偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

邊際與偏彈性

最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用第六節(jié)偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用一、邊際與偏彈性在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們引入了邊際與彈性的概念，這些概念可以推廣到多元函數(shù)微分學(xué)中．表示

z=

f(x,y)在點(diǎn)對(duì)x的邊際.其含義為:在點(diǎn)處,當(dāng)y保持不變,而x改變一個(gè)單位時(shí),z=

f(x,y)近似改變個(gè)單位.表示

z=

f(x,y)在點(diǎn)對(duì)y的邊際.1.邊際其含義為:在點(diǎn)處,當(dāng)x保持不變,而y改變一個(gè)單位時(shí),z=

f(x,y)近似改變個(gè)單位.z=

f(x,y)對(duì)x的邊際函數(shù)z=

f(x,y)對(duì)y的邊際函數(shù)本節(jié)以生產(chǎn)函數(shù)為例來(lái)說(shuō)明邊際與偏彈性的概念.生產(chǎn)函數(shù)指的是一定的投入品組合與之所能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量Ｑ之間的關(guān)系．設(shè)投入品：勞動(dòng)Ｌ和資本Ｋ，則生產(chǎn)函數(shù)可以用二元函數(shù)表示為一種投入的邊際(物質(zhì))產(chǎn)量(marginalphysicalproduct)是在其它投入固定不變時(shí)，多使用一單位這種投入的額外產(chǎn)量.用數(shù)學(xué)公式表示，有資本的邊際產(chǎn)量投入要素的邊際產(chǎn)量勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量例如,消費(fèi)者行為:效用與邊際效用效用函數(shù)其中u為效用量,qx為對(duì)物品x的消費(fèi)量,qy為對(duì)物品y的消費(fèi)量.表示每增加一個(gè)單位商品qx的消費(fèi)所得到的總效用的增加量.表示每增加一個(gè)單位商品qy的消費(fèi)所得到的總效用的增加量.邊際效用是遞減的,隨著一個(gè)人所消費(fèi)的某種商品的數(shù)量增加,其總效用雖然遞增,但該物品的標(biāo)邊際效用卻是遞減的趨勢(shì).2.彈性考慮函數(shù)的相對(duì)偏增量與自變量的相對(duì)增量之比:當(dāng)時(shí),稱(chēng)為z=

f(x,y)在點(diǎn)處對(duì)x的彈性函數(shù).記為.即同樣,z=

f(x,y)在點(diǎn)處對(duì)x的彈性函數(shù):其含義為:在點(diǎn)處,當(dāng)y保持不變,而x改變1%時(shí),z=

f(x,y)近似改變.其含義為:在點(diǎn)處,當(dāng)x保持不變,而y改變1%時(shí),z=

f(x,y)近似改變.產(chǎn)出關(guān)于投入要素的偏彈性產(chǎn)出關(guān)于投入要素的偏彈性是產(chǎn)出關(guān)于某個(gè)投入要素的相對(duì)變化率.產(chǎn)出關(guān)于資本的偏彈性設(shè)生產(chǎn)函數(shù)可偏導(dǎo)且產(chǎn)出關(guān)于勞動(dòng)的偏彈性設(shè)生產(chǎn)函數(shù)求勞動(dòng)投入的邊際產(chǎn)量；求產(chǎn)出關(guān)于勞動(dòng)投入的偏彈性；證明：若，勞動(dòng)投入的邊際產(chǎn)量單調(diào)減少.（注：這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為柯布－道格拉斯(Cobb-Douglas)函數(shù)）解(1)勞動(dòng)投入的邊際產(chǎn)量為(2)在生產(chǎn)函數(shù)兩端取自然對(duì)數(shù)，得例于是，勞動(dòng)投入的邊際產(chǎn)量單調(diào)減少.則產(chǎn)出關(guān)于勞動(dòng)投入的偏彈性為(3)由得設(shè)生產(chǎn)函數(shù)其中Q是產(chǎn)出量,Ｌ是勞動(dòng)Q=1時(shí),Ｋ關(guān)于L的彈性.投入量,Ｋ是投入量,而均為大于零的常數(shù),求當(dāng)例我們以利潤(rùn)最大與約束成本最小為例來(lái)說(shuō)明多元函數(shù)的無(wú)條件極值和條件極值在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.１.利潤(rùn)最大為投入要素，產(chǎn)量和投入要素的價(jià)格分別為

,則利潤(rùn)函數(shù)為的值,使利潤(rùn)函數(shù)取最大值.若廠商的目標(biāo)是利潤(rùn)最大化,則廠商應(yīng)選擇投入要素二、最值在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用則這是一個(gè)無(wú)約束的極值問(wèn)題，利潤(rùn)最大化的條件是：上式可寫(xiě)為其中,表示投入要素的邊際產(chǎn)量.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，產(chǎn)出的價(jià)格p與第i種投入要素的邊際產(chǎn)量的乘積稱(chēng)為第i種投入要素的邊際產(chǎn)品價(jià)值,記為.于是，利潤(rùn)最大化的必要條件也可表示為上式的經(jīng)濟(jì)意義是:

