計(jì)算固體05資料講解

計(jì)算固體055.1有限應(yīng)變與應(yīng)力

在有限應(yīng)變分析中，有二種定義應(yīng)變張量的方法．

(一)格林(Green)應(yīng)變，也稱格林-拉格朗日(Green-Lagrange)應(yīng)變，定義為

其中為初始坐標(biāo)，為變形后的坐標(biāo)(圖5.1)．由上式可見，格林應(yīng)變是參照變形前的坐標(biāo)系，這種參照方法稱為拉格朗日坐標(biāo)參照法．這里研究的的是物體變形后的應(yīng)變，但其參考標(biāo)架則選在變形前．

圖5.1結(jié)構(gòu)的變形

(二)柯西(Cauchy)應(yīng)變，也稱阿爾曼西(Almansi)應(yīng)變或歐拉(Eular)應(yīng)變．定義為

上式同樣是研究變形后的應(yīng)變，但將坐標(biāo)取在當(dāng)前坐標(biāo)上．由于它是參照變形后的坐標(biāo)系上的，這種參照方法叫做歐拉參照法．

引入位移向量則有

在直角坐標(biāo)系下，將位移向量代入二種應(yīng)變式就得到二種應(yīng)變用位移來表示的公式：

如果位移分量以及它的一階偏導(dǎo)數(shù)是小量，那么方程右端位移分量偏導(dǎo)數(shù)的二次項(xiàng)可以忽略，則應(yīng)變可寫為：

也可以不考慮前后坐標(biāo)值的差別．則拉格朗日應(yīng)變與歐拉應(yīng)變沒有區(qū)別，都與微小變形的應(yīng)變相同．這個(gè)應(yīng)變張量稱為柯西(Cauchy)應(yīng)變張量，以后在大應(yīng)變分析中是有意義的．

圖5.2應(yīng)力的定義

與應(yīng)變的定義相似，應(yīng)力也有不同的定義．(一)歐拉(Eular)應(yīng)力，又稱柯西(Cauchy)應(yīng)力，它是用當(dāng)前坐標(biāo)系定義的應(yīng)力,因?yàn)樗紤]了物體的變形，也即面上的力的真實(shí)作用面積，所以也稱真應(yīng)力，用符號表示，作用于面上的力可寫為(圖5.2)：

的面是當(dāng)前坐標(biāo)（變形后）下的面．

(二)拉格朗日應(yīng)力，也稱第一皮阿拉-克?；舴?First

Piola-Kirchoff)應(yīng)力,對于可以用變形前坐標(biāo)與構(gòu)形來定義應(yīng)力，即采用拉格朗日體系，

其中是變形前的面．稱為拉格朗日應(yīng)力．

(三)克希霍夫應(yīng)力，也稱第二皮阿拉-克希霍夫(SecondPiola-Kirchoff)應(yīng)力．

拉格朗日應(yīng)力不是對稱形式，不便于數(shù)學(xué)運(yùn)算，因此，將拉格朗日應(yīng)力前乘以變形梯度得到對稱的應(yīng)力張量：

這樣定義的應(yīng)力稱為克希霍夫應(yīng)力,上面定義的克?；舴驊?yīng)力看上去不很自然。但是它有物理基礎(chǔ)．克?；舴驊?yīng)力與格林應(yīng)變在能量上是共軛的．同樣歐拉應(yīng)力與阿爾曼西應(yīng)變在能量上也是共軛的．

三種應(yīng)力張量之間存在下列關(guān)系：

式中和分別表示變形前和變形后的密度．

是變形梯度矩陣的行列式．變形梯度可以看作一個(gè)線性變換，它把參考構(gòu)形中質(zhì)點(diǎn)的鄰域映射到現(xiàn)時(shí)構(gòu)形的一個(gè)鄰域．或者說，它把初始的線元變換到現(xiàn)時(shí)的線元．所以，變形梯度刻劃了整個(gè)的變形，它既包含了線元的伸縮，也包含了線元的轉(zhuǎn)動(dòng)．

5.2變形率和本構(gòu)關(guān)系

設(shè)物體在時(shí)，該物體有構(gòu)形，物體一質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為()，在時(shí)間時(shí)，物體有構(gòu)形，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至，

