人教版初中數(shù)學八年級下冊全冊導學案

人教版數(shù)學八年級下冊全冊導學案第十六章二次根式16.1二次根式第1課時二次根式的概念學習目標：1.理解二次根式的概念；掌握二次根式有意義的條件；3.會利用二次根式的非負性解決相關問題.重點：理解二次根式的概念及有意義的條件.難點：利用二次根式的有意義的條件及其非負性解題.自主學習自主學習一、知識鏈接1.什么叫做平方根？2.什么叫做算術平方根？什么數(shù)有算術平方根？二、新知預習1.用帶根號的式子填空:(1)如圖=1\*GB3①的海報為正方形，若面積為2m2,則邊長為m；若面積為Sm2，則邊長為______m．圖圖圖如圖=2\*GB3②的海報為長方形，若長是寬的2倍，面積為6m2，則它的寬為_____m．一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t為_____．2.自主歸納：（1）二次根式的概念：一般地，我們把形如的式子叫作二次根式.“____”稱為二次根號.（2）二次根式的雙重非負性：二次根式的被開方數(shù)為________數(shù),二次根式的值為_________數(shù).三、自學自測1.下列各式中是二次根式的是（）A.B.C.D.2.二次根式有意義的條件是_____________.四、我的疑惑____________________________________________________________課堂探究課堂探究要點探究探究點1：二次根式的意義及有意義的條件問題1分別表示什么意義？問題2這些式子有什么共同特征？要點歸納：一般地，我們把形如的式子叫作二次根式.“”稱為_______.典例精析例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？方法總結:判斷二次根式是，抓住二次根式兩個必備特征：①外貌特征：含有“”；②內在特征：被開方數(shù)a≥0.例2當x是怎樣的實數(shù)時，在實數(shù)范圍內有意義?變式題1當x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義？方法總結:要使二次根式在實數(shù)范圍內有意義，即需滿足被開方數(shù)≥0，列不等式求解即可.若式子為分式，應同時考慮分母不為零.【變式題】當x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義？方法總結:被開方數(shù)是多項式時，需要對組成多項式的項進行恰當分組湊成含完全平方的形式，再進行分析討論.針對訓練下列各式:一定是二次根式的有()A.3個B.4個C.5個D.6個(1)若式子在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是___________;(2)若式子在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是___________.探究點2：二次根式的雙重非負性問題1：當x是怎樣的實數(shù)時，在實數(shù)范圍內有意義？呢？問題2：二次根式的被開方數(shù)a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？要點歸納：二次根式的實質是表示一個非負數(shù)（或式）的算術平方根.對于任意一個二次根式，我們知道：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a____0；（2）表示一個數(shù)或式的算術平方根，可知_____0.典例精析例3若，求a-b+c的值.方法總結:多個非負數(shù)的和為零，則可得每個非負數(shù)均為零.初中階段學過的非負數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.例4已知y=,求3x+2y的算術平方根.【變式題】已知a，b為等腰三角形的兩條邊長，且a，b滿足，求此三角形的周長．方法總結:若，則根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，可得a=0.針對訓練已知|3x-y-1|和互為相反數(shù)，求x+4y的平方根．二、課堂小結當堂檢測當堂檢測下列式子中，不屬于二次根式的是（）式子有意義的條件是（）x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.當x=____時，二次根式取最小值，其最小值為______．4.當a是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義？(1)若二次根式有意義，求m的取值范圍．無論x取任何實數(shù)，代數(shù)式都有意義，求m的取值范圍．6.若x，y是實數(shù)，且y＜,求的值.拓展提升7.先閱讀，后回答問題：當x為何值時，有意義？解：由題意得x(x-1)≥0，由乘法法則得解得x≥1或x≤0.即當x≥1或x≤0時，有意義.體會解題思想后，試著解答：當x為何值時，有意義？參考答案自主學習一、知識鏈接問題1:一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根.問題2:如果x2=a(x≥0)，那么x稱為a的算術平方根.用表示.非負數(shù).二、新知預習(1)(2)(3)2.自主歸納：(1)≥(2)非負數(shù)，非負數(shù)三、自學自測1.B2.x≤5合作探究一、要點探究探究點1：二次根式的概念及有意義的條件問題1:分別表示2，S，3，的算術平方根問題2:①根指數(shù)都為2;②被開方數(shù)為非負數(shù).歸納總結：二次根式例1：解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1屬于“非負數(shù)+正數(shù)”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.例2：解：由x-2≥0，得x≥2.【變式題1】（1）解：由題意得x-1＞0，∴x＞1.（2）解：∵被開方數(shù)需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.【變式題2】解：(1)∵無論x為何實數(shù)，-x2-2x-3=-(x-1)2≤0，∴當x=1時，在實數(shù)范圍內有意義.(2)∵無論x為何實數(shù)，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴無論x為何實數(shù)，在實數(shù)范圍內都無意義.練一練：1.B2.(1)x≥1(2)x≥0且x≠2探究點1：二次根式的概念及有意義的條件問題1:前者x為全體實數(shù)；后者x為非負數(shù).問題2：當a＞0時，表示a的算術平方根，因此＞0；當a=0時，表示0的算術平方根，因此=0.這就是說，當a≥0時，≥0.歸納總結：(1)≥;(2)≥.例3：解：由題意可知a-2=0，b-3=0，c-4=0，解得a=2，b=3，c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.例4：解：由題意得∴x=3.∴y=8.∴3x+2y=25.∵25的算術平方根為5，∴3x+2y的算術平方根為5．【變式題】解：由題意得∴a=3.∴b=4.當a為腰長時，三角形的周長為3+3+4=10；當b為腰長時，三角形的周長為4+4+3=11．練一練：解：由題意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9.∴x+4y的平方根為±3.當堂檢測1.C2.A3.-1;04.(1)∵a-1≥0,∴a≥1.(2)∵2a+3≥0,∴a≥(3)∵-a≥0,∴a≤0.(4)∵5-a＞0,∴a＜5.5.(1)解：由題意得m-2≥0且m2-4≠0，解得m≥2且m≠-2，m≠2，∴m＞2．(2)解：由題意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.解：根據(jù)題意得∴x=1.∵y＜，∴y＜∴解：由題意得則解得x≥2或x＜，即當x≥2或x＜時，有意義．

