自動控制3.3-3.4-二階系統(tǒng)時域分析概要復(fù)習(xí)進(jìn)程

自動控制3.3-3.4-二階系統(tǒng)時域分析概要+-一、二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式：自然振蕩頻率，單位為rad/s阻尼比標(biāo)準(zhǔn)形式：閉環(huán)特征方程：標(biāo)準(zhǔn)形式：閉環(huán)特征根：單位階躍輸入r(t)=1(t)時，其二階系統(tǒng)的輸出的拉氏變換為顯然，隨著阻尼比ζ的不同,二階系統(tǒng)特征根(極點)也不相同，系統(tǒng)的響應(yīng)形式也不同。以下研究n一定，阻尼比ζ不同時的單位階躍響應(yīng)。二、二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)1、<0:負(fù)阻尼系統(tǒng)××j<-1××j-1<<0t1c(t)0發(fā)散振蕩兩個特征根位于S右半平面，輸出響應(yīng)含有模態(tài)，具有正冪指數(shù)，動態(tài)過程發(fā)散振蕩或單調(diào)發(fā)散。2、=0:無阻尼系統(tǒng)兩個特征根為一對共軛純虛根：s1,2=±jn××j=0t12c(t)0等幅振蕩3、0<<1:欠阻尼系統(tǒng)兩個特征根為一對負(fù)實部共軛復(fù)根：令：，稱為有阻尼振蕩頻率（1）單位階躍響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)兩部分組成：

a.瞬態(tài)部分是衰減的正弦振蕩曲線，衰減速度取決于特征根實部的絕對值ζωn(即σ，特征根實部）的大小,b.振蕩角頻率為阻尼振蕩角頻率d（特征根虛部)。

c.穩(wěn)態(tài)部分等于1，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差；1c(t)nt0衰減振蕩階躍響應(yīng)從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的的時間。上升時間tr單位階躍響應(yīng)

?即

?得

?此時(2)動態(tài)性能指標(biāo)單位階躍響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個峰值所需要的時間。

峰值時間tp單位階躍響應(yīng)中最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。

超調(diào)量%單位階躍響應(yīng)進(jìn)入±誤差帶的最小時間。

調(diào)節(jié)時間ts

欠阻尼二階系統(tǒng)的一對包絡(luò)線如圖

c(t)t01包絡(luò)線（=5%時）?工程上通常用包絡(luò)線代替實際曲線來估算。

解得（=2%時）例題：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，要求系統(tǒng)性能指標(biāo)σ％＝20％，tp=1s（1）求系統(tǒng)阻尼比，自然振蕩頻率。（2）確定K與τ的值。（3）求阻尼振蕩頻率，阻尼角（4）計算上升時間tr和調(diào)節(jié)時間ts。閉環(huán)傳遞函數(shù)

4、＝1:臨界阻尼系統(tǒng)兩個特征根為一對相等負(fù)實根××j＝11c(t)t0單調(diào)上升過程5、>1:過阻尼系統(tǒng)兩個特征根為一對不相等負(fù)實數(shù)實根××j>11c(t)t0單調(diào)上升過程過阻尼二階系統(tǒng)性能指標(biāo)=1，T1/T2=1,ts=4.75T1,n=1/T1例題：設(shè)角度隨動系統(tǒng)如圖所示，T=0.1為伺服電機(jī)時間常數(shù)，若要求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，且調(diào)節(jié)時間ts≤1s，問K應(yīng)取多大？此時上升時間等于多少？解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為為使系統(tǒng)具有盡量快的響應(yīng)速度，取=1,2n=1/T=10,n=5rad/s,n2=K/T=10K,K=2.5=1，T1/T2=1,ts=4.75T1,n=1/T1,T1=0.2,ts=4.75T1=0.95≤1s,

tr=3.5/5=0.7s0123456789101112nt

c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上幾種情況的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖：

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0?

在0<<1,

越小，超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)節(jié)時間ts長；

?=0.7，調(diào)節(jié)時間短，而超調(diào)量%<5%，平穩(wěn)性也好，故稱ζ=0.7為最佳阻尼比。工程希望=0.4～0.8為宜；?在≥1

,

越大，系統(tǒng)響應(yīng)速度慢，調(diào)節(jié)時間ts也長。三、二階系統(tǒng)的性能改善改善二階系統(tǒng)性能的兩種方法：比例-微分控制測速反饋控制1、比例－微分控制R(s)(-)C(s)Go(s)Tds+1可見，比例－微分控制不改變開環(huán)增益。R(s)(-)C(s)Go(s)Tds+1可見，比例－微分控制不改變自然振蕩頻率和開環(huán)增益，但增大阻尼比，以抑制振蕩，減少超調(diào)量。比例－微分控制相當(dāng)于增加了一個零點，故稱為有零點的二階系統(tǒng)。R(s)(-)C(s)Go(s)Tds+1特點:

