三重積分及其計(jì)算

將二重積分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域,被積函數(shù)推廣到三元函數(shù),就得到三重積分的定義.§9.3三重積分及其計(jì)算

一、三重積分的概念三重積分的物理背景以(x,y,z)為體密度函數(shù)的空間物體的質(zhì)量.首先,將閉區(qū)域任意分成n個(gè)小閉區(qū)域v1,v2,,vn,其中vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域,也表示它的體積,在每個(gè)vi上任取一點(diǎn)(i,i,i),作乘積(i,i,i)vi(i=1,2,,n),并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時(shí),該和式的極限存在,則稱此極限為空間物體的質(zhì)量m,即當(dāng)然,在三維空間定義的函數(shù)u=f(x,y,z)的“幾何”意義是四維空間的“曲面”,我們可以想象,但無(wú)論如何也無(wú)法畫(huà)出其“圖形”,因此我們不再討論其幾何意義.

下面我們給出三重積分的定義:

定義:

設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù),將閉區(qū)域任意分成n個(gè)小閉區(qū)域v1,v2,,vn,其中vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域,也表示它的體積,在每個(gè)vi上任取一點(diǎn)(i,i,i),作乘積f(i,i,i)vi(i=1,2,,n),并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時(shí),該和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域上的三重積分,并記為即其中dv

稱為體積元素,其它術(shù)語(yǔ)與二重積分相同.同樣有:閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定可積.在直角坐標(biāo)系中,如果我們用三族(平行于坐標(biāo)的)平面x=常數(shù),y=常數(shù),z=常數(shù),對(duì)空間區(qū)域進(jìn)行分割那末每個(gè)規(guī)則小區(qū)域都是長(zhǎng)方體.其體積元素為:dv

=dxdydz.三重積分可寫(xiě)成:由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì),不再敘述.二、三重積分在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算法與二重積分類似,三重積分可化成三次積行計(jì)算.具體可分為先單后重和先重后單兩種類型.(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)①先單后重:設(shè)閉區(qū)域在xoy面的投影為閉區(qū)域dxy

.

在閉區(qū)域dxy內(nèi)任取一點(diǎn)(x,y),作垂直于xoy面的直線穿過(guò)閉區(qū)域.穿入時(shí)的下邊界曲面方程:z=z1(x,y)穿出時(shí)的上邊界曲面方程:z=z2(x,y)先將x,y看作定值,f(x,y,z)看作z的函數(shù),則積分為閉區(qū)域dxy上的函數(shù),可以理解為壓縮在平面薄片dxy

上的密度函數(shù).——也稱為先一后二，（先z次y后x

）注意用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分。化三次積分的步驟⑴投影，得平面區(qū)域⑵穿越法定限，穿入點(diǎn)—下限，穿出點(diǎn)—上限對(duì)于二重積分，我們已經(jīng)介紹過(guò)化為累次積分的方法oxyzdxy例1:將三重積分化成三次積分,其中為長(zhǎng)方體,各邊界面平行于坐標(biāo)面.

解:將

投影到xoy面得dxy

,它是一個(gè)矩形:cyd,axb,在dxy內(nèi)任取一點(diǎn)(x,y)作平行于z

軸的直線,交邊界曲面于兩點(diǎn),其豎坐標(biāo)為l和m(l

<m).abcd(x,y)ml例2:計(jì)算平面x+y+z=1所圍成的區(qū)域.dxyxyzo其中是三個(gè)坐標(biāo)面與

解:畫(huà)出在xoy面上的投影區(qū)域dxy:0

y1–x,0

x1,平行于z軸直線穿過(guò)的下曲面為z=0,上曲面為z=1–x–y,有0

z1–x–y.x+y+z=1x+y=1zxy除了上面介紹的先單后重法(切條法)外,利用先重后單法或稱截面法也可將三重積分化成三次積分.

先重后單,就是先求關(guān)于某兩個(gè)變量的二重積分再求關(guān)于另一個(gè)變量的定積分.②先重后單:d(z)xyzoc1c2設(shè)積分區(qū)域介于兩平行平面z=c1,z=c2(c1<c2)之間,用任一平行且介于此兩平面的平面去截,

得區(qū)域d(z),c1zc2.則易見(jiàn),若二重積分容易計(jì)算時(shí),特別是被積函數(shù)f(x,y,z)與x,y無(wú)關(guān)時(shí),則二重積分的結(jié)果就是d(z)的面積,因此,用截面法較為方便.

即得三重積分值.(4)最后計(jì)算單積分(3)計(jì)算二重積分的函數(shù)f(z);其結(jié)果為z截面法的一般步驟:(1)把積分區(qū)域向某軸(例如z軸)投影,得投影區(qū)間[c1,c2];(2)對(duì)z[c1,c2]用過(guò)z軸且平行xoy面的平面去截,得截面d(z);例5:計(jì)算解:易見(jiàn)介于z=–c和z=c

之間,而zyxo或故例6:計(jì)算解一:先重后單.介于z=0

和z=1之間,d(z):x2+y2

z.解二:先單后重.將投影到xoy面得投影區(qū)域:dxy:x2+y2

1.平行于z軸的直線穿過(guò)的下曲面為z=x2+y2,上曲面為z=1,因此有

x2+y2

z1.(用極坐標(biāo),用對(duì)稱性)所以,所以,此例介紹的是一種計(jì)算三重積分的方法,這種方法也具有一定的普遍性,這就是我們將要介紹的柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法.三、在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法設(shè)m(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),并設(shè)點(diǎn)m在xoy面上的投影p的極坐標(biāo)為r,,則這樣的三個(gè)數(shù)r,,z