第十六章二次根式16.1二次根式第2課時二次根式的性質學習目標：1.經(jīng)歷二次根式的性質的發(fā)現(xiàn)過程，體驗歸納、猜想的思想方法；2.會運用二次根式的兩個性質進行化簡計算.重點：掌握二次根式的兩個性質：.難點：會利用二次根式的性質解題.自主學習自主學習一、知識回顧1.二次根式的概念是什么？我們上節(jié)課學了它的哪些性質？2.使式子有意義的條件是_______________.課堂探究課堂探究要點探究探究點1：的性質活動1如圖是一塊具有民族風的正方形方巾，面積為a，求它的邊長，并用所求得的邊長表示出面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？活動2為了驗證活動1的結論是否具有廣泛性，下面根據(jù)算術平方根及平方的意義填空，你又發(fā)現(xiàn)了什么？024......____________________......____________________......a(a≥0)算術平方根024......____________________......____________________......觀察兩者有什么關系？根據(jù)活動2直接寫出結果，然后根據(jù)活動2的探究過程說明理由：要點歸納：一般地，(a____0),即一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于_________.典例精析例1計算：例2在實數(shù)范圍內分解因式：方法總結:本題逆用了在實數(shù)范圍內分解因式.在實數(shù)范圍內分解因式時，原來在有理數(shù)范圍內分解因式的方法和公式仍然適用.針對訓練計算：探究點2：的性質填一填：20.14......____________________......____________________......a20.14......____________________......____________________......平方運算算術平方根觀察兩者有什么關系？思考：當a＜0時，-2-0.1..._______________..._______________...a(a-2-0.1..._______________..._______________...平方運算算術平方根觀察兩者有什么關系？要點歸納：的性質：即任意一個數(shù)的平方的算術平方根等于它本身的絕對值.典例精析例3化簡：方法總結:利用化簡求值時，而3.14＜π，要注意a的正負性.練一練計算：辯一辯：請同學們快速分辨下列各題的對錯：例4實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，請你化簡:【變式題】實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡：.方法總結:利用數(shù)軸和二次根式的性質進行化簡，關鍵是要要根據(jù)a,b的大小討論絕對值內式子的符號.例5已知a、b、c是△ABC的三邊長，化簡：利用三角形三邊關系三邊長均為正數(shù)，a+b+c＞利用三角形三邊關系三邊長均為正數(shù)，a+b+c＞0兩邊之和大于第三邊，b兩邊之和大于第三邊，b+c-a＞0，c-b-a＜0探究點3：代數(shù)式的定義用基本運算符號（包括加、減、乘、除、乘方和開方）把_______或____________連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.想一想到現(xiàn)在為止，初中階段所學的代數(shù)式主要有哪幾類？典例精析例6（1）一條河的水流速度是2.5km/h，船在靜水中的速度是vkm/h，用代數(shù)式表示船在這條河中順水行駛和逆水行駛時的速度；（2）如圖，小語要制作一個長與寬之比為5:3的長方形賀卡，若面積為S，用代數(shù)式表示出它的長.方法總結:列代數(shù)式的要點：①要抓住關鍵詞語，明確它們的意義以及它們之間的關系，如和、差、積、商及大、小、多、少、倍、分、倒數(shù)、相反數(shù)等；②理清語句層次明確運算順序；③牢記一些概念和公式．針對訓練1.在下列各式中，不是代數(shù)式的是（）A.7B.3＞2C.D.如圖是一圓形掛鐘，正面面積為S，用代數(shù)式表示出鐘的半徑為__________.二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.化簡得（）A.±4B.±2C.4D.-42.當1<x<3時，的值為（）A.3B.-3C.1D.-13.下列式子是代數(shù)式的有()①a2+b2;②;③13;④x=2;⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0;⑦10x+5y=15;⑧A.3個B.4個C.5個D.6個4.化簡：（1）＝_______;（2）＝_______;（3）;（4）.5.實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結果是_________.6.利用a＝（a≥0），把下列非負數(shù)分別寫成一個非負數(shù)的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)；(6)0.能力提升7.(1)已知a為實數(shù)，求代數(shù)式的值.(2)已知a為實數(shù)，求代數(shù)式的值.參考答案自主學習一、知識鏈接1.一般地，我們把形如的式子叫作二次根式.2.a≥0課堂探究一、要點探究探究點1：的性質活動1：正方形的邊長為，用邊長表示正方形的面積為，又∵面積為a，即.活動2：根據(jù)活動2：0,2,4，要點歸納：≥，它本身例1：解：例2：解：針對訓練解：探究點2：的性質填一填：思考：典例精析例3：解：練一練1：解：辨一辨：（1）×（2）×（3）√（4）√議一議：例4：解：由數(shù)軸可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.【變式題】解：根據(jù)數(shù)軸可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，則=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．例5解：∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-(b+c-a)+(b+a-c)=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．探究點3：代數(shù)式的定義概念學習：數(shù)，表示數(shù)的字母代數(shù)式：整式，分式，二次根式例6解：(1)船在這條河中順水行駛的速度是(v+2.5)km/h，逆水行駛的速度是(v-2.5)km/h．設賀卡的長為5x，則寬為3x.依題意得15x2=S，所以所以它的長為針對訓練1.B2.當堂檢測1.C2.D3.C4.3,4,7,85.16.(1)(2)(3)(4)(5)(6)7.解：(1)由題意得a+2≥0，-4-2a≥0，∴a=-2.(1)解：由題意得-a2≥0，又∵a2≥0，∴a2=0，∴a=0，