(1)引入比例微分控制，系統(tǒng)阻尼增加，其對振蕩的抑制強(qiáng)于閉環(huán)零點對振蕩的擴(kuò)大。因此，總體是使超調(diào)減弱，改善平穩(wěn)性；

(2)

閉環(huán)零點的出現(xiàn)，加快了系統(tǒng)響應(yīng)速度，克服了阻尼過大，響應(yīng)速度慢的缺點?？焖傩院推椒€(wěn)性均提高。

(3)不影響開環(huán)增益，即不影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，自然振蕩頻率不變。

注意：微分對于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強(qiáng)時，不宜采用比例-微分控制。此時，可考慮用測速－反饋控制。2、測速－反饋控制R(s)(-)C(s)KtS(-)測速－反饋控制可見，開環(huán)增益減小。舉例圖1-13b函數(shù)記錄儀原理方塊圖閉環(huán)傳遞函數(shù)：特點：（1）測速反饋可以使阻尼比增加，振蕩和超調(diào)減小，改善了系統(tǒng)平穩(wěn)性；但不影響系統(tǒng)的自然頻率；（2）測速反饋不增加閉環(huán)系統(tǒng)的零點，對系統(tǒng)性能改善的程度與比例-微分控制是不一樣的；（3）測速反饋會降低系統(tǒng)原來的開環(huán)增益，通過增益補(bǔ)償，可不影響原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)(-)C(s)KtS(-)例題：設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示，其中（a）為比例控制系統(tǒng)，（b）為測速反饋控制系統(tǒng)，若使系統(tǒng)（b）的阻尼比為=0.5

，求系統(tǒng)參數(shù)K，并計算系統(tǒng)（a）和（b）的各項性能指標(biāo)。解：（1）系統(tǒng)(a)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：（2）系統(tǒng)(b)的閉環(huán)傳遞函數(shù)3-4高階系統(tǒng)的時域分析設(shè)高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為設(shè)此傳遞函數(shù)的零、極點分別為zi(i=1,2,…,m)和si(i=1,2,…,n),則有令系統(tǒng)所有閉環(huán)零、極點互不相同,且極點有實數(shù)極點和復(fù)數(shù)極點,零點均為實數(shù)零點。當(dāng)輸入單位階躍函數(shù)時,則有一、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式中,n=q+2r,q為實極點的個數(shù),r為復(fù)數(shù)極點的個數(shù)。將上式展成部分分式得對上式求拉氏反變換得單位階躍函數(shù)作用下高階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為A0,瞬態(tài)分量是一階和二階系統(tǒng)瞬態(tài)分量的合成。若所有閉環(huán)極點均有負(fù)的實部，則所有暫態(tài)分量趨于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。

(1)高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)sj和ζkωnk決定。如果某極點遠(yuǎn)離虛軸，那么其相應(yīng)的瞬態(tài)分量持續(xù)時間較短，對系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響就小。

(2)當(dāng)某極點sj靠某零點zi很近，相應(yīng)瞬態(tài)分量的系數(shù)就越小，極端情況下,當(dāng)sj和zi重合時，對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)沒有影響。偶極子

當(dāng)極點si與某個零點zj靠得很近時，它們之間的模值很小，那么該極點所對應(yīng)的系數(shù)Ai也就很小，對應(yīng)暫態(tài)分量的幅值亦很小，故該分量對響應(yīng)的影響可忽略不計。這樣的一對相距很近的閉環(huán)零極點稱為偶極子。工程上，當(dāng)某極點和某零點之間的距離比它們的模值小一個數(shù)量級時，就可認(rèn)為這對零極點為偶極子。

偶極子的概念對控制系統(tǒng)的綜合校正是很有用的，有意識地在系統(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)牧泓c，可以抵消對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)過程有不利影響的極點，從而使系統(tǒng)的動態(tài)性能得以改善。二、閉環(huán)主導(dǎo)極點距離虛軸最近的極點，且其周圍無零點，對過渡過程影響較大。判斷閉環(huán)主導(dǎo)極點的兩個條件如下：

(1)在左半s平面上，距離虛軸最近且附近沒有其他的閉環(huán)極點和零點。

(2)其實部的長度與其他的極點實部長度相差5倍(實際中3倍）以上。若主導(dǎo)極點為一個負(fù)實數(shù)，高階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)；若主導(dǎo)極點為一對共軛復(fù)數(shù)，高階系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)。

三、高階系統(tǒng)性能估算略去非主導(dǎo)極點和偶極子，用主導(dǎo)零極點對應(yīng)的低階系統(tǒng)估算高階系統(tǒng)性能指標(biāo)。-0.75-5

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