矩陣運(yùn)算及其應(yīng)用

第二章矩陣運(yùn)算及其應(yīng)用

2.1矩陣的加減乘法2.2矩陣的逆2.3矩陣的分塊2.4初等矩陣2.5應(yīng)用實(shí)例2.6習(xí)題2.1矩陣的加減乘法2.1.1矩陣的加法定義2.1設(shè)有兩個(gè)同型的矩陣，，矩陣A與矩陣B的和記作，規(guī)定為：若，把記作，稱(chēng)為A的負(fù)矩陣。顯然有：由此可定義矩陣的減法為：2.1.2矩陣的數(shù)乘定義2.2數(shù)與矩陣的乘積，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)乘，記作或，規(guī)定為矩陣的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算，矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)律（A、B、C是同型矩陣，、是數(shù)）（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律

（3）（4）

（5）（6）（7）（8）數(shù)乘分配律

2.1.3矩陣的乘法定義2.3設(shè)A是矩陣，B是矩陣，那么矩陣A

和矩陣B的乘積是一個(gè)矩陣C，其中記作

C=AB由定義知，只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)和第二個(gè)矩陣的行數(shù)相等，即它們的內(nèi)階數(shù)相等時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘。乘積矩陣的第元素等于前一個(gè)矩陣的第行各元素與后一個(gè)矩陣的第列相應(yīng)元素乘積之和，即：定義2.4對(duì)于變量，若它們都能由變量線(xiàn)性表示，即有：

（2-1）則稱(chēng)此關(guān)系式為變量到變量的線(xiàn)性變換。

可以寫(xiě)成輸出向量Y等于系數(shù)矩陣A左乘輸入向量X：例2.4式（2-2）給出變量到變量的線(xiàn)性變換；式（2-3）給出變量到變量的線(xiàn)性變換。請(qǐng)寫(xiě)出變量到變量的線(xiàn)性變換。

（2-2）

（2-3）

解：方法一，代換法。將式（2-3）代入式（2-2），得：

（2-4）方法二，矩陣運(yùn)算法。根據(jù)矩陣乘法的定義，可以把式（2-2）和式（2-3）分別寫(xiě)為式（2-5）和式（2-6）的矩陣等式：

（2-5）

（2-6）

把式（2-6）代入式（2-5）中，得：

（2-7）

式（2-7）和式（2-4）等價(jià)。通過(guò)這個(gè)例子，可以看出矩陣乘法在線(xiàn)性變換中的運(yùn)用。

有了矩陣乘法的定義后，可以把一般的線(xiàn)性方程組（1-3）寫(xiě)為矩陣形式：

（2-8）

若用A表示系數(shù)矩陣，X表示未知量構(gòu)成的向量，b表示常數(shù)項(xiàng)所構(gòu)成的向量，則式（2-8）可以化簡(jiǎn)為：

AX=b例2.5已知，，求AB，BA解：根據(jù)矩陣乘法定義，有：由于矩陣有2列，矩陣有3行，所以B不能左乘A。由矩陣乘法定義和前面的例題可以看出：（1）矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律，即在一般情況下（2）不能由，推出或（3）不能由，，推出在一般情況下有：矩陣乘法滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）

（3），為數(shù)（4）（5），，其中為正整數(shù)，必須為方陣。

2.1.4矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.5設(shè)是一個(gè)矩陣，將矩陣中的行換成同序數(shù)的列得到的一個(gè)矩陣，稱(chēng)為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，記作，或。例如，，則矩陣轉(zhuǎn)置滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律（1）（2）（3）（4）

在此只證明（4）證明：設(shè),,記

，，據(jù)矩陣乘法定義及矩陣轉(zhuǎn)置定義知：而的第行就是的第列，為：，的第列就是的第行，為：，因而有即得，亦即。定義2.6如果n階方陣滿(mǎn)足，則稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣。如果n階方陣滿(mǎn)足，則稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣。顯然反對(duì)稱(chēng)陣的主對(duì)角線(xiàn)上元素都是零。

