《對數(shù)及其運(yùn)算法則》設(shè)計(jì)

《冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)·對數(shù)及其運(yùn)算法則》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)知識與技能:理解并記憶對數(shù)的定義，對數(shù)與指數(shù)的互化，對數(shù)恒等式及對數(shù)的性質(zhì)．方法與過程:理解并掌握對數(shù)運(yùn)算法則的內(nèi)容及推導(dǎo)過程．情感態(tài)度與價(jià)值觀:熟練運(yùn)用對數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)運(yùn)算法則解題．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)是對數(shù)定義、對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則．難點(diǎn)是對數(shù)定義中涉及較多的難以記憶的名稱，以及運(yùn)算法則的推導(dǎo)．教學(xué)過程設(shè)計(jì)師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為％，求20年后國民生產(chǎn)總值是原來的多少倍？生：設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，則20年后國民生產(chǎn)總值y=（1+％）20=，所以20年后國民生產(chǎn)總值是原來的倍．師：這是個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，我們把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中知道底數(shù)和指數(shù)，求冪值的問題．也就是上面學(xué)習(xí)的指數(shù)問題．師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為％，問經(jīng)過多年年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍？師：（分析）仿照上例，設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，需經(jīng)x年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍．列方程=4．我們把這個(gè)應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為知道底數(shù)和冪值，求指數(shù)的問題，這是上述問題的逆問題，即本節(jié)的對數(shù)問題．師：（板書）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，就是ab=N，那么數(shù)b就叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN=b，其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子logaN叫做對數(shù)式．師：請同學(xué)談?wù)剬?shù)這個(gè)定義的認(rèn)識．生：對數(shù)式logaN實(shí)際上就是指數(shù)式中的指數(shù)b的一種新的記法．生：對數(shù)是一種新的運(yùn)算．是知道底和冪值求指數(shù)的運(yùn)算．（此刻并不奢望學(xué)生能說出什么深刻認(rèn)識，只是給他們自己一個(gè)去思維認(rèn)識對數(shù)這個(gè)定義的機(jī)會(huì)．）師：他們說得都非常好．實(shí)際上ab=N這個(gè)式子涉及到了三個(gè)量a，b，N，由方程的觀點(diǎn)可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面學(xué)過的指數(shù)運(yùn)算；知道b（為自然數(shù)時(shí)），N可求a，即初中學(xué)過的開記作logaN=b．因此，對數(shù)是一種新的運(yùn)算，一種知道底和冪值求指數(shù)的運(yùn)算．而每學(xué)一種新的運(yùn)算，首先要學(xué)習(xí)它的記法，對數(shù)運(yùn)算的記法為logaN，讀作：以a為底N的對數(shù)．請同學(xué)注意這種運(yùn)算的寫法和讀法．師：實(shí)際上指數(shù)與對數(shù)只是數(shù)量間的同一關(guān)系的兩種不同形式．為了更深入認(rèn)識并記憶對數(shù)這個(gè)概念，請同學(xué)們填寫下列表格．（打出幻燈）

式子名稱

abN

指數(shù)式對數(shù)式ab=Nloga

練習(xí)1

把下列指數(shù)式寫成對數(shù)形式：練習(xí)2

把下列對數(shù)形式寫成指數(shù)形式：練習(xí)3

求下列各式的值：（兩名學(xué)生板演練習(xí)1，2題（過程略），一生板演練習(xí)三．）因?yàn)?2=4，所以以2為底4的對數(shù)等于2．因?yàn)?3=125，所以以5為底125的對數(shù)等于3．（注意糾正學(xué)生的錯(cuò)誤讀法和寫法．）師：由定義，我們還應(yīng)注意到對數(shù)式logaN=b中字母的取值范圍是什么？生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．師：N∈R？（這是學(xué)生最易出錯(cuò)的地方，應(yīng)一開始讓學(xué)生牢牢記住真數(shù)大于零．）生：由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，因而ab=N中N總是正數(shù)．師：要特別強(qiáng)調(diào)的是：零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)．師：定義中為什么規(guī)定a＞0，a≠1？（根據(jù)本班情況決定是否設(shè)置此問．）生：因?yàn)槿鬭＜0，則N取某些值時(shí)，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，則當(dāng)N不為0時(shí)，b不存在，如log02不存在；當(dāng)N為0時(shí)，b可以為任何正數(shù)，是不唯一的，即log00有無數(shù)個(gè)值；若a=1，N不為1時(shí)，b不存在，如log13不存在，N為1時(shí)，b可以為任何數(shù)，是不唯一的，即log11有無數(shù)多個(gè)值．因此，我們規(guī)定：a＞0，a≠1．（此回答能培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想．這個(gè)問題從ab=N出發(fā)回答較為簡單．）師：下面我來介紹兩個(gè)在對數(shù)發(fā)展過程中有著重要意義的對數(shù)．師：（板書）對數(shù)logaN（a＞0且a≠1）在底數(shù)a=10時(shí)，叫做常用對數(shù)，簡記lgN；底數(shù)a=e時(shí)，叫做自然對數(shù)，記作lnN，其中e是個(gè)無理數(shù)，即e≈28……．練習(xí)4

