型分析比較這兩個(gè)期望值，顯然出海的期望值比較大，從而剪去不出海決策枝，選擇出海作為最終決策。施工決策問(wèn)題某建筑工程用正常速度施工，若以天氣正常，30天即可完工，但預(yù)測(cè)15天后天氣將轉(zhuǎn)壞，其中40%的可能為不影響施工的陰雨天；50%的可能遇到暴雨，使工期推15天；10%的可能遇到臺(tái)風(fēng)，是工期推20天。面對(duì)這種情況有兩個(gè)方案可供選擇：方案(一)：提前緊急加班，在天氣變壞之前完工，但需多支付18000元的工資。方案(二)：不提前加班，15天后再做決策：(1)遇陰雨天，按時(shí)完工；(2)遇暴雨：不采取措施，需支付工程延期費(fèi)20000元；采取措施，有三種可能：可能1：50%減少誤工1天，損失費(fèi)24000元；可能2：30%減少誤工2天，損失費(fèi)18000元；可能3：20%減少誤工3天，損失費(fèi)12000元。(3)遇臺(tái)風(fēng)：不采取措施，損失費(fèi)50000元；采取措施，三種可能：1、70%減少誤工2天，損失費(fèi)54000元；2、20%減少誤工3天，損失費(fèi)46000元；3、10%減少誤工4天，損失費(fèi)38000元.試對(duì)以上問(wèn)題做出決策選出最佳方案。模型建立ABCEDF提前加班陰雨0.4暴雨0.5臺(tái)風(fēng)0.1應(yīng)急措施正常施工應(yīng)急措施正常施工少1天0.5少2天0.3少3天0.2少2天0.7少3天0.2少4天0.1-180000元-24000-18000-12000-20000-54000-46000-38000-50000-50000模型求解1.一級(jí)決策狀態(tài)結(jié)點(diǎn)E處的數(shù)學(xué)期望為(-54000)*0.7+(-46000)*0.2+(-38000)*0.1=-50800,狀態(tài)結(jié)點(diǎn)F處的數(shù)學(xué)期望為(-24000)*0.5+(-18000)*0.3+(-12000)*0.2=-19800.2.二級(jí)決策狀態(tài)節(jié)點(diǎn)B處數(shù)學(xué)期望為-(0.4*0+19800*0.5+0.1*50000)=-14900結(jié)論：

最佳決策是不用提前加班，等15天后，若遇陰雨天或臺(tái)風(fēng)都只需順其自然，按原來(lái)的速度施工，而遇到暴雨則應(yīng)采取應(yīng)急措施。

此決策方案支付的數(shù)學(xué)期望是14900元。作業(yè)2某公司根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)值，生產(chǎn)的產(chǎn)品會(huì)有較大規(guī)模的需求量，而目前的產(chǎn)量明顯不足?，F(xiàn)行狀態(tài)是公司當(dāng)前的雇員用每周40小時(shí)的正常工作時(shí)間運(yùn)作著，為了提高產(chǎn)量，公司決策集團(tuán)提出了兩種新的方案：1.利用現(xiàn)有雇員進(jìn)行超時(shí)工作；2.增加新設(shè)備。

