捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的解算方法

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)原理3 捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)

程向紅

2010.03.19精選ppt2010-03-1923 捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)

3.1

捷聯(lián)式慣導(dǎo)算法概述

3.2

姿態(tài)矩陣的計(jì)算

3.3

姿態(tài)矩陣計(jì)算機(jī)執(zhí)行算法精選ppt2010-03-1933.1

捷聯(lián)式慣導(dǎo)算法概述捷

聯(lián)

式

慣

導(dǎo)

算

法

bibf

bibP,

R,

H,

L,VE

,VN捷聯(lián)式慣導(dǎo)航系統(tǒng)是一個信息處理系統(tǒng)，就是將載體上安裝的慣性儀表所測量的載體運(yùn)動信息，經(jīng)過計(jì)算處理成所需要的導(dǎo)航信息。b姿態(tài)矩

陣

計(jì)算

加速度計(jì)組

導(dǎo)

航

計(jì)算機(jī)

VE初始條件

bSFVNnCbnSFbintHPR陀

螺儀組

ib精選ppt捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)=信息處理系統(tǒng)根據(jù)捷聯(lián)式慣導(dǎo)的應(yīng)用和功能要求不同，計(jì)算的內(nèi)容和要求，有很大的差別。常有SINS——Strapdown

Inertial

Navigation

SystemsSVRU——Strapdown

Vertical

Reference

UintSAHRS——Strapdown

Attitude

and

HeadingReference

SystemsIMU——Inertial

measurement

Unit捷

聯(lián)

式

慣

導(dǎo)

算

法bibfibbP,

R,

HE N,

L,V

,V2010-03-194精選ppt接聯(lián)式慣導(dǎo)的算法的基本內(nèi)容

（1）系統(tǒng)的啟動和自檢測

（2）系統(tǒng)初始化

（3）慣性儀表的誤差補(bǔ)償

（4）姿態(tài)矩陣的計(jì)算

（5）導(dǎo)航計(jì)算

（6）制導(dǎo)和控制信息的提取2010-03-195精選ppt（1）系統(tǒng)的啟動和自檢測系統(tǒng)啟動后，各個部分的工作是否正常，要通過自檢測程序加以檢測，其中包括電源、慣性儀表、計(jì)算機(jī)以及計(jì)算機(jī)軟件。通過自檢測，發(fā)現(xiàn)有不正常，則發(fā)出告警信息(或故障碼)。系統(tǒng)的自檢測是保證系統(tǒng)進(jìn)入導(dǎo)航狀態(tài)后能正常工作、提高系統(tǒng)可靠性的措施。2010-03-196精選ppt（2）系統(tǒng)初始化為何要初始化？給定載體（艦船、飛行器、車輛等）的初始位置（經(jīng)度和緯度）和初始速度等初始信息。導(dǎo)航平臺的初始對準(zhǔn)慣性儀表的校準(zhǔn)Calibration平臺式姿態(tài)矩陣的初始值用物理的方法來實(shí)現(xiàn)標(biāo)度系數(shù)加速度計(jì)捷聯(lián)式陀螺儀進(jìn)行測定漂移偏置2010-03-197精選ppt（3）慣性儀表的誤差補(bǔ)償對捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)來說，由于慣性儀表直接安裝在載體上，因此，載體的線運(yùn)動和角運(yùn)動都引起較大的誤差。為了保證系統(tǒng)的精度，必須對慣性儀表的誤差進(jìn)行補(bǔ)償，最好的補(bǔ)償方法是計(jì)算機(jī)補(bǔ)償。在計(jì)算機(jī)中通過專用的軟件來實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償。2010-03-198精選ppt（4）姿態(tài)矩陣的計(jì)算姿態(tài)矩陣的計(jì)算是捷聯(lián)式慣導(dǎo)算法中最重要的一部分，也是捷聯(lián)式系統(tǒng)所特有的。不管捷聯(lián)式慣導(dǎo)應(yīng)用和功能要求如何，姿態(tài)矩陣的計(jì)算卻是不可少的。姿態(tài)矩陣算法是本章重點(diǎn)討論的內(nèi)容。2010-03-199精選ppt（5）導(dǎo)航計(jì)算導(dǎo)航計(jì)算就是把加速度計(jì)的輸出信息變換到導(dǎo)航坐標(biāo)系，然后，計(jì)算載體速度、位置等導(dǎo)航信息。2010-03-1910精選ppt（6）制導(dǎo)和控制信息的提取制導(dǎo)和控制信息的提取，載體的姿態(tài)既可用來顯示也是控制系統(tǒng)最基本的控制信息。此外，載體的角速度和線速度信息也都是控制載體所需要的信息。這些信息可以從姿態(tài)矩陣的元素和陀螺加速度計(jì)的輸出中提取出來。2010-03-1911精選ppt捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)算法流程圖啟動