就叫點(diǎn)m的柱面坐標(biāo).規(guī)定:0r<+,02,–<z<+.直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的變換公式:三重積分在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的計(jì)算zx0yzmrsz

r=常數(shù)圓柱面

z=常數(shù)垂直z軸的平面動(dòng)點(diǎn)m(r,,

z)柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面zx0yzmrsp

r=常數(shù)圓柱面

z=常數(shù)垂直z軸的平面動(dòng)點(diǎn)m(r,,

z)柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面

=常數(shù)過(guò)z軸的半平面xz

y0drrrddz平面z柱面坐標(biāo)下的體積元素元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成:半平面及+d;

半徑為r及r+dr的圓柱面;

平面z及z+dz;xz

y0drrrddz底面積:rdrddz平面z+dz.柱面坐標(biāo)下的體積元素元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成:半平面及+d;

半徑為r及r+dr的圓柱面;

平面z及z+dz;xz

y0drrrddz底面積:rdrddz.dv柱面坐標(biāo)下的體積元素元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成:半平面及+d;

半徑為r及r+dr的圓柱面;

平面z及z+dz;所以:dv

=rdrddz.所以然后再把它化為三次積分來(lái)計(jì)算.

積分次序一般是先z次r后.

積分限是根據(jù)z,r,在積分區(qū)域中的變化范圍來(lái)確定.解:積分區(qū)域?yàn)橐粓A錐面與平面z=1圍成.

將積分區(qū)域投影到xoy面得dxy:x2+y2

1.例1:計(jì)算三重積分:圓錐面柱面坐標(biāo)方程為z=r.則積分限為:02,0r1,r

z1.注:若空間區(qū)域?yàn)橐宰鴺?biāo)軸為軸的圓柱體,圓錐體或旋轉(zhuǎn)體時(shí),通?？偸强紤]使用柱坐標(biāo)來(lái)計(jì)算.所以例2:計(jì)算三重積分面z=1,z=2和圓錐面圍成的區(qū)域.其中是由平解:確定變量z,r,的變化范圍.

r,的范圍容易定出:02,0r2.z

呢?當(dāng)0r1時(shí),1

z2;當(dāng)1r2時(shí),r

z2.作圖!由圖可以看出:所以,四、在球坐標(biāo)系下的計(jì)算法設(shè)m(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),則點(diǎn)m可用三個(gè)有次序的數(shù)r,

,來(lái)確定,其中

r

為原點(diǎn)o與點(diǎn)m間的距離,為有向線段om與

z

軸正向的夾角,為從

z

軸正向來(lái)看自

x

軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段op

的夾角,這里p

為點(diǎn)m在

xoy

面上的投影,這樣的三個(gè)數(shù)

r,

,就叫做點(diǎn)m的球面坐標(biāo).x=oay=obz=ocom=r.=omsin

cos=omsinsin

=omcos=opcos=opsin所以規(guī)定:0r<+,0,02.srmyz

x0

r為常數(shù)為常數(shù)球面圓錐面球面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面:動(dòng)點(diǎn)m(r,,)ccsmyz

x0p

r為常數(shù)為常數(shù)為常數(shù)球面圓錐面半平面球面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面:動(dòng)點(diǎn)m(r,,)rdrdrsinxz

y0圓錐面rd球面r圓錐面+d球面r+dr

元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成:rsind半平面及+d;

半徑為r及r+dr的球面;圓錐面及+d.球面坐標(biāo)下的體積元素drdrdxz

y0

drd.dv=

r2sindrdddv元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成:半平面及+d;

半徑為r及r+dr的球面;圓錐面及+d.球面坐標(biāo)下的體積元素rsind然后把它化成對(duì)r,

,

的三次積分,具體計(jì)算時(shí)需要將用球坐標(biāo)系下的不等式組表示,積分次序通常是先r次后.例3:

計(jì)算其中是錐面x2+y2=z2與平面z=a(a>0)所圍的立體.解一:用球坐標(biāo).平面z=ax2+y2=z2解二:用柱坐標(biāo).x2+y2=z2z=r,所以,:rza,0ra,02.例4:求曲面x2+y2+z22a2與立體體積.所圍成的解:

由錐面和球面圍成.采用球面坐標(biāo).由x2+y2+z2=2a2r=由三重積分的性質(zhì)知:所求立體的體積v為:注:若積分區(qū)域?yàn)榍蝮w,球殼或其一部分被積函數(shù)呈x2+y2+z2的形式,而用球坐標(biāo)后積分區(qū)域的球坐標(biāo)方程比較簡(jiǎn)單,通常采用球坐標(biāo)補(bǔ)充:利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化三重積分計(jì)算使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意:1.積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性;2.被積函數(shù)在積分區(qū)域上關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性.一般地,當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于xoy平面對(duì)稱,且被積函數(shù)f(x,y,z)是關(guān)于z的奇函數(shù),即f(x,y,–z)=–f(x,y,z),則三重積分為零;若被積函數(shù)f(x,y,z)是關(guān)于