新課程實施中的一些思考

新課程實施中的一些思考

——“過程與結(jié)果”的困惑

深圳大學(xué)師范學(xué)院康武

szukw@163.com

1.“五環(huán)節(jié)教學(xué)”

2.課堂教學(xué)的評價指標(biāo)體系：（）以可觀察的行為作為依據(jù)，例如“教師是否微笑”教師的行為是否“干練”？教師是否不斷的激勵學(xué)生？3.課堂教學(xué)的評價指標(biāo)體系：教學(xué)目標(biāo);教學(xué)內(nèi)容;教學(xué)過程;…4.微格教學(xué):教學(xué)技能訓(xùn)練–可操作現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展(如錄象技術(shù)),使我們能把課堂的教學(xué)過程記錄保存下來,并反復(fù)觀看與分析.這種分析需要理論的支持.微格教學(xué):教學(xué)技能訓(xùn)練–可操作例如:課堂教學(xué)的導(dǎo)入技能提問技能…初中數(shù)學(xué)試驗教材的個案研究

（2001年11月）

個案：寧夏回族自治區(qū)靈武市東塔中學(xué)授課人：許文娟老師課題:“字母表示數(shù)”時間：2001年10月。其他教師

2001年12月——解剖一個“麻雀”1）觀看錄象；2）“頭腦風(fēng)暴”似的議論研究計劃3）采集更多的背景數(shù)據(jù)–

學(xué)校數(shù)學(xué)課程的綜合“圖畫”寧夏靈武市東塔中學(xué)訪談：市校有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)；教師；學(xué)生。（錄相）4）整理與分析:如何分析？課題：a表示什么？（代數(shù)的開始課---字母表示數(shù)？）國家課程標(biāo)準(zhǔn)：試驗教材（北京師范大學(xué)出版社）擺一個正方形需要幾根火柴棍？擺10個呢？擺100個呢？………………a表示什么？

字母表示數(shù) 擺a個正方形呢？

邀請大家一起觀看

（20分鐘）進行分析頭腦風(fēng)暴（上）：看錄像，討論很高的評價（周長生和薛文敘老師）學(xué)生活躍，積極參與給出許多不同的表示方法——計算方法新教材給學(xué)生提供了機會老師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了寬松的探索空間鼓勵學(xué)生發(fā)表不同看法，包括錯誤允許學(xué)生解釋，而不是匆忙打斷糾正（如399）許老師的教態(tài)

頭腦風(fēng)暴（下）：時間分配？（關(guān)于“擺火柴”的討論是否太長？）寬松的環(huán)境Vs是否所有的學(xué)生都有機會？學(xué)生（那些沒有機會的）在做什么？想什么？為什么會反復(fù)出現(xiàn)如399之類的問題？學(xué)生理解了嗎？老師——學(xué)生的交流Vs學(xué)生與學(xué)生的交流。許老師的教學(xué)觀念是如何形成的？現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展(如錄象技術(shù)),使我們能把課堂的教學(xué)過程記錄保存下來,并反復(fù)觀看與分析.這種分析需要理論的支持.不存在“純客觀”的觀察。任何（科學(xué)）觀察都是一種選擇，自覺不自覺的受到觀察者的價值系統(tǒng)的影響，或參考某些科學(xué)事實。價值系統(tǒng)某些科學(xué)事實環(huán)境：學(xué)校的，寧武的許老師的課過程與結(jié)果？課堂交流與氛圍（？）學(xué)生X經(jīng)歷了什么？個體差異？關(guān)于字母，學(xué)生理解了什么？學(xué)生的評論（教材，教學(xué)）教師的觀念如何處理399

？突發(fā)？教師用什么策略來組織學(xué)生的活動的？問題與反應(yīng)

再看課堂錄象聚焦

(1)

視角（1）過程與結(jié)果現(xiàn)象（我看到的事件）從課堂上的教學(xué)實踐看。她所設(shè)計與實施的教學(xué)過程由兩個主要的階段：（錄像）（教案）第一階段：學(xué)生都經(jīng)歷了類似的過程：通過動手操作，觀察并試圖發(fā)現(xiàn)某種“樣式”，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，陳述與解釋，辯論，去發(fā)現(xiàn)報告第二階段：數(shù)學(xué)事實——

用“字母”表示數(shù)，表示“一般結(jié)果”各種練習(xí)。一般過程:數(shù)學(xué)過程：現(xiàn)象抽象符號變換現(xiàn)象符號化感受有必要引進符號老師:擺10根,要用幾根?學(xué)生:每個正方形用4根,后9個每個少用一根.(教師幫助)….學(xué)生:4+3x9;老師:解釋一下.學(xué)生:…后面的9個都用3根….學(xué)生:1+3x10;解釋:…問題學(xué)生經(jīng)歷了什么?

