2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工

考試結(jié)束前★機(jī)密2008年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至9頁(yè)，共150分．考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共40分）注意事項(xiàng)：1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)勢(shì)必自己的姓名、準(zhǔn)考據(jù)號(hào)、考試科目涂寫(xiě)在答題卡上．2．每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其余答案．不可以答在試卷上．一、本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．已知全集UR，會(huì)合Ax|2≤≤Bx|x1或x4，那么會(huì)合x(chóng)3，AeUB等于（）A．x|2≤x4C．x|2≤x1

B．x|x≤3或x≥4D．x|1≤x≤32．若a20.5，blogπ3，c2π）log2sin，則（5A．a(chǎn)bcB．bacC．cabD．bca3．“函數(shù)f(x)(xR)存在反函數(shù)”是“函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)”的（）A．充分而不用要條件B．必需而不充分條件C．充分必需條件D．既不充分也不用要條件4．若點(diǎn)P到直線x1的距離比它到點(diǎn)(2，0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線x≥，y10，則x2y5．若實(shí)數(shù)x，y滿足xy≥0z3的最小值是（）x≤，0A．0B．1C．3D．96．已知數(shù)列an對(duì)隨意的p，qN*滿足apqapaq，且a26，那么a10等于（）高考教練網(wǎng)A．165B．33C．30D．217．過(guò)直線yx上的一點(diǎn)作圓(x5)2(y1)22的兩條切線l1，l2，當(dāng)直線l1，l2對(duì)于yx對(duì)稱時(shí)，它們之間的夾角為（）A．30B．45C．60D．908．如圖，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCDABCD的對(duì)角線BD上．過(guò)點(diǎn)P作垂直于平面11111BB1D1D的直線，與正方體表面訂交于M，N．設(shè)BPx，MNy，則函數(shù)yf(x)的圖象大概是（）D1C1yyyyA1B1DPNCOxOxOxOxMABC．A．B．D．2008年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事項(xiàng)：1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫(xiě)在試卷上．2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．已知(ai)22i，此中i是虛數(shù)單位，那么實(shí)數(shù)a．10．已知向量a與b的夾角為120，且ab4，那么b(2ab)的值為．1n11．若x2睜開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則n，其睜開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)x3為．（用數(shù)字作答）12．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，此中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0，4)，(2，0)，，(64)，f(f(0))y則；4AClimf(1x)f(1)3．（用數(shù)字作答）2x0x1BO23456x1高考教練網(wǎng)13．已知函數(shù)f(x)x2cosx，對(duì)于ππ上的隨意x1，x2，有以下條件：2，2①xx；②x2x2；③xx．121212此中能使f(x1)f(x2)恒成立的條件序號(hào)是．14．某校數(shù)學(xué)課外小組在座標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹(shù)方案以下：第k棵樹(shù)栽種在點(diǎn)Pk(xk，yk)處，此中x11，y11，當(dāng)k≥2時(shí)，xkxk115Tk1Tk2，55ykyk1Tk1Tk2．55T(a)表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，比方T(2.6)2，T(0.2)0．按此方案，第6棵樹(shù)栽種點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為；第2008棵樹(shù)栽種點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．15．（本小題共13分）已知函數(shù)f(x)sin2x3sinxsinxπ（0）的最小正周期為π．2（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間2π上的取值范圍．0，316．（本小題共14分）如圖，在三棱錐PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求證：PCAB；P（Ⅱ）求二面角BAPC的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面APB的距離．ABC高考教練網(wǎng)17．（本小題共13分）甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個(gè)不一樣的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位最罕有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；（Ⅲ）設(shè)隨機(jī)變量為這五名志愿者中參加A崗位服務(wù)的人數(shù)，求的分布列．18．（本小題共13分）已知函數(shù)f(x)2xb，求導(dǎo)函數(shù)f(x)，并確立f(x)的單一區(qū)間．(x1)219．（本小題共14分）已知菱形ABCD的極點(diǎn)A，C在橢圓x23y24上，對(duì)角線BD所在直線的斜率為1．（Ⅰ）當(dāng)直線BD過(guò)點(diǎn)(0，1)時(shí)，求直線AC的方程；（Ⅱ）當(dāng)ABC60時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．20．（本小題共13分）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列A：a1，a2，，an，定義變換T1，T1將數(shù)列A變換成數(shù)列T1(A)：n，a11，a21，，an1．對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B：b1，b2，，bm，定義變換T2，T2將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小擺列，而后去掉全部為零的項(xiàng)，獲得數(shù)列T2(B)；又定義S(B)2(b12b2mbm)b12b22bm2．設(shè)A0是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令A(yù)k1T2(T1(Ak))(k01，，2，)．（Ⅰ）假如數(shù)列A0為5，3，2，寫(xiě)出數(shù)列A1，A2；（Ⅱ）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明S(T1(A))S(A)；（Ⅲ）證明：對(duì)于隨意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0，存在正整數(shù)K，當(dāng)k≥K時(shí)，S(Ak1)S(Ak)．高考教練網(wǎng)2008年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）參照答案一、選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分）1．D2．A3．B4．D5．B6．C7．C8．B二、填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分）9．110．011．51012．2213．②14．(1，2)(3，402)三、解答題（本大題共6小題，共80分）15．（共13分）解：（Ⅰ）f(x)1cos2x3sin2x3sin2x1cos22222sin2xπ1．62由于函數(shù)f(x)的最小正周期為π，且0，所以2ππ，解得1．2（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)sin2xπ1．62由于0≤x≤2π3，7πππ所以≤2x≤，666所以1≤sin2xπ≤1，26所以0≤sin2xπ1≤3362，即f(x)的取值范圍為0，．2216．（共14分）解法一：P（Ⅰ）取AB中點(diǎn)D，連接PD，CD．APBP，