在時(shí)間時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)有構(gòu)形，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至．

對于變形體及其上的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以隨不同的坐標(biāo)選取方法而有不同的描述方法，大致有以下五種：

(一)物質(zhì)描述：獨(dú)立變量為和，即給出任意時(shí)刻中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置．這種描述法很少用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和有限元法中．

(二)參照描述：獨(dú)立變量為任意選擇的參照構(gòu)形中質(zhì)點(diǎn)的當(dāng)前坐標(biāo)與時(shí)間，其中參照構(gòu)形的選擇是任意的，而且不影響計(jì)算結(jié)果．這種描述法稱為拉格朗日描述(LagrangianDescription)．當(dāng)選擇的構(gòu)形時(shí),稱為全拉格朗日描述或總體拉格朗日描述(TotalLagrangianDescription簡寫為T.L)．這時(shí)，位移是以原始構(gòu)形為出發(fā)點(diǎn)．

(三)相對描述：用時(shí)間的構(gòu)形為參考構(gòu)形的當(dāng)前質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)．這就是說，選用時(shí)刻的位置作為參考依據(jù)以觀察從到時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況．以此類推，從到的過程則是以的位置作為參考．實(shí)際上這是前一種T.L體系的一種修正．在分析時(shí)，每一次都要修改它的參考構(gòu)形．因此稱為更新的拉格朗日描述(UpdatedLagrangianDescription簡寫為U.L)．

Cesscotto等人提出了廣義拉格朗日描述(generalizedLagrangiandescription,簡寫為G.L.D)．在廣義拉格朗日描述中,平衡方程是參照任意一個(gè)時(shí)刻()已知的變形構(gòu)形,若,則廣義拉格朗日描述就是總體拉格朗日描述,若,則它就是更新的拉格朗日描述．

(四)空間描述：獨(dú)立變量是質(zhì)點(diǎn)當(dāng)前位置和．在瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)是以變形后該時(shí)刻的構(gòu)形為觀察的依據(jù)．這種描述稱為歐拉描述(EulerianDescription)．在歐拉描述法中，有限元網(wǎng)格在空間中是固定的，材料流過這些網(wǎng)格，因此,它適用于流體及定常運(yùn)動(dòng)過程，如穩(wěn)態(tài)擠壓過程．當(dāng)分析物體的本構(gòu)關(guān)系與當(dāng)時(shí)應(yīng)變或變形有關(guān)，以及有分布力作用于物體表面時(shí)，歐拉描述就不方便了．由于拉格朗日描述的坐標(biāo)附著在物質(zhì)點(diǎn)上，因而易于引入本構(gòu)關(guān)系和處理表面載荷問題．

(五)任意拉格朗日-歐拉描述(ArbitraryLagrangian-EulerianDescription,簡寫為ALE)：任意拉格朗日-歐拉描述又稱耦合拉格朗日-歐拉描述、擬歐拉描述或混合拉格朗日-歐拉描述．在ALE描述中,另外引入了一個(gè)獨(dú)立于初始構(gòu)形和現(xiàn)時(shí)構(gòu)形的參照構(gòu)形,在物體變形過程中,觀察者始終跟隨參照構(gòu)形運(yùn)動(dòng),因而,對觀察者而言,參照構(gòu)形是固定不動(dòng)的,而初始構(gòu)形和現(xiàn)時(shí)構(gòu)形都相對于參照構(gòu)形運(yùn)動(dòng)．

在非線性有限元法的平衡方程中，可以用不同的本構(gòu)關(guān)系定義來得到應(yīng)變能變化率方程，在某些本構(gòu)關(guān)系中是根據(jù)物體變形率來定義的．在空間描述中，物體的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)是用速度矢量場給出的：

是物質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的速度，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻位于空間的點(diǎn)處．在這里要特別注意坐標(biāo)為的空間中的點(diǎn)和位于這點(diǎn)的物質(zhì)質(zhì)點(diǎn)之間的區(qū)別。例如，我們比較速度向量和時(shí)，它們是在空間中同一個(gè)點(diǎn)在不同時(shí)刻和觀察到的速度，但它們不是同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻和的速度．