自

檢

測

初

始

化

姿態(tài)陣計(jì)算

迭

代

次

數(shù)

控

制

信

息

提

取

返回92010-03-1912YES導(dǎo)

航

計(jì)算

NO精選ppt2010-03-19133.2

姿態(tài)矩陣的計(jì)算捷聯(lián)式慣導(dǎo)中，載體地理位置就是地理坐標(biāo)系相對地球坐標(biāo)系的方位。而載體的姿態(tài)和航向則是載體坐標(biāo)系相對于地理坐標(biāo)系的方位關(guān)系。確定兩個坐標(biāo)系的方位關(guān)系問題，是力學(xué)中的剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)到理論。在剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動理論中，描述動坐標(biāo)系相對參考坐標(biāo)系方位關(guān)系的方法有多種。四參數(shù)法

1843年發(fā)明的，首先在數(shù)學(xué)中引入四元數(shù)，以后用在剛體定位問題。凱里.克萊茵（Cayley-Klein）參數(shù)法，是在1897年提出的。九參數(shù)法 基于方向余弦的概念，也稱

方向余弦法。三參數(shù)法歐拉角法

，是歐拉在1776年提出的。四元數(shù)法。威廉.哈密頓(William

Hamilton)在等效轉(zhuǎn)動矢量法精選ppt3.2

姿態(tài)矩陣的計(jì)算

3.2.1

歐拉角法

3.2.2

方向余弦法

3.2.3

四元數(shù)法

3.2.4

等效轉(zhuǎn)動矢量法2010-03-1914精選ppt3.2.1

歐拉角法XbENU作為參考坐標(biāo)系，則航向角H，縱搖角（俯仰角）P和橫搖角（橫滾角、傾斜角）R。就是一組歐拉角。歐拉角沒有嚴(yán)格的定義，根據(jù)需要，可以選用不同的歐拉角組。第一次轉(zhuǎn)動，可以繞三個軸中的任一個轉(zhuǎn)動，故有3種可能，第二次有2種可能，第三次也有2種可能?？偣灿?2種可能。E'XbOUNH.'Zb'Yb''Xb''

YYb''ZbbZbP.R.HPR一個動坐標(biāo)系相對參考坐標(biāo)系的方位，完全可以由動坐標(biāo)系依次繞3個不同的軸轉(zhuǎn)動的3個轉(zhuǎn)角來確定。如把OXbYbZb作為動坐標(biāo)系，2010-03-1915精選ppt2010-03-19 16用歐拉角表示的姿態(tài)矩陣0 0 1U

0N

0

E

Y

'

sin

H

cos

H

b

Xb

sin

Hcos

HZ－

v-

___CH'b'0

sin

P

cos

P

Z

'

0 0cos

P

sin

P

Yb

'

b

X

'

v-

___

0''

1

Z

''

b

X

''

YbbCPb－cos

R

Z

''

Yb

''

b

0

sin

R

X

''

0 1

v-

___sin

R

0

Yb

cos

R

b

Z

X0bCRb－cos

P

cos

R

cos

P

sin

Rsin

R

cos

H

sin

P

cos

R

sin

H

cos

R

cos

H

sin

P

sin

R

sin

Hcos

R

sin

H

sin

P

sin

R

cos

Hcos

P

cos

Hsin

R

sin

H

sin

P

cos

R

cos

Hcos

P

sin

Hsin

PbnCEX

'bOU

ZbbNH.'Y

'XbX

''bY

''

YbbZ

''bbZP.R.HPRHPR精選ppt歐拉角微分方程——表示載體坐標(biāo)系相對地理坐標(biāo)系的角速度矢量在載體坐標(biāo)系軸向的分量構(gòu)成的列矩陣。E'XbOU

ZbbNH.'Y

'XbX

''bY

''

YbbZ

''bbZP.R.HPRbnb

0

0

R.

0

0

P.

R

0

CH.

0

R P

C

Cnby

nbz

b

bbnbxHPR2010-03-1917精選ppt——?dú)W拉角微分方程cos

P

cos

R

H.

