天津商學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程組

高等數(shù)學(xué)第七章空間解析幾何與向量代數(shù)1/13/20231天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》第三節(jié)曲面及其方程曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面柱面二次曲面圖形例題1/13/20232天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》一.曲面方程的概念在平面解析幾何中把平面曲線當(dāng)作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，在空間解析幾何中，任何曲面也都看作點(diǎn)的幾何軌跡。在這樣的意義下，如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0(1)有下述關(guān)系：1）曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（1）；2）不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程（1），那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的圖形。1/13/20233天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》xyzoSF(x,y,z)=0P(x,y,z)一.曲面方程的概念圖示1/13/20234天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》建立幾個(gè)常見曲面的方程1.球面方程2.旋轉(zhuǎn)曲面方程3.柱面方程1).旋轉(zhuǎn)橢球面2).單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面3).雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面4).旋轉(zhuǎn)拋物面5).圓錐面1).圓柱面2).橢圓柱面3).雙曲柱面4).拋物柱面5).平面1/13/20235天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》1.球面方程求到定點(diǎn)M0(x0,y0,z0)距離為定長(zhǎng)R的點(diǎn)的軌跡.這是一個(gè)球面，球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程。而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這方程。所以這個(gè)方程就是以M0(x0,y0,z0)為球心，以R為球半徑的球面方程。如果球心在原點(diǎn)，那么，球面方程為解設(shè)M(x,y,z)是一動(dòng)點(diǎn)，那么由于所以得

1/13/20236天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》例建立球心在點(diǎn)A(1.-2,-1)、半徑為2的球面的方程。由題意：

一般地，設(shè)三元二次方程F（x,y,z）=0如果這個(gè)方程的特點(diǎn)是缺xy,yz,zx各項(xiàng)，而且平方項(xiàng)系數(shù)相同，只要將方程經(jīng)過配方可以化成方程（*）的形式，那么它的圖形就是一個(gè)球面.球面方程特點(diǎn)：1/13/20237天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》MA半徑R球面圖形yzOx1/13/20238天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》球面在坐標(biāo)面上及平行坐標(biāo)面的平面上的投影zxyo球面圖形xyo球面方程球面的截痕圖示1/13/20239天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》2.旋轉(zhuǎn)曲面1).旋轉(zhuǎn)橢球面2).單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面3).雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面4).旋轉(zhuǎn)拋物面5).圓錐面1/13/202310天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》1).旋轉(zhuǎn)橢球面這兩個(gè)方程是旋轉(zhuǎn)橢球面方程1/13/202311天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》旋轉(zhuǎn)橢球面圖形1/13/202312天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》2).單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的方程與圖形xyz這個(gè)方程是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面方程1/13/202313天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》3).雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的方程與圖形xyzo這個(gè)方程是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面方程1/13/202314天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》4).旋轉(zhuǎn)拋物面yzOx1/13/202315天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》圓錐面的半頂角a5).圓錐面方程與圖形1/13/202316天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》3.柱面1).圓柱面2).橢圓柱面3).雙曲柱面4).拋物柱面5).平面1/13/202317天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》

3.柱面柱面平行與定直線L并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡.定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫做柱面的母線.LC1/13/202318天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》xyzO1).圓柱面圓柱面形成CL圖示例如方程1/13/202319天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》2).橢圓柱面例如方程橢圓柱面的截痕圖示1/13/202320天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》3).雙曲柱面例如方程雙曲柱面的截痕圖示1/13/202321天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》4).拋物柱面例如方程拋物柱面的截痕圖示1/13/202322天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》4).平面(特殊柱面)Ax+By+D=0By+Cz+D=0Ax+Cz+D=0xyzO柱面方程特點(diǎn)：缺少1~2個(gè)坐標(biāo)。1/13/202323天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》四.二次曲面橢球面雙曲面拋物面二次錐面單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓拋物面雙曲拋物面1/13/202324天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》四.二次曲面定義：（二次曲面）三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面,叫作二次曲面.截痕法：用坐標(biāo)面及其平行平面與曲面相截，考察截痕形狀進(jìn)而研究曲面的一種方法。1/13/202325天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》1.橢圓錐面方程截痕（與xoy面）圖形幾種特殊的二次曲面1/13/202326天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》2.橢球面方程截痕（與xoy面）圖形1/13/202327天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》2.橢球面0xyzabc截痕（與xoz面）截痕（與yoz面）圖形方程1/13/202328天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》(1).一般橢球面截痕1/13/202329天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》(2).旋轉(zhuǎn)橢球面截痕1/13/202330天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》3.拋物面方程(1).橢圓拋物面圖形1/13/202331天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》zxyO截痕（與xoz面）截痕（與yoz面）截痕（與平行xoy面平面）圖形(1).橢圓拋物面1/13/202332天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》(2).旋轉(zhuǎn)拋物面截痕1/13/202333天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》(3).雙曲拋物面方程圖形1/13/202334天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》方程截痕（與xoy面）zxyOxOy面上的兩條直線！圖形(3).雙曲拋物面1/13/202335天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》雙曲拋物面截痕1/13/202336天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》4.雙曲面方程方程(1).單葉雙曲面圖形1.單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面1/13/202337天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》單葉雙曲面截痕1/13/202338天津商學(xué)院《高等數(shù)學(xué)課程組》(2).雙葉雙曲面方程圖