因而一般不代表在瞬時(shí)位置的質(zhì)點(diǎn)的加速度。為確定質(zhì)點(diǎn)的加速度，必須考慮在時(shí)間內(nèi)所考察的質(zhì)點(diǎn)的無限小位移，實(shí)際上，在時(shí)刻位于的那個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在時(shí)刻已運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)為的那個(gè)點(diǎn)．根據(jù)泰勒定理，略去高階無限小項(xiàng)，當(dāng)時(shí)有：

即

式中的偏導(dǎo)數(shù)是在和取值，上式右端第一項(xiàng)可以解釋為由速度場的時(shí)間相關(guān)性引起的，稱為加速度的當(dāng)時(shí)部分，也即通常的時(shí)間導(dǎo)數(shù)；第二項(xiàng)是非均速度場中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)，稱為加速度的對流部分．

上式定義的加速度是與運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)質(zhì)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的，因此叫做速度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)．這種物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的概念適用于任何與運(yùn)動(dòng)著的質(zhì)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的其它物理量，這些物理量可以是標(biāo)量（如密度，溫度等）和張量（如應(yīng)力張量）．于是按下式定義了一個(gè)物理量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)：

例如，密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是：

如果在空間中固定的坐標(biāo)系內(nèi)考慮一個(gè)無限小的空間體積元，可以認(rèn)為流入這個(gè)體元的質(zhì)量的凈速率等于質(zhì)量累積的速率，于是我們有方程：

這個(gè)方程叫連續(xù)性方程．它可以用密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)寫出：

連續(xù)性方程在物理上表示質(zhì)量守恒．如果密度的變化是非常小，以致可以忽略不計(jì)．連續(xù)性方程可簡化為：

在下面我們引入變形張量之后，就會看出上式表示體應(yīng)變率為零．而在物質(zhì)描述中用下列方程表示：

參照歐拉坐標(biāo)系，我們考慮兩個(gè)相鄰的質(zhì)點(diǎn)，它們有瞬時(shí)坐標(biāo)，此兩點(diǎn)的速度差為：其中是速度向量，表示速度梯度，它可分為兩部分：

參照小應(yīng)變的定義，上式第一項(xiàng)為小應(yīng)變情況下的變形率，用表示，第二項(xiàng)為旋轉(zhuǎn)率，用表示，即：

是對稱張量，稱為Cauchy應(yīng)變率張量，是反對稱張量,稱為旋轉(zhuǎn)率張量．

在經(jīng)典彈性理論中，在等溫和絕熱線彈性理論范疇內(nèi)，可以用三種等價(jià)的方式來定義應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）常數(shù),

在討論大位移、大轉(zhuǎn)動(dòng)的有限應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系時(shí)，將上述關(guān)系加以推廣，形成類似的關(guān)系．(一)彈性介質(zhì)彈性材料是對過去的歷史沒有記憶的材料，這種材料對變形和溫度的反應(yīng)完全取決于當(dāng)前的狀態(tài)．這里僅限于考慮等溫過程．

假設(shè)存在一個(gè)無應(yīng)力的自然狀態(tài)，在這個(gè)狀態(tài)的一個(gè)適當(dāng)確定的有限鄰域內(nèi)，歐拉應(yīng)力張量與阿爾曼西應(yīng)變張量之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系：

我們最熟悉的彈性關(guān)系即為這一類介質(zhì)：

如果四階材料張量是應(yīng)變張量的函數(shù)，則為非線性彈性；如果是常數(shù)張量，則是線性彈性，但它不是小變形情況的虎克定律，因?yàn)槭街械牧渴窍鄬τ诂F(xiàn)時(shí)構(gòu)形定義的，只有在小變形條件下，和分別退化為通常的工程應(yīng)力和無限小應(yīng)變，上式就退化為通常的虎克定律．

(二)超彈性(Hyperelastic)介質(zhì)單位質(zhì)量應(yīng)變能的變化率等于應(yīng)力做功率，這是由能量原則來定義本構(gòu)關(guān)系，這種定義的本構(gòu)關(guān)系的材料稱為超彈性材料．按照定義，在歐拉坐標(biāo)系下，我們有