x

12PDAB．AACBC，CDAB．C

DB高考教練網(wǎng)PDCDD，PAB平面PCD．PC平面PCD，EPCAB．AB（Ⅱ）ACBC，APBP，APC≌△BPC．又PCACPCBC

，C．又ACB90，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC．取AP中點(diǎn)E．連接BE，CE．ABBP，BEAP．EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，CEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．在△BCE中，BCE90，BC2，BE3AB6，2sinBECBC6BE．3二面角BAPC的大小為arcsin6．P3（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB平面PCD，H平面APB平面PCD．D過(guò)C作CHPD，垂足為H．AB平面APB平面PCDPD，CCH平面APB．CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面APB的距離．由（Ⅰ）知PCAB，又PCAC，且ABACA，PC平面ABC．CD平面ABC，PCCD．在Rt△PCD中，CD1AB2，PD3PB6，22PCPD2CD22．CHPCCD23．PD3高考教練網(wǎng)點(diǎn)C到平面APB的距離為23．3解法二：（Ⅰ）ACBC，APBP，APC≌△BPC．又PCAC，PCBC．ACBCC，PC平面ABC．AB平面ABC，PCAB．（Ⅱ）如圖，以C為原點(diǎn)成立空間直角坐標(biāo)系Cxyz．則C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)．設(shè)P(0，0，t)．zPPBAB22，EHyxt2，P(0，0，2)．ABC取AP中點(diǎn)E，連接BE，CE．ACPC，ABBP，CEAP，BEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．，，EC，，1)，EB(2，1，1)，E(011)，(01cosBECECEB263．ECEB23二面角BAPC的大小為arccos3．3（Ⅲ）ACBCPC，C在平面APB內(nèi)的射影為正△APB的中心H，且CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面APB的距離．如（Ⅱ）成立空間直角坐標(biāo)系Cxyz．BH2HE，點(diǎn)H的坐標(biāo)為222．3，，33高考教練網(wǎng)CH23．3點(diǎn)C到平面APB的距離為23．317．（共13分）解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)為事件A331EA，那么P(EA)，C52A4440即甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率是1．40（Ⅱ）記甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件E，那么P(E)A441，C52A4410所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P(E)9．1P(E)10（Ⅲ）隨機(jī)變量可能取的值為1，2．事件“2”是指有兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)，則P(2)C52A331C53A44．4所以P(1)1P(2)3，的分布列是413P18．（共13分）

3144解：f(x)2(x1)2(2xb)2(x1)(x1)42x2b2(x1)32[x(b1)]．(x1)3令f(x)0，得xb1．當(dāng)b11，即b2時(shí)，f(x)的變化狀況以下表：高考教練網(wǎng)x(，b1)b1(b11)，(1，)f(x)0當(dāng)b11，即b2時(shí)，f(x)的變化狀況以下表：x(，1)(1，b1)b1(b1，)f(x)0所以，當(dāng)b2時(shí)，函數(shù)f(x)在(，b1)上單一遞減，在(b11)，上單一遞加，在(1，)上單一遞減．當(dāng)b2時(shí)，函數(shù)f(x)在(，1)上單一遞減，在(1，b1)上單一遞加，在(b1，)上單一遞減．當(dāng)b11，即b2時(shí)，f(x)2，所以函數(shù)f(x)在(，1)上單一遞減，在(1，)x1上單一遞減．19．（共14分）解：（Ⅰ）由題意得直線BD的方程為yx1．由于四邊形ABCD為菱形，所以ACBD．于是可設(shè)直線AC的方程為yxn．x23y24，26nx3n240．由xn得4xy由于A，C在橢圓上，所以12n2640，解得43n43．33設(shè)A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，3n3n24，yxn，yxn．則x1x2，x1x2222411所以y1y2n．2所以AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為3nn4，．4高考教練網(wǎng)由四邊形ABCD為菱形可知，點(diǎn)3nn在直線yx1上，4，4所以n3n1，解得n2．44所以直線AC的方程為yx2，即xy20．（Ⅱ）由于四邊形ABCD為菱形，且ABC60，所以ABBCCA．所以菱形ABCD的面積S32AC．22x2)2y2)23n216AC(y1由（Ⅰ）可得(x12，所以S3(3n216)43n43．433所以當(dāng)n0時(shí)，菱形ABCD的面積獲得最大值43．20．（共13分）（Ⅰ）解：A0：5，3，2，T1(A0)：3，4，21，，A1T2(T1(A0))：4，3，21，；T1(A1)：4，3，210，，，A2T2(T1(A1))：4，3，21，．（Ⅱ）證明：設(shè)每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A為a1，a2，，an，則T1(A)為n，a11，a21，，an1，從而S(T1(A))2[n2(a11)3(a21)(n1)(an1)]n2(a11)2(a21)2(an1)2．又S(A)2(a12a2nan)a12a22an2，高考教練網(wǎng)所以S(T1(A))S(A)2[n23(n1)]2(a1a2an)n22(a1a2an)nn(n1)n2n0，故S(T1(A))S(A)．（Ⅲ）證明：設(shè)A是每項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列a1，a2，，an．當(dāng)存在1≤ij≤n，使得ai≤aj時(shí)，互換數(shù)列A的第i項(xiàng)與第j項(xiàng)獲得數(shù)列B，()()2()ai)≤0．則SAiajjaiiaijaj2(ij)(ajSB當(dāng)存在1≤mn，使得am1