2.2矩陣的逆2.2.1逆矩陣的定義定義2.7設(shè)為n階方陣，若存在n階方陣，使得，其中為n階單位矩陣，則稱(chēng)為可逆矩陣或是可逆的，并稱(chēng)為的逆矩陣。如果的逆矩陣為，記，顯然，則的逆矩陣為，記，我們也稱(chēng)矩陣和矩陣互逆。

例2.7設(shè)

,,,分析矩陣和矩陣、矩陣和矩陣的關(guān)系。解：

所以，矩陣和矩陣互為逆矩陣。矩陣和矩陣也互為逆矩陣。2.2.2逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1如果矩陣可逆，則的逆矩陣唯一性質(zhì)2若和為同階方陣，且滿(mǎn)足則，即矩陣和矩陣互逆。性質(zhì)3若可逆，則也可逆，且性質(zhì)4若可逆，數(shù)，則可逆，且性質(zhì)5若、均為階可逆方陣，則也可逆，且

性質(zhì)6若可逆，則也可逆，且例2.8設(shè)方陣滿(mǎn)足，試證可逆，并求。解：根據(jù)已知條件，可以得到：則有：所以矩陣可逆，且。2.3矩陣的分塊在矩陣運(yùn)算中，特別是針對(duì)高階矩陣，常常采用矩陣分塊的方法將其簡(jiǎn)化為較低階的矩陣運(yùn)算。用若干條縱線(xiàn)和橫線(xiàn)將矩陣分為若干個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱(chēng)為的子塊，以子塊為元素的矩陣，稱(chēng)為分塊矩陣。比如將4×3矩陣分為

,,,它們可分別表示為：

分塊矩陣的運(yùn)算與普通矩陣類(lèi)似，1．加法運(yùn)算設(shè)，都是

矩陣，且將，按完全相同的方法分塊：2．?dāng)?shù)乘運(yùn)算設(shè),有：3．乘法運(yùn)算設(shè)為矩陣，為矩陣，將它們分別分塊成其中的列數(shù)分別等于的行數(shù)，即可以左乘。則有：其中

4．轉(zhuǎn)置運(yùn)算設(shè)有：注意分塊矩陣的轉(zhuǎn)置，不僅要把每個(gè)子塊內(nèi)的元素位置轉(zhuǎn)置，而且要要把子塊本身的位置轉(zhuǎn)置。

5．分塊對(duì)角矩陣如果將方陣分塊后，有以下形式：其中主對(duì)角線(xiàn)上的子塊均是方陣，而其余子塊全是零矩陣，則稱(chēng)為分塊對(duì)角矩陣，記為。設(shè)有兩個(gè)同型且分塊方法相同的對(duì)角矩陣則有

對(duì)于上面的分塊矩陣，若對(duì)角線(xiàn)上的所有子塊都可逆，則有：例2.9利用分塊矩陣的概念，把下列線(xiàn)性方程組寫(xiě)成向量等式。解：線(xiàn)性方程組的矩陣表示為：把系數(shù)矩陣按列分成4塊：與常數(shù)矩陣分別用向量和向量來(lái)表示，則有：

進(jìn)而得到向量等式：

2.4初等矩陣

定義2.8單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換所得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣或初等方陣。前面介紹了三種初等變換，每一種初等變換，都有一個(gè)相對(duì)應(yīng)的初等矩陣（1）交換單位矩陣的,兩行（或,兩列），得到的初等矩陣記為，即：

（2-12）

（2）用一個(gè)非零數(shù)乘單位矩陣的第行（或第列），得到的初等矩陣記為，即：

（2-13）

（3）將單位矩陣第行的倍加到第行上（或?qū)挝痪仃嚨诹械谋都拥降诹猩希┑玫降某醯染仃囉洖?，即?/p>

（2-14）

例2.10

設(shè)求：E1*A，E2*A，E3*A。解：定理2.1設(shè)是一個(gè)矩陣，對(duì)施行一次初等行變換，其結(jié)果等于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，其結(jié)果等于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣。定理2.2設(shè)為階方陣，那么下面各命題等價(jià)：（1）是可逆矩陣；（2）線(xiàn)性方程組只有零解；（3）可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為單位矩陣；（4）可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積。例2.11設(shè)判斷、是否可逆，如果可逆，請(qǐng)求之。解：