R.

0

sin

R

cos

P

P.

0 10sin

Rnby

nbz

cos

Rnbx

b

bsin

Pbnby

nbz

bcos

P

cos

R

sin

R

R.

cos

R0

sin

R

cos

P0 1 sin

P0H.

P.

1bbnbxcos

R

sin

Pnby

nbz

bsin

R

cos

P

b

R.

cos

P

sin

P

sin

R

1 cos

P

cos

R

0cos

P0sin

RH.

P.

bnbxcos

RbCn求解微分方程3個歐拉角航向角

(H)姿態(tài)角(P,R)2010-03-1918精選ppt2010-03-1919歐拉角法應(yīng)用中的問題求解方程可以直接得到航向和姿態(tài)信息，歐拉角法得到的姿態(tài)陣永遠(yuǎn)是正交陣，用這個矩陣將比力fb→fn信息的坐標(biāo)變換時，變換后的信息中不存在非正交誤差。因此，用歐拉角法得到的姿態(tài)矩陣無需進(jìn)行正交化處理。歐拉角微分方程中包含三角函數(shù)的運(yùn)算，給實(shí)時計(jì)算帶來困難，當(dāng)P=90。時，方程式出現(xiàn)“奇點(diǎn)”，使計(jì)算溢出。cos

P

cos

R

0cos

P0sin

R

cos

P

R

1

sin

P

sin

Rcos

R

sin

P

cos

P

sin

Rcos

Rbnbxbnby

b

nbz

P.

H.

.返回3.2垂直發(fā)射困難！精選ppt3.2.2

方向余弦法方向余弦表示的姿態(tài)矩陣方向余弦法——用矢量的方向余弦來表示姿態(tài)矩陣的方法。用in,jn,kn——表示沿地理坐標(biāo)系軸向的單位矢量。ib,jb,kb——沿載體坐標(biāo)系軸向的單位矢量。ib在地理坐標(biāo)系內(nèi)的方位完全可以由ib的三個方向余弦來確定，其表達(dá)式為ib

(ib

in

)in

(ib

jn

)

jn

(ib

kn

)kncos(ib

in

)jb

(

jb

in

)in

(

jb

jn

)

jn

(

jb

kn

)knkb

(kb

in

)in

(kb

jn

)

jn

(kb

kn

)kn2010-03-1920精選ppt方向余弦法kb

kn

kn

n

j

j

j

k

j

ib

kn

in

n

kb

in

j

j

i

ib

inkb

jnib

jnkb

b

ib

bb nb nkb

b

b

j

ib

kn

n

j

n

in

b

Cbnnkb

kn

b n

j

j

j

k

ib

kn

kb

in

j

i

ib

inkb

jnib

jnb nb nCbn寫成矩陣形式為：2010-03-1921精選ppt矢量的坐標(biāo)變換旋轉(zhuǎn)矢量的坐標(biāo)變換固定矢量的坐標(biāo)變換固定矢量的坐標(biāo)變換是一個在空間大小和方向都不變的矢量在兩個不同方位的坐標(biāo)系軸向分量之間的變換關(guān)系，也即同一個矢量在兩個不同的坐標(biāo)系軸向投影之間的變換關(guān)系。是指一個矢量大小不變，但在方向上轉(zhuǎn)動了一個位置，這個矢量轉(zhuǎn)動前和轉(zhuǎn)動后在同一個坐標(biāo)系軸向分量之間的變換關(guān)系。2010-03-1922精選ppt固定矢量的坐標(biāo)變換Z k

r

bT

br

X

bib

Yb

jbb bb:載體坐標(biāo)系n:地理坐標(biāo)系一個矢量r，寫成載體坐標(biāo)系軸向分量形式：Z

k

r

nT

nr

X

nin

Yn

jnn n同一個矢量r，如果寫成地理坐標(biāo)系軸向分量形式：r

bT

b

r

nT

n

Zb

b

b

j

Xb

r

b

Ykb

b

ib

Zn

n

X

n

Yr

nn

jn

kn

in

b

Cb

nnbT

bT

b

nTnr b

r C

n

r nrbT

Cb

r

nTn由于r是同一個矢量，故由于正交陣，故nbb T b 1n(Cn

)

(C

)

C兩邊求轉(zhuǎn)置nT Tb T bT T(Cn

) (r )

(r )