什么性質(zhì)的活動?2.這種活動的價值是什么?許老師的哪些指導(dǎo)是有意義的?發(fā)現(xiàn)規(guī)律–表達(dá)式(代數(shù)思想!)關(guān)鍵詞:解釋一下(過程;推理;…)上面的微觀分析有什么價值？應(yīng)當(dāng)怎么做？請看下一個“片段”，你如何分析？a表示什么?老師:…可以一直擺下去,正方形的個數(shù)可以用…什么 表示?...學(xué)生:(齊答)字母!問題:有沒有不和諧的聲音?老師:擺a個正方形,要用多少…?X乘a,再加上1…老師:你解釋一下….學(xué)生:(解釋,對照150個正方形的公式….)老師對照150個正方形的公式,重復(fù)學(xué)生楊的解釋!!!老師(重復(fù)學(xué)生王言亮):…a是正方形的個數(shù),每個需要3根…所以是3a+1對這種現(xiàn)象的出現(xiàn),你如何解釋?課堂上的活動有什么價值?問題：1.對這幾個學(xué)生對“字母表示數(shù)”的理解,你有什么評論?2.這幾個學(xué)生的理解方式有代表性嗎?3.這段活動有什么價值?4.學(xué)生從這段活動中能獲得什么?5.許老師的指導(dǎo)是否到位?為什么?6.如何把“活動”組織的更好？7.或者,回避這種討論?學(xué)生對字母表示數(shù)的理解表明:

字母表示數(shù)是一個深層次的概念數(shù)學(xué)歷史的軌跡；數(shù)學(xué)的抽象與形式化“發(fā)展過程”“發(fā)展水平”；這更需要一個反復(fù)的體驗過程個體差異

課程標(biāo)準(zhǔn)符號感建立是整個義務(wù)教育階段核心內(nèi)容之一。形成“字母表示數(shù)”過程：符號感中的一個要素!什么是代數(shù)？代數(shù)教學(xué)的追求是什么？學(xué)科的本體論與認(rèn)識論對概念的理解：懂與不懂（黑白）模糊的，綠色的？您能把學(xué)生講懂嗎？

“最難的概念不是我教會的，是學(xué)生自己悟出來的?！眲⒕袄ァ袄蠋煟∧郧斑@樣講，我早就明白了？”為什么課程標(biāo)準(zhǔn)用“數(shù)感”“符號感”這類術(shù)語？為什么課程標(biāo)準(zhǔn)要“降低要求”？（義務(wù)教育）

對突發(fā)事件的處理?如何處理學(xué)生的錯誤?又冒出來了!為什么出現(xiàn)這種錯誤?為什么這么多學(xué)生出現(xiàn)這種錯誤?你對許老師的處理策略如何評論?在糾正后,學(xué)生為什么還出現(xiàn)錯誤?李元龍:…4加3的3次方…老師提出新問題:…擺100個正方形,要用幾根?...學(xué)生:…3的99次方…學(xué)生:…3的9次方…學(xué)生:…3的30次方…老師的反應(yīng):…學(xué)生:…3的33次方…

視角課堂文化與氛圍

現(xiàn)象——我們觀察到的事實有：學(xué)生有充分的時間去“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”；學(xué)生有機會展現(xiàn)自己的發(fā)現(xiàn);

學(xué)生們有機會報告自己的工作;

學(xué)生有機會發(fā)展多元的表示方法；學(xué)生有機會解釋自己的“錯誤”；學(xué)生間有機會討論，或辯論（以后的聽課、回訪、學(xué)生座談）（多次聽課、回訪、學(xué)生座談）推論：已經(jīng)形成比較穩(wěn)定的課堂文化（通過交流形成的價值）有利于學(xué)生發(fā)展的“心理環(huán)境”

師生平等、學(xué)生自信、自由的交流民主、平等、真誠、人性。但是這個男孩呢?他的火柴棍好好的擺著!為什么?真正決定數(shù)學(xué)課程的不是寫在書上的各種觀念與規(guī)定，而是天天和學(xué)生接觸的教師。盡管，專家們花了大量的精力，認(rèn)真準(zhǔn)備了課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，但是一到學(xué)校，數(shù)學(xué)教師一個人便決定了一切。數(shù)學(xué)教師是學(xué)生能直接觀察到的數(shù)學(xué)形象。

如何觀察課堂教學(xué)?