其中是瞬時(shí)的材料密度，為柯西應(yīng)力（真應(yīng)力），為柯西應(yīng)變率．本構(gòu)關(guān)系可寫為：

在拉格朗日坐標(biāo)系下，本構(gòu)關(guān)系用克希霍夫應(yīng)力與格林應(yīng)變表示時(shí)可寫成：

或者寫成：

可以證明，這兩個(gè)公式是等價(jià)的．這兩個(gè)公式表明克希霍夫應(yīng)力張量與格林應(yīng)變率之積等于柯西應(yīng)力張量與柯西應(yīng)變率之積，即都等于單位應(yīng)變能變化率．具有這種應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系者稱應(yīng)力與應(yīng)變是共軛關(guān)系．

(三)亞彈性材料(Hypoelastic)

應(yīng)變率分量是變形率分量的齊次線函數(shù)，即：式中為常數(shù)，這種定義材料本構(gòu)關(guān)系稱為亞彈性材料．它比較適合經(jīng)典彈性理論的習(xí)慣，只不過用變化率代替物理量本身．

這個(gè)定義的關(guān)鍵之處在于應(yīng)力變化率．我們知道，當(dāng)物體做剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)變形率為零．但是，一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)下的物體在做剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)力的時(shí)間導(dǎo)數(shù)與物質(zhì)導(dǎo)數(shù)均不等于零，

例如考慮一個(gè)承受單向應(yīng)力并繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的桿，在桿平行于軸的瞬時(shí)，，在以后的另一瞬時(shí)，例如當(dāng)桿平行于軸時(shí)，我們又有.

這樣，剛體運(yùn)動(dòng)改變了應(yīng)力張量的分量（相對于空間固定的坐標(biāo)系而言）．因此，雖然桿中的應(yīng)力狀態(tài)沒有變，但剛度運(yùn)動(dòng)卻改變了應(yīng)力張量．

看來在本構(gòu)方程中使用與變形率相關(guān)聯(lián)的應(yīng)力率時(shí)，時(shí)間導(dǎo)數(shù)和物質(zhì)導(dǎo)數(shù)均不是一個(gè)適當(dāng)?shù)亩攘?。一個(gè)合于需要的應(yīng)力對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)必須是關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)具有不變性．一些學(xué)者提出了形式不同的應(yīng)力變化率公式，它們均滿足不隨剛體運(yùn)動(dòng)而變化的條件．下面介紹的焦曼(Jaumann)應(yīng)力率是當(dāng)前用得較多的一種．

其中是旋轉(zhuǎn)率．焦曼應(yīng)力率是不受剛體轉(zhuǎn)動(dòng)影響的客觀張量．此外還有特羅斯德爾(Truesdell)應(yīng)力率：

如果所考慮的質(zhì)點(diǎn)鄰域做剛體運(yùn)動(dòng)，那么和為零，那么前兩個(gè)公式相同，因此，特羅斯德爾應(yīng)力率也是不受剛體運(yùn)動(dòng)影響的客觀張量．如果將應(yīng)力率作為應(yīng)力和變形率的函數(shù)來給出本構(gòu)關(guān)系時(shí)，這些不同定義的應(yīng)力率之間的差別不是本質(zhì)的．

為得到克希霍夫應(yīng)力張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，需計(jì)算的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)．由連續(xù)方程我們有：

將克?；舴驊?yīng)力與柯西應(yīng)力之間的關(guān)系式取物質(zhì)導(dǎo)數(shù)可得到：

利用適當(dāng)?shù)膯?biāo)并注意到的對稱性，最后可得到：上式右端的括號內(nèi)恰好是特羅斯德爾應(yīng)力率，因此，當(dāng)所考慮質(zhì)點(diǎn)的鄰域做瞬時(shí)地剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，克希霍夫應(yīng)力的物質(zhì)速率為零，而應(yīng)力保持常數(shù)．這就是說，克?；舴驊?yīng)力對時(shí)間的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是客觀張量．

一般來說，前述三種定義的本構(gòu)關(guān)系并不等價(jià)．實(shí)際材料適合哪種定義，只有通過試驗(yàn)來確定．5.3幾何非線性有限元方程的建立