計(jì)算下列對數(shù)：lg10000，，2log24，3log327，10lg105，5log51125．師：請同學(xué)說出結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想．生：2log24=4．這是因?yàn)閘og24=2，而22=4．生：3log327=27．這是因?yàn)閘og327=3，而33=27．生：10lg105=105．生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．師：非常好．這就是我們下面要學(xué)習(xí)的對數(shù)恒等式．師：（板書）alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用紅筆在字母取值范圍下畫上曲線）（再次鼓勵(lì)學(xué)生，并提出更高要求，給出嚴(yán)格證明．）（學(xué)生討論，并口答．）生：（板書）證明：設(shè)指數(shù)等式ab=N，則相應(yīng)的對數(shù)等式為logaN=b，所以ab=alogaN=N．師：你是根據(jù)什么證明對數(shù)恒等式的？生：根據(jù)對數(shù)定義．師：（分析小結(jié)）證明的關(guān)鍵是設(shè)指數(shù)等式ab=N．因?yàn)橐C明這個(gè)對數(shù)恒等式，而現(xiàn)在我們有關(guān)對數(shù)的知識只有定義，所以顯然要利用定義加以證明．而對數(shù)定義是建立在指數(shù)基礎(chǔ)之上的，所以必須先設(shè)出指數(shù)等式，從而轉(zhuǎn)化成對數(shù)等式，再進(jìn)行證明．師：掌握了對數(shù)恒等式的推導(dǎo)之后，我們要特別注意此等式的適用條件．生：a＞0，a≠1，N＞0．師：接下來觀察式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶．（給學(xué)生一分鐘時(shí)間．）師：（板書）2log28=？2log42=？生：2log28=8；2log42=2．師：第2題對嗎？錯(cuò)在哪兒？師：（繼續(xù)追問）在運(yùn)用對數(shù)恒等式時(shí)應(yīng)注意什么？（經(jīng)歷上面的錯(cuò)誤，使學(xué)生更牢固地記住對數(shù)恒等式．）生：當(dāng)冪的底數(shù)和對數(shù)的底數(shù)相同時(shí)，才可以用公式alogaN=N．（師用紅筆在兩處a上重重地描寫．）師：最后說說對數(shù)恒等式的作用是什么？生：化簡！師：請打開書74頁，做練習(xí)4．（生口答．略）師：對對數(shù)的定義我們已經(jīng)有了一定認(rèn)識，現(xiàn)在，我們根據(jù)定義來進(jìn)一步研究對數(shù)的性質(zhì)．師：負(fù)數(shù)和零有沒有對數(shù)？并說明理由．生：負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)．因?yàn)槎x中規(guī)定a＞0，所以不論b是什么數(shù)，都有ab＞0，這就是說，不論b是什么數(shù)，N=ab永遠(yuǎn)是正數(shù)．因此，由等式b=logaN可以看到，負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)．師：非常好．由于對數(shù)定義是建立在指數(shù)定義的基礎(chǔ)之上，所以我們要充分利用指數(shù)的知識來研究對數(shù)．師：（板書）性質(zhì)1：負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)．師：1的對數(shù)是多少？生：因?yàn)閍0=1（a＞0，a≠1），所以根據(jù)對數(shù)定義可得1的對數(shù)是零．師：（板書）1的對數(shù)是零．師；底數(shù)的對數(shù)等于多少？生：因?yàn)閍1=a，所以根據(jù)對數(shù)的定義可得底數(shù)的對數(shù)等于1．師：（板書）底數(shù)的對數(shù)等于1．師：給一分鐘時(shí)間，請牢記這三條性質(zhì)．師：在初中，我們學(xué)習(xí)了指數(shù)的運(yùn)算法則，請大家回憶一下．生：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am·an=am+n．同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即am÷an=am-n．還有（am）n=amn；師：下面我們利用指數(shù)的運(yùn)算法則，證明對數(shù)的運(yùn)算法則．（板書）（1）正因數(shù)積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對數(shù)的和．即loga（MN）=logaM+logaN．（請兩個(gè)同學(xué)讀法則（1），并給時(shí)間讓學(xué)生討論證明．）師：（分析）我們要證明這個(gè)運(yùn)算法則，用眼睛一瞪無從下手，這時(shí)我們該想到，關(guān)于對數(shù)我們只學(xué)了定義和性質(zhì)，顯然性質(zhì)不能證明此式，所以只有用定義證明．而對數(shù)是由指數(shù)加以定義的，顯然要利用指數(shù)的運(yùn)算法則加以證明，因此，我們首先要把對數(shù)等式轉(zhuǎn)化為指數(shù)等式．師：（板書）設(shè)logaM=p，logaN=q，由對數(shù)的定義可以寫成M=ap，N=aq．所以M·N=ap·aq=ap+q，所以loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．即loga（MN）=logaM+logaN．