第十六章二次根式16.2二次根式的乘除第1課時二次根式的乘法學習目標：1.理解二次根式的乘法法則；2.會運用二次根式的乘法法則和積的算術平方根的性質進行簡單運算.重點：理解二次根式的乘法法則：.難點：會運用二次根式的乘法法則和積的算術平方根的性質解題.自主學習自主學習一、知識回顧1.二次根式的概念是什么？我們上節(jié)課學了它的哪些性質？2.使式子有意義的條件是_________.課堂探究課堂探究要點探究探究點1：二次根式的乘法算一算計算下列各式，并觀察三組式子的結果：思考你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？猜測，你能證明這個猜測嗎？要點歸納：二次根式的乘法法則：一般地，對于二次根式的乘法是一般地，二次根式相乘，_________不變，________相乘.語言表述：算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術平方根.典例精析例1計算：方法總結:二次根式乘法法則同樣適合三個及三個以上的二次根式相乘，即例2計算:方法總結:當二次根式根號外的因數(shù)不為1時，可類比單項式乘單項式的法則計算，即歸納總結：二次根式的乘法法則的推廣：①多個二次根式相乘時此法則也適用，即②當二次根號外有因數(shù)(式)時，可以類比單項式乘單項式的法則計算，即根號外的因數(shù)(式)的積作為根號外的因數(shù)(式)，被開方數(shù)(式)的積作為被開方數(shù)(式)，即例3比較大小(一題多解):方法總結:比較兩個二次根式大小的方法：可轉化為比較兩個被開方數(shù)的大小，即將根號外的正數(shù)平方后移到根號內，計算出被開方數(shù)后，再比較被開方數(shù)的大小被開方數(shù)大的，其算術平方根也大.也可以采用平方法.針對訓練1.計算的結果是()A.B.4C.D.22.下面計算結果正確的是()A.B.C.D.3.計算：_________.探究點2：積的算術平方根的性質一般的，反過來可寫為要點歸納：算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術平方根.典例精析例4化簡：（1）；（2）．變式題方法總結方法總結:當二次根式內的因數(shù)或因式可以化成含平方差或完全平方的積的形式，此時運用乘法公式可以簡化運算.方法總結:當二次根式內的因數(shù)或因式可以化成含平方差或完全平方的積的形式，此時運用乘法公式可以簡化運算.例5計算：歸納總結：化簡二次根式的步驟：1.把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；2.把各因式(或因數(shù))積的算術平方根化為每個因式(或因數(shù))的算術平方根的積；3.如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應用關系式a2=|a|把這個因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡.針對訓練1.計算：2.下面是意大利藝術家列奧納多·達·芬奇所創(chuàng)作世界名畫，若長為，寬為，求出它的面積.二、課堂小結二次根式的乘法內容二次根式的乘法法則算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術平方根.即積的算術平方根的性質積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積.即二次根式的乘法法則拓展多個二次根式相乘時此法則也適用，即當堂檢測當堂檢測1.若，則（）x≥6B．x≥0C．0≤x≤6D．x為一切實數(shù)2.下列運算正確的是（）A.B.C.D.3.計算：4.比較下列兩組數(shù)的大小（在橫線上填“＞”“＜”或“=”）：計算：6.設長方形的面積為S，相鄰兩邊分別為a,b.(1)已知,，求S；(2)已知,，求S.能力提升7.已知試著用a,b表示.參考答案自主學習一、知識鏈接1.一般地，我們把形如的式子叫作二次根式.2.a≥0課堂探究一、要點探究探究點1：二次根式的乘法算一算：猜測：證明：根據(jù)積的乘方法則，有∴就是ab的算術平方根.又∵表示ab的算術平方根，要點歸納：二次根式的乘法法則：一般地，二次根式相乘，根指數(shù)不變，被開方數(shù)相乘.例1：解：例2：解：例3：(1)解：方法一：∵，又∵20＜27，∴，即方法二：∵，又∵20＜27，∴，即又∵52＜54，∴即針對訓練B2.D3.30探究點2：積的算術平方根的性質典例精析例4：解：（1）（2）變式題（2）例5計算：針對訓練1.解：2.解：它的面積為當堂檢測1.A2.D3.4.＞＜5.解：（1）S=ab（2）S=ab7.解：

第十六章二次根式16.2二次根式的乘除第2課時二次根式的除法學習目標：1.了解二次根式的除法法則；會運用除法法則及商的算術平方根進行簡單運算；能將二次根式化為最簡二次根式.重點：理解二次根式的除法法則，能將二次根式化為最簡二次根式.難點：會運用除法法則及商的算術平方根進行簡單運算.自主學習自主學習一、知識回顧1.二次根式有哪些性質？二次根式的乘法法則是什么？你能用字母表示出來嗎？課堂探究課堂探究要點探究探究點1：二次根式的除法算一算計算下列各式，并觀察三組式子的結果：思考你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？猜測.要點歸納：（1）算術平方根的商等于被開方數(shù)商的算術平方根.（2）當二次根式根號外的因數(shù)(式)不為1時，可類比單項式除以單項式法則，易得典例精析例1

化簡：方法總結:類似(2)中被開方數(shù)中含有帶分數(shù)，應先將帶分數(shù)化成假分數(shù)，再運用二次根式除法法則進行運算.探究點2：商的算術平方根的性質要點歸納：把二次根式的除法法則反過來，就得到二次根式的商的算術平方根的性質:語言表述：商的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的商.例2計算：針對訓練1.能使等式成立的x的取值范圍是（）A..x≠2B..x≥0C..x＞2D..x≥22.化簡：探究點3：最簡二次根式問題1你還記得分數(shù)的基本性質嗎？問題2前面我們學習了二次根式的除法法則，你會去掉這樣的式子中分母的根號嗎？要點歸納：（1）把分母中的根號化去,使分母變成有理數(shù)的這個過程就叫做分母有理化.我們把滿足以下兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.簡記為：一根號無分母，分母無根號；二不能再開方.在二次根式的運算中，一般要把最后結果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式.例3計算:練一練在下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？對不是最簡二次根式的進行化簡．探究點4：二次根式除法的應用例4設長方形的面積為S，相鄰兩邊長分別為a，b.已知，求a的值.例5高空拋物現(xiàn)象被稱為“懸在城市上空的痛”．據(jù)報道：一個30g的雞蛋從18樓拋下來就可以砸破行人的頭骨，從25樓拋下可以使人當場死亡．據(jù)研究從高空拋物時間t和高度h近似的滿足公式.從100米高空拋物到落地所需時間t2是從50米高空拋物到落地所需時間t1的多少倍？二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.化簡的結果是（）A．9B．3C．D．2.下列根式中，最簡二次根式是（）A.B.C.D.3.若使等式成立，則實數(shù)k取值范圍是（）A.k≥1B.k≥2C.1＜k≤2D.1≤k≤24.化下列各式的計算中，結果為的是（）A.B.C.D.5.化簡：6.在物理學中有公式W=I2Rt，其中W表示電功(單位：J)，I表示電流(單位：A)，R表示電阻(單位：Ω)，t表示時間(單位：s)，如果已知W、R、t，求I，則有.若W=2400J，R=100Ω，t=15s．試求電流I．能力提升7.自習課上，張玉看見同桌劉敏在練習本上寫的題目是“求二次根式中實數(shù)a的取值范圍”，她告訴劉敏說：你把題目抄錯了，不是“”，而是“”劉敏說：哎呀，真抄錯了，好在不影響結果，反正a和a-3都在根號內．試問：劉敏說得對嗎？參考答案自主學習一、知識鏈接1.2.要點探究探究點1：二次根式的除法算一算猜測要點歸納：典例精析例1