幾何非線性有限元法至今沒有一個(gè)統(tǒng)一的方法．從不同的能量原理，應(yīng)變位移方程和不同的應(yīng)力和應(yīng)變可以得到不同的非線性有限元方程．

在建立幾何非線性方程時(shí)，選擇的能量平衡方程大體有兩類：(一)從虛功原理出發(fā)，直接使用應(yīng)力與共軛應(yīng)變；(二)由增量變形的變分原理出發(fā)，使用應(yīng)力率和應(yīng)變率．下面分別介紹這兩種方法．5.3.1全拉格朗日列式法(T.L)

先介紹用虛功原理導(dǎo)出相應(yīng)的有限元方程方法．設(shè)一個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體，假定對于時(shí)刻以前的解均已得到，當(dāng)前的目標(biāo)是去建立一個(gè)方程，由方程可解得時(shí)刻的各未知量．

我們知道柯西應(yīng)力與阿爾曼西應(yīng)變是一對共軛的應(yīng)力和應(yīng)變，因此，在時(shí)刻的虛功方程可表示為：

上式中分別表示物體所受的體積載荷和表面載荷．左上標(biāo)表示當(dāng)前研究的時(shí)刻．如果我們研究問題時(shí)不考慮載荷作用點(diǎn)及方向隨變形而變化.則上式的積分域分別改為時(shí)刻的體積和表面積．而虛功方程是參照當(dāng)前構(gòu)形的坐標(biāo)建立的．因而是歐拉體系或叫歐拉列式法．

在流體力學(xué)中這種列式法應(yīng)用很多．在固體力學(xué)中常用于材料成形等情況．在歐拉描述中泛函積分域是當(dāng)前構(gòu)形，它應(yīng)是求解的結(jié)果，在求解開始是不知道的，因而必須疊代求解．此外，歐拉描述時(shí)求物質(zhì)導(dǎo)數(shù)比較復(fù)雜，因而本構(gòu)關(guān)系也復(fù)雜．因此，對固體力學(xué)而言，大多數(shù)問題用參照描述或相關(guān)描述更為方便．這就是前面所述的全拉格朗日描述和更新的拉格朗日描述方程．

由于采用拉格朗日體系時(shí)，物質(zhì)導(dǎo)數(shù)易于得到，本構(gòu)關(guān)系容易引入，由于過去構(gòu)形是已知數(shù)，變形能的積分是在已知域中進(jìn)行，因此，拉格朗日體系比歐拉體系用起來更方便．所以在有限元的非線性研究中，絕大多數(shù)工作者是采用Lagrangian坐標(biāo)系統(tǒng)的．下面分別討論全拉格朗日法和更新拉格朗日法．

在拉格朗體系中采用克?；舴驊?yīng)力和格林應(yīng)變這一對共軛的應(yīng)力應(yīng)變量．而且前面的虛功方程應(yīng)按變形前時(shí)刻的構(gòu)形作為參考構(gòu)形，此時(shí)，其虛功表達(dá)式為：上標(biāo)表示當(dāng)前研究的時(shí)刻．

物體由時(shí)刻變化到時(shí)刻時(shí)，參照構(gòu)形有

根據(jù)格林應(yīng)變的定義，

式中第一，二項(xiàng)是線性項(xiàng)，因?yàn)樵跁r(shí)刻的,,是已知的．第三項(xiàng)為非線性項(xiàng)．上式也可寫為：

其中上標(biāo)表示線性，表示非線性，

設(shè)材料的本構(gòu)關(guān)系有如下形式：式中是在時(shí)刻參照構(gòu)形的增量材料性質(zhì)張量，它的確定將在后面介紹．前面虛功方程可寫為：

把和代入上式，并注意到可得：

這里所有量都是時(shí)刻的，為簡單起見，省略了上標(biāo)．在有限元中位移增量用節(jié)點(diǎn)位移增量表示：

把上式代入應(yīng)變位移關(guān)系式并寫成矩陣形式：

式中是相應(yīng)于應(yīng)變位移關(guān)系式中右端的第一，二項(xiàng)，它們僅是坐標(biāo)的函數(shù)，而與無關(guān)，而相應(yīng)于應(yīng)變位移式右端第三項(xiàng)，它是與的函數(shù)．虛功原理式中右端第一項(xiàng)為外載體力與面力的虛功：