Cn

r

bbr

n

Cb

r

nnr

b2010-03-1923精選ppt旋轉(zhuǎn)矢量的坐標(biāo)變換由于動坐標(biāo)系隨同矢量轉(zhuǎn)動，故rbT=rnT互逆r——轉(zhuǎn)動前的矢量r’——轉(zhuǎn)動后的矢量假定有一個動坐標(biāo)系和矢量固連，在矢量轉(zhuǎn)動前，取動坐標(biāo)系b和參考坐標(biāo)系n重合，則：r=rnTnb

Cb

n r

r

nT

Cb

nn nr’=rbTb如果用r

’n表示轉(zhuǎn)動后的矢量在參考坐標(biāo)系軸向的分量構(gòu)成的矩陣，則r

rnT

nrnT

r

nT

Cbn

C

n

r

nbrn

Cb

r

nnr

b由于坐標(biāo)系不動而是矢量轉(zhuǎn)動，它相應(yīng)于矢量固定時坐標(biāo)系方向轉(zhuǎn)動nT

bn

r

C

n2010-03-1924精選ppt2010-03-1925方向余弦矩陣微分方程由矢量相對導(dǎo)數(shù)和絕對導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式ω

rdr

drdt dtnbn b假定地理坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系，作為參考坐標(biāo)系認(rèn)為它在空間是不動的，即0ndtdr

nb

rdrdtb

[

b

]r

bk

rnb b nb bbr.

nbx

nb

nbz

0

nbz

nby0[

]

0nby

nbxbkbnb載體坐標(biāo)系相對地理坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動角速度在b系軸向分量的反對稱矩陣（Skew

symmetric

matrix）精選ppt2010-03-1926方向余弦矩陣微分方程另外，從固定矢量的坐標(biāo)變換關(guān)系式有

C.

br

n

Cbr.

nn

nr.

b

Cb

r

nnr

b兩邊求導(dǎo)

0r.br.br.

n

C.

br

n

C.

bCnrbn n b考慮b n

Cn

Cbbknb.b兩邊同右乘 Cnbk b

nb

CnbnC.

[nb

]rb

nb

rbb bkn bk

Cb

nbnC.bbk

nb

(

bk

)Tnbbk 1(nb

)返回3.2精選ppt方向余弦矩陣微分方程的幾種表示形式bk b

nb

CnbnnbC.n bkb nb

C

C.式中的角速度都是用載體坐標(biāo)系內(nèi)的分量表示的，如果角速度在地理坐標(biāo)系軸向的分量表示時，則可用角速度反對稱矩陣的相似變換來得到。b nk nn nb bbknb

C

Cn bk bb nb nnknb

C

C左式可以用展開的方式推導(dǎo)b nkn nbbn

C

C.nk

nnb nb

b

CC.在捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中，由于陀螺是固聯(lián)于載體上的，所以直接測量的角速度是載體坐標(biāo)系軸向的分量。那么計(jì)算時哪個公式最方便？常用的姿態(tài)矩陣微分方程的4種形式。2010-03-1927精選ppt方向余弦矩陣微分方程陀螺儀測量的是載體相對于慣性空間的角速度

bn n bkb b nb

C

C.ib而式中需要的則是bknb兩者的關(guān)系為：bkinbkibbknb

b nk

nn ib bbkibC

C

bk

)n

(

bkibinbnb

C

C

.nk nin

bn bkb ibC

C

包括載體的姿態(tài)和航向的變換角速度，數(shù)值較大（如飛機(jī)可達(dá)400。/s）則是地球角速度和載體的位移運(yùn)動相對地心形成的角速度，這個角速度比較小，一般為每小時幾十度。在實(shí)時計(jì)算上式時，第一項(xiàng)需要用較高的速度計(jì)算，用迭代算法時，迭代頻

率要高，而第二項(xiàng)則可用較低迭代頻率計(jì)算?？梢?/p>

看作是對第一項(xiàng)的修正。2010-03-1928精選ppt2010-03-19293.2.2.4

矩陣微分方程的解下面是解方程的推導(dǎo)過程。C

(t)

C(0)

C

(t)

dtn bkb nbb0C

(t)

C(0)

[C(0)

C

(t)

dt]

dttn bk bknb nbtbnb

0 0C

(t)

dt

dt

C(0)

C(0)

dt

t t tbknbbknbnbbknb

0 00把等式右邊的表達(dá)式逐次代入積分號內(nèi)

dt

dt

C

(t)

C(0)

