矩陣運算及其應用

第二章矩陣運算及其應用

2.1矩陣的加減乘法2.2矩陣的逆2.3矩陣的分塊2.4初等矩陣2.5應用實例2.6習題2.1矩陣的加減乘法2.1.1矩陣的加法定義2.1設有兩個同型的矩陣，，矩陣A與矩陣B的和記作，規(guī)定為：若，把記作，稱為A的負矩陣。顯然有：由此可定義矩陣的減法為：2.1.2矩陣的數(shù)乘定義2.2數(shù)與矩陣的乘積，簡稱數(shù)乘，記作或，規(guī)定為矩陣的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運算，矩陣的線性運算滿足下列運算規(guī)律（A、B、C是同型矩陣，、是數(shù)）（1）加法交換律（2）加法結合律

（3）（4）

（5）（6）（7）（8）數(shù)乘分配律

2.1.3矩陣的乘法定義2.3設A是矩陣，B是矩陣，那么矩陣A

和矩陣B的乘積是一個矩陣C，其中記作

C=AB由定義知，只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)和第二個矩陣的行數(shù)相等，即它們的內階數(shù)相等時，兩個矩陣才能相乘。乘積矩陣的第元素等于前一個矩陣的第行各元素與后一個矩陣的第列相應元素乘積之和，即：定義2.4對于變量，若它們都能由變量線性表示，即有：

（2-1）則稱此關系式為變量到變量的線性變換。

可以寫成輸出向量Y等于系數(shù)矩陣A左乘輸入向量X：例2.4式（2-2）給出變量到變量的線性變換；式（2-3）給出變量到變量的線性變換。請寫出變量到變量的線性變換。

（2-2）

（2-3）

解：方法一，代換法。將式（2-3）代入式（2-2），得：

（2-4）方法二，矩陣運算法。根據(jù)矩陣乘法的定義，可以把式（2-2）和式（2-3）分別寫為式（2-5）和式（2-6）的矩陣等式：

（2-5）

（2-6）

把式（2-6）代入式（2-5）中，得：

（2-7）

式（2-7）和式（2-4）等價。通過這個例子，可以看出矩陣乘法在線性變換中的運用。

有了矩陣乘法的定義后，可以把一般的線性方程組（1-3）寫為矩陣形式：

（2-8）

若用A表示系數(shù)矩陣，X表示未知量構成的向量，b表示常數(shù)項所構成的向量，則式（2-8）可以化簡為：

AX=b例2.5已知，，求AB，BA解：根據(jù)矩陣乘法定義，有：由于矩陣有2列，矩陣有3行，所以B不能左乘A。由矩陣乘法定義和前面的例題可以看出：（1）矩陣乘法不滿足交換律，即在一般情況下（2）不能由，推出或（3）不能由，，推出在一般情況下有：矩陣乘法滿足下列運算規(guī)律：（1）（2）

（3），為數(shù)（4）（5），，其中為正整數(shù)，必須為方陣。

2.1.4矩陣的轉置定義2.5設是一個矩陣，將矩陣中的行換成同序數(shù)的列得到的一個矩陣，稱為矩陣的轉置矩陣，記作，或。例如，，則矩陣轉置滿足以下運算規(guī)律（1）（2）（3）（4）

在此只證明（4）證明：設,,記

，，據(jù)矩陣乘法定義及矩陣轉置定義知：而的第行就是的第列，為：，的第列就是的第行，為：，因而有即得，亦即。定義2.6如果n階方陣滿足，則稱為對稱矩陣。如果n階方陣滿足，則稱為反對稱矩陣。顯然反對稱陣的主對角線上元素都是零。

2.2矩陣的逆2.2.1逆矩陣的定義定義2.7設為n階方陣，若存在n階方陣，使得，其中為n階單位矩陣，則稱為可逆矩陣或是可逆的，并稱為的逆矩陣。如果的逆矩陣為，記，顯然，則的逆矩陣為，記，我們也稱矩陣和矩陣互逆。

例2.7設

,,,分析矩陣和矩陣、矩陣和矩陣的關系。解：

所以，矩陣和矩陣互為逆矩陣。矩陣和矩陣也互為逆矩陣。2.2.2逆矩陣的性質性質1如果矩陣可逆，則的逆矩陣唯一性質2若和為同階方陣，且滿足則，即矩陣和矩陣互逆。性質3若可逆，則也可逆，且性質4若可逆，數(shù)，則可逆，且性質5若、均為階可逆方陣，則也可逆，且

