計算固體012復(fù)習(xí)進(jìn)程

計算固體012

除了上述變形假設(shè)外,由于上述第2個假設(shè),所以與,相比很小,故在應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中將其忽略,即彈性關(guān)系與平面應(yīng)力問題一樣：由于上述第3個假設(shè),對積分后可得:這里忽略板的中面位移,由位移可得應(yīng)變:由此可得板中應(yīng)力表達(dá)式:

由此可以看出板中的應(yīng)力和應(yīng)變沿厚度是線性分布的,中面處沒有應(yīng)力和應(yīng)變。薄板小撓度彎曲時只產(chǎn)生彎曲應(yīng)力，這與材料力學(xué)中的梁的變形是相似的。

在薄板理論中用截面上的彎矩,,扭矩和橫向剪力,,它們的定義為由前面的公式可知：其中稱為板的彎曲剛度．在不考慮體力的情況下的平衡方程為：將第一個方程乘以z,再沿板厚積分：第三項用分部積分:同理有對第三個平衡方程直接沿厚度積分,并注意到處的外載條件,可得:因而有由這三個平衡方程消去,可得用表示時可寫為這是雙調(diào)和方程,是四階的偏微分方程．在求解時，在每個邊界上只能有二個邊界條件，在簡支或固支邊界條件下比較好解決，例對于x等于常數(shù)的邊界上簡支：(或)固支：

但對于自由邊，位移不受約束，而廣義力有三個,,,,所以如何來處理邊界條需要有合理的辦法．下面用最小勢能原理來解決．薄板的勢能為：將應(yīng)變位移表達(dá)式代入,并對進(jìn)行積分：

對勢能取變分：先計算第一項：

利用一般關(guān)系式：可將前面公式化為：根據(jù)幾何關(guān)系：可將前面公式化為：根據(jù)分部積分公式：其中第一項為零,因為積分是沿著板的整個邊界．因而可得：同理有將這些公式代入中可得到根據(jù)最小勢能原理要求,在域內(nèi)由于變分是任意的,故有:對于固支邊：在邊界上,則沒有力的邊界條件．

對于簡支邊：在邊界上,而是任意的,故有:對于平行于軸的邊界,上式化為：上式相當(dāng)于：對于自由邊,,是任意的,因此,要求式的第三個積分為零，即有：

在平行于軸的邊上有,．上式化為：上式相當(dāng)于：此外還有(相當(dāng)于第二個積分項)：

這樣,根據(jù)最小勢能原理我們導(dǎo)出了平板經(jīng)典理論的基本方程和相應(yīng)的邊界條件，其中包括自由邊的二個廣義力的邊界條件．1.4里茨法和伽遼金法

前面已經(jīng)把彈性力學(xué)問題化為各種泛函的變分問題．求解一定邊界條件下的彈性力學(xué)問題就化為求泛函的極值問題．在求解彈性力學(xué)的微分方程遇到困難時，用變分法則可求得相應(yīng)的數(shù)值解．本節(jié)將介紹最早用于變分解法的里茨法和伽遼金法．

里茨法的基本思想是把尋找泛函極值問題真解過程分為兩步．第一步先找可能狀態(tài)，選擇一組在邊界上滿足指定位移約束條件的容許函數(shù)，把它們分別乘上待定常數(shù)并疊加起來，用試驗函數(shù)去代替真實的自變函數(shù)；第二步是逼近真實狀態(tài)，即調(diào)整試驗函數(shù)中的待定常數(shù)，便滿足泛函的駐值或極值條件．求得逼近于真解的近似解．顯然，試驗函數(shù)選得越好，解的精度就越高．(一)基于最小勢能原理的里茨法

變形體的總勢能是三個位移分量的泛函,其表達(dá)式為上式右端第一項為物體的應(yīng)變能,第二項為體力勢能,第三項為已知表面力的勢能．這里不包括位移邊界上的面積分,因為在位移邊界上自變量函數(shù)應(yīng)滿足位移約束條件：在上將里茨法用于最小勢能原理的求解過程是：(1)選擇變形可能的位移試驗函數(shù)．通常設(shè)為：(i=1,2,3)其中和是滿足位移邊界條件的函數(shù),滿足給定的非齊次邊界條件，其余的均分別滿足齊次邊界條件．是個待定的位移參數(shù)．

(2)寫出給定彈性系統(tǒng)的總勢能表達(dá)式，并把位移代入，得到個待定位移參數(shù)表示的總勢能表達(dá)式．(3)計算的變分．由于的函數(shù)形式都已選定，變分時只有它們的幅值(即待定參數(shù))能發(fā)生變化．于是最小勢能原理要求：由于是相互獨立的，它們的系數(shù)應(yīng)分別等于零，即這就是里茨法得到的待解方程，它的實質(zhì)是用位移參數(shù)表示的近似平衡方程．對于線彈性問題，總勢能是位移及其導(dǎo)數(shù)的二次泛函，把位移代入后化為位移參數(shù)的二次函數(shù)，所以,上式將是參數(shù)的線性代數(shù)方程組，很容易用計算機(jī)求解．(4)由個代數(shù)方程解出個待定參數(shù)，再代回位移式就得到逼近位移場的近似解．由位移可進(jìn)一步計算應(yīng)變和應(yīng)力，一般來說，所得的應(yīng)力場并不精確滿足平衡方程．例1.1歐拉壓桿穩(wěn)定性問題參見圖1.1,一端固定，一端自由的桿，自由端受軸向力的作用，求，圖1.1一端固定,一端自由的桿此問題的邊界條件為：位移邊界條件：力的邊界條件：設(shè)撓曲線為：即此位移曲線滿足位移邊界條件，但不滿足力的邊界條件．根據(jù)所設(shè)的位移曲線，桿中的彎矩沿桿中是個常量，而實際桿中的彎矩為并不是常量．桿的變形能外力所做的功：系統(tǒng)總勢能：根據(jù)最小勢能原理即可得到：理論解,誤差為1.33%?，F(xiàn)在設(shè)桿的撓曲線為