C(0)

dt

C(0)t t tbknbbknbbknbnbt tbknbbknbtbknbnbC

(t)

dt

dt

dt0

0

00

00

dt dtC (t)

C(0)[I

dt

t t tbknbbknbbknbnb

0 00

C (t)

dt

dt

dt

......]t t tbknbbknbbknbnb0 0 0第2次代入得這樣不斷的進(jìn)行代入，便得到bk 201200 00

0(

dt)

dt

dt

[

dt]d[

dt]

tnbtbknbt tbknbt tbknbbknbbk 30160

0

0(

dt)C

(t)

dt

dt

dt

tnbt t tbknbbknbbknbnbC.

n

Cn

bk

b

b

nb變系數(shù)的齊次微分方程tn可用畢卡(Peano-Baker)逼近法求解，積分上式則有第1次代入得C

(t)

C(0)[I

dt

[

dt]

[

dt]3

......061bk 2

0 021tbknbtnbtbk

b nb故nCb

(t)

C(0)etbknb

dtn0精選ppt2010-03-1930矩陣微分方程的解Cb

(t)

C(0)etbknb

dtn0C (t

t)

C(t)etn1tnbknb

dtnbbknb

dt

nbtn1tnbkbkC

n(t

t)

C(t)enbb

b

b

0

b

b

00bnby

nbxbnbxnbznbynbzbknbbk

21 2 nb

3e

K

I

K

K

(

)nbbkbknbI—單位陣;K1,

K2,

K3—系數(shù)。t=tn+1-

tn下面來求三個系數(shù)。由矩陣的特征方程如果知道了K1,

K2,

K3三個系數(shù)，則矩陣指數(shù)函數(shù)就可以表示成一個矩陣二次方程。bknb來求它的特征值。

b

bdet(I

bk

)

b

b

b

bnby nbxnbxnb nbznbz nby

2

0223 bbnbzbnbynbx

20222

bnbzbnbybnbx3

2

00 1

=0

2,3=士j0令將矩陣的特征值代入方程=0，

K1=1

K

I

K

bk

K

(

bk

)21 2 nb

3

nbenbbk精選ppt用201四0-03參-19數(shù)法。31矩陣微分方程的解=j0=-j0bk

2nb

3

nb201e

K

I

K

K

(

)bk

bknb

j0e

e0K2

bk)2

20 0

sin

0

bk

1

cos

0

(nbnbe

I

bknb=0，

K1=12e

K1

K

2

j0

K3

(

j0

)ej2

K1

K2

j0

K3

(

j0

)

j

02

2K1

2K3

(0

)

2K2

0

j

0j

0e

e(

)20

1

cos

03Kj0sin

0Cn

(t

t)

C(t)[I

sin

0

bk

1

cos

0

(

bk

)2

]

200nbb nb矩陣微分方程的精確解這個精確解的前提條件是n bkb b nb.

nC

C

+bknb

dt

nbtn1tnbk這個式子只有在t=tn+1-

tn內(nèi)角速度矢量nb方向不變的條件下才有意義，由于轉(zhuǎn)動的不可交換性，當(dāng)nb方向隨時間變化時，角速度的積分是無意義的。用方向余弦法求解姿態(tài)矩陣避免了歐拉角法方程退化的現(xiàn)象，可以全姿態(tài)工作，但是，由于方向余弦矩陣具有九個元素，所有，解算矩陣微分方程時，實(shí)際上是結(jié)算九個聯(lián)立微分方程，一般說來，計(jì)算工作量比較大，為了減小計(jì)算工作量，可以采精選ppt3.2.3

四元數(shù)法四元數(shù)理論是數(shù)學(xué)中的一個古老的分支，1943年由威廉.哈密頓(William

Hamilton)首先提出，目點(diǎn)是研究空間幾何，一種類似平面問題中使用復(fù)數(shù)那樣的方法。但是，這個理論建立以后，長期沒有得到實(shí)際應(yīng)用，直到空間技術(shù)出現(xiàn)以后，特別是捷聯(lián)式制導(dǎo)技術(shù)出現(xiàn)以后，這一古老的數(shù)學(xué)分支，又重新受到人們的重視，得到了實(shí)際的應(yīng)用。四元數(shù)的基本概念四元數(shù)是由1個實(shí)數(shù)單位1和3個虛數(shù)單位i,j,k組成的含有4個元的數(shù)，其形式為Q

