2023年高考試題-數(shù)學(xué)理湖北卷

2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔湖北卷〕數(shù)學(xué)〔理工農(nóng)醫(yī)類〕本試卷分第一卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部。第一卷1至2頁，第二卷3至4頁，共4頁。全卷共150分。考試用時120分鐘。第一卷〔選擇題共50分〕考前須知：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題紙上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。每題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，答在試題卷上無效?？荚嚱Y(jié)束后，監(jiān)考人員將本試題卷和答題卡一并收回。一、選擇題:本大題共10小題，每題5分，共50分散。在每個小題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1．向量，是不平行于軸的單位向量，且，那么(B)A．〔〕B．〔〕C．〔〕D．〔〕2.假設(shè)互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，那么(D)A．4B．2C．－2D．－43.假設(shè)的內(nèi)角滿足，那么(A)A.B．C．D．4．設(shè)，那么的定義域為(B)A．B．C．D．5．在的展開式中，的冪的指數(shù)是整數(shù)的項共有(C)A．3項B．4項C．5項D．6項6．關(guān)于直線與平面，有以下四個命題：①假設(shè)且，那么；②假設(shè)且，那么；③假設(shè)且，那么；④假設(shè)且，那么；其中真命題的序號是(D)A．①②B．③④C．①④D．②③7．設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，為坐標(biāo)原點，假設(shè)且，那么點的軌跡方程是(D)A．B．C．D．8．有限集合中元素的個數(shù)記做，設(shè)都為有限集合，給出以下命題：①的充要條件是；②的充要條件是；③的充要條件是；④的充要條件是；其中真命題的序號是(B)A．③④B．①②C．①④D．②③9．平面區(qū)域D由以為頂點的三角形內(nèi)部＆邊界組成。假設(shè)在區(qū)域D上有無窮多個點可使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，那么(C)A．－2B．－1C．1D．410．關(guān)于的方程，給出以下四個命題：(A)①存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根；②存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根；③存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；④存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根；其中假命題的個數(shù)是A．0B．1C．2D．3第二卷〔非選擇題共100分〕考前須知：第二卷用0.5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡相應(yīng)位置上。11．設(shè)為實數(shù)，且，那么4。12．接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反響的概率為0．80，現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反響的概率為0.94?！簿_到0．01〕13．直線與圓相切，那么的值為－18或8。14．某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進行。那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)是20?！灿脭?shù)字作答〕15．將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，就得到一個如右圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中r＋1。令，那么。三、解答題：本大題共6小題，共75分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．〔本小題總分值12分〕設(shè)函數(shù)，其中向量，，，?！并瘛?、求函數(shù)的最大值和最小正周期；〔Ⅱ〕、將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，求長度最小的。點評：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的根本知識，考查推理和運算能力。解：(Ⅰ)由題意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝.〔Ⅱ〕由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，于是d＝〔，－2〕，k∈Z.因為k為整數(shù)，要使最小，那么只有k＝1，此時d＝〔―，―2〕即為所求.17．〔本小題總分值13分〕二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上?！并瘛?、求數(shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕、設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；點評：本小題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等根底知識和根本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。解：〔Ⅰ〕設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝ax2+bx(a≠0),那么f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因為點均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n2－2n.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝〔3n2－2n〕－＝6n－5.當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5〔〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得知＝＝，故Tn＝＝＝〔1－〕.因此，要使〔1－〕<〔〕成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.18．〔本小題總分值12分〕如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點，。〔Ⅰ〕、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；〔Ⅱ〕、在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。點評：本小題主要考查線面關(guān)系、直線于平面所成的角的有關(guān)知識及空間想象能力和推理運算能力，考查運用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。解法1：〔Ⅰ〕連AC，設(shè)AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，,連結(jié)OG，因為PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，故∠AGO是AP與平面所成的角.在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.所以，當(dāng)m＝時，直線AP與平面所成的角的正切值為.〔Ⅱ〕可以推測，點Q應(yīng)當(dāng)是AICI的中點O1，因為D1O1⊥A1C1,且D1O1⊥A1A，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故D1O1⊥AP.那么根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。19．〔本小題總分值10分〕在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布。成績在90分以上〔含90分〕的學(xué)生有12名。〔Ⅰ〕、試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？〔Ⅱ〕、假設(shè)該校方案獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可共查閱的〔局部〕標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857點評：本小題主要考查正態(tài)分布，對獨立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱，考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力。解：〔Ⅰ〕設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為，因為～N(70，100)，由條件知，P(≥90)＝1－P〔<90〕＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.這說明成績在90分以上〔含90分〕的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28％，因此，參賽總?cè)藬?shù)約為≈526〔人〕?！并颉臣俣ㄔO(shè)獎的分?jǐn)?shù)線為x分，那么P(≥x)＝1－P〔<x〕＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.故設(shè)獎得分?jǐn)?shù)線約為83.1分。20．〔本小題總分值14分〕設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。〔Ⅰ〕、求橢圓的方程；〔Ⅱ〕、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點〔4，0〕的任意一點，假設(shè)直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內(nèi)?！泊祟}不要求在答題卡上畫圖〕點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的根底知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。解：〔Ⅰ〕依題意得a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.故橢圓的方程為.〔Ⅱ〕解法1：由〔Ⅰ〕得A〔－2，0〕，B〔2，0〕.設(shè)M〔x0，y0〕.∵M點在橢圓上，∴y0＝〔4－x02〕.eq\o\ac(○,1)又點M異于頂點A、B，∴－2<x0<2，由P、A、M三點共線可以得P〔4，〕.從而＝〔x0－2，y0〕，＝〔2，〕.∴·＝2x0－4＋＝〔x02－4＋3y02〕.eq\o\ac(○,2)將eq\o\ac(○,1)代入eq\o\ac(○,2)，化簡得·＝〔2－x0〕.∵2－x0>0，∴·>0，那么∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由〔Ⅰ〕得A〔－2，0〕，B〔2，0〕.設(shè)M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中點Q的坐標(biāo)為〔，〕，依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差－＝(－2〕2＋〔〕2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝〔x1－2)(x2－2)＋y1y1eq\o\ac(○,3)又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，而點兩直線AP與BP的交點P在準(zhǔn)線x＝4上，∴，即y2＝eq\o\ac(○,4)又點M在橢圓上，那么，即eq\o\ac(○,5)于是將eq\o\ac(○,4)、eq\o\ac(○,5)代入eq\o\ac(○,3)，化簡后可得－＝.從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。21．〔本小題總分值14分〕設(shè)是函數(shù)的一個極值點?！并瘛?、求與的關(guān)系式〔用表示〕，并求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕、設(shè)，。假設(shè)存在使得成立，求的取值范圍。點評：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。解：〔Ⅰ〕f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,由f`(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，那么f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f`(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是極值點，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.當(dāng)a<－4時，x2>3＝x1，那么在區(qū)間〔－∞，3〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間〔3，―a―1〕上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間〔―a―1，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)。當(dāng)a>－4時，x2<3＝x1，那么在區(qū)間〔－∞，―a―1〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間〔―a―1，3〕上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間〔3，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)?！并颉秤伞并瘛持?dāng)a>0時，f(x)在區(qū)間〔0，3〕上