探究點2：商的算術平方根的性質要點歸納：例2針對訓練C2.解：探究點3：最簡二次根式問題1分數(shù)的分子與分母都乘同一個非零整式，所得分數(shù)與原分數(shù)相等.即問題2例2解：練一練解：只有(3)是最簡二次根式；探究點4：二次根式除法的應用例4例5解:由題意得當堂檢測1.B2.C3.B4.C5.解：當W=2400，R=100，t=15時，7.解：劉敏說得不對，結果不一樣．理由如下：按計算，則a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0，解得a＞3或a≤0；而按計算，則a≥0，a-3＞0，解得a＞3．

第十六章二次根式16.3二次根式的加減第1課時二次根式的加減學習目標：1.了解二次根式的加、減運算法則；2.會用二次根式的加、減運算法則進行簡單的運算.重點：了解二次根式的加、減運算法則.難點：會用二次根式的加、減運算法則進行簡單的運算.自主學習自主學習一、知識回顧1.滿足什么條件的二次根式是最簡二次根式?2.化簡下列兩組二次根式，每組化簡后有什么共同特點?課堂探究課堂探究要點探究探究點1：在二次根式的加減運算中可以合并的二次根式類比探究在七年級我們就已經(jīng)學過單項式加單項式的法則.觀察下圖并思考：(1)由左圖，易得2a+3a=；(2)當a=時，分別代入左、右得；(3)當a=時，分別代入左、右得；......(4)根據(jù)右圖，你能否直接得出當a=，b=時，2a+3b的值？結果能進行化簡嗎？.要點歸納：（1）判斷幾個二次根式是否可以合并（加減運算），一定都要化為最簡二次根式再判斷.（2）合并的方法與合并同類項類似，把根號外的因數(shù)(式)相加，根指數(shù)和被開方數(shù)(式)不變.如：典例精析例1若最簡根式與可以合并，求的值.方法總結:確定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被開方數(shù)相同，根指數(shù)都為2，列關于待定字母的方程求解即可.【變式題】如果最簡二次根式與可以合并，那么要使式子有意義，求x的取值范圍.針對訓練1.下列各式中，與是同類二次根式的是（）A.B.C.D.2.與最簡二次根式能合并，則m=_____.3.下列二次根式，不能與合并的是________(填序號）.探究點2：二次根式的加減及其應用思考現(xiàn)有一塊長7.5dm、寬5dm的木板，能否采用如圖的方式，在這塊木板上截出兩個分別是8dm2和18dm2的正方形木板？問題1怎樣列式求兩個正方形邊長的和?問題2所列算式能直接進行加減運算嗎?如果不能,把式中各個二次根式化成最簡二次根式后，再試一試(說出每步運算的依據(jù)）.要點歸納：二次根式的加減法法則:一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.加減法的運算步驟：(1)化——將非最簡二次根式的二次根式化簡；(2)找——找出被開方數(shù)相同的二次根式；(3)并——把被開方數(shù)相同的二次根式合并.典例精析例2計算：例3計算：例4已知a,b,c滿足.(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c為三邊長能否構成三角形？若能構成三角形，求出其周長；若不能，請說明理由.分析：(1)若幾個非負數(shù)的和為零，則這幾個非負數(shù)必須為零；(2)根據(jù)三角形的三邊關系來判斷.【變式題】有一個等腰三角形的兩邊長分別為，求其周長.二次根式的加減與等腰三角形的綜合運用，關鍵是要分類討論及會比較兩個二次根式的大小.針對訓練1.下列計算正確的是（）A.B.C.D.2.已知一個矩形的長為，寬為，則其周長為________.二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.二次根式：中，與能進行合并的是（）A.B.C.D.2.下列運算中錯誤的是（）A.B.C.D.3.三角形的三邊長分別為則這個三角形的周長為________.4.計算:5.計算:6.下圖是某土樓的平面剖面圖，它是由兩個相同圓心的圓構成.已知大圓和小圓的面積分別為763.02m2和150.72m2，求圓環(huán)的寬度d（π取3.14）.能力提升7.已知a，b都是有理數(shù)，現(xiàn)定義新運算：a*b=，求(2*3)－(27*32)的值．參考答案自主學習一、知識回顧1.滿足如下兩個特點：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.2.每組化簡后，被開方數(shù)相同.課堂探究一、要點探究探究點1：在二次根式的加減運算中可以合并的二次根式類比探究（1）5a（2）（3）（4）2a+3b=典例精析例1解：由題意得解得【變式題】解：由題意得3a-8=17-2a，∴a=5.∴20-2x≥0，x-5＞0.∴5＜x≤10.針對訓練D2.13.②⑤探究點2：二次根式的加減及其應用問題1問題2解：列式如下：∴在這塊木板上可以截出兩個分別是8dm2和18dm2的正方形木板．典例精析例2解：例3計算：例4解：(1)由題意得(2)能.理由如下：∵即a＜c＜b，又∵∴a+c＞b，∴能構成三角形，周長為【變式題】解：當腰長為時，∵∴此時能構成三角形，周長為當腰長為時，∵∴此時能構成三角形，周長為針對訓練1.C2.當堂檢測1.C2.A3.4.5.解：解：設大圓和小圓的半徑分別為R，r，面積分別為S1，S2，由可知則答：圓環(huán)的寬度為解：∵a*b=，∴（2*3）－（27*32）

第十六章二次根式16.3二次根式的加減第2課時二次根式的混合運算學習目標：1.掌握二次根式的混合運算的運算法則；2.會運用二次根式的混合運算法則進行有關的運算.重點：二次根式的混合運算的運算法則.難點：運用二次根式的混合運算法則進行有關的運算.自主學習自主學習一、知識回顧1.二次根式的乘、除法則是什么？2.怎樣進行二次根式的加減運算？3.填空：m(a+b+c)=；(m+n)(a+b)=；(ma+mb+mc)÷m=.課堂探究課堂探究要點探究探究點1：二次根式的混合運算及應用二次根式的加、減、乘、除混合運算與整式運算一樣，體現(xiàn)在：運算律、運算順序、乘法法則仍然適用.典例精析例1計算：變式計算：方法總結:有絕對值符號的，同括號一樣，先去絕對值，注意去掉絕對值后，得到的數(shù)應該為正數(shù).例2甲、乙兩個城市間計劃修建一條城際鐵路，其中有一段路基的橫斷面設計為上底寬，下底寬，高的梯形，這段路基長500m，那么這段路基的土石方(即路基的體積,其中路基的體積=路基橫斷面面積×路基的長度)為多少立方米呢？針對訓練計算：探究點2：利用乘法公式進行二次根式的運算問題1整式乘法運算中的乘法公式有哪些?問題2整式的乘法公式對于二次根式的運算也適用嗎?典例精析例3計算：方法總結:進行二次根式的混合運算時，一般先將二次根式轉化為最簡二次根式，再根據(jù)題目的特點確定合適的運算方法，同時要靈活運用乘法公式、因式分解等來簡化運算.【變式題】計算：針對訓練計算：探究點3：求代數(shù)式的值例4已知試求x2+2xy+y2的值.【變式題】已知，求x3y+xy3.方法總結:用整體代入法求代數(shù)式值的方法：求關于x,y的對稱式(即交換任意兩個字母的位置后，代數(shù)式不變)的值，一般先求x+y,xy,x-y,等的值，然后將所求代數(shù)式適當變形成只含x+y,xy,x-y,等式子，再代入求值.例5計算:方法總結:分母形如的式子，分子、分母同乘以的式子，構成平方差公式，可以使分母不含根號.