2022-2023學(xué)年福建省南靖縣、蘭水中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省南靖縣第一中學(xué)、蘭水中學(xué)高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算【詳解】由題意得：，所以，故故選：D2．“”是“直線與直線平行的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出當(dāng)時(shí)實(shí)數(shù)的值，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，此時(shí).因?yàn)?，因此，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.3．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【分析】根據(jù)圓與圓位置關(guān)系的判斷，計(jì)算兩圓圓心距離，與半徑之和和差比較大小即可判斷.【詳解】解：圓的圓心為：，半徑圓的圓心為：，半徑所以，則所以兩圓相交.故選：B.4．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】解：由題可知，公比不為1，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，解得：，所以，所以，故選：A.5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在橢圓上，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．不確定【答案】C【分析】由正弦定理的邊角關(guān)系及橢圓的定義、性質(zhì)，即可求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)知：是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，又B在橢圓上，所以，而，，故.故選：C6．直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值可能是（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由曲線表示圓在軸的上半部分，利用直線與圓相切求出的值，結(jié)合圖形即可得答案.【詳解】曲線表示圓在軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，所以由圖可知實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故選：C.7．已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓外一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由已知條件推導(dǎo)出，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，得的最大值．【詳解】解：點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)A在橢圓外，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，，，，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)，，則的最大值為．故選：．8．已知橢圓（），橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，且滿足，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，由，得，根據(jù)表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，可得選項(xiàng)【詳解】解：由已知得，，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，所以表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，故選：B．二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值是B．直線必過(guò)定點(diǎn)C．直線在y軸上的截距為D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為【答案】BC【分析】根據(jù)直線垂直關(guān)系列方程求，判斷選項(xiàng)A；將直線方程化為點(diǎn)斜式即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)截距的定義判斷選項(xiàng)C，根據(jù)條件求出滿足要求的直線方程，判斷選項(xiàng)D.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)橹本€與直線垂直，則，解得或，A不正確；對(duì)B：直線可變?yōu)?，因此直線必過(guò)定點(diǎn)，即B正確；對(duì)C：由直線方程取，得，所以直線在y軸上的截距為，所以C正確．對(duì)D：經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為或，所以D不正確；故選：BC．10．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，，，，則

A． B．，C． D．當(dāng)時(shí)，有最大值【答案】BD【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可判斷A；由等差數(shù)列的單調(diào)性可判斷B；由可判斷C；由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可判斷D.【詳解】，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，，，，故選項(xiàng)B正確；，且，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由，知，當(dāng)時(shí)，有最大值，故選項(xiàng)D正確；故選：BD．11．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．離心率B．過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為C．若是橢圓上的一點(diǎn)，則面積的最大值為2D．若是橢圓上的一點(diǎn)，且，則面積為【答案】BD【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程確定，結(jié)合各選項(xiàng)中的問(wèn)題，逐一分析計(jì)算即可判斷作答.【詳解】由橢圓得：長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，橢圓的離心率，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因弦AB過(guò)焦點(diǎn)F1，則的周長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C，令點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，于是得△面積，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)取“=”，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由余弦定理得：，即，解得，因此，△面積為，D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用余弦定理是解題的關(guān)鍵.12．以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為B．已知圓C：，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB，AB為切點(diǎn)，直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)C．曲線：與曲線：恰有三條公切線，則m＝4D．圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離都等于1【答案】ABC【分析】對(duì)于A:斜率為且與橢圓相切的直線到直線的距離為到橢圓的最大值或者最小值.對(duì)于B:根據(jù)AB為切點(diǎn)，得出，，由此判斷AB在以為直徑的圓上，以此求出公共弦AB的直線方程，找到定點(diǎn).對(duì)于C:兩圓三條公切線，說(shuō)明兩圓外切，兩圓心距離應(yīng)該等于兩圓半徑之和.對(duì)于D:判斷直線與圓上各點(diǎn)距離兩個(gè)方向的最遠(yuǎn)距離，兩值大于1則有四個(gè)滿足條件的點(diǎn).【詳解】對(duì)于A:設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立方程得：，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得當(dāng)時(shí)，直線與距離最大，最大距離為故A正確.對(duì)于B:設(shè)點(diǎn)，因?yàn)锳B為切點(diǎn)，所以，，連接，根據(jù)圓周角與圓直徑關(guān)系可知，AB兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓的方程為，兩圓公共弦AB所在直線方程為，聯(lián)立方程得，令，則故B正確.對(duì)于C:曲線：，曲線:，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓外切，故，得故C正確.對(duì)于D:直線與圓相切，且與距離為1，因此圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離都等于1故D錯(cuò)誤.故選:ABC【點(diǎn)睛】圓錐曲線與相交直線的最遠(yuǎn)距離求法：1.設(shè)一條與相交直線平行的直線;2.