而虛功原理式中右端的第二項(xiàng)表示在到的時(shí)間增量中應(yīng)力的虛功，在有限元中它相應(yīng)于應(yīng)力在節(jié)點(diǎn)上的等價(jià)合力在節(jié)點(diǎn)虛位移增量上所做的虛功，即

這樣從虛功原理式可得：上式是T.L法的有限元公式．式中

有限元公式等號左邊三個(gè)矩陣的和用表示，稱為切線剛度．它表示了載荷增量與位移增量之間的關(guān)系．為常規(guī)有限元法中的剛度矩陣，但是，材料矩陣是根據(jù)本構(gòu)關(guān)系式定義為時(shí)刻的材料剛度矩陣．稱為初應(yīng)力或幾何剛度矩陣，它表示在大變形情況下初應(yīng)力對結(jié)構(gòu)剛度的影響，公式中沒有明顯含有位移增量，但它是的函數(shù)．

因此，是變量的隱含數(shù)，由它的表達(dá)式可見，當(dāng)應(yīng)力為拉應(yīng)力時(shí)，提高了結(jié)構(gòu)的剛度，當(dāng)應(yīng)力為壓應(yīng)力（即為負(fù)值時(shí)）減小了結(jié)構(gòu)的剛度．稱為初位移剛度矩陣或大位移剛度矩陣，是由大位移引起的結(jié)構(gòu)剛度變化,是的一階與二階函數(shù)．

在推導(dǎo)有限元公式時(shí)采用的本構(gòu)關(guān)系式是采用格林應(yīng)力和克?；舴?在小應(yīng)變問題時(shí)，此本構(gòu)關(guān)系可由實(shí)驗(yàn)得到．但對于格林應(yīng)力和克?；舴蛴邢迲?yīng)變而言是不容易做到的．因?yàn)槿魏尾牧系谋緲?gòu)關(guān)系都是根據(jù)真實(shí)應(yīng)力和應(yīng)變（甚至是工程應(yīng)力應(yīng)變）關(guān)系給出的．

因此，有些學(xué)者認(rèn)為T.L法比較適宜于大位移、小應(yīng)變的情況,例如分叉屈曲分析．下面介紹如何將大應(yīng)變（一般材料處于非線性彈性或非彈性狀態(tài)）的本構(gòu)關(guān)系用于上述有限元方程．采用如下假設(shè)：

(一)在有限應(yīng)變中可恢復(fù)的（彈性的）應(yīng)變較之不可恢復(fù)的（非彈性的）應(yīng)變小得多，因此可把總應(yīng)變線性分解為兩部分之和，這與小應(yīng)變理論相同．

(二)材料各向同性硬化，材料系數(shù)量值僅隨加載歷程變化，但其軸的方向不變．

(三)在一個(gè)增量步內(nèi)采用線性化方法，把應(yīng)力與應(yīng)變視為線性關(guān)系．

以前討論過應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間關(guān)系必須與物體剛體運(yùn)動(dòng)無關(guān)，按第三種本構(gòu)關(guān)系：式中為Jaumann應(yīng)力率增量，為變形率增量形式：

根據(jù)前面的歐拉應(yīng)力與克?；舴驊?yīng)力之間的關(guān)系式可知：

根據(jù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義和旋轉(zhuǎn)率的定義，上式可以化為：

由上面幾個(gè)公式可得：

變形率增量與格林應(yīng)變增量之間關(guān)系為：將此式代入上式后可得：

這樣在大應(yīng)變情況下，在計(jì)算剛度矩陣時(shí)，所有矩陣中的要用上式中的．顯然是很復(fù)雜的．

5.3.2更新的拉格朗日列式法(U.L)

正如前面所述，在求時(shí)刻的平衡解時(shí)，如果我們選擇的參照構(gòu)形不是未變形狀態(tài)時(shí)的構(gòu)形，而是最后一個(gè)已知平衡狀態(tài)，即本增量步起始時(shí)時(shí)刻的構(gòu)形為參照構(gòu)形，這時(shí)所采用的物體變形描述為相關(guān)描述，這種列式法稱為更新的拉格朗日列式法.