【變式題】已知,求.【練一練】已知的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,求a2-b2的值.二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.下列計算中正確的是（）2.計算3.設則ab(填“>”“<”或“=”）.4.計算：在一個邊長為cm的正方形內部，挖去一個邊長為cm的正方形，求剩余部分的面積.6.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.能力提升7.閱讀下列材料，然后回答問題：在進行類似于二次根式的運算時，通常有如下兩種方法將其進一步化簡：方法一：方法二：(1)請用兩種不同的方法化簡：(2)化簡：參考答案自主學習一、知識回顧1.二次根式的乘、除法則：，2.3.m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb(ma+mb+mc)÷m=a+b+c課堂探究一、要點探究探究點1：二次根式的混合運算及應用典例精析例1變式例2解：路基的土石方等于路基橫斷面面積乘路基的長度，所以這段路基的土石方為：答：這段路基的土石方為針對訓練解：探究點2：利用乘法公式進行二次根式的運算問題1平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.問題2整式的乘法公式就是多項式×多項式，前面我們已經(jīng)知道二次根式運算類比整式運算，所以適用典例精析例3【變式題】計算：針對訓練探究點3：求代數(shù)式的值例4解：x2+2xy+y2=(x+y)2，把代入上式得原式=【變式題】解：∵，∴∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2－2xy]例5解：【變式題】解：∵練一練解：當堂檢測B2.53.=4.解：5.解：由題意得即剩余部分的面積是6.解：(1)(2)7.解：(1)①②

第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時勾股定理學習目標：1.經(jīng)歷勾股定理的探究過程，了解關于勾股定理的一些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體會數(shù)形結合的思想；2.會用勾股定理進行簡單的計算.重點：用面積法來證明勾股定理，體會數(shù)形結合的思想.難點：會用勾股定理進行簡單的計算.自主學習自主學習一、知識回顧1.網(wǎng)格中每個小正方形的面積為單位1,你能數(shù)出圖中的正方形A、B的面積嗎？你又能想到什么方法算出正方形C的面積呢？方法1方法1：補形法(把以斜邊為邊長的正方形補成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：左圖：Sc=__________________________;右圖：Sc=__________________________.方法2方法2：分割法(把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：Sc=__________________________;右圖：Sc=__________________________.課堂探究課堂探究要點探究探究點1：勾股定理的認識及驗證想一想我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）：問題1試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關系？問題2圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關系？問題3在網(wǎng)格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C是否也有類似的面積關系？觀察下邊兩幅圖(每個小正方形的面積為單位1)：思考正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關系？猜測：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么________.活動2接下來讓我們跟著以前的數(shù)學家們用拼圖法來證明活動1的猜想.證法利用我國漢代數(shù)學家趙爽的“趙爽弦圖”證明：∵S大正方形證明：∵S大正方形＝________，S小正方形＝________,S大正方形＝___·S三角形＋S小正方形，∴________=________+__________.要點歸納：勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.公式變形：探究點2：利用勾股定理進行計算典例精析例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=b=5,求c;若a=1,c=2,求b.變式題1在Rt△ABC中，∠C=90°.若a：b=1：2，c=5,求a;若b=15，∠A=30°,求a,c.方法總結:已知直角三角形兩邊關系和第三邊的長求未知兩邊時，要運用方程思想設未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.變式題2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長.方法總結:當直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進行分類討論，否則容易漏解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.方法總結:由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用．針對訓練求下列圖中未知數(shù)x、y的值：二、課堂小結內容勾股定理在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意1.在直角三角形中2.看清哪個角是直角3.已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論當堂檢測當堂檢測1.下列說法中,正確的是（）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2右圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為_____________.3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=_______.（2）若c=13，b=12，則a=_______.4.若直角三角形中，有兩邊長是5和7，則第三邊長的平方為_________.5.求斜邊長17cm、一條直角邊長15cm的直角三角形的面積.6.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周長．能力提升：7.如圖，以Rt△ABC的三邊長為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，求△ABE及陰影部分的面積.參考答案自主學習一、知識回顧方法1：方法2：課堂探究一、要點探究探究點1：勾股定理的認識及驗證猜測：a2+b2=c2證法：c2(b-a)24探究點2：利用勾股定理進行計算典例精析例1解：(1)據(jù)勾股定理得(2)據(jù)勾股定理得變式題1解：(1)設a=x，b=2x，根據(jù)勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得∵∠A=30°，b=15，∴c=2a.