微課堂新的技術(shù)手段微觀分析新的價值觀多元多維的許老師的一節(jié)課

課題:字母表示數(shù)(搭火柴棒的討論)

思考:從這個案例中你看到了什么?

最初的感覺、最深的印象是什么？最想與其他老師交流的體會。你對會提出什么問題?

你的評論是什么?

片段1：師：擺10個這樣的正方形需要多少根火柴棒？（讓學(xué)生擺一擺，想一想）生1：用31根。（但說不出道理）生2：4×10-9。師：為什么是4×10-9？說說理由。生2：先看做擺單獨的10個正方形，用4×10根火柴棒，后面的9個正方形少用了9根，所以共用了（4×10-9）根火柴棒。

生3：4+3×9。師：解釋一下。生3：后面的9個正方形用了3×9根，加上前面的4根，共用了（4+3×9）根。生4：用了（3×10+1）根。把每個正方形先看作用了3根火柴棒，再加上最前面的一根，共有（3×10+1）根。生5：一個正方形用了4根，后面的用了3根，所以是（4+3×9）根。師：（指著黑板）說過的不要再說了。生6：我認(rèn)為還可以是4+33，把后面的9個正方形3個3個分為3組，是33，一共是4+33。師：也可以。生7：我認(rèn)為不對。如果是33……應(yīng)該是39，也不對。師：請坐。

片段2：對399的處理

師：再想一想。擺100個正方形，需要多少根火柴棒？（讓學(xué)生討論）……生8：還可以是399+4。生7：我認(rèn)為不對，應(yīng)該是330+4，因為10個是4+33，而100是10的10倍，所以是330+4。師：大家看出生8說得不對，那么生7說得對嗎？生9：我認(rèn)為是333+4。（教師看學(xué)生舉手的很少，讓學(xué)生討論生7、生9誰說得對。）生10：因為34已經(jīng)是81了，所以333+4與330+4肯定都不對。齊答：333+4與330+4早都超過1000了。師：因為在4+3×9中，9可以寫成32，所以4+3×9可以寫成4+33；對于3×99+4，99可以寫成什么？齊答：99可以寫成33×3，而33寫成3×11，所以99可以寫成32×11，而不是33次方。頭腦風(fēng)暴似的評論更冷靜的思考一、《標(biāo)準(zhǔn)》中強調(diào)數(shù)學(xué)活動的過程思考:涉及到數(shù)學(xué)的本質(zhì)?涉及到教育教學(xué)的本質(zhì)?涉及到認(rèn)識建構(gòu)觀?涉及到課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念?讓學(xué)生經(jīng)歷豐富多彩的數(shù)學(xué)活動本身有著多方面的意義：第一，它代表了對公民素質(zhì)的新要求。為了適應(yīng)未來社會，公民應(yīng)具有的實踐能力、創(chuàng)新精神、合作交流能力、終身學(xué)習(xí)能力等必然需要在親身的實踐活動中逐漸形成。第二，它代表了對數(shù)學(xué)的全面認(rèn)識。數(shù)學(xué)不僅僅是客觀知識的匯集，更是人們在實踐形成的規(guī)則和慣例指導(dǎo)下共同進行數(shù)學(xué)化的一種創(chuàng)造性的、社會化的活動。第三，它代表了對教學(xué)過程的重新定位。學(xué)習(xí)活動是學(xué)生以自身已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)的過程；教學(xué)過程是數(shù)學(xué)化實踐的一部分，是教師和學(xué)生共同進行的一種富有挑戰(zhàn)性的“再創(chuàng)造”。教師可以根據(jù)各種數(shù)學(xué)活動的特點，運用多種方式開展教學(xué)，以更有效地促進學(xué)生積極參與、獨立思考、合作交流，從而獲得對所學(xué)知識的理解。

第四，它保障了課程目標(biāo)的全面實現(xiàn)。不僅僅數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感與態(tài)度方面的目標(biāo)，必然需要學(xué)生親身的實踐和自我的體驗，知識和技能的獲得、理解和應(yīng)用也離不開數(shù)學(xué)活動。