性質6若可逆，則也可逆，且例2.8設方陣滿足，試證可逆，并求。解：根據(jù)已知條件，可以得到：則有：所以矩陣可逆，且。2.3矩陣的分塊在矩陣運算中，特別是針對高階矩陣，常常采用矩陣分塊的方法將其簡化為較低階的矩陣運算。用若干條縱線和橫線將矩陣分為若干個小矩陣，每一個小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣。比如將4×3矩陣分為

,,,它們可分別表示為：

分塊矩陣的運算與普通矩陣類似，1．加法運算設，都是

矩陣，且將，按完全相同的方法分塊：2．數(shù)乘運算設,有：3．乘法運算設為矩陣，為矩陣，將它們分別分塊成其中的列數(shù)分別等于的行數(shù)，即可以左乘。則有：其中

4．轉置運算設有：注意分塊矩陣的轉置，不僅要把每個子塊內的元素位置轉置，而且要要把子塊本身的位置轉置。

5．分塊對角矩陣如果將方陣分塊后，有以下形式：其中主對角線上的子塊均是方陣，而其余子塊全是零矩陣，則稱為分塊對角矩陣，記為。設有兩個同型且分塊方法相同的對角矩陣則有

對于上面的分塊矩陣，若對角線上的所有子塊都可逆，則有：例2.9利用分塊矩陣的概念，把下列線性方程組寫成向量等式。解：線性方程組的矩陣表示為：把系數(shù)矩陣按列分成4塊：與常數(shù)矩陣分別用向量和向量來表示，則有：

進而得到向量等式：

2.4初等矩陣

定義2.8單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣或初等方陣。前面介紹了三種初等變換，每一種初等變換，都有一個相對應的初等矩陣（1）交換單位矩陣的,兩行（或,兩列），得到的初等矩陣記為，即：

（2-12）

（2）用一個非零數(shù)乘單位矩陣的第行（或第列），得到的初等矩陣記為，即：

（2-13）

（3）將單位矩陣第行的倍加到第行上（或將單位矩陣第列的倍加到第列上）得到的初等矩陣記為，即：

（2-14）

例2.10

設求：E1*A，E2*A，E3*A。解：定理2.1設是一個矩陣，對施行一次初等行變換，其結果等于在的左邊乘以相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，其結果等于在的右邊乘以相應的階初等矩陣。定理2.2設為階方陣，那么下面各命題等價：（1）是可逆矩陣；（2）線性方程組只有零解；（3）可以經(jīng)過有限次初等行變換化為單位矩陣；（4）可以表示為有限個初等矩陣的乘積。例2.11設判斷、是否可逆，如果可逆，請求之。解：

則矩陣可逆，且其逆為：

顯然矩陣通過初等行變換不能化為單位矩陣，則矩陣不可逆。是降秩的。它通過初等行變換，可以化出一個零行，則其秩為2。故當A不可逆時，(2-15)式應改為：其中是秩為r的n×n方陣，r<n。即它有r個非零行和n-r個零行。2.5應用實例

2.5.1成本核算問題例2.12某廠生產三種產品，每件產品的成本及每季度生產件數(shù)如表2.6及表2.7所示。試提供該廠每季度的總成本分類表。表2.6每件產品分類成本成本(元)產品A產品B產品C原材料0.100.300.15勞動0.300.400.25企業(yè)管理費0.100.200.15表2.7每季度產品分類件數(shù)解：用矩陣來描述此問題，設產品分類成本矩陣為，季度產量矩陣為,則有：產品夏秋冬春A4000450045004000B2000280024002200C5800620060006000令，則的第一行第一列元素為：

(1,1)=0.1×4000+0.3×2000+0.15×5800=1870不難看出，它表示了夏季消耗的原材料總成本。在Matlab環(huán)境下，鍵入：>>M=[0.1,0.3,0.15;0.3,0.4,0.25;0.1,0.2,0.15];>>P=[4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800,6200,6000,6000];>>Q=M*P

Q=187022202070196034504020381035801670194018301740為了進一步計算矩陣Q的每一行和每一列的和，可以繼續(xù)鍵入：>>Q*ones(4,1)ans=8120 14860 7180>>ones(1,3)*Qans=6990818077107280并可以繼續(xù)算出全年的總成本：>>ans*ones(4,1)ans=30160