因此設a=x，c=2x，根據(jù)勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得變式題2解：本題斜邊不確定，需分類討論：當AB為斜邊時，如圖①，當BC為斜邊時，如圖②，例2解：由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據(jù)三角形面積公式，∴AC×BC=AB×CD.∴CD=.針對訓練解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得y2+144=169，解得y=5.當堂檢測C2.36cm23.1754.74或24解：設另一條直角邊長是xcm.由勾股定理得152+x2=172，即x2=172-152=289-225=64，∴x=±8(負值舍去)，∴另一直角邊長為8cm，直角三角形的面積是×8×15=60(cm2).6.解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD=，∴BC=BD+CD=1+，∴△ABC的周長=AB+AC+BC=++3．7.解：∵AE＝BE，∴S△ABE＝AE·BE＝AE2.又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2＝AB2.∴S△ABE＝AB2＝.同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴陰影部分的面積為AB2＝.

第十七章勾股定理17.1勾股定理第2課時勾股定理在實際生活中的應用學習目標：1.會運用勾股定理求線段長及解決簡單的實際問題；2.能從實際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間的聯(lián)系，并進一步求出未知邊長.重點：運用勾股定理求線段長及解決簡單的實際問題.難點：能從實際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間的聯(lián)系，并進一步求出未知邊長.自主學習自主學習一、知識回顧1.你能補全以下勾股定理的內容嗎？如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么____________.勾股定理公式的變形：a=_________,b=_________.在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)若a=3,b=4,則c=_________;(2)若a=5,c=13,則b=_________.課堂探究課堂探究要點探究探究點1：勾股定理的簡單實際應用問題觀看下面同一根長竹竿以三種不同的方式進門的情況，并結合曾某和胡某的做法，對于長竹竿進門之類的問題你有什么啟發(fā)？典例精析例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內通過?為什么?例2如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎?例3在一次臺風的襲擊中，小明家房前的一棵大樹在離地面6米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部8米處.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎？方法總結:利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關系；（2）構造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實際問題.針對訓練湖的兩端有A、B兩點，從與BA方向成直角的BC方向上的點C測得CA=130米,CB=120米,則AB為()A.50米B.120米C.100米D.130米2.如圖，學校教學樓前有一塊長方形長為4米，寬為3米的草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內走出了一條“徑路”，卻踩傷了花草.（1）求這條“徑路”的長；（2）他們僅僅少走了幾步(假設2步為1米)？探究點2：利用勾股定理求兩點距離及驗證“HL”典例精析例4如圖，在平面直角坐標系中有兩點A(-3,5),B(1,2)求A,B兩點間的距離.方法總結:兩點之間的距離公式：一般地，設平面上任意兩點思考:在八年級上冊中，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．學習了勾股定理后，你能證明這一結論嗎？證明:如圖,在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,∠C=∠C’=90°,AB=A’B’,AC=A’C’．求證：△ABC≌△A’B’C’．證明：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，根據(jù)勾股定理得BC=_______________,B’C’=_________________.∵AB=A’B’，AC=A’C’，∴_______=________.∴____________≌____________(________)．探究點3：利用勾股定理求最短距離問題在A點的小狗，為了盡快吃到B點的香腸，它選擇A→B路線，而不選擇A→C→B路線，難道小狗也懂數(shù)學？思考在立體圖形中，怎么尋找最短線路呢？問題在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想沿側面從A處爬向B處，螞蟻怎么走最近(在以下三條路線中選擇一條)？想一想：螞蟻走哪一條路線最近？若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，請求出最短路線的長度.要點歸納:立體圖形中求兩點間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)兩點之間線段最短確定最短路線.典例精析例5有一個圓柱形油罐，要以A點環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點的正上方點B處，問梯子最短需多少米(已知油罐的底面半徑是2m，高AB是5m，π取3）?變式題看到小螞蟻終于喝到飲料的興奮勁兒，小明又靈光乍現(xiàn)，拿出了牛奶盒，把小螞蟻放在了點A處，并在點B處放上了點兒火腿腸粒，你能幫小螞蟻找到完成任務的最短路程么？例6如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？方法總結:求直線同側的兩點到直線上一點所連線段的和的最短路徑的方法：先找到其中一點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一點的線段就是最短路徑長，以連接對稱點與另一個點的線段為斜邊，構造出直角三角形，再運用勾股定理求最短路徑.針對訓練1.如圖，是一個邊長為1的正方體硬紙盒，現(xiàn)在A處有一只螞蟻，想沿著正方體的外表面到達B處吃食物，求螞蟻爬行的最短距離是多少二、課堂小結用勾股定理解決實際問題用勾股定理解決實際問題勾股定理的應用勾股定理的應用解決“HL”判定方法證全等的正確性問題用勾股定理解決點的距離及路徑最短問題用勾股定理解決點的距離及路徑最短問題當堂檢測當堂檢測1.從電線桿上離地面5m的C處向地面拉一條長為7m的鋼纜，則地面鋼纜A到電線桿底部B的距離是（）A.24mB.12mC.mD.m第第1題圖第2題圖2.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9cm，內壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm3.