(q0

,

q1

,

q2

,

q3

)

q0

q1i

q2

j

q3k

q0

q標(biāo)量 矢量2010-03-1932精選ppt3.2.3

四元數(shù)法

3.2.3.1

四元數(shù)的基本概念

3.2.3.2

四元數(shù)理論

3.2.3.3

矢量坐標(biāo)變換的四元數(shù)描述

3.2.3.4

四元數(shù)和方向余弦矩陣的關(guān)系

3.2.3.5

四元數(shù)微分方程2010-03-1933精選pptZRe實(shí)軸Im

虛軸O

z

cos

j

z

sin

Z

z1

jz2

z

e

jj

1u

uxi

u

y

j

uz

ku

1Z

sin

ki u Z

sin

juux

Z

sin

Z

Z

cos

q3zq2yq1q0－

v-

___－

v-

___－

v-

___

___－

v-2010-03-19343.2.3.1

四元數(shù)的基本概念在平面問題中，一個復(fù)數(shù)Z=z1+jz2可以表示二維空間中的一個矢量.精選ppt四元數(shù)的基本概念

Z [cos

ux

sin i

uy

sin j

uz

sin k

](Quaternions)Q

ZZ

[cos

q0Z

ux

sin

q1Z

uy

sin

q2Z

uz

sin

q3

Q

[cos

α

u

sin

]Q

q0

q1i

q2

j

q3

k

Q

eu由于它具有和復(fù)數(shù)類似的形式，可看作是復(fù)數(shù)的推廣，因此，也有“超復(fù)數(shù)”之稱?！脑獢?shù)的3種表示形式2010-03-1935精選ppt坐標(biāo)系的等效轉(zhuǎn)動E'XbOU

ZbNH.''YbXb''Xb''

YYb''ZbbZbP.R.HPRXbX

ruYbYrbZZr2010-03-1936精選ppt四元數(shù)的基本概念如果用u表示歐拉軸向的單位矢量，則動坐標(biāo)系的方位，完全可由u和

兩個參數(shù)來確定。用u和

兩個參數(shù)，可以構(gòu)造一個四元數(shù)，1如果把u寫成分量的形式則：Q

cos

u

sin

i

u

sin

j

u

sin

k2 x 2 y 2 z

2

q0

q1i

q2

j

q3k2q0

cos2q1

ux

sin2q2

u

y

sin12q3

uz

sinQ

cos

u

sin

2 2四元數(shù)是張量為1的四元數(shù)，即Q

(q

2

q

2

q

2

q

2

)

2

10 1 2 3這樣的四元數(shù)稱作“規(guī)范化”的四元數(shù)，而用來描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的四元數(shù)就稱作變換四元數(shù)。u

e22010-03-1937精選ppt3.2.3.2

四元數(shù)理論四元數(shù)相等如果兩個四元數(shù)對應(yīng)的元素相等，則兩個四元數(shù)相等。②四元數(shù)相加Λ

0

1i

2

j

3

kΜ

m0

m1i

m2

j

m3kΛ

Μ

0

m0

(1

m1

)i

(2

m2

)

j

(3

m3

)k——對應(yīng)元素相加則四元數(shù)相加，服從一般加法的交換律和結(jié)合律，即Λ

Μ

Μ

Λ(Λ

Μ)

Ν

Λ

(Μ

Ν)（交換律）（結(jié)合律）2010-03-1938精選ppt四元數(shù)理論四元數(shù)與標(biāo)量相乘aΛ

a0

a1i

a2

j

a3k式中a——標(biāo)量——各個元素分別乘以標(biāo)量(ab)Λ

Λ(ba)aΛ

Λa(a

b)Λ

aΛ

bΛa(Λ

Μ)

aΛ

aΜ（分配律）（交換律）（結(jié)合律）2010-03-1939精選ppt四元數(shù)理論四元數(shù)與四元數(shù)相乘Λ

0

1i

2

j

3kΜ

m0

m1i

m2

j

m3

kΛ

。

Μ

(0

1i

2

j

3

k

)

。

(m0

m1i

m2

j

m3

k

)