它屬于拉格朗日系統(tǒng)，因?yàn)樗且赃^去的構(gòu)形作為參照構(gòu)形．它之區(qū)別于全拉格朗日列式法，因?yàn)樗且詴r(shí)刻的構(gòu)形作為參照構(gòu)形，即認(rèn)為時(shí)刻的物體為“未”變形物體，去求時(shí)物體的各個(gè)未知變量．

在U.L系統(tǒng)中，格林應(yīng)變?yōu)椋?/p>

應(yīng)力可寫為：這是因?yàn)樵跁r(shí)刻，我們有真實(shí)應(yīng)力分布．本構(gòu)關(guān)系為：

虛功原理變?yōu)椋河缮鲜龈魇娇傻玫饺缦路匠蹋?/p>

與T.L列式法相似，可將上式化為有限元的矩陣形式：

其中：

通常在大變形計(jì)算中忽略虛功原理公式左邊的第二、三、四項(xiàng)．而只考慮第一、五兩項(xiàng)．

上式中的與通常有限元中的剛度矩陣相同．但是，是在時(shí)刻結(jié)構(gòu)的體積上進(jìn)行積分和微分．上式中的為初應(yīng)力矩陣或稱幾何剛度矩陣，它表示在時(shí)刻真實(shí)應(yīng)力在時(shí)間間隔內(nèi)由于變形產(chǎn)生的對結(jié)構(gòu)剛度的影響．積分與微分也是在時(shí)刻物體構(gòu)形中進(jìn)行．為此，必須在每一增量計(jì)算結(jié)束時(shí)，計(jì)算各物質(zhì)點(diǎn)（在有限元中為各節(jié)點(diǎn)）的坐標(biāo)：

也就是說，每一次增量計(jì)算結(jié)束后，要將節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)更改，以便進(jìn)行下一次增量的計(jì)算．兩種列式法在求初應(yīng)力剛度陣時(shí)另一個(gè)重要區(qū)別在于，在更新的拉格朗日法中，每一載荷步都由柯西真應(yīng)力出發(fā)，由于使用的是拉格朗日體系，每步結(jié)束直接得到的是克?；舴驊?yīng)力張量的增量.

因此，更使用前面的公式將得到的變換成，然后疊加得到時(shí)刻的柯西應(yīng)力，以便進(jìn)行下一步增量的計(jì)算：

可以看出，更新的拉格朗日法的一個(gè)很大優(yōu)點(diǎn)是在處理大應(yīng)變時(shí)容易引入本構(gòu)關(guān)系．因?yàn)槲覀兛偸菑臅r(shí)刻已經(jīng)平衡的物體出發(fā)，而且知道真實(shí)應(yīng)力，因此，可以寫出時(shí)刻的本構(gòu)關(guān)系：

通過轉(zhuǎn)換公式可將轉(zhuǎn)換成，將轉(zhuǎn)換成，因此可將上述本構(gòu)關(guān)系公式轉(zhuǎn)換成前面形式的本構(gòu)關(guān)系．在上述本構(gòu)關(guān)系公式時(shí)，需用真實(shí)的柯西應(yīng)力和阿爾曼西應(yīng)變代替材料試驗(yàn)時(shí)所用的工程應(yīng)力和應(yīng)變．

有一些學(xué)者從應(yīng)力與變形率變分得出的虛功原理出發(fā)，推導(dǎo)U.L法的平衡方程．由于采用不同的假設(shè)所得出的方程不完全相同．這里介紹McMecking和Rice所提出的方法．他們從Hill提出的物體在任意變形值情況下率形式的虛功方程出發(fā)：

式中是拉格朗日應(yīng)力率，表示應(yīng)變梯度，可由分布在體積連續(xù)速度場導(dǎo)出．積分是在時(shí)刻的參照構(gòu)形下的體積和表面下進(jìn)行．

為了消除剛體旋轉(zhuǎn)對應(yīng)力率的變化，在本構(gòu)關(guān)系中引用Jaumann應(yīng)力率．Lagrange應(yīng)力率與Kirchoff的Jaumann應(yīng)力和Cauchy應(yīng)力有如下關(guān)系：式中為變形率．