已知點(2,5),(-4,-3),則這兩點的距離為_______.4.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩棵樹相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹梢，問小鳥至少飛行多少米？如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？能力提升6.為籌備迎接新生晚會，同學們設計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖.已知圓筒的高為108cm，其橫截面周長為36cm，如果在表面均勻纏繞油紙4圈，應裁剪多長的油紙？參考答案自主學習一、知識回顧1.a2+b2=c22.3.512課堂探究一、要點探究探究點1：勾股定理的簡單實際應用問題：這個跟我們學的勾股定理有關，將實際問題轉化為數(shù)學問題典例精析例1解：解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.因為AC大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內通過.例2解：在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15，∴梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.例3解：根據(jù)題意可以構建一直角三角形模型，如圖.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得∴這棵樹在折斷之前的高度是10+6=16(米).針對訓練1.A2.解：(1)在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得∴這條“徑路”的長為5米.(2)他們僅僅少走了(3+4-5)×2=4(步).例4解：如圖，過點A作x軸的垂線，過點B作x,y軸的垂線.相交于點C，連接AB.∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A，B兩點間的距離為5.思考證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根據(jù)勾股定理得探究點3：利用勾股定理求最短距離想一想:根據(jù)兩點之間線段最短易知第三個路線最近.解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得例5解：油罐的展開圖如圖，則AB'為梯子的最短距離.∵AA'=2×3×2=12，A'B'=5，∴AB'=13.即梯子最短需13米.變式題解：由題意知有三種展開方法，如圖.由勾股定理得AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=360，∴AB1＜AB2＜AB3.∴小螞蟻完成任務的最短路程為AB1，長為.例6解：如圖，作出點A關于河岸的對稱點A′，連接A′B則A′B就是最短路線.由題意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.在Rt△A′CB中，由勾股定理得針對訓練解：由題意得AC=2，BC=1，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=22+12=5，∴AB=，即最短路程為.當堂檢測D2.D3.104.解：如圖，過點A作AC⊥BC于點C.由題意得AC=8(米)，BC=8-2=6(米)，答：小鳥至少飛行10米.5.解：臺階的展開圖如圖，連接AB.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AB2＝BC2＋AC2＝552＋482＝5329，∴AB=73cm.6.解：如右下圖，在Rt△ABC中，∵AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，∴AB＝45cm，∴整個油紙的長為45×4＝180(cm)．第十七章勾股定理17.1勾股定理第3課時利用勾股定理作圖或計算學習目標：1.會運用勾股定理確定數(shù)軸上表示實數(shù)的點及解決網(wǎng)格問題；2.靈活運用勾股定理進行計算，并會運用勾股定理解決相應的折疊問題.重點：會運用勾股定理確定數(shù)軸上表示實數(shù)的點及解決網(wǎng)格問題.難點：靈活運用勾股定理進行計算，并會運用勾股定理解決相應的折疊問題.自主學習自主學習一、知識回顧1.我們知道數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù).你能在數(shù)軸上分別畫出表示3,-2.5的點嗎？2.求下列三角形的各邊長.課堂探究課堂探究要點探究探究點1：勾股定理與數(shù)軸問題1.你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？呢？(提示：可以構造直角三角形作出邊長為無理數(shù)的邊，就能在數(shù)軸上畫出表示該無理數(shù)的點.)問題2長為的線段能是這樣的直角三角形的斜邊嗎,即是直角邊的長都為正整數(shù)？思考以下是在數(shù)軸上表示出的點的作圖過程，請你把它補充完整.(1)在數(shù)軸上找到點A,使OA=______;(2)作直線l____OA,在l上取一點B，使AB=_____;(3)以原點O為圓心，以______為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于C點，則點C即為表示______的點.要點歸納：利用勾股定理表示無理數(shù)的方法:（1）利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊.（2）以原點為圓心，以無理數(shù)斜邊長為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點，在原點左邊的點表示是負無理數(shù)，在原點右邊的點表示是正無理數(shù).類比遷移：類似地，利用勾股定理可以作出長為線段,形成如圖所示的數(shù)學海螺.典例精析例1如圖，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，求a的值.易錯點撥:求點表示的數(shù)時注意畫弧的起點不從原點起，則所表示的數(shù)不是斜邊長.針對訓練1.如圖，點A表示的實數(shù)是（）第1題圖第1題圖第2題圖2.如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸于點M，則點M表示的數(shù)為（）3.你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？探究點2：勾股定理與網(wǎng)格綜合求線段長畫一畫在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，請在給定網(wǎng)格中以A出發(fā)分別畫出長度為的線段AB．典例精析例2在如圖所示的6×8的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，寫出格點△ABC各頂點的坐標，并求出此三角形的周長．方法總結:勾股定理與網(wǎng)格的綜合求線段長時，通常是把線段放在與網(wǎng)格構成的直角三角形中，利用勾股定理求其長度.例3如圖是由4個邊長為1的正方形構成的田字格，只用沒有刻度的直尺在這個田字格中最多可以作出多少條長度為的線段？例4如圖，在2×2的方格中，小正方形的邊長是1，點A、B、C都在格點上，求AB邊上的高.