0

m0

1m1

2

m2

3m3

0

(m1i

m2

j

m3k)——乘積的矢量形式2010-03-1940

m0

(1i

2

j

3k)

i j k1 2 3m1 m2 m3。

M

0m0

0m

m0λ

λ

m

λ

m精選ppt2010-03-19

3

41四元數(shù)理論Λ

。

Μ

0m0

1m1

2m2

3m3

i(0m1

1m0

2m3

3m2

)

j(0m2

2m0

3m1

1m3

)

k(0m3

3m0

1m2

2m1)——乘積的四元數(shù)形式n1

0m1

1m0

2m3

3m2n2

0m2

2m0

3m1

1m3n3

0m3

3m0

1m2

2m1n0

0m0

1m1

2m2

3m3n n n

]TQ(n)

[n3210

]TQ()

[3210m m m

]TQ(m)

[m1 2 300 0

1

2

3

0

1

101

22301322

3

32 10

3

n

m

n

m

n

m

n

m

Q(n)

M

()Q(m)n0

m0m1

m2

m3

0

n1

m1m0

m3

m2

1

m3

m0m2

m1n2

m2m1

2

m0n3

m3

-----矩陣四元數(shù)Q(n)

M

(m)Q()矩陣的“核”精選ppt2010-03-1942四元數(shù)理論M()和M*(m)除元素不同外，其核互為轉(zhuǎn)置。這種四元數(shù)乘積的矩陣形式，也可推廣到三個以上的四元數(shù)乘積。如：Q(

。

。

)

M()Q(

。

)

M

()M

(P)Q(m)

M

(P)Q(

。

)

M

(P)M()Q(m)M()M

(P)

M

(P)M

()說明M*和M具有可交換性。而一般的矩陣相乘，則是不可交換的.Q(。

。

)

M

()Q(。

)

M

()M

(m)Q(P)

M(。

)Q(P)M

(

。

)

M

()M

(m)Q(

。

。

)

M

(P)Q(

。

)

M

(P)M

(m)Q()

M

(

。

)Q()M

(。

)

M

(P)M

(m)——順序相乘——逆序相乘類似正交陣的乘積的轉(zhuǎn)置或方陣乘積的求逆，也是逆序精選ppt四元數(shù)理論

。

。

(

。

)

。

。

(

。

)

。

(

)

。

。

⑤四元數(shù)的共軛如果一個四元數(shù)為八=+

則定義其共軛四元數(shù)為*=——結(jié)合律——分配律推理1(八+M)*=

八*+M*

——四元數(shù)之和的共軛等于共軛之和推理2(八?M)*=M*?八*——兩個四元數(shù)之積的共軛等于共軛四元數(shù)等于兩個四元數(shù)共軛之積取相反的順序。＠四元數(shù)的范數(shù)四元數(shù)的范數(shù)定義為2 2 2 23210Λ

2010-03-1943精選ppt四元數(shù)理論=八?八*

=八*?八八=1的四元數(shù)稱為規(guī)范化的四元數(shù)。八?M

=八

M=M

八四元數(shù)的逆則八-1?八=八?八-1ΛΛΛ 12 20 1 2 322Λ

2010-03-1944精選ppt3.2.3.3

矢量坐標(biāo)變換的四元數(shù)描述一個矢量r在參考坐標(biāo)系（這里用地理坐標(biāo)系作參考系）軸向的分量形式為r=xnin+yn

jn+znkn式中xn,yn,zn為r在地理坐標(biāo)系軸向的分量。in,jn,kn為地理坐標(biāo)系軸向的單位矢量。用xn,yn,zn把r寫成四元數(shù)形式即：Rn=0+xni+yn

j+znk=0+rRn就叫做矢量r在地理坐標(biāo)系上的四元數(shù)影像。i,j,k是四元數(shù)的虛數(shù)單位，而r則是四元數(shù)的矢量部分。顯然，如果認(rèn)為i,j,k和in,jn,kn重合，則四元數(shù)的矢量部分就是三維空間的矢量r本身。2010-03-1945精選ppt旋轉(zhuǎn)矢量的坐標(biāo)變換[定義]假設(shè)矢量r繞通過定點(diǎn)“O”的某一軸轉(zhuǎn)動了一個角度，則和矢量固聯(lián)的動坐標(biāo)系和參考坐標(biāo)系之間的變換四元數(shù)為：2 2Q

cos

usin式中u為轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量。這個四元數(shù)的范數(shù)為Q

q2

q2

q2

q2

10 1 2 3轉(zhuǎn)動前的矢量用r表示，轉(zhuǎn)動后的矢量用r’表示,則r和r’的關(guān)系可由四元數(shù)來描述，即稱作“規(guī)范化”的四元數(shù).r'