過程與結(jié)構(gòu)是代數(shù)的兩個方面。

——sfar

第五，它為學(xué)生的個性發(fā)展提供了廣闊的空間，既可以使所有學(xué)生共同參與活動，每個學(xué)生又可以根據(jù)自己的生活經(jīng)驗、知識積累、認(rèn)知水平、個性傾向，從不同的角度中進行思考和探究；既提高了學(xué)生主動參與的積極性，又滿足了多樣化的學(xué)習(xí)需求。為什么如此關(guān)注課堂的交流氛圍?認(rèn)識建構(gòu)觀:環(huán)境,社會環(huán)境。隱性課程:學(xué)生的發(fā)展“環(huán)境”。課堂教學(xué)情境的重要性：認(rèn)識不應(yīng)被看成一種純粹的個人行為，而必然有一個在不同個體之間進行表述、交流、批評與反思以及不斷改進的過程。從而，個體的認(rèn)識活動事實上就是在一定的社會——文化環(huán)境中得以實現(xiàn)的。

1.設(shè)計“好”的情境是教學(xué)活動的開始.二、教師的困惑及一些建議是不是活動越“多”越好？“好”的“標(biāo)準(zhǔn)”是什么？

現(xiàn)實的。（實際生活和學(xué)生現(xiàn)實）

——了解學(xué)生的生活和起點。

富有數(shù)學(xué)意義的。

——了解重要的數(shù)學(xué)概念（含義、應(yīng)用、來龍去脈、歷史發(fā)展、案例、聯(lián)系）

挑戰(zhàn)性的（有趣的）。先教什么是一種重要的教學(xué)決策。如果這一決策是依據(jù)學(xué)生評價的結(jié)果做出的，幾乎可以肯定是較好的。教師要決定教什么，最好的方式之一便是在一學(xué)期或一單元開始時先對學(xué)生進行評價?！y試。——小活動。對分?jǐn)?shù)的討論重要的數(shù)學(xué)活動:1.用自己的語言表示”符號”——數(shù)學(xué)的語言。

2.對“一半”的充分體會。（數(shù)學(xué)模型，為什么沒有1/2）

3.對平均分的辯論。4.分?jǐn)?shù)引入的必要性：測量的精確。非數(shù)學(xué)活動：

（1）給“分?jǐn)?shù)起名字”。（2）用彩色筆“涂”顏色。（3）月餅分給“誰”。

（4）“8/8”是分?jǐn)?shù)嗎？對長方形等圖形的認(rèn)識——立體圖形留下“腳印”1.認(rèn)識平面圖形。2.面與體的關(guān)系。3.空間觀念和思考能力。

三棱柱只能留下“三角形”的“腳印”？——學(xué)生的實際、數(shù)學(xué)意義、挑戰(zhàn)性的需要澄清的強調(diào)過程并不排斥結(jié)果的重要性。防止非數(shù)學(xué)活動的傾向。重要的數(shù)學(xué)活動：

——水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化

——“問題情境——建立模型——求解模型——解釋、應(yīng)用、拓展

——重要數(shù)學(xué)概念和思想的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程。2.促進學(xué)生深入、有效地開展數(shù)學(xué)活動是教學(xué)的關(guān)鍵。（創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍）——通過提供問題或任務(wù)促使學(xué)生進行有價值的數(shù)學(xué)活動。——教學(xué)過程不是一味地講解、示范或自我解釋，而應(yīng)當(dāng)更多地在學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動時傾聽、了解他們對數(shù)學(xué)的理解與感受?！獙W(xué)生的參與活動進行有效的組織，在學(xué)生需要的是否提供必要的幫助。我看到的

“民主，寬松，活躍”的教學(xué)氛圍;

給學(xué)生充分的時間去“發(fā)現(xiàn)規(guī)律上”；給學(xué)生機會展現(xiàn)自己的發(fā)現(xiàn)、多元的表示方法；對學(xué)生的“錯誤”給機會解釋；學(xué)生們的積極參與；有機會報告自己的工作。

進一步的思考（潛在的問題）：這樣的氛圍（文化）是否適應(yīng)于所有的學(xué)生?