方法總結:此類網(wǎng)格中求格點三角形的高的題，常用方法是利用網(wǎng)格求面積，再用面積法求高.針對訓練1.如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，畫出一個三角形的長分別為.探究點3：勾股定理與圖形的計算典例精析例5如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.變式題如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的B′處，點A的對應點為A′，且B′C＝3，求AM的長.方法總結:折疊問題中結合勾股定理求線段長的方法:(1)設一條未知線段的長為x(一般設所求線段的長為x)；(2)用已知線數(shù)或含x的代數(shù)式表示出其他線段長；(3)在一個直角三角形中應用勾股定理列出一個關于x的方程；(4)解這個方程，從而求出所求線段長.例6如圖，四邊形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四邊形ABCD的面積．二、課堂小結在數(shù)軸上表示出無理數(shù)的點在數(shù)軸上表示出無理數(shù)的點通常與網(wǎng)格求線段長或面積結合起來利用勾股定理解決網(wǎng)格中的問題利用勾股定理作圖或計算通常與網(wǎng)格求線段長或面積結合起來利用勾股定理解決網(wǎng)格中的問題利用勾股定理作圖或計算通常用到方程思想利用勾股定理解決折疊問題及其他圖形的計算通常用到方程思想利用勾股定理解決折疊問題及其他圖形的計算當堂檢測當堂檢測如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B都是格點，則線段AB的長度為（）A.5B.6C.7D.25第第1題圖第2題圖第3題圖2.小明學了利用勾股定理在數(shù)軸上作一個無理數(shù)后，于是在數(shù)軸上的2個單位長度的位置找一個點D，然后點D做一條垂直于數(shù)軸的線段CD，CD為3個單位長度，以原點為圓心，以到點C的距離為半徑作弧，交數(shù)軸于一點，則該點位置大致在數(shù)軸上（）A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間3.如圖，網(wǎng)格中的小正方形邊長均為1，△ABC的三個頂點均在格點上，則AB邊上的高為_______.4.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四邊形ABCD的周長為32cm，求△BCD的面積．5.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D′處，求重疊部分△AFC的面積.能力提升6.問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為,求這個三角形的面積．小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．求△ABC的面積；若△ABC三邊的長分別為(a＞0)，請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的△ABC，并求出它的面積．圖①圖②參考答案自主學習一、知識回顧1.略2.1課堂探究一、要點探究探究點1：勾股定理與數(shù)軸問題1問題2思考3⊥2OB典例精析例1解：∵圖中的直角三角形的兩直角邊長為1和2，∴斜邊長為，即－1到A的距離是，∴點A所表示的數(shù)為－1.針對訓練D2.C3.探究點2：勾股定理與網(wǎng)格綜合求線段長畫一畫見右上圖典例精析例2解：由題圖得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).由勾股定理得∴△ABC的周長為例3解：如圖所示，有8條.例4解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D.針對訓練解：如圖所示.探究點3：勾股定理與圖形的計算典例精析例5解：在Rt△ABF中，由勾股定理得BF2=AF2－AB2=102－82=36，∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.設EC=xcm，則EF=DE=(8－x)cm，在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理得x2+42=(8－x)2，解得x=3.即EC的長為3cm.變式題解：連接BM，MB′.設AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2.即AM＝2.例6解：如圖，延長AD、BC交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=90°－60°=30°，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB=2，CD=1，∴AE=2AB=2×2=4，CE=2CD=2×1=2，由勾股定理得當堂檢測A2.B3.4.解：∵AB=AD=8cm，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形.∵∠ADC=150°，∴∠CDB=150°－60°=90°.∴△BCD是直角三角形.又∵四邊形的周長為32cm，∴CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm).設CD=xcm，則BC=(16-x)cm，由勾股定理得82+x2=(16-x)2，解得x=6.∴S△BCD=×6×8=24(cm2).5.解：易證△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，設D′F=x，則AF=8-x，在Rt△AFD′中，(8-x)2=x2+42，解得x=3.∴AF=AB-FB=8-3=5.∴S△AFC=AF?BC=10．6.（1）（2）解：如圖，∴△ABC即為所求.第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理第1課時勾股定理的逆定理學習目標：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、定理的概念、關系及勾股數(shù)；2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形.重點：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、定理的概念、關系及勾股數(shù).難點：能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形.自主學習自主學習一、知識回顧1.勾股定理的內容是什么？求以線段a、b為直角邊的直角三角形的斜邊c的長：①a＝3，b＝4；②a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.課堂探究課堂探究要點探究探究點1：勾股定理的逆定理下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a，b，c：①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題1分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？問題2這三組數(shù)在數(shù)量關系上有什么相同點？古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個等式嗎？