當(dāng)利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí),每一投入要素的邊際產(chǎn)品價(jià)值等于該投入要素的價(jià)格.上式的經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí),兩種投入要素的邊際產(chǎn)出之比等于投入要素的價(jià)格之比.利潤(rùn)極大化的二階充分條件為由于二階充分條件可簡(jiǎn)化為解利潤(rùn)函數(shù)為其中產(chǎn)品價(jià)格為p=2，勞動(dòng)投入的價(jià)格為w=4,資本投入的價(jià)格為r=3,在勞動(dòng)與資本投入嚴(yán)格大于零的條件下,求使利潤(rùn)取得最大時(shí)的投入水平和最大利潤(rùn)．設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為其定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)域由利潤(rùn)最大化的一階必要條件，有例故駐點(diǎn)(8,16)是利潤(rùn)函數(shù)的極大值點(diǎn).由問(wèn)題的實(shí)際意義知(8,16)也是利潤(rùn)函數(shù)的最大值點(diǎn).從而當(dāng)勞動(dòng)投入為8、資本投入為16時(shí)利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為2.約束成本最小若廠商的目標(biāo)是在產(chǎn)量為y0(y0為常數(shù))時(shí)使成本最小化,則廠商應(yīng)在產(chǎn)量約束的條件下，選擇投入要素x1與x2的值,使成本函數(shù)取最小值.設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為其中y為產(chǎn)量，為投入要素，投入要素的價(jià)格為，則成本函數(shù)為這是一個(gè)條件極值問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型為構(gòu)造拉格朗日函數(shù)約束成本最小化的一階必要條件是在上述方程組中消去λ可得即設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為上式的經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)約束成本達(dá)到最小時(shí),兩種投入要素的邊際產(chǎn)量之比等于投入要素的價(jià)格之比.設(shè)兩種投入要素的價(jià)格為,求當(dāng)產(chǎn)量為12時(shí)生產(chǎn)成本取得最小的投入水平.化簡(jiǎn)，可得等價(jià)問(wèn)題解例建立方程組由(1),(2)得構(gòu)造拉格朗日函數(shù)時(shí)，生產(chǎn)12個(gè)單位產(chǎn)量的成本取得最小值．由問(wèn)題的實(shí)際意義知，當(dāng)兩種投入要素分別為

某商品的生產(chǎn)函數(shù)為其中Q為產(chǎn)品產(chǎn)量,L為勞動(dòng)投入,K為資本投入;又知資本投入價(jià)格為4,勞動(dòng)力投入價(jià)格為3,產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)格為p=2.求:

(1).該產(chǎn)品利潤(rùn)最大時(shí)的投入和產(chǎn)出水平以及最大利潤(rùn);

(2).若投入總額限定在60個(gè)單位范圍內(nèi),求此時(shí)取最大利潤(rùn)時(shí)的投入及最大利潤(rùn).例解由題意知：成本函數(shù)為C(K,L)=4K+3L，收益函數(shù)為R(K,L)=Qp=2Q，則(1).此問(wèn)題屬于無(wú)條件極值.則最大利潤(rùn)為G(K,L)=R(K,L)?C(K,L)=利潤(rùn)函數(shù)為(2).此問(wèn)題屬于條件極值.其約束條件為C(K,L)=4K+3L=60則可令函數(shù)F(x,y,λ)=G(K,L)+

λ(4K+3L?60)則由方程組其中p1和p2分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格(單位：萬(wàn)元/噸)，q1和q2分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的銷(xiāo)售量(即需求量，單位：噸)，并且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)相互分割的市場(chǎng)上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場(chǎng)的需求函數(shù)分別是練習(xí)其中q表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的銷(xiāo)售總量，即如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格差別策略，假設(shè)每個(gè)市場(chǎng)的銷(xiāo)售(2)如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格無(wú)差別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的統(tǒng)一銷(xiāo)售價(jià)格，使該企業(yè)的利潤(rùn)最大化，并比較兩種價(jià)格策略下的總利潤(rùn)大?。?1)根據(jù)題意,總利潤(rùn)函數(shù)為價(jià)格都嚴(yán)格大于零，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格，使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)．在企業(yè)獲得最大利潤(rùn)時(shí)，比較兩個(gè)市場(chǎng)的需求價(jià)格彈性；則p1=10(萬(wàn)元/噸),p2=7(萬(wàn)元/噸).因?yàn)轳v點(diǎn)(4,5)唯一,且實(shí)際問(wèn)題一定存在最大值,故最大值必在駐點(diǎn)處達(dá)到,最大利潤(rùn)