2022-2023學年江蘇省南京航空航天大學蘇州附屬中學高一年級上冊學期12月第二次階段檢測數學試題【含答案】

2022-2023學年江蘇省南京航空航天大學蘇州附屬中學高一上學期12月第二次階段檢測數學試題一、單選題1．“角小于”是“角是第一象限角”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用特殊值法結合充分、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】若角小于，取，此時，角不是第一象限角，即“角小于”“角是第一象限角”；若角是第一象限角，取，此時，，即“角小于”“角是第一象限角”.因此，“角小于”是“角是第一象限角”的既不充分也不必要條件.故選：D.2．已知角的終邊上一點，則（

）A． B．C． D．以上答案都不對【答案】C【分析】可由題意，利用坐標分別表示出，然后再計算即可得到答案.【詳解】因為角的終邊上一點，所以，，所以.故選：C.3．設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由指數函數的性質求得，由對數函數的性質求得，由三角函數的誘導公式，可得，即可得到答案.【詳解】由題意，根據指數函數的性質，可得，由對數函數的性質，可得且，即，由三角函數的誘導公式，可得，所以.故選：D.4．已知函數則方程的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考慮和兩種情況，代入解方程得到答案.【詳解】當時，，故，解得或（舍去）；當時，，故，解得或（舍去）.綜上所述：或.故選：B5．天文學中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數值越小，星星就越亮；星等的數值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應用，英國天文學家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，則與最接近的是(當較小時，)A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27【答案】C【解析】根據題意，代值計算，即可得，再結合參考公式，即可估算出結果.【詳解】根據題意可得：可得，解得，根據參考公式可得，故與最接近的是.故選：C.【點睛】本題考查對數運算，以及數據的估算，屬基礎題.6．已知,,,則的最小值是（

）.A．3 B． C． D．9【答案】A【分析】由已知結合指數與對數的運算性質可得,從而根據,展開后利用基本不等式可得解.【詳解】,,,所以,即,則,當且僅當且即,時取等號,則的最小值是3.故選：A【點睛】本題主要考查了指數與對數的運算性質及利用基本不等式求解最值,要注意應用條件的配湊.屬于中檔題.7．函數，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷奇偶性，再利用函數值的正負排除三個錯誤選項，得正確結論．【詳解】，為偶函數，排除BC，又時，，時，，排除A，故選：D．8．設函數，有四個實數根，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據分段函數解析式研究的性質，并畫出函數圖象草圖，應用數形結合及題設條件可得、、，進而將目標式轉化并令，構造，則只需研究在上的范圍即可.【詳解】由分段函數知：時且遞減；時且遞增；時，且遞減；時，且遞增；∴的圖象如下：有四個實數根，，，且，由圖知：時有四個實數根，且，又，由對數函數的性質：，可得，∴令，且，由在上單增，可知，所以故選：A二、多選題9．已知實數a，b，c滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據冪函數，對數函數，指數函數的性質判斷．【詳解】∵，由在上是增函數，，故A正確；由對數函數性質是減函數，，∴，，即，故B錯誤；由是減函數得，故C正確；，，故D錯誤；故選：AC10．以下四個命題，其中是真命題的有（

）．A．命題“”的否定是“”B．若，則C．函數且的圖象過定點D．若某扇形的周長為6cm，面積為2，圓心角為，則【答案】ACD【分析】對于A，根據全稱命題的否定可判斷；對于B，由不等式的性質可判斷；對于C，由對數函數的性質可判斷；對于D，由扇形的周長、面積公式計算可判斷.【詳解】對于A，由全稱命題的否定，可知選項A正確；對于B，若，則，根據的單調性，可知，故B不正確；對于C，當時，，故其過定點，故C正確；對于D，設扇形的半徑為，弧長為，則有，又，故D正確.故選：ACD11．已知，，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】對于A，由已知等式可判斷，從而可判斷出的范圍，對于BC，由已知條件結合可求出，從而可求出的值，對于D，將的值代入計算即可.【詳解】對于A，由題設，故A正確；對于BC，因為，，所以，化簡得，解得或，當時，，則當時，，則，所以B，C錯誤；對于D，由前面的解析可知，當時，，當時，，綜上，所以D正確，故選：AD.12．某學校為了加強學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學生自主探究學習的能力，讓學生以函數為基本素材，研究該函數的相關性質，取得部分研究成果如下，其中研究成果正確的是（