師：這個(gè)法則的適用條件是什么？生：每個(gè)對數(shù)都有意義，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．師：觀察法則（1）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶．生：等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是一個(gè)降級運(yùn)算．師：非常好．例如，（板書）log2（32×64）=？生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．師：通過此例，同學(xué)應(yīng)體會(huì)到此法則的重要作用——降級運(yùn)算．它使計(jì)算簡化．師：（板書）log62+log63=？生：log62+log63=log6（2×3）=1．師：正確．由此例我們又得到什么啟示？生：這是法則從右往左的使用．是升級運(yùn)算．師：對．對于運(yùn)算法則（公式），我們不僅要會(huì)從左往右使用，還要會(huì)從右往左使用．真正領(lǐng)會(huì)法則的作用！師：（板書）（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)．師：仿照研究法則（1）的四個(gè)步驟，自己學(xué)習(xí)．（給學(xué)生三分鐘討論時(shí)間．）生：（板書）設(shè)logaM=p，logaN=q．根據(jù)對數(shù)的定義可以寫成M=ap，N=aq．所以師：非常好．他是利用指數(shù)的運(yùn)算法則和對數(shù)的定義加以證明的．大家再想一想，在證明法則（2）時(shí)，我們不僅有對數(shù)的定義和性質(zhì)，還有法則（1）這個(gè)結(jié)論．那么，我們是否還有其它證明方法？生：（板書）師：非常漂亮．他是運(yùn)用轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，借助于剛剛證明的法則（1）去證明法則（2）．他的證法要比書上的更簡單．這說明，轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，在化難為易、化復(fù)雜為簡單上的重要作用．事實(shí)上，這種思想不但在學(xué)習(xí)新概念、新公式時(shí)常常用到，而且在解題中的應(yīng)用更加廣泛．師：法則（2）的適用條件是什么？生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．師：觀察法則（2）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶．生：等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個(gè)降級運(yùn)算，從右往左是一個(gè)升級運(yùn)算．師：（板書）lg20-lg2=？師：可見法則（2）的作用仍然是加快計(jì)算速度，也簡化了計(jì)算的方法．師：（板書）例1

計(jì)算：生：（板書）解（1）log93+log927=log93×27=log981=2；（3）log2（4+4）=log24+log24=4；（由學(xué)生判對錯(cuò)，并說明理由．）生：第（2）題錯(cuò)！在同底的情況下才能運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則．（板書）生：第（3）題錯(cuò)！法則（1）的內(nèi)容是：生：第（4）題錯(cuò)！法則（2）的內(nèi)容是：師：通過前面同學(xué)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，我們在運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則時(shí)要特別注意什么？生：首先，在同底的情況下才能從右往左運(yùn)用法則（1）、（2）；其次，只有在正因數(shù)的積或兩個(gè)正數(shù)的商的對數(shù)的情況下，才能從左往右運(yùn)用運(yùn)算法則（1）、（2）．師：（板書）（3）正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)．即loga（N）n=n·logaN．師：（分析）欲證loga（N）n=n·logaN，只需證Nn=an·logaN=（a·logaN）n，只需證N=alogaN．

由對數(shù)恒等式，這是顯然成立的．師：（板書）設(shè)N＞0，根據(jù)對數(shù)恒等式有N=alogaN．所以Nn=（alogaN）n=an·logaN．

根據(jù)對數(shù)的定義有l(wèi)oga（N）n=n·logaN．師：法則（3）的適用條件是什么？生：a＞0，a≠1；N＞0．師：觀察式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶．生：從左往右仍然是降級運(yùn)算．師：例如，（板書）log332=log525=5log52．練習(xí)計(jì)算（log232）3．（找一好一差兩名學(xué)生板書．）錯(cuò)解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15．正確解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．（師再次提醒學(xué)生注意要準(zhǔn)確記憶公式．）師：（板書）（4）正數(shù)的正的方根的對數(shù)等于被開方數(shù)的對數(shù)除以根指數(shù)．即師：法則（4）的適用條件是什么？生：a＞0，a≠1；N＞0．師：法則（3）和法則（4）可以合在一起加以記憶．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（師板書）例2

用logax，logay，logaz表示下列各式：（生板書）解（注意（3）的第二步不要丟掉小括號．）（師板書）例3

計(jì)算：（生板書）解（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．師：請大家在筆記本上小結(jié)這