又市場(chǎng)分析專(zhuān)家認(rèn)定：1.對(duì)產(chǎn)品需求增加15%的可能性為60%2.經(jīng)濟(jì)惡化，需求實(shí)際下降5%的可能性為40%。信息列于下表中行動(dòng)下降5%（40%）增加15%(60%)保持當(dāng)前水平300000340000員工超時(shí)工作300000420000增加新設(shè)備260000440000自然狀態(tài)四、隨機(jī)型存儲(chǔ)模型存儲(chǔ)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型涉及以下的主要經(jīng)濟(jì)變量：1.需求量：某種物資在單位時(shí)間內(nèi)的需求量，以D表示，如年需求量、月需求量、日需求量。需求量有時(shí)是常量，而在許多情況下則是隨機(jī)變量，這時(shí)它的變化規(guī)律應(yīng)當(dāng)是能夠掌握的.對(duì)需求量進(jìn)行科學(xué)地預(yù)測(cè)和估計(jì)是解決存儲(chǔ)問(wèn)題的重要依據(jù).2.批量：為補(bǔ)充存儲(chǔ)而供應(yīng)一批物資的數(shù)量稱(chēng)為批量，以Q表示.由外部訂貨供應(yīng)的批量稱(chēng)為訂貨批量；由內(nèi)部生產(chǎn)供應(yīng)的批量稱(chēng)為生產(chǎn)批量.3.貨點(diǎn):為補(bǔ)充存儲(chǔ)而發(fā)生訂貨時(shí)的存儲(chǔ)水平，以R表示.4.備運(yùn)期：發(fā)生訂貨的時(shí)間與實(shí)際收到訂貨入庫(kù)的時(shí)間的間隔.5．存儲(chǔ)費(fèi)：保管存貨的費(fèi)用，包括存儲(chǔ)所占用資金的利息、倉(cāng)庫(kù)和場(chǎng)地費(fèi)用、物資的存儲(chǔ)損耗費(fèi)用、物資的稅金、保險(xiǎn)費(fèi)用等，以表示.6．訂貨費(fèi)：為補(bǔ)充存儲(chǔ)而訂貨所支付的費(fèi)用，包括準(zhǔn)備和發(fā)出訂貨單的費(fèi)用、貨物的堆放和裝運(yùn)的費(fèi)用等，以K表示.7．缺貨損失費(fèi)：發(fā)生需求時(shí)，存儲(chǔ)不能提供而引起的費(fèi)用，包括利潤(rùn)的損失、信譽(yù)的損失、停工待料的損失以及沒(méi)有履行交貨合同的罰款等，以表示.存儲(chǔ)費(fèi)、訂貨費(fèi)和缺貨損失費(fèi)構(gòu)成了庫(kù)存的總費(fèi)用，即總費(fèi)用=存儲(chǔ)費(fèi)+訂貨費(fèi)+缺貨損失費(fèi).使總費(fèi)用最小是建立和求解存儲(chǔ)模型的主要目標(biāo).

為實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)，需要確定批量和訂貨點(diǎn)，這就是所謂存儲(chǔ)決策.批量與訂貨點(diǎn)即決策變量.因而存儲(chǔ)模型的主要形式有：

總費(fèi)用=（批量）或總費(fèi)用=（批量，訂貨點(diǎn)），即F=（Q）或F=（Q，R）.為了更具體理解隨機(jī)性存儲(chǔ)模型，先來(lái)看一個(gè)具體實(shí)例.考察報(bào)童問(wèn)題.報(bào)童每日早晨從報(bào)社以每份報(bào)紙0.30元的批發(fā)價(jià)購(gòu)得當(dāng)日的日?qǐng)?bào)，然后以每份0.45元的零售價(jià)售出.若賣(mài)不完，則每份報(bào)紙的積壓損失費(fèi)為0.30元；若不夠賣(mài)，則缺一份報(bào)紙?jiān)斐蓾撛趽p失的缺貨損失費(fèi)為0.15元.該報(bào)童對(duì)以往的銷(xiāo)量作了連續(xù)一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，其記錄如表日需求量D120130140150160頻率P（D）0.150.20.30.250.1那么，報(bào)童每日應(yīng)訂多少份報(bào)紙，才能使總損失費(fèi)最?。繑?shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量X的概率分布為則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望值為連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望值為期望值反映了隨機(jī)變量取值的“平均”意義?。ㄋ模┰试S缺貨的存儲(chǔ)模型一、問(wèn)題的提出在商店里，若存儲(chǔ)商品數(shù)量不足，會(huì)發(fā)生缺貨現(xiàn)象，就失去銷(xiāo)售機(jī)會(huì)而減少利潤(rùn)；如果存量過(guò)多，一時(shí)售不出去，會(huì)造成商品積壓，占用流動(dòng)資金過(guò)多且周轉(zhuǎn)不開(kāi)，這樣也要造成經(jīng)濟(jì)損失．那么如何制定最優(yōu)存儲(chǔ)策略呢？這就面臨著市場(chǎng)需求的隨機(jī)性問(wèn)題，試建立數(shù)學(xué)型，制定最優(yōu)存儲(chǔ)策略．二、模型假設(shè)

允許缺貨，缺貨費(fèi)為C2需求是連續(xù)的、均勻的,需求速度R為常數(shù)，時(shí)間t的需求量Rt

每次定貨量不變，定貨費(fèi)C3

不變單位存儲(chǔ)費(fèi)不變,記為C1

存儲(chǔ)量與時(shí)間關(guān)系圖QTOS

三、模型建立假設(shè)最初存儲(chǔ)量為

可以滿足

時(shí)間段的需求

平均存儲(chǔ)量為

平均缺貨量為

在t時(shí)間內(nèi)所需存儲(chǔ)費(fèi)：

訂貨費(fèi)：

在t時(shí)間內(nèi)的缺貨費(fèi)：

平均總費(fèi)用：

求最佳存儲(chǔ)策略,使平均總費(fèi)用最小.