根據(jù)以上計算結果，可以完成每季度總成本分類表，如表2.8所示。表2.8每季度總成本分類表成本（元）夏秋冬春全年原材料18702220207019608120勞動345040203810358014860企業(yè)管理費16701940183017407180總成本（元）6990818077107280301602.5.2特殊矩陣的生成例2.13在Matlab環(huán)境下生成矩陣X：矩陣X有相同的10行，每一行都是公差為1的等差數(shù)列。解：令則，就實現(xiàn)了矩陣賦值。鍵入MATLAB語句：>>v1=-10:10;v2=ones(1,10)>>X=v2'*v1例2.14在Matlab環(huán)境下生成范德蒙矩陣。解：這里用了Matlab的符號運算功能。鍵入：>>symsx1x2x3x4real %令x1x2x3x4為實數(shù)符號變量>>x=[x1,x2,x3,x4];y=0:3;>>A=x'*ones(1,4)>>B=(ones(4,1)*y>>V=A.^B

%兩個方陣的元素群求冪

程序的運行結果為：Matlab內置的范德蒙矩陣生成函數(shù)vander.m是不能用符號表示的，只能產生數(shù)值矩陣。2.5.3逆矩陣的求解例2.15設試求其逆陣解：當矩陣的階數(shù)較高時，利用Matlab輔助計算就尤顯重要。用Matlab來求矩陣的逆，其方法很多。首先在Matlab環(huán)境下鍵入：>>A=[3,0,3,-6;5,-1,1,-5;-3,1,4,-9;1,-3,4,-4];

方法1,A^-1,方法2,inv(A),方法3,A\eye(4),方法4,U=rref([A,eye(4)]);U(:,5:8)運行結果都為：ans= 0.2323-0.0101-0.1313-0.04040.5354-0.3131-0.0707-0.2525 0.5859-0.4747-0.17170.10100.2424-0.2424-0.15150.0303例2.16

求矩陣的逆。解：矩陣求逆命令inv也可以用符號變量。在Matlab環(huán)境下，鍵入：>>symsabcd,A=[a,b;c,d],V=inv(A)結果為：V=[d/(a*d-b*c),-b/(a*d-b*c)][-c/(a*d-b*c),a/(a*d-b*c)]

§3逆矩陣一、逆矩陣的定義定義1AB=BA=E則稱B

為A

的逆矩陣，并稱A

可逆。設A是一個n階方陣，若存在n階方陣B使顯然A

為B的逆矩陣，即A與B互為逆矩陣。例如：有所以B是A的逆陣，同時A也是B的逆陣。例1

設a11

a22…ann

0,

0000由于：0000所以例2

若方陣A1

A2…Am均可逆，可證0000定理1

(唯一性)若方陣A的逆矩陣存在，則唯一，用A－1

表示證：設B、C均是A的逆矩陣，則B所以A的逆矩陣唯一。=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C矩陣稱為A的伴隨矩陣定義2:設A=(aij)n×n

,Aij

是|A|中元素aij

的代數(shù)余子式(i,j=1,2,…,n);二、矩陣可逆的條件即：AA*=A*A=|A|E定理2方陣A存在逆矩陣|A|且求逆矩陣的第一種方法：方陣

A滿足|A|時，例3

求矩陣的逆矩陣解：故A可逆，又A11＝5，A12＝－2，A21＝－2，A22＝1則所以比較：(1)在數(shù)的乘法中，若ab=0

a=0或b=0在矩陣乘法中，若AB=O

A=O或B=O兩個非零矩陣乘積可能為O。(2)在數(shù)的乘法中，若ac=ad，且a

0

c=d(消去律成立)在矩陣乘法中，若AC=AD，且A

O

C=D(消去律不成立)例4

設A

是可逆陣，證明：(1)若AX=AY

X=Y(2)若AB=0B=0證：A－1

(AX)=A－1

(AY)(A－1A)X=(A－1A)YEX=EYX=Y(1)AX=AY由所以(2)由AB=0，有A－1(AB)=A－10所以B=0(

A－1

A)B=0(1)若A，B均為n階方陣，且AB=E(或BA=E)，則B＝A－1證：|A||B|=|E|=1|A|0A－1存在，且A－1=A－1E=A－1(AB)=(A－1A)B=EB=B設AB=E

同理可證BA=E的情形

三、逆矩陣的性質(2)(A－1)－1=A(3)若A可逆，0為常數(shù)，則(4)若A，B均為n階可逆矩陣，則(AB)－1=B－1A－1。特別：當|A|0，有(Am)－1=(A－1)m(m為正整數(shù))若A1，A2，…，Am均為n階可逆矩陣，則(A1

A2…Am)－1=Am－1…A2－1

A1－1推廣：證明：因為(AB)(B－1A－1)=AEA－1=

E所以(AB)－1=B－1A－1=A(B

B－1)A－1(5)這是因為|A－1||A|=|E|=1四、初等行變換求逆矩陣(方法二)1.初等矩陣都是可逆矩陣，且其矩陣仍然是初等矩陣定理3

若