則矩陣可逆，且其逆為：

顯然矩陣通過(guò)初等行變換不能化為單位矩陣，則矩陣不可逆。是降秩的。它通過(guò)初等行變換，可以化出一個(gè)零行，則其秩為2。故當(dāng)A不可逆時(shí)，(2-15)式應(yīng)改為：其中是秩為r的n×n方陣，r<n。即它有r個(gè)非零行和n-r個(gè)零行。2.5應(yīng)用實(shí)例

2.5.1成本核算問(wèn)題例2.12某廠(chǎng)生產(chǎn)三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本及每季度生產(chǎn)件數(shù)如表2.6及表2.7所示。試提供該廠(chǎng)每季度的總成本分類(lèi)表。表2.6每件產(chǎn)品分類(lèi)成本成本(元)產(chǎn)品A產(chǎn)品B產(chǎn)品C原材料0.100.300.15勞動(dòng)0.300.400.25企業(yè)管理費(fèi)0.100.200.15表2.7每季度產(chǎn)品分類(lèi)件數(shù)解：用矩陣來(lái)描述此問(wèn)題，設(shè)產(chǎn)品分類(lèi)成本矩陣為，季度產(chǎn)量矩陣為,則有：產(chǎn)品夏秋冬春A4000450045004000B2000280024002200C5800620060006000令，則的第一行第一列元素為：

(1,1)=0.1×4000+0.3×2000+0.15×5800=1870不難看出，它表示了夏季消耗的原材料總成本。在Matlab環(huán)境下，鍵入：>>M=[0.1,0.3,0.15;0.3,0.4,0.25;0.1,0.2,0.15];>>P=[4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800,6200,6000,6000];>>Q=M*P

Q=187022202070196034504020381035801670194018301740為了進(jìn)一步計(jì)算矩陣Q的每一行和每一列的和，可以繼續(xù)鍵入：>>Q*ones(4,1)ans=8120 14860 7180>>ones(1,3)*Qans=6990818077107280并可以繼續(xù)算出全年的總成本：>>ans*ones(4,1)ans=30160

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可以完成每季度總成本分類(lèi)表，如表2.8所示。表2.8每季度總成本分類(lèi)表成本（元）夏秋冬春全年原材料18702220207019608120勞動(dòng)345040203810358014860企業(yè)管理費(fèi)16701940183017407180總成本（元）6990818077107280301602.5.2特殊矩陣的生成例2.13在Matlab環(huán)境下生成矩陣X：矩陣X有相同的10行，每一行都是公差為1的等差數(shù)列。解：令則，就實(shí)現(xiàn)了矩陣賦值。鍵入MATLAB語(yǔ)句：>>v1=-10:10;v2=ones(1,10)>>X=v2'*v1例2.14在Matlab環(huán)境下生成范德蒙矩陣。解：這里用了Matlab的符號(hào)運(yùn)算功能。鍵入：>>symsx1x2x3x4real %令x1x2x3x4為實(shí)數(shù)符號(hào)變量>>x=[x1,x2,x3,x4];y=0:3;>>A=x'*ones(1,4)>>B=(ones(4,1)*y>>V=A.^B

%兩個(gè)方陣的元素群求冪

程序的運(yùn)行結(jié)果為：Matlab內(nèi)置的范德蒙矩陣生成函數(shù)vander.m是不能用符號(hào)表示的，只能產(chǎn)生數(shù)值矩陣。2.5.3逆矩陣的求解例2.15設(shè)試求其逆陣解：當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時(shí)，利用Matlab輔助計(jì)算就尤顯重要。用Matlab來(lái)求矩陣的逆，其方法很多。首先在Matlab環(huán)境下鍵入：>>A=[3,0,3,-6;5,-1,1,-5;-3,1,4,-9;1,-3,4,-4];