多元文化、多元智能、寬容（學(xué)生、教師）這樣的文化需要進一步改進交流的深層次（討價還價式的）。如何發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用？需要澄清的：——不是所有的內(nèi)容都需要交流.——交流不等于“各說各的”.——交流不等于師生交流.——自主交流仍需要有效引導(dǎo).片段1：師：擺10個這樣的正方形需要多少根火柴棒？（讓學(xué)生擺一擺，想一想）生1：用31根。（但說不出道理）生2：4×10-9。師：為什么是4×10-9？說說理由。生2：先看做擺單獨的10個正方形，用4×10根火柴棒，后面的9個正方形少用了9根，所以共用了（4×10-9）根火柴棒。

生3：4+3×9。師：解釋一下。生3：后面的9個正方形用了3×9根，加上前面的4根，共用了（4+3×9）根。生4：用了（3×10+1）根。把每個正方形先看作用了3根火柴棒，再加上最前面的一根，共有（3×10+1）根。生5：一個正方形用了4根，后面的用了3根，所以是（4+3×9）根。師：（指著黑板）說過的不要再說了。生6：我認(rèn)為還可以是4+33，把后面的9個正方形3個3個分為3組，是33，一共是4+33。師：也可以。生7：我認(rèn)為不對。如果是33……應(yīng)該是39，也不對。師：請坐。（1）幫助學(xué)生學(xué)會表達(dá)和交流會運用自己的語言進行表述。（數(shù)學(xué)地談?wù)?，自己語言到規(guī)范語言過渡的重要性，組織和澄清的重要性）幫助學(xué)生學(xué)會對自己的數(shù)學(xué)思想進行組織和澄清，并能清楚地、前后一致地表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思想；能通過對其他人的思維和策略的考察擴展自己的數(shù)學(xué)知識，并能學(xué)會使用精確的數(shù)學(xué)語言。組織和澄清就是一個反思的過程，從而不僅會導(dǎo)致更深刻的理解，而且也會促進人們對先前的思想作出必要的修正和改進。另外，對其他人的思維和策略進行考察無疑有助于學(xué)生學(xué)會批判地思維。

——討論“日記”、畫“發(fā)言圖”。（2）教師要注意的是每位學(xué)生是否參與對話。重復(fù)學(xué)生的語言，再一次確認(rèn)學(xué)生的意思，是教師控制教室對話的兩種最明顯的策略。這可以促使學(xué)生的發(fā)言，從個體自我意思的表達(dá)，轉(zhuǎn)化為全班可以共同溝通的語言。對于教室運作有用的信息應(yīng)予以增強，干擾或暫不能處理的信息則予以忽略或淡化處理。（重復(fù)、確認(rèn)、淡化）

——交流的無效性、確保每個學(xué)生都獲得發(fā)展。

（3）必要而強有力的引導(dǎo)——強化正確的方法(如語言、板書）——將“規(guī)律”與“圖形”相對應(yīng)?！獙赡苷`導(dǎo)信息的處理。不處理，但課后應(yīng)訪談。方法的不普遍性。（換一個“數(shù)”）對冪的理解?！_看待“鼓勵”。

（4）設(shè)計好的交流話題。——學(xué)生之間缺乏交流（討價還價式的、挑起爭論、問題的思維價值）

你們的方法一樣嗎？這兩個方法有什么相同點和不同點。

（5）在學(xué)生遇到困難時給予適當(dāng)?shù)膯⑹編椭鷮W(xué)生克服困難（方法論的啟示），學(xué)生成功地解決了問題以后幫助學(xué)生作出必要的總結(jié)（適當(dāng)變形啟發(fā)學(xué)生對其中的關(guān)鍵點與相應(yīng)的思維方法建立自覺的認(rèn)識）。

——能不能找找規(guī)律？

——換一個數(shù)試試？

（6）防止師生交流的不平等性。（延遲判斷。盡量避免占據(jù)學(xué)生的思維，可以有一些思維習(xí)慣養(yǎng)成的提示：如“先想一想”；教師也可以作為平等的一員提出自己的想法。）

（7）操作與思考、獨立思考與交流的關(guān)系。鼓勵學(xué)生將操作與思考相結(jié)合，在獨立思考的基礎(chǔ)上再進行交流。

（8）引起學(xué)生的反思。經(jīng)常問及下面的問題：現(xiàn)在在干什么？準(zhǔn)備干什么？為什么要這樣干？實際效果如何。你獲得了什么？你有哪些困難？如何克服的?；仡櫯c反思的作用（澄清思想）。引導(dǎo)者（充分的等待、恰當(dāng)?shù)那腥搿⑦m當(dāng)?shù)膹娀?、冷靜的思考、有力的幫助）?！靶　钡姆椒ǎ簩W(xué)生上臺回答問題時面向大家（自信、教師不是權(quán)威）。3.教師應(yīng)具有在不確定情境中作出決策的能力