四、模型求解利用多元函數(shù)求極值的方法求解

當(dāng)C2很大時(shí)（不允許缺貨）

結(jié)果分析

兩次訂貨間隔時(shí)間延長(zhǎng)

在允許缺貨的情況下訂貨量

存儲(chǔ)量

時(shí)間內(nèi)的缺貨量

五、模型的分析與推廣

這里的模型是在假定需求是連續(xù)均勻的，且需求速度為常數(shù).

事實(shí)上在大多實(shí)際問(wèn)題中需求速度是隨機(jī)的，這樣模型的使用受到了一定的局限．

例一鞋店平均每天賣(mài)出110雙鞋，批發(fā)手續(xù)為每次200元，每雙鞋每存儲(chǔ)一天的費(fèi)用為0.01元，問(wèn)該鞋店多少天批發(fā)一次最好，進(jìn)貨量為多少？最佳進(jìn)貨周期（天）

進(jìn)貨量

（雙）不允許缺貨例題(五)報(bào)童的訣竅問(wèn)題：報(bào)童每天清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒(méi)有賣(mài)掉的報(bào)紙退回。設(shè)報(bào)紙每份的購(gòu)進(jìn)價(jià)為b，零售價(jià)為a，退回價(jià)為c，假設(shè)a>b>c。即報(bào)童售出一份報(bào)紙賺a-b，退回一份賠b-c。報(bào)童每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙?zhí)?，賣(mài)不完會(huì)賠錢(qián)；購(gòu)進(jìn)太少，不夠賣(mài)會(huì)少掙錢(qián)。試為報(bào)童籌劃一下每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大收入。1.確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式每天的總收入為目標(biāo)變量每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)為設(shè)計(jì)變量3.尋找約束條件設(shè)計(jì)變量所受的限制問(wèn)題分析尋找設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)變量之間的關(guān)系若每天購(gòu)進(jìn)0份，則收入為0。若每天購(gòu)進(jìn)1份，售出，則收入為a-b。退回，則收入為–(b-c)。若每天購(gòu)進(jìn)2份，售出1份，則收入為a-b–(b-c)

。退回，則收入為–2(b-c)。售出2份，則收入為2(a-b)

。收入還與每天的需求量有關(guān)，而需求量是隨機(jī)變量則收入也是隨機(jī)變量，通常用均值，即期望表示。1設(shè)每天購(gòu)進(jìn)n份，日平均收入為G(n)3每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…2售出一份賺a-b；退回一份賠b-c模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明求n使G(n)最大每天的收入函數(shù)記為U(n)，則收入函數(shù)的期望值為模型建立將r視為連續(xù)變量模型求解使報(bào)童日平均收入達(dá)到最大的購(gòu)進(jìn)量應(yīng)滿足上式。因?yàn)槭弁甑母怕室驗(yàn)楫?dāng)購(gòu)進(jìn)份報(bào)紙時(shí)，是需求量不超過(guò)的概率是需求量超過(guò)的概率售不完的概率上式意義為：購(gòu)進(jìn)的份數(shù)之比，恰好等于賣(mài)出一份賺的錢(qián)與退回一份賠的錢(qián)之比。應(yīng)該使賣(mài)不完與賣(mài)完的概率根據(jù)需求量的概率密度的圖形可以確定購(gòu)進(jìn)量在圖中用分別表示曲線下的兩塊面積，則Onr當(dāng)報(bào)童與報(bào)社簽訂的合同使報(bào)童每份賺錢(qián)與賠錢(qián)之比越大時(shí)，報(bào)童購(gòu)進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。結(jié)論求解的幾何意義利用上述模型計(jì)算，若每份報(bào)紙的購(gòu)進(jìn)價(jià)為0.75元，售出價(jià)為1元，退回價(jià)為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報(bào)童每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)多少份報(bào)紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？舉例查概率積分表得（六）隨機(jī)人口模型背景

一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件一個(gè)國(guó)家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個(gè)家族或村落出生概率死亡概率隨機(jī)性模型對(duì)象X(