假設(shè)直線與曲線相切并聯(lián)立方程，求出直線方程;3.根據(jù)平行線距離公式求出兩直線距離，即是圓錐曲線與相交直線的最遠(yuǎn)距離.三、填空題13．已知等差數(shù)列滿足，公差，則當(dāng)?shù)那皀項(xiàng)和最大時(shí)，___________．【答案】3【分析】根據(jù)公式求出前n項(xiàng)和，再利用二次函數(shù)的性質(zhì).【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，，所以，當(dāng)時(shí)，取到最大值.故答案為：3.14．已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓C：相切，且與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)__________.【答案】【分析】先根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系求出過(guò)點(diǎn)的直線的斜率，再根據(jù)垂直關(guān)系求出實(shí)數(shù)a的值.【詳解】當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，不相切，舍去當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，則由，解得：，又與直線垂直，所以，解得：故答案為：15．一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_(kāi)__________.【答案】【分析】先根據(jù)兩圓位置關(guān)系得動(dòng)圓圓心到兩已知圓心距離和為定值，再由橢圓的定義求解，【詳解】圓的圓心為，，圓的圓心為，，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，由題意得，，則，，由橢圓定義得的軌跡方程為，故答案為：16．設(shè)是橢圓上的任一點(diǎn)，為圓的任一條直徑，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【分析】由題設(shè)，且關(guān)于對(duì)稱，設(shè)，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及在圓、橢圓上得到關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合橢圓的有界性求范圍即可.【詳解】由題設(shè)，且關(guān)于對(duì)稱，若，則，設(shè)，則，，∴，又，∴的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)點(diǎn)，利用圓的對(duì)稱性、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求關(guān)于的函數(shù)，再由橢圓的有界性求范圍.四、解答題17．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足．若，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得出，再代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出公差；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用分組求和即可解決【詳解】（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以的通?xiàng)公式為；（2）因?yàn)?，所?8．已知圓過(guò)兩定點(diǎn)，且圓心在直線上；(1)求圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，建立關(guān)于的方程，求解即可得圓的方程；（2）根據(jù)直線與圓相交得弦長(zhǎng)公式，確定圓心到直線的距離，討論直線方程即可求得.【詳解】（1）解：設(shè)圓的方程為∵圓心在直線上，則又∵圓過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)，則，又，聯(lián)立解得：則圓的方程為；（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線得距離弦長(zhǎng)符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，∵，∴圓心到直線的距離為，解得，則直線的方程為，綜上，直線的方程為或19．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為且過(guò)點(diǎn)，(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)傾斜角為45°的直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)交橢圓于?兩點(diǎn)，求【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法、橢圓中的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)橢圓弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)闄E圓的離心率為且過(guò)點(diǎn)，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由（1）可知：，所以直線的方程為：，代入橢圓方程中，得，設(shè)，所以，因此.20．已知圓，圓，直線過(guò)點(diǎn).(1)求圓的圓心和半徑；(2)若直線與圓相切，求直線的方程；(3)求圓和圓的公共弦長(zhǎng).【答案】(1)圓心坐標(biāo)為，半徑；(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)題意將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑；（2）根據(jù)題意可知：直線的斜率可能不存在，直接寫出方程，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解；（3）將兩圓方程聯(lián)立可得出公共弦所在直線方程，然后求出其中一個(gè)圓心到直線的距離，再利用垂徑定理即可求出公共弦長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)閳A可化為，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.（2）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，所以分兩種情況：若直線的斜率不存在時(shí)，則直線的方程為；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，也即，由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，解得：，此時(shí)直線的方程為，所以直線的方程為或.（3）因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo),半徑，則，所以兩圓相交，兩圓方程聯(lián)立可得公共弦所在直線方程為：，圓的圓心到公共弦的距離，由垂徑定理可得公共弦長(zhǎng)為，所以圓和圓的公共弦長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】1.過(guò)一定點(diǎn)，求圓的切線時(shí)，首先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．若點(diǎn)在圓外，有兩個(gè)結(jié)果，若只求出一個(gè)，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況.2.圓的弦長(zhǎng)的常用求法：(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則；(2)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式：.21．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，填在下面的橫線上，并解答問(wèn)題．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且____________．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若是的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，；(2).【分析】（1）選①，利用與的關(guān)系求解作答；選②，構(gòu)造等差數(shù)列求出求解作答；選③，構(gòu)造常數(shù)列計(jì)算作答；（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求解作答.【詳解】（1）選①，，由，得，則，即，而，因此是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，，所以的通項(xiàng)公式為．選②，由，得，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為．選③，由，得，因此數(shù)列是常數(shù)列，則有，即，所以的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，，依題意，，則所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和．22．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，離心率是.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)即可代入計(jì)算作答.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，與橢圓E的方程聯(lián)