方法1,A^-1,方法2,inv(A),方法3,A\eye(4),方法4,U=rref([A,eye(4)]);U(:,5:8)運(yùn)行結(jié)果都為：ans= 0.2323-0.0101-0.1313-0.04040.5354-0.3131-0.0707-0.2525 0.5859-0.4747-0.17170.10100.2424-0.2424-0.15150.0303例2.16

求矩陣的逆。解：矩陣求逆命令inv也可以用符號(hào)變量。在Matlab環(huán)境下，鍵入：>>symsabcd,A=[a,b;c,d],V=inv(A)結(jié)果為：V=[d/(a*d-b*c),-b/(a*d-b*c)][-c/(a*d-b*c),a/(a*d-b*c)]

§3逆矩陣一、逆矩陣的定義定義1AB=BA=E則稱(chēng)B

為A

的逆矩陣，并稱(chēng)A

可逆。設(shè)A是一個(gè)n階方陣，若存在n階方陣B使顯然A

為B的逆矩陣，即A與B互為逆矩陣。例如：有所以B是A的逆陣，同時(shí)A也是B的逆陣。例1

設(shè)a11

a22…ann

0,

0000由于：0000所以例2

若方陣A1

A2…Am均可逆，可證0000定理1

(唯一性)若方陣A的逆矩陣存在，則唯一，用A－1

表示證：設(shè)B、C均是A的逆矩陣，則B所以A的逆矩陣唯一。=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C矩陣稱(chēng)為A的伴隨矩陣定義2:設(shè)A=(aij)n×n

,Aij

是|A|中元素aij

的代數(shù)余子式(i,j=1,2,…,n);二、矩陣可逆的條件即：AA*=A*A=|A|E定理2方陣A存在逆矩陣|A|且求逆矩陣的第一種方法：方陣

A滿(mǎn)足|A|時(shí)，例3

求矩陣的逆矩陣解：故A可逆，又A11＝5，A12＝－2，A21＝－2，A22＝1則所以比較：(1)在數(shù)的乘法中，若ab=0

a=0或b=0在矩陣乘法中，若AB=O

A=O或B=O兩個(gè)非零矩陣乘積可能為O。(2)在數(shù)的乘法中，若ac=ad，且a

0

c=d(消去律成立)在矩陣乘法中，若AC=AD，且A

O

C=D(消去律不成立)例4

設(shè)A

是可逆陣，證明：(1)若AX=AY

X=Y(2)若AB=0B=0證：A－1

(AX)=A－1

(AY)(A－1A)X=(A－1A)YEX=EYX=Y(1)AX=AY由所以(2)由AB=0，有A－1(AB)=A－10所以B=0(

A－1

A)B=0(1)若A，B均為n階方陣，且AB=E(或BA=E)，則B＝A－1證：|A||B|=|E|=1|A|0A－1存在，且A－1=A－1E=A－1(AB)=(A－1A)B=EB=B設(shè)AB=E

同理可證BA=E的情形

三、逆矩陣的性質(zhì)(2)(A－1)－1=A(3)若A可逆，0為常數(shù)，則(4)若A，B均為n階可逆矩陣，則(AB)－1=B－1A－1。特別：當(dāng)|A|0，有(Am)－1=(A－1)m(m為正整數(shù))若A1，A2，…，Am均為n階可逆矩陣，則(A1

A2…Am)－1=Am－1…A2－1

A1－1推廣：證明：因?yàn)?AB)(B－1A－1)=AEA－1=

E所以(AB)－1=B－1A－1=A(B

B－1)A－1(5)這是因?yàn)閨A－1||A|=|E|=1四、初等行變換求逆矩陣(方法二)1.初等矩陣都是可逆矩陣，且其矩陣仍然是初等矩陣定理3

若