）A．函數的定義域為，且是偶函數B．對于任意的，都有C．對于任意的a，，都有D．對于函數定義域內的任意兩個不同的實數，，總滿足【答案】BC【分析】利用對數的性質求定義域，由定義判斷奇偶性可知A的正誤；將等式兩邊函數中自變量代入解析式化簡整理判斷B、C的正誤；應用特殊值：取，代入判斷即可．【詳解】A：由，解得，故的定義域為．又，∴為奇函數，故錯誤．B：由，，故正確．C：，，∴，故正確．D：取，，則，，∴，故錯誤．故選：BC．三、填空題13．請寫出一個滿足的增函數______.【答案】（答案不唯一）.【分析】根據已知條件可結合對數函數的性質得答案.【詳解】由題意可知函數滿足條件，證明：因為，所以滿足，函數在上為增函數，所以符合條件，故答案為：（答案不唯一）.14．已知函數是定義在上的奇函數，當時，為常數），則=_________.【答案】【分析】先由函數奇偶性，結合題意求出，計算出，即可得出結果.【詳解】因為為定義在上的奇函數，當時，，則，解得，則，所以，因此.故答案為：.15．已知，且，則______.【答案】【分析】根據誘導公式進行三角恒等變換，根據已知三角函數值和角的范圍進一步細化角的范圍，再利用同角的三角函數基本關系式即可求解.【詳解】，又，所以，又，所以，所以為負值，所以.故答案為：.16．已知函數集合，若集合中有3個元素，則實數的取值范圍為________．【答案】或【分析】令，記的兩根為，由題知的圖象與直線共有三個交點，從而轉化為一元二次方程根的分布問題，然后可解.【詳解】令，記的零點為，因為集合中有3個元素，所以的圖象與直線共有三個交點，則，或或當時，得，，滿足題意；當時，得，，滿足題意；當時，，解得.綜上，t的取值范圍為或.故答案為：或四、解答題17．設函數的定義域為集合的定義域為集合．(1)當時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出集合A，B，根據集合的補集、交集運算求解即可；（2）由必要條件轉化為集合間的包含關系，建立不等式求解即可.【詳解】（1）由，解得或，所以．．當時，由，即，解得，所以．所以．（2）由（1）知，．由，即，解得，所以．因為“”是“”的必要條件，所以．所以，解得．所以實數的取值范圍是．18．（1）化簡：；（2）利用（1）中的函數圖像，解不等式：；（3）已知關于的方程的兩根為和，.求實數以及的值.【答案】（1）；（2）；（3），.【分析】（1）根據誘導公式，計算可得答案.（2）根據正弦函數的圖像性質，可得的范圍.（3）根據韋達定理，以及三角函數的平方關系，可列方程求得答案.【詳解】（1）；（2），，得，根據正弦函數的圖像性質，得到；（3）由，兩根為和，可得，，得，得，可得，；又由，得，故，而，則.19．已知函數(1)求的最小值及對應的的集合；(2)求在上的單調遞減區(qū)間；(3)若方程在上有兩個不同的實數解，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3)；【分析】（1）由已知，可根據已知的函數解析式直接求解最小值，以及令求解出的最小值及對應的的集合；（2）可令，將原函數轉化為，先求解函數的單調遞減區(qū)間，然后再令，從而求得函數的單調遞減區(qū)間；（3）由已知函數解析式，可畫出圖像，根據圖像可直接求解實數的取值范圍.【詳解】（1）由已知，函數，所以當時，即時，函數取得最小值，最小值為，所以，當函數取得最小值對應的的集合為.（2）因為函數，令，因為，所以，函數變?yōu)椋虼?，函數當時單調遞減區(qū)間是，所以，即，所以函數在上的單調遞減區(qū)間是.（3）由已知，畫出函數的圖像，如下圖所示，方程在上有兩個不同的實數解，此時實數的取值范圍為.20．設m為實數，己知函數(1)判斷的奇偶性，并給出證明；(2)設函數，當時，求的最大值；(3)若函數的最小值為，求m的值.【答案】(1)為偶函數，證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用奇偶性的定義即可證明.（2）利用基本不等式即可求得最值.（3）借助換元法即可求得m的值.【詳解】（1）由已知定義域為，定義域關于原點對稱，，即為偶函數（2），當且僅當時，取到等號，即的最大值為（3）令，則，令所以與有相同的最小值當時，，解得當時，，解得，舍去綜上所述，m的值為21．設為正整數，已知函數.(1)判斷函數的單調性，并用定義證明；(2)求關于x不等式的解集；(3)若函數在區(qū)間單調遞減，比較與的大小關系，并說明理由.【答案】(1)在單調遞減，在單調遞減，證明見解析(2)(3)，理由見解析【分析】（1）根據函數單調性的定義，按照取值、作差、變形、定號、下結論的步驟即可證明（2）根據函數在是單調遞減的，即可解不等式；（3）首先計算出的表達式，利用函數的單調性即可比較大小.【詳解】（1）為奇函數，定義域為設任意，且，則，，，所以；即在單調遞減，又為奇函數，所以在單調遞減.（2）由可得又因為，且在單調遞減；所以，即所以，不等式的解集為（3）在上單調遞減，即又因為，所以即.22．對于函數，如果對于定義域中任意給定的實數，存在非負實數，使得恒成立，稱函數具有性質．(1)判別函數，和，是否具有性質，請說明理由；(2)函數，，若函數具有性質，求滿足的條件；(3)若函數的定義域為一切實數，的值域為，存在常數且具有性質，判別是否具有性質，請說明理由．【答案】(1)，不具有性質；,具有性質(2)(3)具有性質，理由見解析【分析】（1）由性質的定義，結合作差法判斷函數是否具有性質即可；（2）根據已知條件