Q。

r

。Q*Q*

cos

usin

四元數(shù)的共軛四元數(shù)2 2黃式兩邊同時左乘Q*右乘Q得因?yàn)镼*。r'。Q

Q*。Q

。

r

。

Q*。QQ*。Q

Q

。

Q*

1

2

2

(cos

usin

)

。

(cos

usin

)

cos

sin

12 22 222

r

Q*

。

r'。Q2010-03-1946精選ppt2010-03-1947證明AO當(dāng)矢量r繞OO’旋轉(zhuǎn)時，矢端A在空間的軌跡是一個圓，這個圓平面和轉(zhuǎn)軸垂直，圓心為O’在旋轉(zhuǎn)軸上。在圓上取一點(diǎn)B，使AO’B=90。，則按矢量關(guān)系有下列關(guān)系式：O'rr'ABuA'O'OBOO'uO'ur

A

OO'

(r

u)uOO

O'A

r因?yàn)?ab=|a||b|cosO’A

=r

OO’=

r(ru)uO’B=

uO’A=

u(

r(ru)u)=

ur

(ru)uu=

uruu=0O’B=

ur精選ppt2010-03-1948證明ABO'AcosA'O'O'BsinOO'rr'ABuA'如果Q=q0+q，R=r0+r則利用式可以寫成矢量形式為：Q?R=q0

r0+q0r+qr0qr+qr利用上式將Q?r?Q*展開－v-___

－v-___q0 qQ

cos

usin2 2r=R=r0+r r0=0q''0O’A

=

r(ru)uO’B=

urq''

sin

(ur)

cos

r

(ur)sin

－

v-2

___

－

2

v-

___2八=

0

m0+0

m+

m0

m+

mO’A’

=O’A

cos+O’Bsin

=

cos

(

r(ru)u)+

ur

sin

r’=OO’+O’A’=(ru)u+cosr

cos

(ru)u+sin

(ur)=(1

cos)(ru)u

+cos

r+sin

(ur)Q。r

cos r

usin r

(ur)sin2 2 2

精選ppt2010-03-1949推導(dǎo)q

''0

q0

q

''0

q* q''q0(cos

r

(u

r)sin

))

(usin

)

(cos

r

(u

r)sin

))

(usin

)－

2

v-

2

___2

－

2

v-

2

___2q''q* q''q*

sin

cos

(u

r)

sin2

(u

r)u

cos

(cos

r

(u

r)sin

)－

2

v-

2

___

－

2v-

___

－

2

2

v-

___2

Q

。

r

。

Q*

(sin

(u

r)

cos

r

(u

r)sin

)

。

(cos

usin

)22 2 22q’’

=

sin

cos

(u

r)

sin2

(u

r)u

cos2

r

sin

cos

(u

r)

sin cos

(u

r)2 2 2 2Q

。

R

q0r0

q0r

qr0

q

r

q

rsin2

(u

r)

u

sin

cos

(r

u)

sin2

(u

r)

u2 2 2 2第一項(xiàng)與第五項(xiàng)相消，第六項(xiàng)為零第四項(xiàng)與第七項(xiàng)合并

sin2

(u

r)u

cos2

r

sin

(u

r)

sin2

(u

r)

u2 2 22 22 2q’’0q0，q精選ppt證明Q?r?Q*

sin2

(u

r)u

cos2

r

sin(u

r)

sin2

(u

r)

u2 2 2利用Q?r?Q*

sin2

(u

r)u

cos2

r

sin

(ur)

sin2

[(uu)r

(u

r)u]2

2

2

cos2

r

sin2

r

sin

(ur)

2sin2

(u

r)u2 2 2r'

Q。r

。

Q*

cos

r

sin

(ur)

(1

cos

)(u

r)ur’=OO’+O’A’=(ru)u+cosr

cos

(ru)u+sin

(ur)=(1

cos)(ru)u

+cosr+sin

(ur)(ur)u=(uu)r(ur)u2010-03-1950精選ppt固定矢量的坐標(biāo)變換如果矢量固定不動，而動坐標(biāo)系相對參考坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動了一個角度，則以四元數(shù)描述的矢量在兩個坐標(biāo)系上的分量的變換關(guān)系為r'

Q。r

。

Q*如果將四元數(shù)Q,R,M的四個元寫成列矢量，即表示成3.2.3.4四元數(shù)和方向余弦矩陣的關(guān)系

Q(q)

q1

q2

q0

q3

Q(r)

1

Q(m)

r2

r0

m0

r

m