總勢能為最小勢能原理要求：由此可導(dǎo)出：根據(jù)不全為零的條件可得到：由于取了二項,結(jié)果比取一項的結(jié)果更接近于精確解．用最小勢能原理求得的臨界載荷只能求出它的上限，也就是說，給出的解總是比精確解大．(二)基于最小余能原理的里茨法在這種解法中要設(shè)滿足平衡方程和力邊界條件的應(yīng)力試驗函數(shù)：其中和在域內(nèi)應(yīng)滿足平衡方程,在力邊界上,滿足給定的非齊次邊界條件，其余的均分別滿足齊次邊界條件．由于六個應(yīng)力分量應(yīng)滿足平衡方程只有三個，因而互不獨立，所以一般只給每個可能應(yīng)力場配一個待定參數(shù)，而不允許每個應(yīng)力分量獨立地任意變化．

總余能是六個應(yīng)力分量的泛函，其表達(dá)式為：上式右端不包含力邊界上的面積分．在力邊界上自變函數(shù)應(yīng)滿足約束條件：在上把試驗函數(shù)代入余能式,得到由應(yīng)力場參數(shù)表示的泛函表達(dá)式．最小余能原理要求：這就是里茨法的求解方程,其實質(zhì)是用應(yīng)力參數(shù)表示的近似協(xié)調(diào)方程,是一個線性代數(shù)方程組．由此解出個待定參數(shù),代回上式就得到逼近真實應(yīng)力的近似解．如果需要可進(jìn)一步求應(yīng)變和位移，但一般所得應(yīng)變是不協(xié)調(diào)的，位移場不一定單值連續(xù)．選擇同時滿足平衡方程和力邊界條件的靜力可能應(yīng)力場和是相當(dāng)困難的．但在無體力或常體力情況下，應(yīng)力函數(shù)能自動滿足平衡方程，所以把總余能看作應(yīng)力函數(shù)的泛函更為方便：在三維情況下需要三個應(yīng)力函數(shù)，在平面問題和扭轉(zhuǎn)問題只需要一個應(yīng)力函數(shù)．現(xiàn)在以桿的扭轉(zhuǎn)問題為例先用最小余能原理推導(dǎo)扭轉(zhuǎn)問題的基本方程，再用里茨法求應(yīng)力分布．參看圖中一等截面桿，左端面固定原點及二線素,右端受力偶矩作用使產(chǎn)生扭角．左端給定的是位移邊界條件．在這種情況下，可認(rèn)為,平衡方程只剩下:引入應(yīng)力函數(shù),使?jié)M足：則平衡方程自動滿足．側(cè)面不受力,即有,故有前二式已經(jīng)滿足,第三式變?yōu)?因由此可得:即沿桿的橫截面邊界常數(shù),可取為零,因它對應(yīng)力沒有影響．

桿的變形余能：其中為桿材料的剪切模量,為桿的長度,為桿的截面積。在計算余功時，只有右端面有：扭矩應(yīng)與任一橫截面上的各應(yīng)力分量對軸的力矩保持平衡,即有由此可得桿受扭轉(zhuǎn)時的總余能為:對此式進(jìn)行變分可得:

這就是桿扭轉(zhuǎn)的協(xié)調(diào)方程。側(cè)面邊界條件為．從方程及側(cè)面邊界條件求出

后,可求出應(yīng)力和及端面力矩．作為例子，計算一個矩形截面的柱體，其尺寸為,第一次,我們選擇的坐標(biāo)函數(shù)為:由可得出,因此有這是應(yīng)力函數(shù)的近似解,它只是近似地滿足協(xié)調(diào)方程,應(yīng)力分量為:

設(shè),則發(fā)生在長邊的中點():若定義柱的抗扭剛度為,則有:對于正方形截面桿,:

前面計算只取上述公式的一項,若取二項、三項或更多的項，則計算精度將會提高．與精確解相比,應(yīng)力的誤差為-7.4%，抗扭剛度的誤差為-1.1%．可見，用能量法求帶有整體性質(zhì)的抗扭剛度誤差較小，而用以求應(yīng)力分布效果要差一些．為提高精度，可取較為復(fù)雜的函數(shù)(三)伽遼金法的應(yīng)用實例伽遼金法的特點是在設(shè)試函數(shù)時既滿足位移邊界條件又滿足力的邊界條件，可以證明在薄板問題中,若設(shè),則伽遼金法得出的方程為

考慮四邊固支受均布載荷作用的正方形板，板的邊長為，坐標(biāo)原點取在板的中心，為簡單起見，引入兩個無量綱參數(shù)則四邊固支邊界條件可寫為：在在作為一級近似，取代入伽遼金方程可