將上式代入虛功方程可得：

用表示單元節(jié)點(diǎn)自由度速度向量列陣，按照有限元過程，有下述關(guān)系：

這里應(yīng)變率用表示，而不用表示,以免與材料常數(shù)矩陣混淆．注意到在時(shí)刻

材料本構(gòu)關(guān)系：將上述三式代入式虛功方程可得：

其中：

與前面的公式相比，雖然都是U.L體系，但是兩者的左邊和右邊均不相同．順便指出，McMeeking和Rice最早提出這個(gè)計(jì)算格式時(shí)稱為歐拉體系，實(shí)際稱為U.L體系更為恰當(dāng)．Yamada也提出了這個(gè)計(jì)算格式．此外，Argyris則提出了不同的非線性有限元方程的描述方法，也屬于U.L坐標(biāo)系統(tǒng)．

5.3.3任意拉格朗日-歐拉描述法

在拉格朗日描述中,以初始構(gòu)形為參照構(gòu)形來研究物質(zhì)點(diǎn)在空間中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,即

上式描述了同一質(zhì)點(diǎn)在不時(shí)刻的空間位置.

在歐拉描述中,以現(xiàn)時(shí)構(gòu)形為參照構(gòu)形來研究空間點(diǎn)上物質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,即上式則描述了同一空間點(diǎn)在不同時(shí)刻被物質(zhì)點(diǎn)所占有的位置．

而任意拉格朗日-歐拉描述則引入了一個(gè)可以獨(dú)立于初始構(gòu)形和現(xiàn)時(shí)構(gòu)形運(yùn)動(dòng)的參照構(gòu)形,在物體變形過程中,觀察者始終跟隨參照構(gòu)形運(yùn)動(dòng),因此,對觀察者來說,參照構(gòu)形是不同的,而初始構(gòu)形和現(xiàn)時(shí)構(gòu)形則相對于參照構(gòu)形運(yùn)動(dòng)．為了確定參照構(gòu)形中各參考點(diǎn)的位置,引入?yún)⒄兆鴺?biāo)系.

在這種描述中,是獨(dú)立的空間變量．在任意的時(shí)刻,在參照構(gòu)形中任意一點(diǎn)均與初始構(gòu)形中的一個(gè)物質(zhì)點(diǎn)相關(guān)聯(lián),假設(shè)兩者存在一一對應(yīng)關(guān)系,則有當(dāng)然,物質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的現(xiàn)時(shí)位置可以用現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中的位置向量表示

物質(zhì)點(diǎn)的位移為

一般情況下,與固定參照體積相關(guān)聯(lián)的現(xiàn)時(shí)體積和初始體積是隨時(shí)間變化的．

以前已經(jīng)介紹過總變形的格林應(yīng)變張量其中為變形梯度,即變形的雅可比行列式,它的分量為

現(xiàn)在把總應(yīng)變分解為歐拉分量和拉格朗日分量,歐拉應(yīng)變分量的雅可比行列式描述了從到的映射其中是逆歐拉雅可比行列式,分量為

拉格朗日雅可比行列式描述了從參照構(gòu)形到現(xiàn)時(shí)構(gòu)形的映射

總的變形梯度是歐拉雅可比和拉格朗日雅可比的乘積

因此,格林應(yīng)變張量的分量可以寫為

現(xiàn)在考慮時(shí)刻的變形物體的現(xiàn)時(shí)狀態(tài),物體受體力和面力的作用,面力作用在表面上,在任意位置體力向量的分量定義為單位質(zhì)量的力．面力向量定義為在參照構(gòu)形中作用在單位現(xiàn)時(shí)構(gòu)形的表面積上的力．

假設(shè)在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形上有虛位移場,那么虛位移原理要求式中是時(shí)刻的柯西應(yīng)力張量的分量,

是現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中的質(zhì)點(diǎn)密度,是標(biāo)量,它等于微分面積之比．

內(nèi)部的虛功表達(dá)式要變換為在初始構(gòu)形上的積分其中是時(shí)刻參考初始構(gòu)形的克希霍夫應(yīng)力張量的分量．

把虛位移原理式轉(zhuǎn)換到參照構(gòu)形其中是映射在上的參照構(gòu)形的部分表面,是初始構(gòu)形中的質(zhì)量密度