片段2：對399的處理

師：再想一想。擺100個正方形，需要多少根火柴棒？（讓學(xué)生討論）……生8：還可以是399+4。生7：我認(rèn)為不對，應(yīng)該是330+4，因為10個是4+33，而100是10的10倍，所以是330+4。師：大家看出生8說得不對，那么生7說得對嗎？生9：我認(rèn)為是333+4。（教師看學(xué)生舉手的很少，讓學(xué)生討論生7、生9誰說得對。）生10：因為34已經(jīng)是81了，所以333+4與330+4肯定都不對。齊答：333+4與330+4早都超過1000了。師：因為在4+3×9中，9可以寫成32，所以4+3×9可以寫成4+33；對于3×99+4，99可以寫成什么？齊答：99可以寫成33×3，而33寫成3×11，所以99可以寫成32×11，而不是33次方。教師對突發(fā)事件的處理：

——允許學(xué)生解釋。

——不知如何干預(yù)（沒有預(yù)想、不知道錯誤的根源）。

——想要發(fā)揮教師引導(dǎo)作用（干預(yù)的程度、如何干預(yù)）。我看到的如何面對學(xué)生的“錯誤”

1.允許“模糊”；不出錯反而奇怪。對概念的理解：懂與不懂（黑白）模糊的，綠色的？2.注意保護學(xué)生的自信心。由純粹的否定轉(zhuǎn)而采取了更為理解的態(tài)度，力圖去發(fā)現(xiàn)其中的積極成分。3.允許學(xué)生解釋并改正。4.重視學(xué)生交流對個人的作用。學(xué)生的錯誤不可能單純依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得到糾正，而必須是一個自我否定的過程。教師應(yīng)注意提供適當(dāng)?shù)耐獠凯h(huán)境來促進學(xué)生的自我反省和觀念沖突（去對自己的錯誤進行檢驗）。5.慎用齊答和“歡呼”（同意不一定理解。）。6.觀察和研究（學(xué)生可能遇到的困難），深入了解學(xué)生錯誤的原因。

Assessingwith“green”ink

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7.適時的引導(dǎo)：多說幾遍，多舉幾個例子，“借題發(fā)揮”。8.從估算中糾正錯誤。385+405+296超過了1000元。

提到字母表示數(shù)，就不得不提到學(xué)生在此方面的困難和差異。英國的兒童數(shù)學(xué)概念發(fā)展水平的研究（CSMS）表明，學(xué)生對字母表示數(shù)的理解方式可以概括為6個水平：（1）對字母直接賦值。一看到字母，就直接給它賦予一個數(shù)值。（2）忽略字母的意義。對題中的字母視而不見，不理睬?；蛘叱姓J(rèn)其存在，但對它不賦予任何意義。（3）把字母當(dāng)作物體。把代數(shù)式中的字母看作是具體物體的記號，或直接看作是物體。（4）把字母看作是特定的未知量。這時字母在兒童心中是某個（具體的）未知數(shù)的記號，可以直接參與運算。（5）把字母看作是廣義的數(shù)。這時，在兒童心中，字母是數(shù)，而且可以取多個值（不止一個）。（6）把字母看作是變量。這時，兒童把字母看作是可在一定范圍內(nèi)的變數(shù)。兩組這種數(shù)之間有一種系統(tǒng)的關(guān)系。這個研究還表明，只有很小比例的13到15歲的學(xué)生能夠?qū)⒆帜缚紤]為一個廣義的數(shù)，能夠把字母看作是變量的學(xué)生就更少了，大多數(shù)的學(xué)生把字母當(dāng)作具體的對象，或者不管它們。由我國數(shù)學(xué)教育專家王長沛主持的課題組也作了相應(yīng)的研究，得到了類似的結(jié)果。同時，他們的結(jié)果還表明，有些初中學(xué)生已經(jīng)把字母看作變量，而有些高中學(xué)生卻仍然一看到字母就直接給它賦一個值或忽略字母，同齡的孩子對字母表示數(shù)的認(rèn)識可能有6年的差異。

測試結(jié)果：初中一年級的學(xué)生正在經(jīng)歷的一個成長過程；約４４％的學(xué)生不能把字母看作抽象的符號；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難之一：學(xué)生認(rèn)知水平－抽象思維水平；學(xué)生之間存在著較大的差異。對這個班的測試

學(xué)生字母表示數(shù)理解水平CSMS學(xué)生人數(shù)占參試學(xué)生Piaget的認(rèn)知水平水平的百分